高等數(shù)學(xué) 試卷及答案 共3套

第6頁(yè)共6頁(yè)試卷一一、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．已知函數(shù)，則.2.設(shè)是橢圓,其周長(zhǎng)為,則.3．設(shè)，則.4．級(jí)數(shù)是條件收斂、絕對(duì)收斂,還是發(fā)散？條件收斂.5．展開成的冪級(jí)數(shù)為,.6.設(shè)為上半球面，則.7.微分方程滿足的特解為.8.曲線在處的一個(gè)單位切向量為答案不唯一.9.交換積分次序.10.設(shè)是以為周期的函數(shù),其傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)記為，則.二、計(jì)算題：（本大題共6小題，每小題10分，共60分）11.求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值.解：由解得駐點(diǎn)為，又所以故函數(shù)在取得極小值，極小值為12.求由曲面與曲面所圍立體的體積.解：設(shè)兩曲面所圍立體空間區(qū)域?yàn)椋?3.求微分方程的通解.解：先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解.特征方程，特征根故齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為得設(shè)解得取所以非齊次方程的特解為原方程的通解為14.其中是曲線上由點(diǎn)到點(diǎn)沿順時(shí)針方向的一段弧.解：補(bǔ)充直線記由格林公式.所以15.計(jì)算曲面積分，其中為曲面的上側(cè).解：補(bǔ)充平面取下側(cè)，記圍成的閉區(qū)域?yàn)?而，故16.求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).解：，所以收斂半徑而時(shí)，冪級(jí)數(shù)為,發(fā)散.時(shí)，冪級(jí)數(shù)為,收斂.故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?設(shè)，則兩邊積分得又故三、證明題：（本大題共2小題，每小題5分，共10分）17.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)收斂.證明：設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為，它的和為.由級(jí)數(shù)收斂，有，所以.由收斂數(shù)列的局部有界性，當(dāng)時(shí)，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂有，當(dāng)時(shí)，,有，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法知收斂，所以,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法知級(jí)數(shù)收斂.18.設(shè)函數(shù)由方程所確定，其中，都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).證明:.證明：設(shè)，則，，.故，，所以.試卷二一、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．已知函數(shù)，則.2.微分方程滿足的特解為.3．函數(shù)在點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)等于.4．級(jí)數(shù)是條件收斂、絕對(duì)收斂,還是發(fā)散？絕對(duì)收斂.5．展開成的冪級(jí)數(shù)為.6.設(shè)是面的圓周的順時(shí)針方向，則.7．螺旋線在點(diǎn)的切線方程為.8.曲面在點(diǎn)處的一個(gè)法向量為.9.設(shè)為球面，則.10.設(shè)是以為周期的函數(shù),其傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)記為，則.二、計(jì)算題：（本大題共6小題，每小題10分，共60分）11.求級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)，并求.解：，級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，故.12.計(jì)算曲面積分，其中為曲面的上側(cè).解：補(bǔ)充平面方向向下，它在平面上的投影為記和所圍成區(qū)域?yàn)?，由高斯公式得而所?3.求由曲面與曲面所圍立體的體積.解：立體在面的投影區(qū)域?yàn)椋篌w積.也可用截面法14.求微分方程的通解.解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：解得特征根故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入原方程得令代入上式得故非齊次方程特解為故原方程通解為15.求函數(shù)的極值點(diǎn)及極值.解：解得駐點(diǎn)為此時(shí)且故為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值16.計(jì)算其中是由點(diǎn)沿曲線到點(diǎn),再沿軸到點(diǎn)的曲線.解：設(shè)點(diǎn)，補(bǔ)線記由閉曲線圍成的區(qū)域?yàn)?，由格林公?.所以三、證明題：（本大題共2小題，每小題5分，共10分）17.設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又，證明：證明：因?yàn)樗运?8.若與都收斂，且，試證收斂.證明：因?yàn)?，所以而與都收斂，所以收斂.由比較審斂法有收斂.而，故收斂.試卷三一、填空題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.微分方程的通解為.2．已知函數(shù)，則.3．函數(shù)在點(diǎn)處的梯度.4．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是條件收斂、絕對(duì)收斂,還是發(fā)散？條件收斂.5．函數(shù)展開成麥克勞林級(jí)數(shù)為.6．橢圓拋物面的平行與平面的切平面方程為.7.已知曲線，則曲線積分.8.已知積分區(qū)域D為，則.9.設(shè)是以為周期的函數(shù),其傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)記為，則.10.設(shè)為在第一卦限部分，則.二、計(jì)算題：（本大題共6小題，每小題10分，共60分）11.求函數(shù)在條件下的最值.解：作拉格朗日函數(shù)，解得，，，是函數(shù)唯一的極值點(diǎn)，即為最值點(diǎn)，從而求得最值為.12.計(jì)算其中是拋物線上由點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧.解：取記所圍的區(qū)域?yàn)?，又所?3.計(jì)算二次積分.解：原式=14.計(jì)算曲面積分，其中為下半球面的上側(cè).解：補(bǔ)充平面方向向下，且它在平面上的投影為記和所圍成區(qū)域?yàn)?，由高斯公式得所?5.求級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).解：，該級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楹秃瘮?shù)所以16.求微分方程的通解.解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：解得特征根對(duì)應(yīng)齊次方程通解為設(shè)非齊次方程特解為代入原方程得令代入上式得非齊次方程特解為原方程通解為三