2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.7-離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)字特征【課件】

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第7節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列和數(shù)字特征ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)w，都有_______________與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.1.離散型隨機(jī)變量唯一的實(shí)數(shù)X(w)2.離散型隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱________________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列.3.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì) ①pi≥0(i＝1，2，…，n)； ②______________________＝1.X取每一個(gè)值xi的概率p1＋p2＋…＋pn若離散型隨機(jī)變量X的分布列為4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn5.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝________________. (2)D(aX＋b)＝______________

(a，b為常數(shù)).aE(X)＋ba2D(X)隨機(jī)變量的線性關(guān)系若X是隨機(jī)變量，Y＝aX＋b，a，b是常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量.√(1)離散型隨機(jī)變量的概率分布列描述了由這個(gè)隨機(jī)變量所刻畫(huà)的隨機(jī)現(xiàn)象.(

)(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(

)(3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.(

)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)×√√解析對(duì)于(2)，離散型隨機(jī)變量所有取值的并事件是必然事件，故各個(gè)概率之和等于1，故不正確.C解析選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件；選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0，1，2.2.(易錯(cuò)題)袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是(

) A.至少取到1個(gè)白球 B.至多取到1個(gè)白球 C.取到白球的個(gè)數(shù) D.取到球的個(gè)數(shù)C則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(－∞，2] B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)3.(易錯(cuò)題)若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1解析由隨機(jī)變量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，2].A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4 B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3 D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2BA選項(xiàng)的方差D(X)＝0.65；B選項(xiàng)的方差D(X)＝1.85；C選項(xiàng)的方差D(X)＝1.05；D選項(xiàng)的方差D(X)＝1.45.可知選項(xiàng)B的情形對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大.則P(|X－3|＝1)＝________.5.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為

1KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________.例1(1)隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc解析因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.①求2X＋1的分布列；②求隨機(jī)變量η＝|X－1|的分布列.解

①由分布列的性質(zhì)知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表為(2)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3mX012342X＋113579②由①知m＝0.3，列表為從而2X＋1的分布列為2X＋113579P0.20.10.10.30.3X01234|X－1|10123所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝|X－1|的分布列為η0123P0.10.30.30.3D(2)(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ABD解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.例2

有編號(hào)為1，2，3，…，n的n個(gè)學(xué)生，入座編號(hào)為1，2，3，…，n的n個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X，已知X＝2時(shí)，共有6種坐法. (1)求n的值；所以X的概率分布列為(2)求隨機(jī)變量X的分布列.解因?yàn)閷W(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X，由題意可知X的可能取值是0，2，3，4，解隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3.∴隨機(jī)變量X的分布列為角度1期望、方差的計(jì)算則兩人所付費(fèi)用相同的概率為(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ).解

ξ的所有可能取值為0，40，80，120，160，所以ξ的分布列為角度2決策問(wèn)題若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬(wàn)元，X2的所有可能取值為500，－300，0.則X2的分布列為：解

若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬(wàn)元，X1的所有可能取值為300，－150.則X1的分布列為所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利的期望值相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.解設(shè)“a同學(xué)摸球三次后停止摸球”為事件E，訓(xùn)練32022年元旦班級(jí)聯(lián)歡晚會(huì)上，某班設(shè)計(jì)了一個(gè)摸球表演節(jié)目的游戲：在一個(gè)紙盒中裝有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，同學(xué)不放回地每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球表演兩個(gè)節(jié)目，摸到白球或黃球表演1個(gè)節(jié)目，摸到黑球不用表演節(jié)目. (1)求a同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率；所以隨機(jī)變量X的分布列為(2)記X為a同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差.解隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3解析第一枚的點(diǎn)數(shù)減去第二枚的點(diǎn)數(shù)不小于5，即只能等于5.故選D.1.拋擲兩枚骰子一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為ξ，則“ξ≥5”表示的試驗(yàn)結(jié)果是(

) A.第一枚6點(diǎn)，第二枚2點(diǎn) B.第一枚5點(diǎn)，第二枚1點(diǎn) C.第一枚1點(diǎn)，第二枚6點(diǎn) D.第一枚6點(diǎn)，第二枚1點(diǎn)D解析由概率分布列性質(zhì)，知0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，所以E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝7.2.已知隨機(jī)變量的分布列如下，且E(ξ)＝6.3，則a的值為(

)Cξ4a9P0.50.1bA.5

B.6

C.7 D.8解析“放回5個(gè)紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6.3.袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為ξ，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是(

) A.ξ＝4

B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5C解析由題意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值E(X)＝3，則(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能的取值為1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值為E(X)＝3，則a－b等于(

)A若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有(

)A.q＝0.1 B.E(X)＝2，D(X)＝1.4C.E(X)＝2，D(X)＝1.8 D.E(Y)＝5，D(Y)＝7.25.(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為ACDX01234Pq0.40.10.20.2解析因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正確；因?yàn)閅＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正確.故選ACD.A.E(ξ)增大

B.E(ξ)減小C.D(ξ)先增大后減小

D.D(ξ)先減小后增大6.(多選)已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ACξ012Pb－aba解得b＝0.5，0≤a≤0.5，∴E(ξ)＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為_(kāi)_______.7.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為40%X78910P0.30.3ab解析由分布列的性質(zhì)得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射擊一次的優(yōu)秀率為40%.解析由分布列性質(zhì)，得x＋y＝0.5.8.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ123P0.5xy9.一個(gè)人將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同時(shí)叫做放對(duì)了，否則叫做放錯(cuò)了.設(shè)放對(duì)的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的期望值為_(kāi)_______.1解

記“甲投籃投中”為事件A，“乙投籃投中”為事件B.“乙投籃次數(shù)不超過(guò)1”包括三種情況：第一種是甲第1次投籃投中，第二種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中，第三種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中.所以甲、乙投籃次數(shù)總和ξ的分布列為(2)記甲、乙兩人投籃次數(shù)總和為ξ，求ξ的分布列和期望.解

設(shè)事件A表示“甲被機(jī)器人社團(tuán)錄取為新成員”，事件B表示“乙被機(jī)器人社團(tuán)錄取為新成員”，事件C表示“丙被機(jī)器人社團(tuán)錄取為新成員”.所以甲、乙、丙三人中恰有兩人被機(jī)器人社團(tuán)錄取為新成員的概率解

設(shè)事件D表示“甲、乙、丙三人都被機(jī)器人社團(tuán)錄取”，(2)求甲、乙、丙三人中至多有兩人被機(jī)器人社團(tuán)錄取為新成員的概率；記甲、乙、丙三人獲得的所有補(bǔ)貼之和為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解

X的所有可能取值為60，90，120，150.(3)為鼓勵(lì)大一新生積極報(bào)名參加機(jī)器人社團(tuán)招聘，該機(jī)器人社團(tuán)決定給參加應(yīng)聘的大一新生贈(zèng)送一定的手機(jī)話費(fèi)，贈(zèng)送標(biāo)準(zhǔn)如下表：參與環(huán)節(jié)筆試面試手機(jī)話費(fèi)/元2030所以X的分布列為12.(多選)某學(xué)校共有6個(gè)學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐(選擇每個(gè)餐廳的概率相同)，則下列結(jié)論正確的是(

)ACD設(shè)四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)為ξ，則ξ＝0，1，2，3，4.由四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的分布列為13.(多選)開(kāi)學(xué)后，某學(xué)校食堂為了減少師生就餐排隊(duì)時(shí)間，特推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞蛢煞N.已知小明同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞椭羞x擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r(jià)格是每份15元，面食套餐的價(jià)格是每份10元，如果小明當(dāng)天選擇了某種套餐，他第二天會(huì)有80%的可能性換另一種類(lèi)型的套餐，假如第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿閜n，則以下論述正確的是(

)BCD解析在A中，第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，則小明第二天有80%的可能選擇面食套餐，故A錯(cuò)誤；在B中，∵第1天小明選擇了米飯?zhí)撞?，∴p3＝0.8×0.8＋0.2×0.2＝0.68，故B