第9章 線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析

第9章線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析9.1拉普拉斯變換的定義9.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

9.3拉普拉斯反變換

9.4復(fù)頻域中的電路定律和電路模型

9.5線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析

本章主要內(nèi)容拉普拉斯變換及其與電路分析有關(guān)的性質(zhì)；拉普拉斯反變換的方法；KCL、KVL和VCR的運(yùn)算形式；運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納及運(yùn)算電路；拉普拉斯變換在線性電路中的應(yīng)用。直流激勵電阻電路直流激勵低階動態(tài)電路正弦激勵動態(tài)電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)經(jīng)典法(時域分析法)經(jīng)典法(時域分析法)列解線性代數(shù)方程列解線性微分方程變量時域形式的KVL、KCL和VCR相量法(頻域分析法)列解相量為變量的線性代數(shù)方程回顧：變量初始條件的確定非正弦周期激勵動態(tài)電路諧波分析法(頻域分析法)相量變換變量頻域形式的KVL、KCL和VCR激勵的傅立葉級數(shù)展開任意激勵動態(tài)電路列解相量為變量的線性代數(shù)方程電路特征分析方法方程形式出發(fā)點？？？得時域響應(yīng)表達(dá)式××建立含微積分的電路方程(時域分析過程)任意激勵作用下的線性電路拉氏正變換運(yùn)算電路模型用線性直流電路的分析方法建立復(fù)頻域形式電路方程得復(fù)頻域響應(yīng)的象函數(shù)拉氏反變換9.1拉普拉斯變換的定義及性質(zhì)9.1.1拉普拉斯變換的定義F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，用大寫字母表示，如I(s)、U(s)。f(t)稱為F(s)的原函數(shù)，用小寫字母表示，如i(t),u(t)。f(t)與F(s)一一對應(yīng)。f(t)是定義在[0,∞)區(qū)間的函數(shù)，其拉氏變換式定義為f(t)的拉氏變換可簡寫為：1.拉氏變換的定義如果存在有限常數(shù)M和c使函數(shù)f(t)滿足：總可以找到一個合適的s值使上式積分為有限值，即f(t)的拉氏變換式F(s)總存在。2.象函數(shù)F(s)存在的條件：應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)算法。(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)【例9-1】求以下函數(shù)的象函數(shù)：(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)（4）單位斜坡函數(shù)的象函數(shù)(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)解：(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)（4）單位斜坡函數(shù)的象函數(shù)常用的拉氏變換表見教材表9-1。常用函數(shù)的拉氏變換表原函數(shù)f(t)象函數(shù)F(s)原函數(shù)f(t)象函數(shù)F(s)A(t)Ae–tcos(t)s+(s+

)2+

2A(t)A/ste–t(s+

)21Ae–ts+

Ats211–e–ts(s+)

sinh(t)s2–

2

sin(t)s2+

2

cosh(t)s2–

2scos(t)s2+

2

s(1–t)e–t(s+

)2ssin(t+)s2+

2ssin+cost221s31cos(t+)s2+

2scos+sin

tnn！

1sn+11e–tsin(t)(s+

)2+

2

tne–tn！

1(s+

)n+119.1.2拉普拉斯變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)若則證明：【例9-2】利用線性性質(zhì)求和的象函數(shù)。解：

因為所以同理可得【例】利用線性性質(zhì)求的象函數(shù)。解：

2.微分性質(zhì)若：則：證明：若

足夠大0推廣：解：

【例9-3】

已知，應(yīng)用微分性質(zhì)求的象函數(shù)。

各階導(dǎo)數(shù)【例9-4】利用微分的性質(zhì)求函數(shù)的象函數(shù)。由于所以解：

3.積分性質(zhì)則：設(shè)：【例9-5】

利用積分性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)。

解：（1）（2）（3）解：

將上式各項進(jìn)行拉普拉斯變換【例】用拉普拉斯變換法求電感L通過電阻R放電電路中的電感電流。設(shè)已知電感電流的原始值為電流初始值為由表9-1可知4.時域延遲性質(zhì)設(shè)：則：證明：令【例9-6】f(t)的波形如圖所示。求其象函數(shù)。解：

由拉氏變換的線性性質(zhì)和時域延遲性質(zhì)例：例：求矩形脈沖的象函數(shù)解根據(jù)延遲性質(zhì)求三角波的象函數(shù)解TTf(t)o1Ttf(t)o5.頻域位移性質(zhì)設(shè)：則：證明：解：的原函數(shù)?！纠?-7】利用復(fù)頻域平移性質(zhì)求和。9.2拉普拉斯反變換的部分公式展開法

拉普拉斯反變換的定義由到的變換稱為拉普拉斯反變換

簡寫由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用反變換的定義公式(2)簡單形式的F(s)查拉氏變換表(3)部分分式展開法，或稱分解定理。把F(s)分解為簡單項的組合部分分式展開法部分分式展開法象函數(shù)的一般形式：把F(s)分解成若干個可以在拉氏變換表中找到的簡單項之和的方法稱為部分分式展開法（分解定理）。真分式（1）當(dāng)為真分式時，需對分母多項式作因式分解，即求D(s)=0時的根。其根可是單根、共軛復(fù)根和重根。（2）常數(shù)，其原函數(shù)為Aδ(t)1）利用部分分式可將F(s)分解為：K1、K2、‥Kn待定系數(shù)原函數(shù)的一般形式：

待定系數(shù)的確定：方法1：方法2：求極限的方法【例9-8】求象函數(shù)對應(yīng)的原函數(shù)。解：因為的根為

所以可分解為方法1：根據(jù)求出各待定系數(shù)為方法2：根據(jù)求出各待定系數(shù)為

則有故得原函數(shù)為【例】求象函數(shù)對應(yīng)的原函數(shù)。解：

方法1方法2【例9-9】求象函數(shù)對應(yīng)的原函數(shù)。解：分母的最高次冪項系數(shù)（

）不等于1。因此先將分子和分母都除以，得

所以可分解為求出各待定系數(shù)為

【例】求象函數(shù)對應(yīng)的原函數(shù)。解：分母的最高次冪項系數(shù)不等于1。的根為，2）有共軛復(fù)根設(shè)一對共軛復(fù)根為：K1,K2也是一對共軛復(fù)數(shù)【例9-10】已知象函數(shù)，求其原函數(shù)。

解：

的根為，3）D(s)=0有重根設(shè)其具有三重根在上式兩邊同時乘以

對(1)式兩邊對s求導(dǎo)一次，得：對(1)式兩邊對s求導(dǎo)兩次，得：【例9-11】求象函數(shù)的原函數(shù)。

解：將分解成查表可得出相應(yīng)的原函數(shù)

【例9】求象函數(shù)的原函數(shù)。

解：

小結(jié)1.n=m時將F(s)化成真分式和多項式之和由F(s)求f(t)的步驟：2.求真分式分母的根，確定分解單元3.將真分式展開成部分分式，求各部分分式的系數(shù)。4.對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換。9.3復(fù)頻域中的電路定律和電路模型

動態(tài)電路的復(fù)頻域分析有兩種思路先在時域內(nèi)列出動態(tài)電路的微分方程，然后對微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到復(fù)頻域的代數(shù)方程，求解該代數(shù)方程，得到響應(yīng)的象函數(shù)，再利用拉氏反變換得到響應(yīng)的時間函數(shù)。先對電路定律和元件的約束關(guān)系進(jìn)行拉氏變換，得到他們的復(fù)頻域形式，建立電路的復(fù)頻域模型（即運(yùn)算電路），列出電路的復(fù)頻域代數(shù)方程，求出響應(yīng)的象函數(shù)，經(jīng)過拉氏反變換求得時域響應(yīng)。電路定律的運(yùn)算形式：把時間函數(shù)變換為對應(yīng)的象函數(shù)9.3.2電路元件的復(fù)頻域分析時域電路模型運(yùn)算電路模型1、電阻9.3.1

基爾霍夫定律的復(fù)頻域形式2、電容元件兩邊進(jìn)行拉氏變換或：兩邊進(jìn)行拉氏變換初始狀態(tài)引起的附加電流源初始狀態(tài)引起的附加電壓源3.電感元件兩邊進(jìn)行拉氏變換或：兩邊進(jìn)行拉氏變換初始狀態(tài)引起的附加電流源初始狀態(tài)引起的附加電壓源4、互感元件自感電壓自感附加電壓源互感電壓互感附加電壓源5、RLC串聯(lián)元件設(shè)電感初始電流為，電容初始電壓為進(jìn)行拉式變換：運(yùn)算阻抗運(yùn)算導(dǎo)納零初始條件下——運(yùn)算形式的歐姆定律6、復(fù)頻域電路模型【例9-12】

將電路中所有電流、電壓和激勵等時間函數(shù)均改用它們的象函數(shù)表示，電路元件均用其復(fù)頻域模型表示，得到的電路圖稱為運(yùn)算電路圖或復(fù)頻域模型。電路如圖（a）所示，開關(guān)閉合前線路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時將S閉合，畫出其運(yùn)算電路圖。解：

對應(yīng)的運(yùn)算電路圖如圖（b）所示【例】開關(guān)閉合前線路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時將S閉合，畫出其運(yùn)算電路圖。解：

對應(yīng)的運(yùn)算電路圖如圖所示解：【例9-13】已知若原來電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，時閉合開關(guān)S。畫相應(yīng)的運(yùn)算電路。

注意，開關(guān)S閉合后，所以受控源電壓為零，相當(dāng)于短路。9.4線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析

計算步驟：1.由換路前的電路計算uc(0-),iL(0-)。2.畫運(yùn)算電路模型，注意運(yùn)算阻抗的表示和附加電源的作用。3.應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4.反變換求原函數(shù)?！纠?-14】如圖所示,電路原處于穩(wěn)態(tài)。t=0時開關(guān)S閉合，試用運(yùn)算法求解換路后的電流，并畫出運(yùn)算電路圖。

畫出運(yùn)算電路如圖所示

解：由網(wǎng)孔電流法：設(shè)網(wǎng)孔電流為求其反變換

【例9-15】圖示電路中，已知，原電路已處于穩(wěn)態(tài)，時閉合開關(guān)S，試求。

解：（1）求和

（2）求

畫出運(yùn)算電路由節(jié)點電壓法可知

（3）求

對上式取拉氏反變換得

【例1】在開關(guān)S閉合前已處于穩(wěn)態(tài)，試用運(yùn)算法求uL(t)。解：（1）求和。（2）求。畫出運(yùn)算電路（3）求。例2：如圖2-1所示電路，當(dāng)開關(guān)K閉合時已處于直流穩(wěn)態(tài)，t=0時，開關(guān)K斷開，試用運(yùn)算法求t≥0時的電容電壓uC(t)，并畫出其運(yùn)算電路。圖2-2所示電路為s域電路模型1/sC=5000/s由結(jié)點電壓法UC(s)=U1(s)同理：k2=-26.67解：例3：如圖所示,電路原處于穩(wěn)態(tài)。t=0時將開關(guān)S斷開，試用運(yùn)算法求解換路后，并畫出運(yùn)算電路圖。運(yùn)算電路如圖1所示

t

0由KVL定律解：例4：圖示電路原已穩(wěn)定。試求換路后的(1)復(fù)頻域電路；(2)i(t)。解：(1)i1(0

)=2Ai2(0)=0

復(fù)頻域電路如圖：

(2)由KVL定律

本章小結(jié)運(yùn)用拉普拉斯變換法(運(yùn)算法)求解電路問題和運(yùn)用相量法求解正弦穩(wěn)態(tài)電路的基本思想是類似的，如下表所示。相量法運(yùn)算法正弦量相量

(相量模型)原函數(shù)象函數(shù)

(運(yùn)算模型)線性代數(shù)方程(以相量為變量)線性代數(shù)方程(以象函數(shù)為變量)相量正弦量

(一定已知)象函數(shù)原函數(shù)

(拉氏反變換)將電路中的非零獨立初始條件考慮成附加電源后，電路方程(KCL和KVL，電路