高中數(shù)學等差數(shù)列教案新人教B版必修課件

2.2.1等差數(shù)列

整體設(shè)計

教學分析

本節(jié)課將探究一類特殊的數(shù)列一一等差數(shù)列.本節(jié)課支配2課時，第1課

時是在生活中詳細例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念，接著用不完全歸納法歸

納出等差數(shù)列的通項公式，最終依據(jù)這個公式去進行有關(guān)計算.第2課時主要

是讓學生明確等差中項的概念，進一步嫻熟駕馭等差數(shù)列的通項公式與其推導

的公式，并能通過通項公式與圖象相識等差數(shù)列的性質(zhì).讓學生明白一個數(shù)列

的通項公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，使學生學會用圖象與通項公式的關(guān)

系解決某些問題.在學法上，引導學生去聯(lián)想、探究，同時激勵學生大膽質(zhì)疑,

學會探究.在問題探究過程中，先從視察入手，發(fā)覺問題的特點，形成解決問

題的初步思路，然后用歸納方法進行摸索，提出猜想，最終采納證明方法（或舉

反例）來檢驗所提出的猜想.其中例1是鞏固定義，例2到例5是等差數(shù)列通項

公式的敏捷運用.

在教學過程中，應遵循學生的認知規(guī)律，充分調(diào)動學生的主動性，盡可能

讓學生經(jīng)驗學問的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學習愛好，發(fā)揮他們的主觀能

動性與其在教學過程中的主體地位.使學生相識到生活離不開數(shù)學，同樣數(shù)學

也是離不開生活的.學會在生活中挖掘數(shù)學問題，解決數(shù)學問題，使數(shù)學生活

化，生活數(shù)學化.

數(shù)列在整個中學數(shù)學內(nèi)容中處于一個學問匯合點的地位，很多學問都與數(shù)

列有著親密聯(lián)系，過去學過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等學問在這一章

均得到了較為充分的應用，而學習數(shù)列又為后面學習數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容

作了鋪墊.教材實行將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數(shù)學學問

的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是在將各學問溝通方面發(fā)揮了重要作用.因此本節(jié)內(nèi)容

是培育學生視察問題、啟發(fā)學生思索問題的好素材.

三維目標

1.通過實例理解等差數(shù)列的概念，通過生活中的實例抽象出等差數(shù)列模型,

讓學生相識到這一類數(shù)列是現(xiàn)實世界中大量存在的數(shù)列模型.同時經(jīng)驗由發(fā)覺

幾個詳細數(shù)列的等差關(guān)系，歸納出等差數(shù)列的定義的過程.

2.探究并駕馭等差數(shù)列的通項公式，由等差數(shù)列的概念，通過歸納或迭加

或迭代的方式探究等差數(shù)列的通項公式.通過與一次函數(shù)的圖象類比，探究等

差數(shù)列的通項公式的圖象特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系.

3.通過對等差數(shù)列的探討，使學生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，

滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點，加強理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習愛

好.

重點難點

教學重點：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式，等差中項與性質(zhì)，會

用公式解決一些簡潔的問題.

教學難點：概括通項公式推導過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想方法，以與從函數(shù)、

方程的觀點看通項公式，并會解決一些相關(guān)的問題.

課時支配

2課時

教學過程

第1課時

導入新課

思路L（干脆導入）老師引導學生先復習上節(jié)課學過的數(shù)列的概念以與通項

公式，可有意識地在黑板上（或課件中）出示幾個數(shù)列，如：數(shù)列1,2,3,…，

數(shù)列0,0,0,…，數(shù)列0,2,4,6,…等，然后干脆引導學生閱讀教材中的實例，

不知不覺中就已經(jīng)進入了新課.

思路2.（類比導入）老師首先引導學生復習上節(jié)課所學的數(shù)列的概念與通項

公式，使學生明白我們現(xiàn)在要探討的就是一列數(shù).由此我們聯(lián)想：在初中我們

學習了實數(shù)，探討了它的一些運算與性質(zhì)，則我們能不能也像探討實數(shù)一樣，

來探討它的項與項之間的關(guān)系、運算和性質(zhì)呢？由此導入新課.

推動新課

錯誤！

錯誤！

1回憶數(shù)列的概念，數(shù)列都有哪幾種表示方法？

2閱讀教科書本節(jié)內(nèi)容中的①②③3個背景實例，熟識生活中常見現(xiàn)

象，寫出由3個實例所得到的數(shù)列.

3視察數(shù)列①②③，它們有什么共同特點？

4依據(jù)數(shù)列①②③的特征，每人能再舉出2個與其特征相同的數(shù)列

嗎？

5什么是等差數(shù)列？怎樣理解等差數(shù)列？其中的關(guān)鍵字詞是什么？

6數(shù)列①②③存在通項公式嗎？假如存在，分別是什么？

7等差數(shù)列的通項公式是什么？怎樣推導？

活動：老師引導學生回憶上節(jié)課所學的數(shù)列與其簡潔表示法一一列表法、

通項公式、遞推公式、圖象法，這些方法從不同角度反映了數(shù)列的特點.然后

引導學生閱讀教材中的實例模型，指導學生寫出這3個模型的數(shù)列：

①22,22.5,23,23.5,24,24.5,…;

②2,9,16,23,30；

③89,83,77,71,65,59,53,47.

這是由日常生活中常常遇到的實際問題中得到的數(shù)列.視察這3個數(shù)列發(fā)

覺，每個數(shù)列中相鄰的后項減前項都等于同一個常數(shù).當然這里我們是拿后項

減前項，其實前項減后項也是一個常數(shù)，為了后面內(nèi)容的學習便利，這個依次

不能顛倒.

至此學生會相識到，具備這個特征的數(shù)列模型在生活中有很多，如上節(jié)提

到的堆放鋼管的數(shù)列為100,99,98,97,…，某體育場一角的看臺的座位排列：

第一排15個座位，向后依次為17,19,21,23,…，等等.

以上這些數(shù)列的共同特征是：從第2項起，每一項與它前面一項的差等于

同一個常數(shù)（即等差）.這就是我們這節(jié)課要探討的主要內(nèi)容.老師先讓學生試

著用自己的語言描述其特征，然后給出等差數(shù)列的定義.

等差數(shù)列的定義：一般地，假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項

的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公

差，公差通常用字母d表示.

老師引導學生理解這個定義：這里公差d肯定是由后項減前項所得，若前

項減后項則為一d,這就是為什么前面3個模型的分析中總是說后項減前項而不

說前項減后項的緣由.明顯3個模型數(shù)列都是等差數(shù)列，公差依次為0.5,7,

-6.

老師進一步引導學生分析等差數(shù)列定義中的關(guān)鍵字是什么？（學生在學習

中常常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確、深化地理解和

駕馭概念的重要條件，這是學好數(shù)學與其他學科的重要一環(huán).因此老師應當教

會學生如何深化理解一個概念，以培育學生分析問題、相識問題的實力）

這里“從其次項起”和“同一個常數(shù)”是等差數(shù)列定義中的核心部分.用

遞推公式可以這樣描述等差數(shù)列的定義：對于數(shù)列仆，若一T=d(d是與n無關(guān)

的常數(shù)或字母)，nN2,neN*,則此數(shù)列是等差數(shù)列.這是證明一個數(shù)列是等

差數(shù)列的常用方法.點撥學生留意這里的“n22”，若n包括1,則數(shù)列是從

第1項向前減，明顯無從減起.若n從3起先，則會漏掉az—ai的差，這也不

符合定義，如數(shù)列1,3,4,5,6,明顯不是等差數(shù)列，因此要從意義上深刻理解

等差數(shù)列的定義.

老師進一步引導學生探究數(shù)列①②③的通項公式，學生依據(jù)已經(jīng)學過的數(shù)

列通項公式的定義，視察每一數(shù)列的項與序號之間的關(guān)系會很快寫出：①=21.5

+0.5n,②=7n—5,③=—6n+95.

以上這幾個通項公式有共同的特點，無論是在求解方法上，還是在所求的

結(jié)果方面都存在很多共性.老師點撥學生探求，對隨意等差數(shù)列alfa2,

as,…，，…，依據(jù)等差數(shù)列的定義都有：

0^2—3.1—d,

33-a2=d,

一=d，

所以a2=a1+d,

a3=a?+d=(a1+d)+d=ai+2d,

a4=a3+d=(a)+2d)+d=ai+3d.

學生很簡潔猜想出等差數(shù)列的通項公式=a+(n—l)d后，老師適時點明：

我們歸納出的公式只是一個猜想，嚴格的證明須要用到后面的其他學問.

老師可就此進一步點撥學生：數(shù)學猜想在數(shù)學領(lǐng)域中是很重要的思索方法,

后面還要特地探究它.數(shù)學中有很多聞名的猜想，如哥德巴赫猜想常被稱為數(shù)

學皇冠上的明珠，對于它的證明中國已處于世界領(lǐng)先地位.很多聞名的數(shù)學結(jié)

論都是從猜想起先的.但要留意，數(shù)學猜想僅是一種數(shù)學想象，在未得到嚴格

的證明前不能當作正確的結(jié)論來用.這里我們歸納猜想的等差數(shù)列的通項公式

=ai+(n—l)d是經(jīng)過嚴格證明白的，只是現(xiàn)在我們學問受限，無法證明，所以

說我們先承認它.激勵學生只要創(chuàng)新探究，獨立思索，也會有自己的新穎發(fā)

覺.

老師依據(jù)教學實際狀況，也可引導學生得出等差數(shù)列通項公式的其他推導

方法.例如：

方法一(疊加法)：???{}是等差數(shù)列，

??--1=d,

-i--2=d,

-2--3=d,

a2-a1—d.

兩邊分別相加得一ai=(n—l)d,

所以=ad(n—l)d,

方法二(迭代法)：｛｝是等差數(shù)列，則有

=-i+d,

=_2+d+d

=-2+2d

=_3+d+2d

=-3+3d

=a)+(n—1)d.

所以=a1+(n—l)d.

探討結(jié)果：

⑴?(4)略.

(5)假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常

數(shù)，則這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.其中關(guān)鍵詞為“從第2項起”、“等于同一

個常數(shù)”.

(6)三個數(shù)列都有通項公式，它們分別是：=21.5+0.5n,=7n—5,=一

6n+95.

(7)可用疊加法和迭代法推導等差數(shù)列的通項公式：=a,+(n-l)d.

錯誤！

例1(教材本節(jié)例2)

活動：本例的目的是讓學生熟識公式，使學生從中體會公式與方程之間的

聯(lián)系.教學時要使學生相識到等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關(guān)于、a-d、

n(獨立的量有3個)的方程，以便于學生能把方程思想和通項公式相結(jié)合，解決

等差數(shù)列問題.本例中的(2)是推斷一個數(shù)是否是某等差數(shù)列的項.這個問題可

以看作(1)的逆問題.須要向?qū)W生說明的是，求出的項數(shù)為正整數(shù)，所給數(shù)就是

已知數(shù)列中的項，否則，就不是已知數(shù)列中的項.本例可由學生自己獨立解決,

也可做板演之用，老師只是對有困難的學生賜予恰當點撥.

點評：在數(shù)列中，要讓學生明確解方程的思路.

變式訓練

(1)100是不是等差數(shù)列2,9,16,…的項，假如是，是第幾項？假如不是,

請說明理由;

(2)—20是不是等差數(shù)列0,—3,—7,…的項，假如是，是第幾項？假如

不是，請說明理由.

解：(1)由題意，知Iat—2,d=9—2=7.因而通項公式為=2+(n—1)X7

=7n-5.

令7n—5=100,解得n=15,所以100是這個數(shù)列的第15項.

(2)由題意可知a=0,d=-3,因而此數(shù)列的通項公式為=-n+.

令-n+=—20,解得n=.因為-n+=—20沒有正整數(shù)解，所以一20不

是這個數(shù)列的項.

例2一個等差數(shù)列首項為，公差d>0,從第10項起每一項都比1大，求

公差d的范圍.

活動：老師引導學生視察題意，思索條件”從第10項起每一項都比1大”

的含義，應轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學條件？是否僅是a10>l呢？d>0的條件又說明什

么？老師可讓學生合作探究，放手讓學生探討，不要怕學生出錯.

解：???40,設(shè)等差數(shù)列為｛｝,則有aiVazVa3V…VagVaXauV…,

由題意，得錯誤！

即錯誤！錯誤！

解得VdW.

點評：本例學生很簡潔解得不完整，解完此題后讓學生反思解題過程.本

題主要訓練學生敏捷運用等差數(shù)列的通項公式以與對公差的深刻理解.

變式訓練

在數(shù)列｛｝中，已知、=1,=+(n6N*),求aso.

解：已知條件可化為一=(n￡N*),

由等差數(shù)列的定義，知｛｝是首項為=1,公差為d=的等差數(shù)列，

...=1+(50—1)X=.

??3-50=?

例3已知數(shù)列｛｝的通項公式=+q,其中p、q是常數(shù)，則這個數(shù)列是否肯

定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？

活動：要判定｛｝是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，依據(jù)一r(n

>1)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).

這事實上給出了推斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的一個方法：假如一個數(shù)列

的通項公式是關(guān)于正整數(shù)的一次型函數(shù)，則這個數(shù)列必定是等差數(shù)列.因而把

等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)聯(lián)系了起來.本例設(shè)置的“旁注”，目的是為了

揭示等差數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)特征：對于通項公式形如=+q的數(shù)列，肯定是

等差數(shù)列，一次項系數(shù)P就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.因此可以深

化學生對等差數(shù)列的理解，同時還可以從多個角度去看待等差數(shù)列的通項公式,

有利于以后更好地把握等差數(shù)列的性質(zhì).在教學時老師要依據(jù)學生解答的狀況,

點明這點.

解：當nN2時，(取數(shù)列｛｝中的隨意相鄰兩項t與(nN2))

—-i=(+q)—[p(n—1)+q]=+q—(—p+q)=p為常數(shù)，

所以｛｝是等差數(shù)列，首項a=p+q,公差為p.

點評：(1)若p=0,則｛｝是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q,q,q,….

(2)若pXO,則是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(n,)均

在一次函數(shù)y=+q的圖象上，一次項的系數(shù)是公差p,直線在y軸上的截距為

(3)數(shù)列｛｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項=+q(p、q是常數(shù))，稱其為第

3通項公式.

變式訓練

已知數(shù)列的通項公式=6n—L問這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是等差數(shù)

列，其首項與公差分別是多少？

解："一=[6(n+DT]-(6n-l)=6(常數(shù))，

，｛｝是等差數(shù)列，其首項為a=6X1—1=5,公差為6.

點評：該訓練題的目的是進一步熟識例3的內(nèi)容.須要向?qū)W生強調(diào)，若用

—T=d,則必需強調(diào)n?2這一前提條件，若用+1-=d,則可不對n進行限制.

錯誤！

1.(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項；

(2)—401是不是等差數(shù)列一5,-9,-13,…的項？假如是,是第幾項？

2.求等差數(shù)列3,7,11,…的第4項與第10項.

答案：

1.解：(1)由a,=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=8+(20-l)X(-3)

=-49.

(2)由a=-5,d=—9—(―5)=—4,得這個數(shù)列的通項公式為

=-5—4(n—1)——4n—1.

由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得一401=一如一1成立.解

這個關(guān)于n的方程，得n=100,即一401是這個數(shù)列的第100項.

2.解：依據(jù)題意可知由=3,d=7-3=4.

???該數(shù)列的通項公式為=3+(n—1)X4,

即=4n—l(n21,nGN*).

/.a.i=4X4—1=15,aio=4X10—1=39.

錯誤！

1.先由學生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學習了哪些學問？要留意的是什么？都

用到了哪些數(shù)學思想方法？你在這節(jié)課里最大的收獲是什么？

2.老師進一步集中強調(diào)，本節(jié)學習的重點內(nèi)容是等差數(shù)列的定義與通項公

式，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”.這是我們探討有關(guān)等差數(shù)列的主要動身

點，是推斷、證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列和解決其他問題的一種基本方法，

要留意這里的“等差”是對隨意相鄰兩項來說的.

錯誤！

習題2—2A組1、2.

設(shè)計感想

本教案設(shè)計突出了重點概念的教學，突出了等差數(shù)列的定義和對通項公式

的相識與應用.等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性也是本質(zhì)屬性的

精確反映和高度概括，精確地把握定義是正確相識等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的

前提條件.通項公式是項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是探討一個數(shù)列的重要工具.因

為等差數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式親密相關(guān)，因此通過函數(shù)圖

象探討數(shù)列性質(zhì)成為可能.

本教案設(shè)計突出了教法學法與新課程理念的接軌，引導綜合運用視察、歸

納、猜想、證明等方法探討數(shù)學，這是一種特別重要的學習方法；在問題探究

求解中，常常是先從視察入手，發(fā)覺問題的特點，形成解決問題的初步思路，

然后用歸納方法進行摸索，提出猜想，最終采納證明方法（或舉反例）來檢驗所

提出的猜想.

本教案設(shè)計突出了發(fā)散思維的訓練.通過一題多解，多題一解的訓練，比

較優(yōu)劣，換個角度視察問題，這是數(shù)學發(fā)散思維的基本素養(yǎng).只有在學習過程

中有意識地將學問遷移、組合、融合，激發(fā)新穎心，體驗多樣性，學懂學透,

融會貫穿，創(chuàng)新思維才能與日俱增.

（設(shè)計者：周長峰）

第2課時

導入新課

思路L（復習導入）上一節(jié)課我們探討了數(shù)列中的一個重要概念一一等差數(shù)

列的定義，讓學生回憶這個定義，并舉出幾個等差數(shù)列的例子.接著老師引導

學生探究自己所舉等差數(shù)列例子中項與項之間有什么新的發(fā)覺？比如，在同一

個等差數(shù)列中，與某一項“距離”相等的兩項的和會是什么呢？由此綻開新課.

思路2.（干脆導入）老師先引導學生回顧上一節(jié)所學的內(nèi)容：等差數(shù)列的定

義以與等差數(shù)列的通項，之后干脆提出等差中項的概念讓學生探究，由此而綻

開新課.

推動新課

錯誤！

錯誤！

錯誤！

活動：借助課件，老師引導學生先回憶等差數(shù)列的定義，一般地，假如一

個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即一T=d（n22,

neN*）,這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（通常用字

母"d”表示）.

再一起回顧通項公式，等差數(shù)列｛｝有兩種通項公式：=+（n—01'或=+

q（p、q是常數(shù)）.

由上面的兩個公式我們還可以得到下面幾種計算公差d的方法:①d=-7；

②d=；③d=.

對于通項公式的探究，我們用歸納、猜想得出了通項公式，后又用疊加法

與迭代法推導了通項公式.

老師指導學生閱讀課本等差中項的概念，引導學生探究：假如我們在數(shù)a

與數(shù)b中間插入一個數(shù)A,使三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列，則數(shù)A應滿意什么

樣的條件呢？

由定義可得A—a=b—A,即A=.

反之，若A=,則A—a=b—A,

由此可以得A=a,A,b成等差數(shù)列.

由此我們得出等差中項的概念：假如三個數(shù)x,A,y組成等差數(shù)列，則A

叫做x和y的等差中項.假如A是x和y的等差中項，則A=.

依據(jù)我們前面的探究不難發(fā)覺，在一個等差數(shù)列中，從第2項起,每一項（有

窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項.

如數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3與7的等差中項，也是1和9的等差

中項.

9是7和11的等差中項，也是5和13的等差中項.

等差中項與其應用問題的解法關(guān)鍵在于抓住a,A,b成等差數(shù)列2A=a

+b,以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標量間的等量關(guān)系或干脆由a,A,b間的關(guān)系

證得a,A,b成等差數(shù)列.

依據(jù)等差中項的概念我們來探究這樣一個問題：如上面的數(shù)列

1,3,5,7,9,11,13,…中，我們知道2a5=a3+a7=ai+a9=az+a8,則你能發(fā)覺什

么規(guī)律呢？再驗證一下，結(jié)果有a2+aio=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6.由此我們

猜想這個規(guī)律可推廣到一般，即在等差數(shù)列｛｝中，若m、n、p、qGN*且m+n=

p+q,則+=+,這個猜想與上節(jié)的等差數(shù)列的通項公式的猜想方法是一樣的,

是我們歸納出來的，沒有嚴格證明，不能說它就肯定是正確的.讓學生進一步

探究怎樣證明它的正確性呢？只要運用通項公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項為a”

則+=a1+(m-1)d+ai+(n-1)d=2a1+(m+n—2)d,

+=a1+(p-1)d+ai+(q-1)d=2a1+(p+q—2)d.

因為我們有m+n=p+q,所以上面兩式的右邊相等，所以+=+.

由此我們的一個重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列｛｝的各項中，與首末兩

項等距離的兩項的和等于首末兩項的和.另外，在等差數(shù)列中，若m+n=p+q,

則上面兩式的右邊相等，所以+=+.同樣地，我們還有：若m+n=2p,則+

=2.這也是等差中項的內(nèi)容.

我們自然會想到由+=+能不能推出m+n=p+q呢？舉個反例，這里舉個

常數(shù)列就可以說明結(jié)論不成立.

這說明在等差數(shù)列中，+=+是m+n=p+q成立的必要不充分條件.由此

我們還進一步推出+1—=(1=+2—+”即2+1=++〃這也是證明等差數(shù)列的常用

方法.

同時我們通過這個探究過程明白：若要說明一個猜想正確，必需經(jīng)過嚴格

的證明，若要說明一個猜想不正確，僅舉一個反例即可.

探討結(jié)果：(1)(2)略.

(3)假如三個數(shù)x,A,y成等差數(shù)列，則A叫做x和y的等差中項，且A=

(4)得到兩個重要結(jié)論：①在數(shù)列｛｝中，若2+i=++2(n￡N*),則｛｝是等差

數(shù)列.

②在等差數(shù)列中，若m+n=p+q(m、n、p、q^N*),則+=+.

錯誤！

例1在等差數(shù)列｛｝中，若ai+ac=9,a1=7,求a.3,a9.

活動：本例是一道基本量運算題，運用方程思想可由已知條件求出a,d,

進而求出通項公式，則a3,ag不難求出.應要求學生駕馭這種解題方法，理解

數(shù)列與方程的關(guān)系.

解：由已知，得錯誤!解得錯誤！

.?.通項公式為=21+(n—l)d=-8+5(n—1)=5n—13.

??——2f32.

點評：本例解法是數(shù)列問題的基本運算，應要求學生嫻熟駕馭，當然對學

有余力的同學來說，老師可引導探究一些其他解法，如ai+a6=a』+a3=9.

a3=9—&=9-7=2.

由此可得d=a“一a：s=7—2=5.

.?.a9=a.i+5d=32.

點評：這種解法奇妙，技巧性大，需對等差數(shù)列的定義與重要結(jié)論有深刻

的理解.

變式訓練

已知數(shù)列｛｝對隨意的P，q￡N*滿意+,=+,且a?=—6,則而等于()

A.-165B.-33C.-30D.-

21

答案：C

解析：依題意知，a2=a〕+ai=2a1，ai=a?=—3,+i=+a[=—3,

可知數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，a,o=ai+9d=-3-9X3=-3O.

例2(教材本節(jié)例5)

活動：本例是等差數(shù)列通項公式的敏捷運用.正如邊注所說，相當于已知

直線過點(1,17),斜率為-0.6,求直線在x軸下方的點的橫坐標的取值范圍.可

放手讓學生完成本例.

變式訓練

等差數(shù)列｛｝的公差dVO,且a2?a,=12,a2+a4=8,則數(shù)列｛｝的通項公

式是…()

A.=2n—2(nGN*)B.=2n+4(nGN*)

C.=-2n+12(nGN*)D.=-2n+10(n￡N*)

答案：D

解析：由題意知錯誤！錯誤！錯誤！

所以由=ai+(n—l)d,得=8+(n—1)(—2)=—2n+10.

例3已知a、b、c成等差數(shù)列，則a?(b+c),b2(c+a),c?(a+b)是否成

等差數(shù)列？

活動：老師引導學生思索a、b、c成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為什么形式的等式？

本題的關(guān)鍵是考察在a+c=2b的條件下，是否有以下結(jié)果：a2(b+c)+c2(a+

b)=2b2(a+c).老師可讓學生自己探究完成，必要時賜予恰當?shù)狞c撥.

解：Ya、b、c成等差數(shù)列，

/.a+c=2b.

又Va-(b+c)+c，(a+b)—2b-(c+a)

=a2b+a2c+J+2—2b'c—2:

=(a2b—22)+(J2b%)+(a2c+2)

=(a-2b)+(c—2b)+(a+c)

=——+2

=0,

a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(a+c).

.-.a2(b+c),b2(c+a),c“a+b)成等差數(shù)列.

點評：假如a、b、c成等差數(shù)列，常轉(zhuǎn)化為a+c=2b的形式，反之，假如

求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證a+c=2b.有時還需運用一些等價變形技巧,

才能獲得勝利.

例4在一1與7之間順次插入三個數(shù)a、b、c,使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求

此數(shù)列.

活動：老師引導學生從不同角度加以考慮：一是利用等差數(shù)列的定義與通

項；一是利用等差中項加以處理.讓學生自己去探究，老師一般不要賜予提示,

對個別探究有困難的學生可適時地給以點撥、提示.

解：(方法一)設(shè)這些數(shù)組成的等差數(shù)列為{},由已知，為=-1,a$=7,

.*.7=-l+(5-l)d,即d=2.

二所求的數(shù)列為一1,1,3,5,7.

(方法二):一1,a,b,c,7成等差數(shù)列，

，b是一1,7的等差中項，a是一1,b的等差中項，c是b,7的等差中項，

即b==3,a==l,c==5.

，所求數(shù)列為-1,1,3,5,7.

點評：通過此題可以看出，應多角度思索，多角度視察，正像前面所提出

的那樣，盡量換個角度看問題，以開闊視野，培育自己求異發(fā)散的思維實力.

變式訓練

數(shù)列。中，a3=2,a7=l,且數(shù)列｛｝是等差數(shù)列，則a”等于（）

A.-D.5

答案：B

解析：設(shè)=,則b3=,b?=,

因為｛｝是等差數(shù)列，可求得公差d=,

所以b“=b7+（11—7）d=,即a“=-1=.

例5某市出租車的計價標準為1.2元，起步價為10元，即最初的4千米（不

含4千米）計費10元.假如某人乘坐該市的出租車前往14處的目的地，且一

路暢通，等候時間為0,須要支付多少元的車費？

活動：老師引導學生從實際問題中建立數(shù)學模型.在這里也就是建立等差

數(shù)列的數(shù)學模型.引導學生找出首項和公差，利用等差數(shù)列通項公式的學問解

決實際問題.

解：依據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4時，每增加1,乘客須

要支付L2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列｛｝來計算車費.

令a=11.2表示4處的車費，公差d=1.2,貝"，當出租車行至14處時，

n=ll,此時須要支付車費a“=ll.2+（11-1）X1.2=23.2（元）.

答：須要支付車費23.2元.

點評：本例中令a,=11.2,這點要引起學生留意，這樣一來，前往14處

的目的地就相當于n=ll,這點極簡潔弄錯.

錯誤!

1.己知等差數(shù)列｛｝中，a,+a3+a5+a7=4,則az+ai+ae等于()

A.3B.4C.5D.6

2.在等差數(shù)列｛｝中,已知a】=2,a2+a3=13,則a+as+ae等于()

A.40B.42C.43D.45

答案：

1.解析：由a1+a3+a5+ar=4,知4a1=4,即a?—1.

??&2+9-4+%=3al~~3.

答案：A

2.解析：Ya2+a3=13,

,

..2a1+3d=13.

?..ai=2,Ad=3.

而a,+a$+3,6--3a$3(ai+4d)42.

答案：B

錯誤！

1.先由學生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學習了哪些學問？要留意的是什么？都

用到了哪些數(shù)學思想方法？你是如何通過舊學問來獲得新學問的？你在這節(jié)課

里最大的收獲是什么？

2.老師進一步畫龍點睛，本節(jié)課我們在上節(jié)課的基礎(chǔ)上又推出了兩個很重

要的結(jié)論，一個是等差數(shù)列的證明方法，一個是等差數(shù)列的性質(zhì)，要留意這些

重要結(jié)論的敏捷運用.

錯誤！

課本習題2—2A組5、6、7.

設(shè)計感想

本教案是依據(jù)課程標準、學生的認知特點而設(shè)計的，設(shè)計的活動主要都是

學生自己完成的.特殊是上節(jié)課通項公式的歸納、猜想給學生留下了很深的記

憶；本節(jié)課只是接著對等差數(shù)列進行這方面的探究.

本教案除了支配教材上的兩個例題外，還針對性地選擇了既具有典型性又

具有啟發(fā)性的幾道例題與變式訓練.為了學生的課外進一步探究，在備課資料

中摘選了部分備用例題與備用習題，目的是讓學生對等差數(shù)列的有關(guān)學問作進

一步拓展探究，以開闊學生的視野.

本教案的設(shè)計意圖還在于，加強數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系.這不僅有利于學問的

融會貫穿，加深對數(shù)列的理解，運用函數(shù)的觀點和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題，

而且反過來可使學生對函數(shù)的相識深化一步，讓學生體會到數(shù)學是好玩的，探

究是愉悅的，歸納猜想是令人激昂的，借此激發(fā)學生的數(shù)學學習愛好.

備課資料

一、備用例題

【例1】梯子最高一級寬33,最低一級寬為110,中間還有10級，各

級的寬度成等差數(shù)列，計算中間各級的寬度.

解：設(shè)｛｝表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知

ai=33,a12=110,n=12,所以％2=ai+(12—1)d,即得110=33+lld,解之，

得d=7.

因此a2=33+7=40,a3=40+7=47,a1=54,a5=61,%=68,a7=75,

as=82,ag=89,ai0=96,a“=103.

答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40,47,54,61,68,75,

82,89,96,103.

【例2】己知，，成等差數(shù)列，求證：，，也成等差數(shù)列.

證明：因為，，成等差數(shù)列，所以=+,化簡得2=b(a+c),所以有

+======2?.

因而，，也成等差數(shù)列.

【例3】設(shè)數(shù)列｛｝｛｝都是等差數(shù)列,且由=35,-=75,a2+b2=100,求

數(shù)列｛+｝的第37項的值.

分析：由數(shù)列｛｝｛｝都是等差數(shù)列，可得｛+｝是等差數(shù)列，故可求出數(shù)列｛十｝

的公差和通項.

解：設(shè)數(shù)列｛｝｛｝的公差分別為d?d2,則加++)—(+)=(+L)+(+L)

=&+d2為常數(shù)，所以可得｛十｝是等差數(shù)列.設(shè)其公差為d,則公差d=(a?+b2)

-(ai+bj=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10X(37-1)=-250.

所以數(shù)列｛十｝的第37項的值為一250.

點評：若一個數(shù)列未告知我們是等差數(shù)列時，應先由定義法判定它是等差

數(shù)列后，方可運用通項公式=ai+(n—l)d.但對客觀試題則可以干脆運用某些

重要結(jié)論，干脆判定數(shù)列是否為等差數(shù)列.

二、備用習題

1.已知等差數(shù)列｛｝中，a7+a9=16,%=1,則a】?的值是()

A.15B.30C.31D.64

2.在數(shù)列｛｝中3+i=3+2(nGN*),Ka2+a4+a7+a9=20,則所為()

A.5B.7C.8D.10

3.在等差數(shù)列，中，ai+3a8+a15=120,則3ag—a”的值為()

A.6B.12C.24D.48

4.已知方程(x2—2x+m)(x2—2x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差

數(shù)列，則一等于（）

A.1

5.在等差數(shù)列｛｝中，a$=3,%=—2,則aa+a5+…+ai（）=.

6.已知a、b、c成等差數(shù)列,且