專練15（二次函數(shù)類壓軸題）中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必殺500題（江西專用）（解析版）

2021中考考點(diǎn)必殺500題專練15（二次函數(shù)類壓軸題）（30道）1．（2021·江西贛州市·九年級(jí)一模）規(guī)定：對(duì)于拋物線y＝ax2＋bx＋c，與該拋物線關(guān)于點(diǎn)M（m，n）（m＞0，n≥0）成中心對(duì)稱的拋物線為y′，我們稱拋物線y′為拋物線y的發(fā)散拋物線，點(diǎn)M稱為發(fā)散中心．已知拋物線y0＝mx2＋4x＋3經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），頂點(diǎn)為A，拋物線y1與該拋物線關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱．（1）m＝，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，拋物線y1的解析式是．（2）對(duì)于拋物線y0＝mx2＋4x＋3，如圖，現(xiàn)分別以y1的頂點(diǎn)A1為發(fā)散中心，得拋物線y2；再以拋物線y2的頂點(diǎn)A2為發(fā)散中心，得拋物線y3，…，以此類推．①求拋物線y0＝mx2＋4x＋3以A1為發(fā)散中心得到的拋物線y2的解析式；②求發(fā)散拋物線y4的發(fā)散中心A3的坐標(biāo)；③若發(fā)散拋物線yn的頂點(diǎn)An的坐標(biāo)為（3×2n﹣2，2n﹣1），請(qǐng)直接寫出AnAn﹣1的長度（用含n的式子表示）．【答案】（1）1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；（2）①y2＝﹣x2＋20x﹣97；②A3（22，7）；③2n﹣1．【分析】（1）把點(diǎn)（﹣1，0）代入y0＝mx2＋4x＋3即可求得m＝1，然后把解析式化成頂點(diǎn)式，即可求得A的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)得到A1，即可判斷拋物線y1的解析式；（2）①先求得A2的坐標(biāo)，即可根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求得拋物線y2的解析式；②根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求得A3的坐標(biāo)；③根據(jù)勾股定理求得AAn，則由直線對(duì)稱的性質(zhì)得到AnAn﹣1＝AAn，即可求得結(jié)果．【詳解】解：（1）∵拋物線y0＝mx2＋4x＋3經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），∴m﹣4＋3＝0，∴m＝1，∴y0＝x2＋4x＋3，∵y0＝x2＋4x＋3＝（x＋2）2﹣1，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣2，﹣1），∵拋物線y1與拋物線y0關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，∴拋物線y1的頂點(diǎn)A1為（4，1），∴y1＝﹣（x﹣4）2＋1，即y1＝﹣x＋8x﹣15，故答案為：1，（﹣2，﹣1），y1＝﹣x＋8x﹣15；（2）①∵A（﹣2，﹣1），A1（4，1），拋物線y2與拋物線y0關(guān)于點(diǎn)A1成中心對(duì)稱，∴A2（10，3），∴y2＝﹣（x﹣10）2＋3＝﹣x2＋20x﹣97；②設(shè)A3（a，b），則，＝3，解得：a＝22，b＝7，∴A3（22，7）；③∵A（﹣2，﹣1），An的坐標(biāo)為（3×2n﹣2，2n﹣1），∴AAn＝＝2n，∴AnAn﹣1＝AAn＝2n﹣1．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法、拋物線的性質(zhì)，新定義的理解，點(diǎn)的對(duì)稱坐標(biāo)的求法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，理解新定義并熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·江西九年級(jí)其他模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)在拋物線上．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)與拋物線的解析式；（2）將拋物線沿直線作次平移（為正整數(shù)），平移后拋物線分別記作，，…，，頂點(diǎn)分別為，，…，，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，…，，與軸的交點(diǎn)分別為，，…，；①在，，…，中，是否存在一條拋物線，使得點(diǎn)恰好落在這條拋物線上？若存在，求出所有滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由；②若，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，若由，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求的值；（3）如圖2，是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且保持在第四象限，直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)，到直線的距離分別為，，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果不變，求出其值；如果變化，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線：（2）①：②（3）不變化，【分析】(1)把兩點(diǎn)帶入拋物線即可求出解析式，點(diǎn)坐標(biāo)；(2)①根據(jù)平移規(guī)律設(shè)出：再帶入即可算出來②根據(jù)平移規(guī)律設(shè)出，，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)即可求出；（3）不變化，，設(shè)E()，由對(duì)稱性可知F，進(jìn)而可以求出直線LAF聯(lián)立LAF與拋物線解得F，從而和都用帶數(shù)式子表示出來，即可求出定值【詳解】(1)拋物線過點(diǎn)帶入得解得∴拋物線解析式：當(dāng)y=時(shí)，，解得x1=0,x2=2(2)①∵拋物線沿直線作次平移（為正整數(shù)）∴設(shè)：若過,則有，解得n1=0(舍去),n2=5∴：

②根據(jù)平移可得，∴（n+1,-n-1）當(dāng)時(shí)，由平移可得若由，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形則解得（3）不變化，設(shè)E()，則由對(duì)稱性可知F，設(shè)直線LAF:解得∴LAF:聯(lián)立解得F【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考察了二次函數(shù)圖像平移，平行四邊形等知識(shí)點(diǎn)，善于用用代數(shù)式設(shè)拋物線，用代數(shù)式表示點(diǎn)是解題關(guān)鍵3．（2021·江西九年級(jí)二模）如圖，已知拋物線，與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為B．作拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線，與y軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為D．我們把稱為的對(duì)偶拋物線．若中任意三點(diǎn)都不在同一直線上，則稱四邊形為拋物線的對(duì)偶四邊形，直線為拋物線的對(duì)偶直線．（1）求證：對(duì)偶四邊形是平行四邊形．（2）已知拋物線，求該拋物線的對(duì)偶直線的解析式．（3）若拋物線的對(duì)偶直線是，且對(duì)偶四邊形的面積為10，求拋物線的對(duì)偶拋物線的解析式．【答案】（1）見解析；（2）直線的解析式為：；（3）拋物線的對(duì)偶拋物線的解析式為：．【分析】（1）根據(jù)題意，利用勾股定理分別解出的長，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可解題；（2）由拋物線，分別解出，，利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；（3）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，解得，求得對(duì)偶四邊形的面積，進(jìn)而得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，再代入二次函數(shù)的解析式即可解題．【詳解】解：（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是點(diǎn)，令對(duì)偶四邊形是平行四邊形；（2）拋物線，此時(shí)設(shè)直線的解析式為：，代入點(diǎn)得，，直線的解析式為：；（3）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，當(dāng)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)偶四邊形的面積為10，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在直線上，頂點(diǎn)，頂點(diǎn)拋物線，將代入得，拋物線，拋物線的對(duì)偶拋物線的解析式為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及勾股定理、平行四邊形的判定是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．（2021·江西九年級(jí)一模）如圖，已知拋物線C1：y1＝x2＋2x＋a＋1的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，將拋物線C1平移后得到拋物線C2：y2＝（x﹣a）2＋2a＋1，拋物線C2的頂點(diǎn)為D，兩拋物線交于點(diǎn)C．（1）若a＝1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）隨著a值的變化，試判斷點(diǎn)A，B，D是否始終在同一直線上，并說明理由．（3）當(dāng)2AB＝BD時(shí)，試求a的值．【答案】（1）；（2）A，B，D始終在同一直線上，理由見解析；（3）-2或2．【分析】（1）令y1=y2，并把a(bǔ)=1代入，即可得到關(guān)于x的方程，解出x后代入C1解析式即可得到y(tǒng)1，進(jìn)而得到C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由題意可以得到A、B坐標(biāo)，并得到直線AB的解析式，然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB的解析式即可得知A，B，D是否始終在同一直線上；（3）分兩種情況討論．【詳解】解：（1）若a=1，令y1=y2，即x2＋2x＋a＋1=（x﹣a）2＋2a＋1，∴x2＋2x＋1＋1=（x﹣1）2＋2＋1，∴x2＋2x＋1＋1=x2-2x＋1＋2＋1，即4x=2，∴x=，將代入y1＝x2＋2x＋2中得：，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（）；（2）點(diǎn)A，B，D始終在同一直線上，理由如下：由題意可得點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，a），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，a+1），∴直線AB的解析式為y=x+a+1，∵D是拋物線y2的頂點(diǎn)，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2a+1），∵當(dāng)x=a時(shí)，y=x+a+1=2a+1，∴點(diǎn)D在直線AB上，∴A、B、D始終在同一直線上；（3）①如圖，當(dāng)A為BD中點(diǎn)時(shí)，滿足2AB=BD，

此時(shí)可得，即a=-2；②如圖，當(dāng)B在線段AD上，存在2AB=BD，分別過A、D兩點(diǎn)作AM⊥y軸于點(diǎn)M，DN⊥y軸于點(diǎn)N，可得AM∥DN，

∴，即，解得a=2，綜上所述，a的值為-2或2．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線平移的綜合應(yīng)用，熟練掌握拋物線的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．5．（2021·江西）如圖，已知二次函數(shù)L：y＝﹣4x﹣2，其中n為正整數(shù)，它與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求二次函數(shù)L的最小值（用含n的代數(shù)式表示）．（2）將二次函數(shù)L向左平移（3n﹣4）個(gè)單位得到二次函數(shù)L1①若二次函數(shù)L與二次函數(shù)L1關(guān)于y軸對(duì)稱，求n的值；②二次函數(shù)L1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式．（3）在二次函數(shù)y＝﹣4x﹣2中，當(dāng)n依次取1，2，3，…，n時(shí)，拋物線依次交直線y＝﹣2于點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，頂點(diǎn)依次為B1，B2，B3，…，Bn．①連接CBn﹣1，Bn﹣1An﹣1，CBn，BnAn，求證：△CAn﹣1Bn﹣1∽△CAnBn；②求：：：…：的值．【答案】（1）；（2）①n＝4；②y＝x﹣6；（3）①證明見解析；②．【分析】(1)用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求最小值；(2)①求出二次函數(shù)L與二次函數(shù)L1的頂點(diǎn)，二次函數(shù)L與二次函數(shù)L1關(guān)于y軸對(duì)稱，列方程可求n；②二次函數(shù)L1頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x與有關(guān)，消去即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系；(3)①畫出圖形，用拋物線對(duì)稱性可以得到△CAn﹣1Bn﹣1∽△CAnBn均為等腰三角形，從而可證；②用表示即可得到答案．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)L：，其中n為正整數(shù)，∴頂點(diǎn)為，化簡得，∴二次函數(shù)的最小值是；（2）∵二次函數(shù)L：的頂點(diǎn)為，∴二次函數(shù)L向左平移（3n﹣4）個(gè)單位得到二次函數(shù)L1，，∴拋物線L1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，①∵二次函數(shù)L與二次函數(shù)L1關(guān)于y軸對(duì)稱，∴頂點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱，即與關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，解得n＝4，②∵拋物線L1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，即，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在的函數(shù)關(guān)系為：，（3）①∵二次函數(shù)L：的頂點(diǎn)為，∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間存在的函數(shù)關(guān)系是，即拋物線L：，其中n為正整數(shù)的頂點(diǎn)都在直線上，如圖所示：∴系列拋物線中的頂點(diǎn)B1，B2，B3，…，Bn都在同一直線上，∴∠An﹣1CBn﹣1＝∠AnCBn，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：Bn﹣1C＝An﹣1Bn﹣1，BnC＝AnBn，∴∠An﹣1CBn﹣1＝∠Bn﹣1An﹣1C，∠BnAnC＝∠AnCBn，∴∠Bn﹣1An﹣1C＝∠BnAnC，∴△CAn﹣1Bn﹣1∽△CAnBn．②過Bn作BnDn⊥直線y＝﹣2于Dn，如圖所示：∵二次函數(shù)L：的頂點(diǎn)為，∴Bn，∴BnDn＝＝2n，由可得或，∴An（2n，﹣2），∴AnC＝2n，∴＝AnC?BnDn＝2n2，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)從而表示線段、面積等．6．（2021·江西贛州市·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，試判定的形狀，并加以證明；（3）如圖②在第一象限的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）存在點(diǎn)，使【分析】（1）由，可得出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)進(jìn)行求解即可；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)與軸相交于、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，即可求出A、D的坐標(biāo)，然后可證明，從而得出，即可判斷；（3）連接，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)即可求解；【詳解】解：（1），，，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，，解得：，拋物線的解析式為；（2）是等腰直角三角形，理由如下：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與軸相交于、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，（3）連接，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，解得：，（不合題意舍去），即存在點(diǎn)，使

（方法有很多的，比如過點(diǎn)作軸交于等等，正確的請(qǐng)按步驟給分）【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合、以及求面積的問題，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；7．（2021·江西贛州市·九年級(jí)期末）如圖，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．將拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線與x軸交于D，E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)），與拋物線在第一象限交于點(diǎn)M．（1）求拋物線的解析式，并求出其對(duì)稱軸；（2）①當(dāng)時(shí)，直接寫出拋物線的解析式；②直接寫出用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）連接．在拋物線平移的過程中，是否存在是等邊三角形的情況？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），其中對(duì)稱軸是直線；（2）①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（3）存在，．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式，繼而根據(jù)解析式即可求得拋物線的對(duì)稱軸；（2）①利用拋物線平移規(guī)律即可求得C2解析式；②利用拋物線平移規(guī)律即可求得M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而代入C1拋物線解析式即可；（3）過點(diǎn)M做于點(diǎn)N，分別表示出點(diǎn)D、M、N、A的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式可得DN、MN，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列方程，解方程即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為．則解得拋物線的解析式為，其中對(duì)稱軸是直線（2）①由（1）知：拋物線的解析式為，即，當(dāng)時(shí)，根據(jù)拋物線平移規(guī)律可得：拋物線解析式為：②根據(jù)拋物線平移規(guī)律可得，拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線解析式為：，其對(duì)稱軸為：∴交點(diǎn)M橫坐標(biāo)為：將其代入拋物線解析式可得：∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（3）存在m值使是等邊三角形．理由如下：過點(diǎn)M做于點(diǎn)N∵，∴若是等邊三角形，則，∴即解得（不合題意，舍去），∴當(dāng)時(shí)，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、拋物線平移規(guī)律、等邊三角形的性質(zhì)．8．（2021·江西上饒市·九年級(jí)期末）已知拋物線和拋物線（為正整數(shù)）．（1）拋物線與軸的交點(diǎn)______，頂點(diǎn)坐標(biāo)______；（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)解答下列問題．①直接寫出與軸的交點(diǎn)______，頂點(diǎn)坐標(biāo)______，請(qǐng)寫出拋物線，的一條相同的圖象性質(zhì)______；②當(dāng)直線與，相交共有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．（3）若直線（）與拋物線，拋物線（為正整數(shù)）共有4個(gè)交點(diǎn)，從左至右依次標(biāo)記為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求出，之間滿足的關(guān)系式．【答案】（1），；；（2）①，；；對(duì)稱軸為直線（或與軸交點(diǎn)為，）；②，且，；（3）．【分析】（1）根據(jù)，可以求得該拋物線與x軸的交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，本題得以解決；（2）①將n＝1，代入yn得，據(jù)此可以求得該拋物線與x軸的交點(diǎn)和該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)（1）中的結(jié)果，寫出拋物線y，yn的一條相同的圖象性質(zhì)即可；②求出直線與相交只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的值，直線與相交只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的值，過點(diǎn)時(shí)m的值，過點(diǎn)時(shí)m的值，根據(jù)函數(shù)圖象，從而可以得到當(dāng)直線y＝x＋m與y，yn相交共有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍；（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，，根據(jù)可得，進(jìn)而可以求出k，n之間滿足的關(guān)系式．【詳解】解：（1）∵拋物線，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝3，x2＝?1，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），∴拋物線y＝?x2＋2x＋3與x軸的交點(diǎn)為（3，0），（?1，0），故答案為：（?1，0），（3，0）；（1，4）；（2）①當(dāng)n＝1時(shí)，拋物線，∴當(dāng)y1＝0時(shí)，x3＝3，x4＝?1，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），∴該拋物線與x軸的交點(diǎn)為（3，0），（?1，0），拋物線y，yn的一條相同的圖象性質(zhì)是對(duì)稱軸都是x＝1（或與x軸的交點(diǎn)都是（?1，0），（3，0））；②當(dāng)直線與相交只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由，得，則，∴，當(dāng)直線與相交只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，由，得，則，∴，∴.把，代入，得；把，代入，得，∴，且，；（3）由，得，∴，由，得，∴，∵，∴∴，化簡得：．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，做出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．9．（2021·江西贛州市·九年級(jí)期末）如圖1，拋物線y=x2﹣2x+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．[圖2、圖3為解答備用圖]（1）k=，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）設(shè)拋物線y=x2﹣2x+k的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）在拋物線y=x2﹣2x+k上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．【答案】（1）﹣3，（﹣1，0），（3，0）；（2）9；（3）存在點(diǎn)D（，），使四邊形ABDC的面積最大為．（4）在拋物線上存在點(diǎn)Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形．【分析】（1）把C（0，﹣3）代入拋物線解析式可得k值，令y=0，可得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）過M點(diǎn)作x軸的垂線，把四邊形ABMC分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形，求它們的面積和；（3）設(shè)D（m，m2﹣2m﹣3），連接OD，把四邊形ABDC的面積分成△AOC，△DOC，△DOB的面積和，求表達(dá)式的最大值；（4）有兩種可能：B為直角頂點(diǎn)、C為直角頂點(diǎn)，要充分認(rèn)識(shí)△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通過解直角三角形求出相關(guān)線段的長度．【詳解】解：（1）把C（0，﹣3）代入拋物線解析式y(tǒng)=x2﹣2x+k中得k=﹣3∴y=x2﹣2x﹣3，令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴A（﹣1，0），B（3，0）．（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)為M（1，﹣4），連接OM．則△AOC的面積=，△MOC的面積=，△MOB的面積=6，∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．說明：也可過點(diǎn)M作拋物線的對(duì)稱軸，將四邊形ABMC的面積轉(zhuǎn)化為求1個(gè)梯形與2個(gè)直角三角形面積的和．（3）如圖（2），設(shè)D（m，m2﹣2m﹣3），連接OD．則0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0且△AOC的面積=，△DOC的面積=m，△DOB的面積=﹣（m2﹣2m﹣3），∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積=﹣m2+m+6=﹣（m﹣）2+．∴存在點(diǎn)D（，），使四邊形ABDC的面積最大為．（4）有兩種情況：如圖（3），過點(diǎn)B作BQ1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q1、交y軸于點(diǎn)E，連接Q1C．∵∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）．∴直線BE的解析式為y=﹣x+3．由解得：∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（﹣2，5）．如圖（4），過點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q2、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ2．∵∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0）．∴直線CF的解析式為y=﹣x﹣3．由解得：∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，﹣4）．綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形．說明：如圖（4），點(diǎn)Q2即拋物線頂點(diǎn)M，直接證明△BCM為直角三角形同樣可以．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．10．（2021·江西贛州市·九年級(jí)期末）我們給出如下定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果一條拋物線平移后得到的拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點(diǎn)，那么這條拋物線叫做原拋物線的過頂拋物線．如下圖，拋物線F2都是拋物線F1的過頂拋物線，設(shè)F1的頂點(diǎn)為A，F(xiàn)2的對(duì)稱軸分別交F1、F2于點(diǎn)D、B，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)．（1）如圖1，如果拋物線y=x2的過頂拋物線為y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果順次連接A、B、C、D四點(diǎn)，那么四邊形ABCD為（）A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如圖2，拋物線y=ax2+c的過頂拋物線為F2，B（2，c－1）．求四邊形ABCD的面積．（3）如果拋物線的過頂拋物線是F2，四邊形ABCD的面積為，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．【答案】（1）①a=1，b=2；②D；（2）4；（3）（，1），（，1）．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)四邊形對(duì)角線的關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)對(duì)稱性，可得AC的長，根據(jù)頂點(diǎn)式解析式，可得F2根據(jù)待定系數(shù)法，可得，根據(jù)四邊形的面積公式，可得答案；（3）分類討論：B在A的右側(cè)，B在A的左側(cè)，AC=，BD=2，可得答案．【詳解】解：（1）①由A、C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，得對(duì)稱軸將C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，及對(duì)稱軸公式，得解得：故答案為：．②當(dāng)時(shí)，，；，；四邊形ABCD的對(duì)角線相等互相平分，且互相垂直，四邊形ABCD時(shí)正方形故選D．（2）∵B（2，c－1），∴AC=2×2=4．∵當(dāng)x=0，y=c，∴A（0，c）．∵F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．∴設(shè)F2：y=a（x－2）2+c－1．∵點(diǎn)A（0，c）在F2上，∴4a+c－1=c，∴．當(dāng)時(shí)，，∴BD=（4a+c）－（c－1）=2．∴S四邊形ABCD=4．（3）如圖所示：設(shè)F2的解析式，B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，解得：，，B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，解得：，，綜上所述，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，又利用了正方形的判定，分類討論是解題的關(guān)鍵，以防遺漏．11．（2021·江西九年級(jí)一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），點(diǎn)在的延長線上，且（為正整數(shù)）．過點(diǎn)，的拋物線，其頂點(diǎn)在軸上．（1）求的長；（2）①當(dāng)時(shí)，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為______；②當(dāng)時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖2，拋物線，經(jīng)過、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且、、三點(diǎn)在同一直線上，①求與的關(guān)系式；②當(dāng)時(shí)，設(shè)四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，設(shè)四邊形的面積（，為正整數(shù)，，），若，請(qǐng)直接寫出值．【答案】(1)1，(2)①，②，(3)或【分析】（1）把y=1代入，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）①把代入，求出、、M坐標(biāo)即可；②把代入，求出、、M坐標(biāo)即可；（3）①類似于（2）求出求出、、P坐標(biāo)，代入解析式可求；②根據(jù)，求出k和t的關(guān)系，確定它們的值，再根據(jù)①中結(jié)論求解即可．【詳解】解：（1）對(duì)于，當(dāng)y=1時(shí)，有，解得：或，∴A(，1)，B(，1)，∴AB=，故答案為：1；（2）①當(dāng)n=1時(shí)，BC=AB=1，則C(，1)，拋物線對(duì)稱軸為：,由M為拋物線頂點(diǎn)，∴M(1，0)，設(shè)拋物線解析式為：，把B(，1)代入得，，∴a=4，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；故答案為:②當(dāng)n=2時(shí)，BC=2AB=2，則C(，1)，同理，M(，0)，設(shè)過點(diǎn)B，則有，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；（3）①如圖，可知，則，∵O、B、P三點(diǎn)共線，直線OB解析式為：∴，∴，將點(diǎn)B(，1)，，代入拋物線得：即；②當(dāng)n=k時(shí)，AC=k+1，，當(dāng)n=t時(shí)，AC=t+1，，又∵，∴，解得，，∵，為正整數(shù)，，，當(dāng)t=1時(shí)，k=3，，當(dāng)t=2時(shí)，k=5，，【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．12．（2021·江西九年級(jí)其他模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y＝ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D（0，4），AB＝，設(shè)點(diǎn)F（m，0）是x軸的正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C'．（1）求拋物線C的函數(shù)表達(dá)式；（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．①拋物線C'的解析式為（用含m的關(guān)系式表示）；②求m的取值范圍；（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)P在拋物線C'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'，設(shè)M是C上的動(dòng)點(diǎn)，N是C'上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形，若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4；（2）①y＝（x﹣2m）2﹣4；②2＜m＜2；（3）能，m＝﹣3或6．【分析】（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)C（0，4），A（﹣2，0），再設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+4，把A（2，0）代入可得a＝﹣即可解答；（2）①由題意拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，﹣4），可得出拋物線C′的解析式為y＝（x﹣2m）2﹣4；②聯(lián)立兩拋物線的解析式，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則得到關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可解決問題；（3）情形1，四邊形PMP′N能成為正方形．作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP′N是正方形，推出PF＝FM，∠PFM＝90°，易證△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系數(shù)法即可解決問題；情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系數(shù)法即可解決問題．【詳解】解：（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)C（0，4），A（﹣2，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+4，把A（﹣2，0）代入可得a＝﹣，∴拋物線C的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+4．（2）①∵將拋物線C繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C'，∴拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2m，﹣4），∴拋物線C′的解析式為y＝（x﹣2m）2﹣4，故答案為：y＝（x﹣2m）2﹣4．②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由題意，拋物線C′與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有，解得2＜m＜2，∴滿足條件的m的取值范圍為2＜m＜2．（3）結(jié)論：四邊形PMP′N能成為正方形．理由：情形1，如圖，作PE⊥x軸于E，MH⊥x軸于H．由題意易知P（2，2），當(dāng)△PFM是等腰直角三角形時(shí)，四邊形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∴∠FPE＝∠MFH，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵點(diǎn)M在y＝﹣x2+4上，∴m﹣2＝﹣（m+2）2+4，解得m＝﹣3或﹣﹣3（舍棄），∴m＝﹣3時(shí)，四邊形PMP′N是正方形．情形2，如圖，四邊形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，解得m＝6或0（舍棄），∴m＝6時(shí)，四邊形PMP′N是正方形．綜上，四邊形PMP′N能成為正方形，m＝﹣3或6．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了中心對(duì)稱變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題成為解答本題的關(guān)鍵．13．（2021·江西九年級(jí)月考）如圖，已知二次函數(shù)：，其中為正整數(shù)，它與軸相交于點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的最小值（用含的代數(shù)式表示）．（2）將二次函數(shù)向左平移個(gè)單位得到二次函數(shù)．①若二次函數(shù)與二次函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，求的值；②二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式．（3）在二次函數(shù)中，當(dāng)依次取1，2，3，…，時(shí)，拋物線依次交直線于點(diǎn)，，，…，，頂點(diǎn)依次為，，，…，．①連接，，，，求證：；②求的值．【答案】（1）二次函數(shù)的最小值是；（2）①；②；（3）①見解析；②【分析】（1）把二次函數(shù)寫成頂點(diǎn)式即可；（2）①根據(jù)兩個(gè)解析式的頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的坐標(biāo)變化，列方程即可；②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，確定解析式即可；（3）①根據(jù)兩個(gè)等腰三角形的底角對(duì)應(yīng)相等可證相似，或三角函數(shù)證角相等也可；②可以求出三角形面積的規(guī)律，分別表示三角形面積，再比即可；或利用相似三角形的性質(zhì)求面積比．【詳解】解：（1）二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式為：，所以，二次函數(shù)的最小值是．（2）∵，∴拋物線：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴平移后的拋物線：，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．①若二次函數(shù)與二次函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得．②∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∴．（3）①∵系列拋物線中的頂點(diǎn)，，，…，都在同一直線上，∴．方法一：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知和都是等腰三角形，∴，，∴，∴．方法二：過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∴．②方法一：∵，∴．方法二：∵系列拋物線中的都相似，∴等于相似比的平方．∵這些三角形的相似比恰好等于，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和相似三角形的綜合，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．14．（2021·江西贛州市·九年級(jí)期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸相交于C點(diǎn)．（1）求m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為Q．①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜4），當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQC的面積最大，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）m=4；C（0，4）；（2）①P（1+，1+）或P（1-，1-）；②當(dāng)t=2時(shí)，S四邊形PBQC最大=16；理由見解析．【分析】（1）把B（4，0）代入可求解析式，再用解析式C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分，求直線PQ解析式，與拋物線解析式聯(lián)立方程組即可；（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線l交BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E；過點(diǎn)C作l的垂線交l于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P（t，-t2+3t+4），表示出S△PCB的面積，再乘以2，得到S四邊形PBQC的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求最大值．【詳解】（1）將B（4，0）代入y=-x2+3x+m，解得m=4，∴二次函數(shù)解析式為y=-x2+3x+4，令x=0，得y=4，∴C（0，4）（2）①如圖，∵點(diǎn)P在拋物線上，∴設(shè)P（a，-a2+3a+4），當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí)，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，∵B（4，0），C（0，4）∴線段BC的垂直平分線的解析式為y=x，∴a=-a2+3a+4，∴∴P（1+，1+）或P（1-，1-）②如圖，設(shè)點(diǎn)P（t，-t2+3t+4），過點(diǎn)P作y軸的平行線l交BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E；過點(diǎn)C作l的垂線交l于點(diǎn)F，∵B（4，0），C（0，4），∴直線BC解析式為y=-x+4，∵點(diǎn)D在直線BC上，∴D（t，-t+4），∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t，BE+CF=4，∴S四邊形PBQC=2S△PCB=2（S△PCD+S△PBD）=∵0<t<4，∴當(dāng)t=2時(shí)，S四邊形PBQC最大=16【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、菱形的判定和性質(zhì)、直線與拋物線交點(diǎn)和二次函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題．15．（2021·江西贛州市·九年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．（1）求直線AB的解析式；（2）經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長最小?若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1，)．【分析】（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，可知∠BOD=60°，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）確定拋物線的對(duì)稱軸，連接AB，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，此時(shí)，△BOC的周長最小，再用AB解析式求C點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】(1)過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∴OD=1，DB=，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，)．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則有：，解得：，∴直線AB的解析式為（2）∵拋物線經(jīng)過A，O，B三點(diǎn)，且點(diǎn)A、O在x軸上，由拋物線的對(duì)稱性可得對(duì)稱軸為x=-1∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸x=-1上，△BOC的周長=OB+BC+CO，∵OB=2，要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，∵點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，有CO=CA，△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+CA∴當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CA最小，此時(shí)△BOC的周長最?。喈?dāng)x=-1時(shí)，代入直線AB的解析式得y=，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1，)．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)對(duì)稱軸、最短路徑問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定點(diǎn)的坐標(biāo)和兩點(diǎn)一線求最短的軸對(duì)稱做法．16．（2021·江西吉安市·九年級(jí)一模）已知拋物線l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，我們稱以N為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸且過點(diǎn)M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．（1）如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是，衍生直線的解析式是；（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；（3）如圖，設(shè)（1）中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為M，與y軸交點(diǎn)為N，將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線n，P是直線n上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3,y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P為（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【詳解】分析：（1）衍生拋物線頂點(diǎn)為原拋物線與y軸的交點(diǎn)，則可根據(jù)頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式方程，由衍生拋物線過原拋物線的頂點(diǎn)則解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與（1）相反，根據(jù)衍生拋物線與衍生直線的兩交點(diǎn)分別為衍生拋物線與原拋物線的交點(diǎn)，則可推得原拋物線頂點(diǎn)式，再代入經(jīng)過點(diǎn)，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直線MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行得到y(tǒng)=﹣3，再向上平移1個(gè)單位即得直線y=﹣2，所以P點(diǎn)可設(shè)（x，﹣2）．在坐標(biāo)系中使得△POM為直角三角形一般考慮勾股定理，對(duì)于坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)作平行于x軸、y軸的直線，則可構(gòu)成以兩點(diǎn)間距離為斜邊的直角三角形，且直角邊長都為兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值．進(jìn)而我們可以先算出三點(diǎn)所成三條線的平方，然后組合構(gòu)成滿足勾股定理的三種情況，易得P點(diǎn)坐標(biāo)．本題解析：（1）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過（0，﹣3），∴設(shè)其衍生拋物線為y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)（1，﹣4），∴﹣4=a?1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3．設(shè)衍生直線為y=kx+b，∵y=kx+b過（0，﹣3），（1，﹣4），∴，∴，∴衍生直線為y=﹣x﹣3．（2）∵衍生拋物線和衍生直線兩交點(diǎn)分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點(diǎn)，∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯(lián)立，得，解得或，∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點(diǎn)為（0，1），∴原拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣1）．設(shè)原拋物線為y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1過（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得a=2，∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行后，解析式為y=﹣3，∴再沿y軸向上平移1個(gè)單位得的直線n解析式為y=﹣2．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①當(dāng)OM2=OP2+MP2時(shí)，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．②當(dāng)OP2=OM2+MP2時(shí)，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．③當(dāng)MP2=OP2+OM2時(shí)，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．綜上所述，當(dāng)P為（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）時(shí)，△POM為直角三角形．點(diǎn)睛：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，勾股定理及利用其表示坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的基礎(chǔ)知識(shí)，特別注意的是：利用其表示坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離，是近幾年中考的熱點(diǎn),需學(xué)生熟練運(yùn)用.17．（2021·江西撫州市·九年級(jí)期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝a+bx+c（a≠0）與直線y＝m交于點(diǎn)A、C（點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊）將拋物線y＝a+bx+c沿直線y＝m翻折，翻折前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)B、D．我們將兩拋物線之間形成的封閉圖形稱為驚喜線，四邊形ABCD稱為驚喜四邊形，對(duì)角線BD與AC之比稱為驚喜度（Degreeofsurprise），記作|D|＝．（1）圖①是拋物線y＝﹣2x﹣3沿直線y＝0翻折后得到驚喜線．則點(diǎn)A坐標(biāo)，點(diǎn)B坐標(biāo)，驚喜四邊形ABCD屬于所學(xué)過的哪種特殊平行四邊形，|D|為．（2）如果拋物線y＝m﹣6m（m＞0）沿直線y＝m翻折后所得驚喜線的驚喜度為1，求m的值．（3）如果拋物線y＝﹣6m沿直線y＝m翻折后所得的驚喜線在m﹣1≤x≤m+3時(shí)，其最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為16，求m的值并直接寫出驚喜度|D|．【答案】（1）（-1,0）；（1，-4）；菱形；2；（2）；（3）m=2，或m=10，．【分析】（1）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，得到方程組，求得方程組的解，得A的坐標(biāo)；利用配方法確定B的坐標(biāo)；根據(jù)菱形的判定定理判定即可；根據(jù)驚喜度的定義計(jì)算即可；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，得到方程組，解方程組確定交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)驚喜度的定義計(jì)算即可；（3）計(jì)算對(duì)稱軸，分三種情形計(jì)算．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，∴，解得，∴解方程組的解為，，點(diǎn)A（-1,0）；∵y＝﹣2x﹣3=，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-4）；∵翻折前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)B、D，∴直線BD是拋物線的對(duì)稱軸，∴BA=BC，DA=DC，根據(jù)翻折的意義，得BA=DA，BC=DC，∴BA=BC=DA=DC，∴四邊形ABCD是菱形；設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為n，根據(jù)題意，得，∴n=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），∴AC=，BD=，∴|D|＝＝=2；故答案為：（-1,0），（1，-4），菱形，2；（2）根據(jù)題意，得，解得，∴解方程組的解為，，∴點(diǎn)A（，m），點(diǎn)C（，m）；∴AC==2，∵拋物線y＝m﹣6m（m＞0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-6m）；∵翻折前后兩拋物線的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)B、D，∴直線BD是拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為n，根據(jù)題意，得，∴n=8m，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，8m），∴BD=，∴|D|＝＝=1，∴m=；（3）∵拋物線y＝﹣6m，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，（a）當(dāng)m﹣1≤1≤m+3時(shí)，即﹣2≤m≤2時(shí)，如圖③，根據(jù)（2），得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-6m），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，8m），根據(jù)對(duì)稱性，得點(diǎn)D是最高點(diǎn)，且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為16，∴8m=16，∴m=2，∴BD==28，∴，解得，∴點(diǎn)A（，2），點(diǎn)C（，2）；∴AC==2，∴|D|＝＝=；（b）當(dāng)m﹣1＞1時(shí)，即m＞2時(shí)，如圖④，根據(jù)題意，得翻折前的坐標(biāo)為（m-1，），翻折后對(duì)應(yīng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（m-1，16），根據(jù)對(duì)稱性，得=m，∴，∴m=2（舍去），m=10，∴BD==140，∴，解得，∴點(diǎn)A（，10），點(diǎn)C（，10）；∴AC==2，∴|D|＝＝=；（c）當(dāng)m+3＜1時(shí)，即m＜-2時(shí)，不能形成驚喜線，所以不存在m，綜上所述，m=2，或m=10，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的新定義問題，熟練掌握解析式聯(lián)立方程組的意義及其解法，拋物線的對(duì)稱性，活用分類的思想是解題的關(guān)鍵．18．（2020·江西南昌市·九年級(jí)二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè))，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)．求點(diǎn)的坐標(biāo)．若的面積為．①求這條拋物線相應(yīng)的函數(shù)解析式．②在拋物線上是否存在一點(diǎn)使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（1，0）；（2）①；②存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）直接令，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）①令x=0，求出點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，a），再由△ABC的面積得到(1?a)?(?a)＝6即可求a的值，即可得到解析式；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，直線OP的函數(shù)表達(dá)式為y=3x，則直線與拋物線的交點(diǎn)為P；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，直線OP的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x，則直線與拋物線的交點(diǎn)為P；分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，解得點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為．由可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為的面積為．點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為則．當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，直線直線直線的函數(shù)解析式為則(舍去)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則直線的函數(shù)解析式為則(舍去)，點(diǎn)的坐標(biāo)為綜上可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想解題是解本題的關(guān)鍵．19．（2020·江西九年級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，我們將拋物線通過平移后得到，且設(shè)平移后所得拋物線的頂點(diǎn)依次為，這些頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，我們將這些拋物線稱為“繽紛拋物線”（k為整數(shù)）．（1）的坐標(biāo)為____________，直接寫出平移后拋物線的解析式為____________（用k表示）；（2）若平移后的拋物線與拋物線交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)B，若，求整數(shù)k的值．【答案】（1）（6，12），；（2）4或．【分析】（1）觀察平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，然后依據(jù)規(guī)律即可得到平移后拋物線的解析式；（2）如圖1所示：過點(diǎn)作，垂足為，由可知頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為，然后求得拋物線的交點(diǎn)，，最后依據(jù)列方程求解即可；【詳解】解：（1）拋物線通過平移后得到，，，，，∴的坐標(biāo)為：（6，12），∴；（2）如圖1所示：過點(diǎn)作，垂足為．由可知頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為，解得，，，，即，整理得：，解得或或；當(dāng)時(shí)原方程無意義，故不是原方程的根．的值為4或．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、銳角三角函數(shù)的定義、點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，找出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)存在的規(guī)律是解答問題（1）的關(guān)鍵，求得點(diǎn)、、的坐標(biāo)是解答問題（2）的關(guān)鍵．20．（2020·江西贛州市·九年級(jí)一模）如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥y軸交拋物線于另一點(diǎn)D，作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，雙曲線y=(x＞0)經(jīng)過點(diǎn)D，連接MD，BD．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點(diǎn)，當(dāng)以M，D，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形周長最小時(shí)，求出點(diǎn)N，F(xiàn)的坐標(biāo)；（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(，0)，F(xiàn)(0，)；（3）t=9﹣2．【分析】（1）由已知求出D點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點(diǎn)N、F，則以M，D，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形周長最小即為M'D'+MD的長；（3）設(shè)P（0，t），作△PBD的外接圓N，當(dāng)⊙N與y軸相切時(shí)，∠BPD的度數(shù)最大；【詳解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)是3．∵D在y=上，∴D(2，3)，將點(diǎn)A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接M'D'與x軸、y軸分別交于點(diǎn)N、F，則以M，D，N，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形周長最小即為M'D'+MD的長；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直線的解析式為y=﹣x+，∴N(，0)，F(xiàn)(0，)；（3）設(shè)P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=，tan∠PBO=，令y=tan∠BPD=，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0時(shí)，y=(舍)或y=，∴t=﹣×，∴t=9﹣2，∴P(0，9﹣2)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，屬于中考?jí)狠S題．21．（2020·江西吉安市·九年級(jí)其他模擬）如圖，已知二次函數(shù)：和二次函數(shù)：圖象的頂點(diǎn)分別為、，與軸分別相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）和、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），（1）函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______；當(dāng)二次函數(shù)，的值同時(shí)隨著的增大而增大時(shí)，則的取值范圍是_______；（2）判斷四邊形的形狀（直接寫出，不必證明）；（3）拋物線，均會(huì)分別經(jīng)過某些定點(diǎn)；①求所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；②若拋物線位置固定不變，通過平移拋物線的位置使這些定點(diǎn)組成的圖形為菱形，則拋物線應(yīng)平移的距離是多少？【答案】（1），；（2）四邊形是矩形；（3）①所有定點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)過定點(diǎn)或，經(jīng)過定點(diǎn)或；②拋物線應(yīng)平移的距離是或．【分析】（1）將已知拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；結(jié)合函數(shù)圖象填空；

（2）利用拋物線解析式與一元二次方程的關(guān)系求得點(diǎn)A、D、M、N的橫坐標(biāo)，可得AD的中點(diǎn)為（1，0），MN的中點(diǎn)為（1，0），則AD與MN互相平分，可證四邊形AMDN是矩形；

（3）①分別將二次函數(shù)的表達(dá)式變形為和，通過表達(dá)式即可得出所過定點(diǎn)；②根據(jù)菱形的性質(zhì)可得EH1=EF=4即可，設(shè)平移的距離為x，根據(jù)平移后圖形為菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【詳解】解：（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象得：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)，的值同時(shí)隨著的增大而增大．故答案為：；；（2）結(jié)論：四邊形是矩形．由二次函數(shù)和二次函數(shù)解析式可得：點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，與互相平分，四邊形是平行四邊形，又，∴□是矩形；（3）①二次函數(shù)，故當(dāng)或時(shí)，即二次函數(shù)經(jīng)過、兩點(diǎn)，二次函數(shù)，故當(dāng)或時(shí)，即二次函數(shù)經(jīng)過、兩點(diǎn)，②二次函數(shù)經(jīng)過、兩點(diǎn)，二次函數(shù)經(jīng)過、兩點(diǎn)，如圖：四個(gè)定點(diǎn)分別為、，、，則組成四邊形為平行四邊形，∴FH⊥HG，F(xiàn)H=2，HM=4-x，設(shè)平移的距離為，根據(jù)平移后圖形為菱形，則EH1=EF=H1M=4，由勾股定理可得：FH2+HM2=FM2，即，解得：，拋物線位置固定不變，通過左右平移拋物線的位置使這些定點(diǎn)組成的圖形為菱形，則拋物線應(yīng)平移的距離是或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．22．（2020·江西南昌市·九年級(jí)一模）如圖，Rt△FHG中，H=90°，F(xiàn)H∥x軸，，則稱Rt△FHG為準(zhǔn)黃金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0，），頂點(diǎn)為C（1，），點(diǎn)D為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn).（1）求二次函數(shù)y1的函數(shù)關(guān)系式；（2）若準(zhǔn)黃金直角三角形的頂點(diǎn)F與點(diǎn)A重合、G落在二次函數(shù)y1的圖像上，求點(diǎn)G的坐標(biāo)及△FHG的面積；（3）設(shè)一次函數(shù)y=mx+m與函數(shù)y1、y2的圖像對(duì)稱軸右側(cè)曲線分別交于點(diǎn)P、Q.且P、Q兩點(diǎn)分別與準(zhǔn)黃金直角三角形的頂點(diǎn)F、G重合，求m的值并判斷以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形形狀，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）y=(x-1)2-4；（2）點(diǎn)G坐標(biāo)為（3.6，2.76），S△FHG=6.348；（3）m=0.6，四邊形CDPQ為平行四邊形，理由見解析.【分析】（1）利用頂點(diǎn)式求解即可,（2）將G點(diǎn)代入函數(shù)解析式求出坐標(biāo),利用坐標(biāo)的特點(diǎn)即可求出面積,（3）作出圖象,延長QH，交x軸于點(diǎn)R，由平行線的性質(zhì)得證明△AQR∽△PHQ,設(shè)Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，即可證明四邊形CDPQ為平行四邊形.【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=a(x-h)2+k,(a≠0),由題可知該拋物線與y軸交于點(diǎn)E（0，），頂點(diǎn)為C（1，），∴y=a(x-1)2-4,代入E（0，），解得a=1,（）（2）設(shè)G[a,0.6(a+1)],代入函數(shù)關(guān)系式，得，，解得a1=3.6，a2=-1（舍去），所以點(diǎn)G坐標(biāo)為（3.6,2.76）.S△FHG=6.348（3）y=mx+m=m（x+1），當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，所以直線y=mx+m延長QH，交x軸于點(diǎn)R，由平行線的性質(zhì)得，QR⊥x軸.因?yàn)镕H∥x軸，所以∠QPH=∠QAR,因?yàn)椤螾HQ=∠ARQ=90°，所以△AQR∽△PQH,所以=0.6,設(shè)Q[n,0.6(n+1)],代入y=mx+m中，mn+m=0.6（n+1），m（n+1）=0.6（n+1），因?yàn)閚+1≠0，所以m=0.6..因?yàn)閥2=（x-1-m）2+0.6m-4,所以點(diǎn)D由點(diǎn)C向右平移m個(gè)單位，再向上平移0.6m個(gè)單位所得，過D作y軸的平行線,交x軸與K,再作CT⊥KD,交KD延長線與T,所以=0.6,所以tan∠KSD=tan∠QAR，所以∠KSD=∠QAR，所以AQ∥CS，即CD∥PQ.因?yàn)锳Q∥CS，由拋物線平移的性質(zhì)可得，CT=PH,DT=QH,所以PQ=CD，所以四邊形CDPQ為平行四邊形.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題,相似三角形的判定和性質(zhì),綜合性強(qiáng),難度較大,掌握待定系數(shù)法是求解（1）的關(guān)鍵,求出G點(diǎn)坐標(biāo)是求解（2）的關(guān)鍵,證明三角形的相似并理解題目中準(zhǔn)黃金直角三角形的概念是求解（3）的關(guān)鍵.23．（2020·江西九年級(jí)二模）如圖1，已知直線l：y=﹣x+2與y軸交于點(diǎn)A，拋物線y=（x﹣1）2+m也經(jīng)過點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為B，將該拋物線沿直線l平移使頂點(diǎn)B落在直線l的點(diǎn)D處，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n（n＞1）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）平移后的拋物線可以表示為（用含n的式子表示）；（3）若平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a．①請(qǐng)寫出a與n的函數(shù)關(guān)系式．②如圖2，連接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．【答案】（1）B（1，1）；（2）y=（x﹣n）2+2﹣n．（3）a=；a=+1.【解析】【分析】1)首先求得點(diǎn)A的坐標(biāo),再求得點(diǎn)B的坐標(biāo),用h表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)后代入直線的解析式即可驗(yàn)證答案。(2)①根據(jù)兩種不同的表示形式得到m和h之間的函數(shù)關(guān)系即可。②點(diǎn)C作y軸的垂線,垂足為E,過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F,證得△ACE~△CDF,然后用m表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得m的值即可?！驹斀狻拷猓海?）當(dāng)x=0時(shí)候，y=﹣x+2=2，∴A（0，2），把A（0，2）代入y=（x﹣1）2+m，得1+m=2∴m=1．∴y=（x﹣1）2+1，∴B（1，1）（2）由（1）知，該拋物線的解析式為：y=（x﹣1）2+1，∵∵D（n，2﹣n），∴則平移后拋物線的解析式為：y=（x﹣n）2+2﹣n．故答案是：y=（x﹣n）2+2﹣n．（3）①∵C是兩個(gè)拋物線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)可以表示為：（a﹣1）2+1或（a﹣n）2﹣n+2由題意得（a﹣1）2+1=（a﹣n）2﹣n+2，整理得2an﹣2a=n2﹣n∵n＞1∴a==．②過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F∵∠ACD=90°，∴∠ACE=∠CDF又∵∠AEC=∠DFC∴△ACE∽△CDF∴=．又∵C（a，a2﹣2a+2），D（2a，2﹣2a），∴AE=a2﹣2a，DF=m2，CE=CF=a∴=∴a2﹣2a=1解得：a=±+1∵n＞1∴a=＞∴a=+1【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用和相似三角形的判定與性質(zhì)，需綜合運(yùn)用各知識(shí)求解。24．（2020·江西省南豐縣教育局教學(xué)研究室九年級(jí)一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)，且與直線相交于和兩點(diǎn)．（1）求拋物線和直線的解析式；（2）求證：是直角三角形；（3）拋物線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），使，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）若直線交軸于點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，說明理由．【答案】（1），；（2）是直角三角形，見解析；（3）；（4）存在，或或或【分析】(1)設(shè)拋物線解析式，將B(2,0)代入求得a，將B(2,0)代入y=kx+2，求得k；

(2)分別求出，根據(jù)勾股定理逆定理即可證明；

(3)作∠BCE=∠ACB，與拋物線交于點(diǎn)E，延長AB，與CE的延長線交于點(diǎn)A′，過A′作A′H垂直x軸于點(diǎn)H，設(shè)二次函數(shù)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G.根據(jù)對(duì)稱與三角形全等，求得A′(3,1)，然后求出A′C解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，求得點(diǎn)E坐標(biāo)；

(4)設(shè)F(1,m)，分三種情況討論：①當(dāng)BF=BD時(shí)，，②當(dāng)DF=BD時(shí)，，③當(dāng)BF=DF時(shí)，，m=1，然后代入即可．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線解析式，將代入，，∴，拋物線解析式：，將代入，，，∴直線的解析式：；（2）聯(lián)立，解得，，∴，∵，，∴，，，∴，∴是直角三角形；（3）如圖，作，與拋物線交于點(diǎn)，延長，與的延長線交于點(diǎn)，過作垂直軸于點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)對(duì)稱軸于軸交于點(diǎn)．∵，，∴點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，，可知，∵，∴，，∴，，，∴，∵，∴直線：，聯(lián)立：，解得或，∴（4）∵拋物線的對(duì)稱軸：直線，∴設(shè)，直線的解析式：；∴∵，∴，，①當(dāng)時(shí)，，，∴坐標(biāo)或②當(dāng)時(shí)，，，∴坐標(biāo)或③當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)、、在同一直線上，不符合題意．綜上，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．（2020·江西南昌市·九年級(jí)其他模擬）定義：如圖，若兩條拋物線關(guān)于直線成軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，取在直線左側(cè)的拋物線的部分；當(dāng)時(shí)，取在直線右側(cè)的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱為關(guān)于直線的一對(duì)兄弟拋物線．例如：拋物線與拋物線就是關(guān)于直線(軸)的一對(duì)兄弟拋物線．（1）求拋物線關(guān)于直線的“兄弟拋物線”所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)拋物線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．①當(dāng)直線平行于軸時(shí)，求的值；②當(dāng)是直角時(shí)．求拋物線關(guān)于直線的“兄弟拋物線”頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直接寫出拋物線及其關(guān)于直線的“兄弟拋物線”與矩形不同的邊有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②或；③或．【分析】（1）先求出已知拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)一步即可求出結(jié)果；（2）①先根據(jù)題意求出點(diǎn)A坐標(biāo)，進(jìn)而可得點(diǎn)B坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B代入拋物線的解析式可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值；②由題意可知點(diǎn)在軸上，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式可得關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值，進(jìn)一步即可結(jié)果；③符合題意的拋物線如圖3和圖4所示，由此可得點(diǎn)在軸下方，設(shè)則，把點(diǎn)B代入拋物線的解析式可得n和m的關(guān)系式，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求出m的取值范圍．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，“兄弟拋物線”所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為；①拋物線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)，直線平行于軸，拋物線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)，，(舍去)或，；②如圖1和圖2，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，把代入中，得，解得：或，的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為或，則拋物線關(guān)于直線的“兄弟拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為或，“兄弟拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為或；③如圖3和圖4，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)，拋物線及其關(guān)于直線的“兄弟拋物線”與矩形不同的邊有四個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)在軸下方．設(shè)則．把代入中，得，，如圖，由二次函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，或；所以m的取值范圍是：或．【點(diǎn)睛】本題是新定義試題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、對(duì)“兄弟拋物線”的理解與應(yīng)用以及二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關(guān)系，綜合性強(qiáng)、難度較大，屬于中考?jí)狠S題，正確理解題意、熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．26．（2020·江西九江市·九年級(jí)其他模擬）拋物線C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a為任意實(shí)數(shù)）．（1）無論a取何值，拋物線C恒過定點(diǎn)，．（2）當(dāng)a＝1時(shí)，設(shè)拋物線C在第一象限依次經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）為A1，A2，……An，將拋物線C沿著直線y＝x（x≥0）平移，將平移后的拋物線記為Cn，拋物線Cn經(jīng)過點(diǎn)An，Cn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Mn（n為正整數(shù)且n＝1，2，…，n，例如n＝1時(shí)，拋物線C1經(jīng)過點(diǎn)A1，C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M1）．①拋物線C2的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．②拋物線C1上是否存在點(diǎn)P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷四邊形PM1M2A2的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．③直接寫出Mn﹣1，Mn兩頂點(diǎn)間的距離：．【答案】（1）（0，0），（1，1）；（2）①y＝（x﹣3）2+3，（3，3）．②存在，P（0，2），③2．【分析】（1）分別取x＝0，x＝1求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可解決問題；（2）①由題意a＝1，可得拋物線的解析式為y＝x2，設(shè)平移后的頂點(diǎn)為（m，m），則平移后的拋物線為y＝（x﹣m）2+m，利用待定系數(shù)法求出m即可；②求出A1，M1，A2，M2的坐標(biāo)，利用圖象法解決問題即可；③分別求出Mn，Mn﹣1的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可．【詳解】解：（1）對(duì)于y＝x[a（x﹣1）+x+1]，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，∴拋物線C經(jīng)過定點(diǎn)（0，0）和（1，1），故答案為：（0，0），（1，1）；（2）①由題意a＝1，可得拋物線的解析式為y＝x2，設(shè)平移后的頂點(diǎn)為（m，m），則平移后的拋物線為y＝（x﹣m）2+m，∵拋物線C2經(jīng)過A2（2，4），∴4＝（2﹣m）2+m，解得m＝3或0（舍棄），∴拋物線C2的解析式為y＝（x﹣3）2+3，頂點(diǎn)M2（3，3）．故答案為：y＝（x﹣3）2+3，（3，3）；②存在．由題意A1（1，1），M1（1，1）．A2（2，4），M2（3，3），觀察圖象可知當(dāng)P（0，2）時(shí)，PA1∥A2M2，此時(shí)四邊形PM1M2A2是矩形；③由題意An（n，n2），An﹣1[n﹣1，（n﹣1）2]，設(shè)拋物線Cn的解析式為y＝（x﹣m）2+m，∵Cn經(jīng)過An，∴n2＝（n﹣m）2+m，解得m＝2n﹣1或0（舍棄），∴Mn（2n﹣1，2n﹣1），同法可得Mn﹣1（2n﹣3，2n﹣3），∴MnMn﹣1＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．27．（2020·江西宜春市·九年級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形....按如圖的方式放置．點(diǎn)和點(diǎn)分別落在直線和軸上．拋物線過點(diǎn),且頂點(diǎn)在直線上，拋物線過點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線上，...按此規(guī)律，拋物線,過點(diǎn),且頂點(diǎn)也在直線上，其中拋物線交正方形的邊于點(diǎn)，拋物線交正方形的邊于點(diǎn)(其中且為正整數(shù))．（1）直接寫出下列點(diǎn)的坐標(biāo)：，；（2）寫出拋物線的解析式，并寫出拋物線的解析式求解過程，再猜想拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）；（2）拋物線的解析式為：，拋物線的解析式為，拋物線的解析式過程見解析；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）與的數(shù)量關(guān)系為，理由見解析．【分析】（1）先求出A1坐標(biāo)，根據(jù)正方形性質(zhì)，求出B1坐標(biāo)，進(jìn)而求出A2坐標(biāo)，最后求出B2坐標(biāo)；（2）根據(jù)A2點(diǎn)B2的坐標(biāo)求出拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)的頂點(diǎn)在上求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用頂點(diǎn)式求出解析式；根據(jù)A3B3的坐標(biāo)求出拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)的頂點(diǎn)在上求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用頂點(diǎn)式求出解析式；寫出三條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，找出規(guī)律，寫出的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)（2）求出D1，D2坐標(biāo)，進(jìn)而求出，，，長，最后求出，比較即可．【詳解】解：（1）把x=0代入得y=-1，∴點(diǎn)A1坐標(biāo)為(0，-1)；∵四邊形是正方形∴A1B1=1，∴點(diǎn)B1坐標(biāo)為(0，-1)；把x=1代入得y=-2，∴點(diǎn)A2坐標(biāo)為(1，-2)；∵四邊形是正方形∴A2B2=2，∴點(diǎn)B2坐標(biāo)為(3，-2)；∴（2）解：由（1）得點(diǎn)A2坐標(biāo)為(1，-2)，點(diǎn)B2坐標(biāo)為(3，-2)，拋物線的對(duì)稱軸為直線把代入得，拋物線的頂點(diǎn)為設(shè)拋物線的解析式為：拋物線過點(diǎn)當(dāng)時(shí)，解得拋物線的解析式為：把代入得，∴點(diǎn)A3坐標(biāo)為(3，-4)∵四邊形是正方形∴A3B3=4，∴點(diǎn)B3坐標(biāo)為(7，-4)；∴拋物線的對(duì)稱軸為直線把代入得，拋物線的頂點(diǎn)為設(shè)拋物線的解析式為:，拋物線過點(diǎn)解得拋物線的解析式為：，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3）與的數(shù)量關(guān)系為理由如下；由（2）得拋物線的解析式為當(dāng)時(shí)，解得（舍去）即由（2）得拋物線的解析式為當(dāng)時(shí)，解得（舍去）即．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)解析式求法及平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的規(guī)律等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，圖形較為復(fù)雜，根據(jù)函數(shù)解析式求點(diǎn)的坐標(biāo)和頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式是解題重點(diǎn)．根據(jù)題目特點(diǎn)，逐項(xiàng)分析，找出點(diǎn)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．28．（2020·江西吉安市·九年級(jí)其他模擬）已知拋物線：，其中．（1）以下結(jié)論正確的序號(hào)有_________；①拋物線的對(duì)稱軸是直線；②拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，；③函數(shù)隨著的增大而減??；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）將拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線．①若拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，求拋物線的解析式；②拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；③若拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，求之間的最小距離．【答案】（1）①②④；（2）①y=4x2+16x-5，②，③之間的最小距離是．【分析】（1）①將