新教材人教b版必修第二冊(cè) 增長(zhǎng)速度的比較

增長(zhǎng)速度的比較

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長(zhǎng)規(guī)律的函數(shù)模型.2.了解線性增長(zhǎng)、爆炸式

增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等增長(zhǎng)含義.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

-----------N-----------

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的平均變化率

函數(shù)y=/(x)從即到及的平均變化率

Av

(1)定義式:

Ax及一即

(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比.

(3)意義：刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間g,及1上變化的快慢.

(4)平均變化率的幾何意義:

設(shè)A(xi，/Ui)),8(x2，兀⑵)是曲線y=/(x)上任意不同的兩點(diǎn),

△y凡應(yīng))一/1)於1+-)-段1)

函數(shù)y=/U)的平均變化率

AxX2~~X\Ax

為割線A8的斜率,如圖所示.

提醒Ar是變量及在xi處的改變量，且及是xi附近的任意一點(diǎn)，即Ar=X2—MWO,但Ar

可以為正，也可以為負(fù).

知識(shí)點(diǎn)二三種常見(jiàn)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異

函數(shù)y=axy=\ogaXy=kx

性（〃>1）（。>1）（心>0）

在(0,+8)上

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

的增減性

隨X的增大逐漸隨X的增大逐漸趨于

圖像的變化隨X的增大勻速上升

變“陡”“平緩”

增長(zhǎng)速度的增長(zhǎng)速度快于y=Ax,y—kx的增長(zhǎng)速度快于y=lo&>x

增長(zhǎng)后果必存在一個(gè)xo，當(dāng)x>xo時(shí)，有，尸,fcr>log/

-思考辨析判斷正誤-

1.函數(shù)yu%**3比y=2*增長(zhǎng)的速度更快些.（X）

2.函數(shù)y=log】X衰減的速度越來(lái)越慢.（V）

2

3.能用指數(shù)型函數(shù)_/（x）=a"+c（a,b,c為常數(shù)，a>0,6>1）表達(dá)的函數(shù)模型，稱為指數(shù)型的

函數(shù)模型，也常稱為“爆炸型”函數(shù).（J）

4.由于指數(shù)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度最快，所以對(duì)于任意xdR恒有/>2x（a>l）.（X）

題型探究探究重點(diǎn)提升素養(yǎng)

--------------------------N--------

一、平均變化率的比較

例1⑴在x=l附近，取AJC=,在四個(gè)函數(shù)①尸筋②y=/；?y=x3；④尸;中，平均變

化率最大的是（）

A.?B.③C.②D.①

（2）汽車行駛的路程s和時(shí)間r之間的函數(shù)圖像如圖所示，在時(shí)間段［而，川，［小目，陸，R

上的平均速率分別為。I，。2,。3,則三者的大小關(guān)系為.

答案（1）B（2）V3>V2>Vl

解析（l）Ax=時(shí)，①y=x在x=l附近的平均變化率h=l;②y=N在x=l附近的平均變化

率％2=2+Ar=;③丫=3在x=l附近的平均變化率依=3+3Av+（Ax）2=；④y=^在x=l附

近的平均變化率公=一號(hào)「=一!|所以依乂2>心>乩

1十Ax13

eXn)—5(r)

(2)V[—0—koA,

力一fo

tl-t\

S（t3）-S（t2）

3-—；；—kuc,

ty-ti

又因?yàn)閗nc>kAH>koA,所以。3>。2溝.

反思感悟求平均變化率的主要步驟

⑴求Ay=/（X2）—X%i）.

（2）求\x=X2~X\.

(3)求平均變化率好叵也.

zX2-X\

跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)次幻=爐在X0到xo+Ax之間的平均變化率為由，在X0—Ar到松之間的

平均變化率為心，則心，心的大小關(guān)系是()

A.k\<kiB.k\>ki

C.k[=k?D.無(wú)法確定

答案D

4-,X-VO+AA-)~X.ro)

解2析i[k、—z—2xo+Ax,

,./(xo)—.*X0—Ax)1_

k?——2xo-Ax,

又Ax可正可負(fù)且不為零，

所以21,42的大小關(guān)系不確定.

⑵如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間0到h范圍內(nèi)，路程的變化情況，下列說(shuō)法正確的是

.(填序號(hào))

①在0到fo范圍內(nèi)，甲的平均速率大于乙的平均速率;

②在0到犯范圍內(nèi)，甲的平均速率小于乙的平均速率;

③在力到人范圍內(nèi)，甲的平均速率大于乙的平均速率;

④在如到。范圍內(nèi)，甲的平均速率小于乙的平均速率.

答案③

解析由圖像知,°?r。范圍：。單=0'=”

S2-SOSi—SO

而?八迅圍：v甲=二~V乙=二~

t\—tot\—to

因?yàn)榧?jí)―$0>Sl—So,力一屈>0,

所以。目>0乙,所以③正確.

二、幾類函數(shù)模型增長(zhǎng)差異的比較

例2於)=/,g(x)=2Lft(x)=log2x,當(dāng)x￡(4,+8)時(shí),對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較,

下列選項(xiàng)中正確的是()

A.J(x)>g(x)>h(x)B.g(x)次

c.g(x)>//a)次x)D.yu)>〃(x)>g(x)

答案B

解析由函數(shù)性質(zhì)可知，在區(qū)間(4,+8)上，指數(shù)函數(shù)g(x)=2*增長(zhǎng)最快，對(duì)數(shù)函數(shù)力(》)=

lOg2X增長(zhǎng)最慢，所以.

反思感悟常見(jiàn)的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)

(1)線性函數(shù)模型

線性函數(shù)模型)，=履+/%>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是“直線上升”，其增長(zhǎng)速度不變.

(2)指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型y=a'(d>l)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，即增

長(zhǎng)速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型

對(duì)數(shù)函數(shù)模型y=k>g?x(a>D的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢，

即增長(zhǎng)速度平緩.可稱為“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”.

跟蹤訓(xùn)練2(1)下列函數(shù)中函數(shù)值隨x的增大而增長(zhǎng)，且函數(shù)值增長(zhǎng)速度最快的是()

310V

A.B.yulOlnxC.y=xD.y=10-2

答案A

解析因?yàn)閑>2,所以東比102增長(zhǎng)速度快.

(2)四個(gè)變量》，”，券，以隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：

X151015202530

V226101226401626901

72232102432768xio6X107X109

2102030405060

2

關(guān)于x呈指數(shù)級(jí)變化的變量是.

答案”

解析以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)級(jí)變化.

從表格中可以看出，四個(gè)變量力,”，”，明均是從2開(kāi)始變化，變量yi,y>2,J3,>4都是越

來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量)，2的增長(zhǎng)速度最快，畫(huà)出它們的圖像(圖略)，可知變

量”關(guān)于X呈指數(shù)函數(shù)變化.

三、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)模型的比較

例3函數(shù)1Ax)=2'(x>0)和g(x)=x2(x>0)的圖像如圖所示.設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點(diǎn)4(X1，%),

B(X2，)'2)，且加42.

⑴請(qǐng)指出圖中曲線G，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；

(2)求點(diǎn)A,8的坐標(biāo)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖像,判斷火3),g(3),右2021),g(2021)的大小.

解(1)G對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x2(x>0),C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為兀0=2也>0).

(2)因?yàn)閄2)=4,g(2)=4,44)=16,§(4)=16,

所以4(2,4),8(4,16).

(3)由圖像和(2)可知，

當(dāng)0a<2時(shí)，危)〉g(x),

當(dāng)2<r<4時(shí)，fix)<g[x),

當(dāng)x>4時(shí)，危)>g(x),

所以42021)>g(2021),?vg⑶,

又因?yàn)間(x)在(0,+8)上為增函數(shù),

所以g(2021)>g(3),

故火2021)>g(2021)>g(3)次3).

反思感悟指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長(zhǎng)差異的判斷方法

⑴根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對(duì)函數(shù)增長(zhǎng)模型進(jìn)行判斷.

(2)根據(jù)圖像判斷指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的增長(zhǎng)速度時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖像上升的

快慢，即隨著自變量的增大，圖像最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖像趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)

函數(shù).

跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)式x)=lgx,g(x)=x—l的圖像如圖所示.

(1)指出曲線C”C2分別對(duì)應(yīng)題中哪一個(gè)函數(shù)；

(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖像交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)為0,g(x)的大小進(jìn)行比較).

解(1)G對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)=x—1,

C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為兀v)=lgx.

(2)當(dāng)xG(0,xi)時(shí)，g(x)次r)；

當(dāng)XC(X1,松)時(shí)，g(X)勺(X)；

當(dāng)Xd(X2,+8)時(shí)，g(X)>J(X).

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.函數(shù)），=2x在區(qū)間由，xo+Ax］上的平均變化率為（）

A.xo+AxB.1+AJV

C.2+AxD.2

答案D

解析由題意，可得平均變化率

/xo+Ax）一兒孫）2（xo+Ax）-2xo。

Ax=Ax=2,

2.下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是（）

A.y=2020，B.>=*202°

C.y=log202ftxD.y=2020x

答案A

解析比較嘉函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快.

3.如果函數(shù)>=以+6在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為3,則a的值為（）

A.-3B.2C.3D.-2

答案C

解析根據(jù)平均變化率的定義,

△Y(2a+%)—(a+Z?)

可知:=a=3.

zkr-2-1

4.yi=2',yi=xi>>3=log2X,當(dāng)2a<4時(shí)，有（）

A.ji>j2>y3B.y2>yi>y3

C.yi>y?>y2D.yi>y3>y\

答案B

解析在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這三個(gè)函數(shù)的圖像（圖略），在區(qū)間（2,4）內(nèi)，從上到下圖

像依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為刃=/，y\—2x,y3=log>,故丫2>巾>”.

5.某跨國(guó)飲料公司在對(duì)全世界所有人均GDP在?8千美元的地區(qū)銷售該公司4飲料的情況

調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GDP處于中等的地區(qū)銷售量最多，然后向兩邊遞減.給出下列

幾個(gè)模擬函數(shù)：

?y=ax2+bx；?y=kx+b；③y=log?x+b；?y=cf+b（x表示人均GDP,單位：千美元，y

表示年人均A飲料的銷售量，單位：L）.

用來(lái)描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系最合適的函數(shù)模型是.（填序號(hào)）

答案①

解析用①來(lái)模擬比較合適.因?yàn)樵擄嬃显谌司鵊DP處于中等的地區(qū)銷售量更多，然后向

兩邊遞減.而②③④表示的函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以②③④都不合適，故用①來(lái)模擬

比較合適.

-課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

三種函數(shù)模型：線性函數(shù)增長(zhǎng)模型、指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)模型、對(duì)數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)模型.

2.方法歸納：數(shù)學(xué)建模.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：不理解三種函數(shù)增長(zhǎng)的差異.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練-------注-重-雙-基強(qiáng)、-化-落-實(shí)

X基礎(chǔ)鞏固

1.函數(shù)y=/+l在［1/+Ax］上的平均變化率是()

A.2B.2x

C.2+△犬D.2+(Ax)2

答案C

(1+Ar)2—I2

解析依題意，所求平均變化率為仁魯-L=2+AX.

2.已知函數(shù)y=/(x)=x2+l,則在x=2,Ax=時(shí)，Ay的值為()

A.B.

C.D.

答案B

解析Ay=Xx+Ax)-/x)=/2+0.1)-X2)

=(2.1/+1—(22+1)=0.41.

3.我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1999年到2019年的20年間翻了兩番，設(shè)平均每年的增長(zhǎng)率為x,

則有()

A.(l+x),9=4B.(l+x)20=3

C.(1+X)2°=2D.(1+X)2°=4

答案D

解析本題為增長(zhǎng)率模型函數(shù)，為指數(shù)型函數(shù)形式.

設(shè)1999年總產(chǎn)值為1,則(1+X)20=4.

4.一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移s(單位：m)與時(shí)間f(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為

且這一物體在2W/W3這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為26m/s,則實(shí)數(shù)，"的值為()

A.2B.1C.-1D.6

答案B

解析由已知，得誓乎=26,

3—2

即(5X32+3m)—(5X22+2,*)=26,解得機(jī)=1.

5.(多選)4,B兩公司開(kāi)展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開(kāi)始后兩公司的用電量必⑺，WB")與時(shí)間f(天)

的關(guān)系如圖所示，則一定有()

A.兩公司節(jié)能效果一樣好

B.A公司比8公司節(jié)能效果好

C.4公司的用電量在［0,⑹上的平均變化率比8公司的用電量在［0,⑹上的平均變化率大

D.A公司與B公司自節(jié)能以來(lái)平均變化率都小于0

答案BD

解析由題圖可知，4公司所對(duì)應(yīng)的圖像比較陡峭，B公司所對(duì)應(yīng)的圖像比較平緩，且用電

量在［0,⑹上的平均變化率都小于0,故一定有月公司比B公司節(jié)能效果好.

6.若函數(shù)段)在任意區(qū)間內(nèi)的平均變化率均為且函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,2),則於)=.

答案5+1

解析因?yàn)楹瘮?shù)1x)在任意區(qū)間內(nèi)的平均變化率均為今則_/u)為一次函數(shù)，設(shè)

又函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(2,2),所以2=^X2+6所以6=1,所以兀v)=&+l.

7.如圖所示，函數(shù)丫=於)在次”X2］，以2,對(duì)，［X3,閡這幾個(gè)區(qū)間上，平均變化率最大的一

個(gè)區(qū)間是.

X。x2x3X4X

答案［X3，X4］

解析由平均變化率的定義可知，函數(shù)y=/U)在區(qū)間［汨，X2］,［X2,屈］,次3,工4］上的平均變

化率分別為酗二空",於立二叁W四二&立，結(jié)合圖像可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)),=/)的平均變化率

X2~X\X3—X2X4—X3

最大的一個(gè)區(qū)間是由，X4］.

8.已知函數(shù)式x)=3*,g(x)=2x,當(dāng)xER時(shí)，風(fēng)門(mén)與g(x)的大小關(guān)系為.

答案人x)>g(x)

解析方法一在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)1》)=3。g(x)=2r的圖像，如圖所示，由于函

數(shù)_/U)=3'的圖像在函數(shù)g(x)=2x圖像的上方，則兀r)>g(x).

A3°-34Ap

方法二分別計(jì)算7U),g(x)在區(qū)間［4,8］上的平均變化率得，*=、H=34X20=1620,筆

ZAAo4LJJC

2xQ-7X4

=~-=2,因此在區(qū)間［4,8］上，7U)的平均變化率最大，故必有段)>g(x).

o-4

9.已知函數(shù)凡《)=2%2+3,g(x)=2x2+x,h(x)=2x2—x,分別計(jì)算這三個(gè)函數(shù)在區(qū)間［2,3］上的

平均變化率，并比較它們的大小.

物閨名母人一?

解因?yàn)橐?一3)2)

2X32+3-(2X22+3)18—8

=5=1=10)

△gg(3)—以2)2X32+3-(2X22+2)

Ax-3-2-1-11)

△h/?(3)—/?(2)2X32—3—(2X22—2)

Ax=3-2=1=%

11>10>9,因此在區(qū)間［2,3］上，g(x)的平均變化率最大,〃(x)的平均變化率最小.

10.某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示.

比較時(shí)間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時(shí)間體溫變化較

快？

解當(dāng)時(shí)間x從。min變到20min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為

-39一.

20-0=20=-(C/m，n):

當(dāng)時(shí)間x從20min變到30min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為

38——

30—20=而=_(C/mm).

這里負(fù)號(hào)表示體溫下降，顯然，絕對(duì)值越大，下降得越快，又因?yàn)閨-0.025|<|-0.05|,故體溫

從20min到30min這段時(shí)間下降得比0min到20min這段時(shí)間要快.

力綜合運(yùn)用

11.已知四個(gè)函數(shù)：①尸》；②y=2*；③尸禹(4)y=p其中在區(qū)間［2,4］上的平均變化率最

大的是()

A.@B.③C.②D.①

答案B

4—2

解析對(duì)于函數(shù)①y=x,其在區(qū)間［2,4］上的平均變化率為==1；對(duì)于函數(shù)②y=2',其在

24—22

區(qū)間［2,4］上的平均變化率為工"=6；對(duì)于函數(shù)③y=^,其在區(qū)間［2,4］上的平均變化率為

43—2314-21

二二7=28；對(duì)于函數(shù)④產(chǎn)巳其在區(qū)間［2,4］上的平均變化率為一=—/

12.函數(shù)丫=/在x=l,2,3附近的平均變化率中，在彳=附近的平均變化率最大.

答案3

解析在x=l附近的平均變化率為

MXl+Ax)-/1)(1+AX)2-1

Ax=以一=—以—=2+心；

在x=2附近的平均變化率為

Af7(2+Ax)—/(2)(2+Ax)2—22

A=-----7------=-----7-----=4+Ax；

AxAxAx

在x=3附近的平均變化率為

AfX3+Ax)-X3)(3+Ax)2—32

Ar=晨—=—&—=6+AX

對(duì)任意Ax有，ki<k2<k3,

...在x=3附近的平均變化率最大.

13.在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中，溫度隨著時(shí)間變化的情況由微機(jī)記錄后顯示的圖像如

圖所示.現(xiàn)給出下列說(shuō)法：

①前5min溫度增加的速度越來(lái)越快；②前5min溫度增加的速度越來(lái)越慢；③5min以后溫

度保持勻速增加；④5min以后溫度保持不變.

其中正確的說(shuō)法是.(填序號(hào))

y/X：

05//min

答案②④

解析因?yàn)闇囟葃關(guān)于時(shí)間f的圖像是先凸后平，即5min前每當(dāng)［增加一個(gè)單位，則y相應(yīng)

的增量越來(lái)越小，而5min后y關(guān)