量子力學(xué)常用積分公式

量子力學(xué)常用積分公式

(1)fx"elLXdx=-x'-em--fx"-'elKdx(n>0)

JaaJ

^QX

(2)\eaxsmbxdx=-----7(asinZ?九一〃cosbx)

Ja~+b~

(3)cosaxdx=------------(acoshx+bsrnbx)

Ja+/?

(4)[xsinaxcbc=—sinax—xcosax

Jaa

(5)xsmaxdx=—sin6rx+(———)cosax

Jaaa

(6)xcosaxdx=—cosax+—s]nax

Jaa

f2,2x,x22.

(7xcosax小=rcosar+(---------)xsin?x)

Ja-aa

-yjctx~+c4----Ip^-\l~cix+Vcix~+c)(a>0)

2T

(8)JVax2+cdx=

一yjcix~+cH----,urcsin(.1----x)(a<0)

22fVc

gsin"xdx(n=正偶數(shù))

⑼=Y

f2cos"xdx—~&(”=正奇數(shù))

J?！?！

冗八/

—{a>0)

2

/mArsindfxJ

(10)-------ax-\

JoX

71八

----(Q<0)l

2

(11))￡e~axxndx=(〃=正整數(shù),。>0)

(14)「尤2"+k1公=n!

Jo2an+'

(16)[xe~msinbxdx=—,,(a>0)

J。(a2+b2)2

產(chǎn)-axiia-b~八

xecosbxax=一；---丁丁(a>0)

J。(a2+b2)2

其次章：函數(shù)與波動(dòng)方程

［1］試用量子化條件，求諧振子的能量［諧振子勢能V(X)=,加。?/］

2

(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化條件式:，pdq=nh

在量子化條件中，令p=mx為振子動(dòng)量，夕=x為振子坐標(biāo)，設(shè)總能量E

則￡=—+m(0—p=卜的七一幽三

2m2V2

代入公式得:，砥生宇

量子化條件的積分指一個(gè)周期內(nèi)的位移,可看作振幅礪的四倍，要打算振幅a,留意在A或B

點(diǎn)動(dòng)能為0,E=L”。2a2,(［)改寫為：

2

2jmcoyla2-x2dx=nh(2)

積分得:moxTJi-nh

遍、占h乘-I--g得g

271

［乙法］也是采用量子化條件，大積分變量用時(shí)間t而不用位移X，按題意振動(dòng)角頻率為(D，直接

寫出位移工，用，的項(xiàng)表示：

求微分:弱=tZr=acocosMdt(4)

求積分：p-mx=macoc^cot(5)

將（4）（5）代量子化條件：

T是振動(dòng)周期,T=24?,求出積分，得

co

n=1,2,3正整數(shù)

#

⑵用量子化條件，求限制在箱內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子的能量，箱的長寬高分別為a,dc.

（解）三維問題，有三個(gè)獨(dú)立量子化條件,

可設(shè)想粒子有三個(gè)分運(yùn)動(dòng),每一分運(yùn)動(dòng)是自由運(yùn)動(dòng).設(shè)粒子與器壁作彈性碰撞，則每碰一次時(shí),

與此壁正交方向的分動(dòng)量變號（如-p）,其余分動(dòng)量不變，設(shè)想粒子從某一分運(yùn)動(dòng)完

成一個(gè)周期,此周期中動(dòng)量與位移同時(shí)變號,量子化條件：

=n/=2pJ：dx=2ap⑴

fP”,=”=2p"=2"⑵

tp：dq=%h=2p」：dz=2cp（3）

p,p,〃都是常數(shù)，總動(dòng)量平方p=Jp；+p；+p；總能量是:

小港產(chǎn)+（生產(chǎn)+（區(qū)內(nèi)

8/nabc

但外，孫，〃工=1,2,3正整數(shù).

#

[3]平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,求能量允許值.

（解）解釋題意:平面轉(zhuǎn)子是個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體，它的位置由一坐標(biāo)（例如轉(zhuǎn)角°）打算，它的運(yùn)動(dòng)是一種

2

剛體的平面平行運(yùn)動(dòng).例如雙原子分子的旋轉(zhuǎn).按剛體力學(xué)，轉(zhuǎn)子的

1,

角動(dòng)量I(0，但(W=夕是角速度,能量是E=

采用量子化條件，將〃理解成為角動(dòng)量,4理解成轉(zhuǎn)角夕，一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)理解成旋轉(zhuǎn)一周,

則有

Jpdq=￡\cod(p=2TAO>=nh(1)

⑴說明。是量子化的

nhnh.八?

⑵co^—^—(〃=1,2,3.....)(2)

2力I

IT“力“2為2

⑶代入能量公式，得能量量子化公式：E=±1/2=上(空)2=~_⑶

22I21

#

留有一帶電荷e質(zhì)量加的粒子在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，垂直于平面方向磁場是B*求粒子能量允許值.

(解)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓半徑是r,線速度

是叭用高斯制單位,洛倫茲與向心力平衡條件是：

Bevmv2

(1)

又采用量子化條件，令p=電荷角動(dòng)量q=轉(zhuǎn)角(p

Jpdq=￡mrvdtp=27rmrv=nh(2)

即mrv=nh(3)

由⑴(2)求得電荷動(dòng)能1Rpfin

22mc

再求運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中的磁勢能，按電磁學(xué)通電導(dǎo)體在磁場中的勢能

磁矩*場強(qiáng)=電流*線圈面積*場強(qiáng)=空土*/是電荷的旋轉(zhuǎn)頻率,八上

ccc2zrr

代入前式得

運(yùn)動(dòng)電荷的磁勢能=—BeLhn（符號是正的）

2mc

Betin

點(diǎn)電荷的總能量=動(dòng)能+磁勢能=E=^—（〃=1,2,3）

2mc

#

[5]對高速運(yùn)動(dòng)的粒子（靜質(zhì)量加）的能量和動(dòng)量由下式給出：

試依據(jù)哈密頓量H=E=6汽4+c2P2（3）

及正則方程式來檢驗(yàn)以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計(jì)算速度

并證明它大于光速.

?QH

（解）依據(jù)（3）式來組成哈氏正則方程式組:q=--，本題中q,=叭〃,.=p,因而

*Pi

v=-y]m2c4+c2p~=icP-------（4）

6py]m2c4+c2p2

從前式解出p（用v表示）即得到（2）.又若將（2）代入（3）,就可得到（1）式.

其次求粒子速度v和它的物質(zhì)波的群速度UG間的關(guān)系?運(yùn)用德氏的假設(shè)：P=M于（3）式

右方，又用石=力0于（3）式左方，遍除/?:

依據(jù)波包理論，波包群速度“J是角頻率丟波數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：

最終一式依據(jù)（4）式等于粒子速度V,因而以=丫。

又按一般的波動(dòng)理論，波的相速度是由下式規(guī)定

=uA——（v是頻率）

「k

米用（5）式得知

故相速度（物質(zhì)波的）應(yīng)超過光速。

最終找出必和V/,的關(guān)系，將（1）（2）相除，再運(yùn)用德氏波假設(shè):

E_tlCD_c2_c2巨⑺

V

PhkVVc'P

VG

#

［6］（1）試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律

（2）光的波動(dòng)論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出下述非難：

如認(rèn)為光是粒子，則其運(yùn)動(dòng)遵守最小作用量原理可必//=0認(rèn)為pmv則

bjpdl=0這將導(dǎo)得下述折射定律

這明顯違反試驗(yàn)事實(shí)，即使考慮相對論效應(yīng)，則對自由粒子：p=與Ev仍就成立，E是

粒子能量，從一種媒質(zhì)到另一種媒質(zhì)E仍不變，仍有bJpd/=O,你怎樣解決沖突？

（解）甲法：光線在同一勻稱媒質(zhì)中依直線傳播，因此自定

點(diǎn)A到定點(diǎn)B的路徑是兩段直線：光程

設(shè)A,B到界面距離是a,b（都是常量）有

又AB沿界面的投影c也是常數(shù)，因而［J存在約束條件:

“吆2+M。2=。<2）

求（1）的變分，而將傘］，。2看作能獨(dú)立變化的，有以下極值條件

次=〃asec@rga［a+〃*sec?吆儂da=0（3）

2+bd=Sc=Q

再求⑵的變分aseca\dax^aia2

⑶與⑷消去dq和/得

［乙法］見同一圖，取x為變分參數(shù)，取0為原點(diǎn)，則有：

n,x6xn（c-x）&c

求此式變分，令之為零，有：81=/-普=0

，la2+x2揚(yáng)+（c-x）2

這個(gè)式子從圖中幾何關(guān)系得知，就是(5).

(2)按前述論點(diǎn)光若看作微粒則粒子速度u應(yīng)等于光波的群速度y；G光程原理作

22

=0,依前題相速y=J，而VG=J=c〃,〃是折射率,〃是波前陣面更引起的，而

PVG'V,,

波陣面速度則是相速度V.,這樣最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.

前一非難是將光子的傳播速度V看作相速度V。的誤會(huì).

#

[7]當(dāng)勢能V(1)轉(zhuǎn)變一常量C時(shí)，即V(F)fV(刃+c,粒子的波函數(shù)與時(shí)間無關(guān)部分變

否?能量本征值變否？

(解)設(shè)原來的薛定瑞方程式是

號+―-=0將方程式左邊加減相等的量C-得：

dxh

12

-^+-^{[￡+C]-[V(x)+C]}^=0

dxn

這兩個(gè)方程式從數(shù)學(xué)形式上來說完全相同，因此它們有相同的解必x),

從能量本征值來說，后者比前者增加了Co

#

[8]設(shè)粒子勢能的微小值是E“>Vmin

(證)先求粒子在某一狀態(tài)中的平均值能量E

其中動(dòng)能平均值肯定為正:

*2

方2%2

-------+——fffi//dr

2m2m”)

_方2方2

用高斯定理：〒=一3—j](/V?加+一-J”▽頓

B一

中間一式的第一項(xiàng)是零，由于〃假定滿意平方可積條件,因而7>0因此三+±>V,能

讓能量平均值V>ymm因此后〉令“=(本征態(tài))則豆=E，而

方〉V.得證

JL^nVmin

#

[9]設(shè)粒子在勢場V(r)中運(yùn)動(dòng)⑴證明其能量的平均值

—CI?方2

^-.E=\wdx2=[[一心(1)

JJ2m

其中W是能量密度(2)證明能量守恒公式

dW-

—+V-S=O(2)

dt

其中5=-—(^V+-^V/)(能流密度)

2mdtdt

A方2

(證明)(1)三維粒子的能量算符是『VZ"+v”(3)

2m

求方在狀態(tài)-中的平均值

由于y'v?中=V(TW)-,將此式代入前一式：

最末一式按高斯定理化為面積分

若中滿意平方可積條件，則lim+*v+=。，s考慮為無限遠(yuǎn)處的界面。結(jié)果證得公式⑴

r—>8

⑵求⑴式中能量密度W的時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)，留意甲。5*一般都含時(shí)間，▽中,▽甲*也是如

^\JLJO4-2

此，因而：—=—{—VT*VT+T*VT}

dtdt2m

粒子滿意含時(shí)間薛定謗方程及其共加方程式：

-力2a卬*a叩

又設(shè)s三——[-—?▽++則有

2mdtdt

公式⑵得證。

[10]設(shè)N個(gè)粒子的哈密頓量為：

人-次勿：+1>麻--動(dòng)⑴

/=1乙"1i=l

甲齒弓…幾/)是它的任一態(tài)函數(shù)，定義:

p(rj)=^p,.(rj)(2)

7(r,r)=^7,.(r,Z)(3)

求證：吆+▽?］=()⑷

dt

［證明］按定義:

dtdti

=EPGJ)⑸

i

多粒子的體系的狀態(tài)中/弓??斤N，。應(yīng)滿意多粒子薛定謂方程式，寫出這個(gè)方程式和其共軌

印P方2

方程式：加方中-，)”力中(6a)

Y

、一初三=Z(—^V/)+*+Z%+*(6b)

Stk2mV

將前二式等式右方的式子代替左方的?，—,代進(jìn)式⑸

dtdt

--------------⑺

又待證的公式的等號左方其次項(xiàng)是：

等=Z警=ZJ……也X￡言v*.(￥%+-"￥*)-

-------------------------------------------------(9)

將⑼式兩個(gè)求和合一，留意到iw%的項(xiàng)不存在，因而⑻⑼等值異號。

［⑴設(shè)當(dāng)與凡是薛定娉方程式兩個(gè)解，證明川＞:(』)％(無與時(shí)間無關(guān)。

T

［證明］試將此式對時(shí)間求偏導(dǎo)數(shù)，再采用中\(zhòng),中2所滿意的薛定瑞方程式，有：

因—桁分甲、匕為2-\72+*1+VT*1

dt2m

最終一道等號是采用高斯定理將題給的體積分(T)變換成(T)的包圍面S的面積分，

若甲”W2滿意平方可積條件

等，可使這面積分等于零。所以體積分1/)%(匕。公3是與時(shí)間無關(guān)的。

T

#

［12J考慮單粒子的薛定瑞方程式：

V”V2為實(shí)函數(shù)，證明粒子的幾率不守恒。求出在空間體積。內(nèi)，粒子幾率“丟失”或“增

加”的速率。

解：要證明幾率不守恒，可以計(jì)算總幾率的時(shí)間變化率，先考察空間肯定體積Q中粒子

消失的總幾率，按Born假設(shè)，總幾率是

求總幾率的時(shí)間變化率

(1)

vzi-Lyv/**

再依據(jù)薛定謗方程式和其共朝方程式求出q二和有

dtdt

0/力，1

,VV-[V,+/V]^

~dt+2

2mim(2)

方1

——▽卯*一[vwj*

.dt2mihi12

將（2）代入（1）,化簡后得

采用高斯定理將右方第一項(xiàng)變形：

=/一/*）.曲+-JJJ/*匕叱x(3)

c2mi力c

假如粒子的運(yùn)動(dòng)范圍是無限的，并且符合平方可積條件，則在無限遠(yuǎn)處產(chǎn)一＞0,

▽盧?盧*f0,因而（3）式的面積分等于0。

笥=匕（X）%，(4)

4T）

這證明總幾率尸=燈3%不守恒，由于?。0。

Q初

假如考察有限體積Q之內(nèi)總幾率的變化率，令:

（3）式改寫為：

冷-1P,。TIff-*匕⑴〃八(5)

J是空間Q內(nèi)粒子幾率削減或增加的速度右方—是指。的包圍面s上幾率流

dt

淌的速度（流進(jìn)或流出），右方指由虛數(shù)勢能引起的，附加的幾率變化

力Q

速率，題目所指的是這一項(xiàng)。

[13]對于一維自由運(yùn)動(dòng)粒子，設(shè)”（x,0）=3（幻求M（x,f）「o

（解）題給條件太簡潔，可以假設(shè)一些合理的條件，既然是自由運(yùn)動(dòng)，可設(shè)粒子動(dòng)量是

p，能量是E,為了能代表一種最普遍的一維自由運(yùn)動(dòng)，可以認(rèn)為粒子的波函數(shù)是個(gè)波包（很

多平面波的疊加），其波函數(shù)：

〃（即。(1)

這是一維波包的通用表示法，是一種福里哀變換，上式若令f=0應(yīng)有

(2)

但按題意，此式等于6（x）。但我們知道一維5函數(shù)一種表示是:

1產(chǎn)

抬）="一e*'dk(3)

將（2）（3）二式比較：知道上=",并且求得°（p）=^^,于是（1）成為

力、2兀卜

1產(chǎn)^-(px-Ei)

…=茄&「dP(4)

這是符合初條件的波函數(shù)，但P，E之間尚有約束條件后=支二（由于是自由粒子,

2m

總能量等于動(dòng)能），代入（4）

(5)

將此式變形成高斯積分，簡潔得到所需結(jié)果:

采用積分匚

寫出共軌函數(shù)（前一式i變號）：

本題也可以用Fresnel積分表示，為此可將（6）式積分改為:

用課本公式得—(1+0,兩者相乘，可得相同的結(jié)果。

W（X,。2成

#

［14］在非定域勢中粒子的薛定謗方程式是：

a辦2

hi—^［x,r）=--V2vP（^,0+,（月落|3，t）d3x'（1）

求幾率守恒對非定域勢的要求。此時(shí)，只依靠于波函數(shù)平在空間一點(diǎn)的幾率波是否存在？

［解］按題意，是要求寫出幾率守恒的條件，從這個(gè)條件尋出V（x,/）應(yīng)遵守的要求。

幾率守恒的條件是:

%*理+也中

或3X'=Q(2)

nQdtdt

與［13］題類似，可寫出川的共軌方程式:

-hi—^(x,r)=-—V2T*(X,r)+ff[V*(x,x)vr(x',t)d3x'(3)

dt2mJJJx，

3kp

將⑴和網(wǎng)中的——和想等同的式子代入到⑵式中去，就得到如下的條件:

dtdt

將前式等號左方第一項(xiàng)變成面積分［高斯定理］,其次項(xiàng)變成六重積分:

2加〃hi

s(4)

川川W*(焉z)V(x,元')%(亍，?！?焉/"*(焉亍)+氣'，t)\d3x-d3x'=0

Q/

前式等號左方第一項(xiàng)由于波函數(shù)平方可積條件（5*->0,5（%）-?0當(dāng)》一>8時(shí)）可消去,

因甲（元，。和%（亍，f）形式相同,xr'對易：

y

權(quán)力,力［內(nèi),x'）-V（x,元'）N*（元，x-dx'-0(5)

n/

這積分式定積分，它等于零的可能性要求被積函數(shù)為零，即：

因此丫（元，?。┍匦枋菬o，于實(shí)函數(shù)。#

［15］寫出動(dòng)量表象中的薛定瑞方程式。

［解］本題可有二中［A］含時(shí)間薛定調(diào)方程式，［B］定態(tài)薛定譚方程式。

［A］寫出含時(shí)間薛氏方程式：

a中方2

M—=----V2T+V（x）T（1）

dt2m

為將前式變換成動(dòng)量表象，可寫出含時(shí)間的表象變換式：

+伍'）=一百2萬川川君tW'd3P（2）

JJJ

（2成）r

)=力2

〃仿，t)e'r，xlhd3x(3)

為了能用（3）變換（1）式，將（1）式遍乘--^萬6寸‘〃'，對空間積分:

（2洲”2

左方變形

h3

hi---\3fffT(X,tY^'dx

拉(2洲3〃JJJ(尸

(4)

=位導(dǎo),仿，0

dt

等號右方第一積分是可以用三重積分的分部積分來變形的，這式寫成標(biāo)量：

—?—++=卜公dydz（5）

（2勵(lì)嚴(yán)2辦2&2j

計(jì)算（5）的X部分分部積分法：

o2o2

關(guān)于9，」的積分按同法計(jì)算，（5）式的結(jié)果是

dy2dz2

再計(jì)算（4）式右方其次積分

=JJJG仿，力廣，w⑺

但最終一個(gè)積分中

7指坐標(biāo)空間，J指動(dòng)量相空間，最終將（4）（6）（7）綜合起來就得到動(dòng)量表象的積分方

程式如下:

a2

初三“仿，。=3〃仿，仿，廣亞（尸，w(8)

dt2m"J

若要將定態(tài)薛定將方程式從坐標(biāo)表象變成動(dòng)量表象，運(yùn)算步驟和上面只有很少的差別，設(shè)粒

子能量為E,坐標(biāo)表象