2023-2024學(xué)年上海師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年上海師大附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.函數(shù)y=lg(4?x)的定義域?yàn)開_____．2.若關(guān)于x的不等式mx2?5x+m≤0的解集為R，則實(shí)數(shù)m3.若A∪B={1,2}，則不同的有序集合組(A,B)共有______種.4.若函數(shù)f(x)=x2?2ax+b(a>1)的定義域與值域都是[1,a]，則實(shí)數(shù)b=5.已知函數(shù)f(x)=3x2+ax+3x2+1，若f(x)滿足6.納皮爾精確的對(duì)數(shù)定義來源于一個(gè)運(yùn)動(dòng)的幾何模型：假設(shè)有兩個(gè)沿兩平行直線運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)C和F，其中點(diǎn)C從線段AB的端點(diǎn)A向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從射線DE的端點(diǎn)D出發(fā)向E運(yùn)動(dòng)，其中AB的長(zhǎng)為aDE的長(zhǎng)無限大.若DF的長(zhǎng)度滿足在第t秒時(shí)DF=3t，CA的長(zhǎng)度滿足在第t秒時(shí)CA=a?(12)t，記DF=x，CB=y，則x是關(guān)于y的一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù).根據(jù)以上定義，當(dāng)y=1647.如圖，我國(guó)古代珠算算具算盤每個(gè)檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，記上珠的個(gè)數(shù)為X，則P(X≥1)=______．

8.已知a，b，c∈R且a+b+c=0，a>b>c，則a2+c9.已知x1滿足方程：3x+3x=4，x2滿足方程：33?x=3x?510.已知正數(shù)a，b滿足a+b+1a+4b11.用模型γ=aekx擬合一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,?,10)，若x1+x12.對(duì)于定義在非空集D上的函數(shù)f(x)，若對(duì)任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2，有f(x1)≤f(x2)二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13.人生在世，最大的問題，莫過于“學(xué)以成人”的問題；“學(xué)好數(shù)學(xué)”是“成人”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.若實(shí)數(shù)a，b滿足2a+3a=3bA.0<a<b<1 B.b<a<0 C.1<a<b D.a=b15.已知兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y滿足條件2X+Y=2，且Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.設(shè)函數(shù)F(x)=P(|X?2x|>1)，則F(x)的圖像大致為(

)A. B.

C. D.16.已知定義在R上的嚴(yán)格遞增函數(shù)f(x)滿足：任意x∈R，有f(1?x)+f(1+x)=2，f(2+x)+f(2?x)=4，則下列兩個(gè)命題的真假情況是(

)

命題甲：存在非零實(shí)數(shù)T，使得任意x∈R，f(x+T)=f(x)；

命題乙：存在非零實(shí)數(shù)c，使得任意x∈R，|f(x)?cx|≤1．A.甲真乙假 B.甲假乙真 C.甲真乙真 D.甲假乙假三、解答題（本大題共5小題，共78分）17.（14分）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=log2|x2+ax+2|．

(1)若a=?5，解不等式f(x)>1；

(2)求所有的a，使得18.（14分）(1)已知關(guān)于x的一元二次方程x2?ax+6(a?4)=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且2x1+x2=8，求實(shí)數(shù)a的值．

(2)設(shè)x1，x2(x119.（14分）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個(gè)當(dāng)屬由兩位俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫(Markov)不等式和切比雪夫(C?ebys?ev)不等式.馬爾科夫不等式的形式如下：

設(shè)X為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為E(X)，則對(duì)任意ε>0，均有P(X≥ε)≤E(X)?，

馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系.當(dāng)X為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：

設(shè)X的分布列為P(X=xi)=pi，i=1，2，?，n，其中pi∈(0,+∞),xi∈[0,+∞)(i=1,2,?,n),i=1npi=1，則對(duì)任意ε>0，P(X≥ε)=xi≥εpi≤xi≥εxi?pi=1?xi≥ε20.（18分）高一的珍珍閱讀課外書籍時(shí)，發(fā)現(xiàn)笛卡爾積是代數(shù)和圖論中一個(gè)很重要的課題.對(duì)于非空數(shù)集A，B，定義A?B={(x,y)|x∈A且y∈B}，將A?B稱為“A與B的笛卡爾積”

(1)若A={?1,0,1}，B={?1,1}，求A?B和B?A；

(2)試證明：“A1?A2=A2?A1”是“A1=A2”的充要條件；

(3)若集合H是有限集，將集合H的元素個(gè)數(shù)記為|H|.已知|A1?A2|=m21.（18分）給定函數(shù)f(x)(x≥0)與g(x)，若?(x)=f(x)?g(x)為嚴(yán)格遞減函數(shù)且值域?yàn)?0,M](M為常數(shù))，則稱g(x)對(duì)于f(x)具有“Certaintyretention”．

(1)證明：函數(shù)g(x)=13x對(duì)于f(x)=(13)x(x≥0)不具有“Certaintyretention”；

(2)判斷函數(shù)g(x)=x+1對(duì)于f(x)=x2+3x+3x+2(x≥0)是否具有“Certaintyretention”；

參考答案1.{x|0<4}

2.(?∞,?53.9

4.5

5.12

6.18

7.578.(?59.3

10.9

11.3e12.2872913.D

14.ABD

15.D

16.B

17.解：(1)若a=?5，則log2|x2?5x+2|．

由f(x)>1；得log2|x2?5x+2|>1；得|x2?5x+2|>2．

得x2?5x+2>2或x2?5x+2<?2

即x2?5x>0或x2?5x+4<0．

得x>5或x<0或1<x<4．

即不等式的解集為(?∞,0)∪(1,4)∪(5,+∞)．

(2)若判別式△=a2?8<0，即?22≤a≤22，二次函數(shù)y=x2+ax+2的對(duì)稱軸為x=?a2，

當(dāng)?a2≤12時(shí)，18.解：(1)根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=ax1x2=6a?24，

又因?yàn)?x1+x2=8，

所以x1=8?a，x2=2a?8．

所以(8?a)(2a?8)=6a?24，

解得a1=5，a2=4．

又因?yàn)閤2=2a?8，且x1，x2是兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，

所以a≠4，

所以a=5．

(2)由韋達(dá)定理，得x1+x2=?ba2，x1x2=1a2，x3+x4=?ba，x3x4=1a．

前后兩式分別相除，得1x1+1x2=?b=1x3+119.解：(1)證明：法一：對(duì)非負(fù)離散型隨機(jī)變量[X?E(X)]2及正數(shù)ε2使用馬爾科夫不等式，

有P(|X?E(X)|≥ε)=P([X?E(X)]2≥ε2)≤E[X?E(X)]2?2=D(X)?2．

法二：設(shè)X的分布列為

P(X=xi)=pi，i=1，2，?，n，

其中pi,xi∈(0,+∞)(i=1,2,?,n),i=1npi=1，

記μ=E(X)，則對(duì)任意ε>0，20.解：(1)由題意可得：A?B={(?1,?1)，(?1,1)，(0,?1)，(0,1)，(1,?1)，(1,1)}，

B?A={(?1,?1)，(?1,0)，(?1,1)，(1,?1)，(1,0)，(1,1)}．

(2)若A1=A2，設(shè)A1=A2=A，

由定義可知：A1?A2={(a,b)|a∈A且b∈A}=A2?A1，

所以“A1?A2=A2?A1”是“A1=A2”的必要條件；

若A1?A2=A2?A1，對(duì)任意(a,b)∈A1?A2，均有(a,b)∈A2?A1，

即對(duì)任意a∈A1，b∈A2，均有a∈A2，b∈A1，

由任意性可知A1?A221.解：(1)證明：設(shè)?(x)=f(x)?g(x)=(13)x?13x，?(2)=19?23<0，

則函數(shù)g(x)=13x對(duì)

f(x)=(13)x(x≥0)不具有“Certaintyretention”；

(2)函數(shù)g(x)=x+1對(duì)于f(x)=x2+3x+3x+2(x≥0)具有“Certaintyretention”；

設(shè)?(x)=f(x)?g(x)=x2+3x+3x+2?(x+1)=1x+2，

當(dāng)x≥0時(shí)，易得?(x)為減函數(shù)，

且0<?(x)≤?(0)=12，

即?(x)值域?yàn)?0,12],

故函數(shù)g(x)=x+1對(duì)于f(x)=x2+3x+3x+2(x≥0)具有“Certaintyretention”；

(3)令?(x)=x+x2+1+x2+4?ax=x2+1+x2+4+(1?a)x，

根據(jù)“確界保持性”定義可知?(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，

故?(x)≤?(0)=3，即?(x)的值域?yàn)?0,3]；

由于?(x)=x+x2+1+x2+4?ax=x2+1+x2+4+(1?a)x=x2+1+(1?a)x