2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章 第二節(jié) 第 2 課時(shí) 函數(shù)的奇偶性與周期性含答案

17版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第三章第二節(jié)第2課時(shí)函數(shù)的奇偶性與周期性第2課時(shí)函數(shù)的奇偶性與周期性課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義,會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.考情分析考點(diǎn)考法:高考命題常以基本初等函數(shù)為載體,考查函數(shù)的奇偶性、周期性和圖象的對(duì)稱性及其應(yīng)用.函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、周期性的綜合問(wèn)題是高考熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【微點(diǎn)撥】奇、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期(若不特別說(shuō)明,T一般就是指最小正周期).【微點(diǎn)撥】存在一個(gè)非零常數(shù)T,使f(x+T)=f(x)為恒等式,即自變量x每增加一個(gè)T后,函數(shù)值就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)一次.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)14321.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.函數(shù)y=x2在(0,+∞)上是偶函數(shù)B.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0C.若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期D若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=-f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a+b【解析】選AB.A由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,因此y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性×B由奇函數(shù)定義可知,若f(x)為奇函數(shù),且在x=0處有意義時(shí)才滿足f(0)=0×2.(2023·上海高考)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是 ()A.y=sinx B.y=cosxC.y=x3 D.y=2x【解析】選B.對(duì)于A,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,y=sinx為奇函數(shù);對(duì)于B,由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,y=cosx為偶函數(shù);對(duì)于C,由冪函數(shù)的性質(zhì)可知,y=x3為奇函數(shù);對(duì)于D,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,y=2x為非奇非偶函數(shù).3.(忽略奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是 ()A.-13 B.13 C.12 D【解析】選B.因?yàn)閒(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),所以a-1+2a=0,所以a=13又f(-x)=f(x),所以b=0,所以a+b=134.(必修第一冊(cè)P86習(xí)題T11·變?cè)O(shè)問(wèn))已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(1+x),則f(-1)=__________.

【解析】f(1)=1×2=2,又f(x)為奇函數(shù),所以f(-1)=-f(1)=-2.答案:-2【巧記結(jié)論·速算】函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論1.如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有意義,則f(0)=0;2.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(-x)=f(x)=f(|x|);3.如果函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù),則對(duì)任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特別地,若奇函數(shù)f(x)在D上有最值,則f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,則f(0)=0.【即時(shí)練】1.設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=x3-8(x≥0),則{x|f(x-2)>0}= ()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【解析】選B.由f(x)=x3-8,知f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(2)=0.由已知條件可知f(x-2)>0?f(|x-2|)>f(2),所以|x-2|>2,解得x<0或x>4.2.已知函數(shù)f(x)=a-2ex+1(a∈R)是奇函數(shù),則【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且函數(shù)f(x)是奇函數(shù),f(0)=a-1=0,即a=1,經(jīng)驗(yàn)證a=1滿足條件.答案:13.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值為M,【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)=(x+1)設(shè)g(x)=2x則g(-x)=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù),所以,g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案:2【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的判斷[例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=x3-1x(2)f(x)=x2-1+(3)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];(4)f(x)=-x(5)f(x)=(x-1)1+x1-x,x【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,并且對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(-x)=(-x)3-1-x=-(x3-1x)=-f(x),所以f(x(2)f(x)的定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(3)因?yàn)閒(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)是非奇非偶函數(shù).(4)方法一(定義法):當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)為奇函數(shù).方法二(圖象法):作出函數(shù)f(x)的圖象,由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(5)已知f(x)的定義域?yàn)?-1,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)閒(x)=(x-1)1+x1-x所以f(-x)=-(1+x)(1-x)=f(x),所以f(【解題技法】判斷函數(shù)的奇偶性的方法(1)定義法:若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,則可立即判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,再判斷f(-x)是否等于±f(x).(2)圖象法:奇(或偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱.(3)性質(zhì)法:偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).(注:利用上述結(jié)論時(shí)要注意各函數(shù)的定義域)【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)下列命題中正確的是 ()A.奇函數(shù)的圖象一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)B.函數(shù)y=xsinx是偶函數(shù)C.函數(shù)y=|x+1|-|x-1|是奇函數(shù)D.函數(shù)y=x2【解析】選BC.對(duì)于A,只有奇函數(shù)在x=0處有意義時(shí),函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn),所以A不正確;對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)y=xsinx的定義域?yàn)镽且f(-x)=(-x)sin(-x)=f(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù),所以B正確;對(duì)于C,函數(shù)y=|x+1|-|x-1|的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),即f(-x)=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),所以C正確;對(duì)于D,函數(shù)y=x2-xx-1滿足x-1≠0,所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),所以D不正確.2.設(shè)函數(shù)f(x)=1x2-2x+3,A.f(x+1) B.f(x)+1C.f(x-1) D.f(x)-1【解析】選A.f(x)=1x2-2則f(x+1)=1x因?yàn)閥=1x2+2是偶函數(shù),所以f(xB,C,D既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).3.已知函數(shù)f(x)=sinx,g(x)=ex+e-x,則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)【解析】選C.選項(xiàng)A,f(x)g(x)=(ex+e-x)sinx,f(-x)g(-x)=(e-x+ex)sin(-x)=-(ex+e-x)sinx=-f(x)g(x),是奇函數(shù),結(jié)論錯(cuò)誤;選項(xiàng)B,|f(x)|g(x)=|sinx|(ex+e-x),|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|(e-x+ex)=|sinx|(ex+e-x)=|f(x)|g(x),是偶函數(shù),結(jié)論錯(cuò)誤;選項(xiàng)C,f(x)|g(x)|=|ex+e-x|sinx,f(-x)|g(-x)|=|e-x+ex|sin(-x)=-|ex+e-x|sinx=-f(x)|g(x)|,是奇函數(shù),結(jié)論正確;選項(xiàng)D,|f(x)g(x)|=|(ex+e-x)sinx|,|f(-x)g(-x)|=|(e-x+ex)sin(-x)|=|(ex+e-x)sinx|=|f(x)g(x)|,是偶函數(shù),結(jié)論錯(cuò)誤.考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用角度1利用奇偶性求值(解析式)[例2](1)(2023·海南模擬)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),且f(x)-g(x)=ex,則f(1)g(1)= A.e2+1e B.e2-1e C【解析】選C.根據(jù)題意,f(x)-g(x)=ex,則f(1)-g(1)=e①,f(-1)-g(-1)=-f(1)-g(1)=e-1=1e,變形可得f(1)+g(1)=-1e②,聯(lián)立①②可得,f(1)=e-1e2,g(1)=-e+1e2(2)設(shè)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex-1,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)= ()A.e-x-1 B.e-x+1C.-e-x-1 D.-e-x+1【解析】選D.依題意得,當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(x)=-f(-x)=-(e-x-1)=-e-x+1.角度2利用奇偶性解不等式[例3](1)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(2)=0.則不等式f(x)-2f(-xA.(-2,2)B.(-∞,0)∪(0,2)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】選D.因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以f(0)=0,又f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(2)=0,所以f(x)的大致圖象如圖所示.由f(-x)=-f(x)可得,f(x)-2f(-因?yàn)閤在分母位置,所以x≠0.當(dāng)x<0時(shí),只需f(x)<0,由圖象可知x<-2;當(dāng)x>0時(shí),只需f(x)>0,由圖象可知x>2.綜上,不等式的解集為(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足f(2x-1)<f(13)的x的取值范圍是【解析】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(|x|),所以f(2x-1)<f(13)即f(|2x-1|)<f(13又f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以|2x-1|<13,解得13<x<答案:(13,2角度3利用奇偶性求解析式中的參數(shù)[例4](1)(一題多法)(2023·新高考Ⅱ卷)若函數(shù)f(x)=(x+a)ln(2x-12x+1)為偶函數(shù),A.-1 B.0 C.12 【解析】選B.解法一:由2x-12x+1>0,得x>1因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),得(-x+a)ln(-2x-1-2x+1)=(x即(-x+a)ln(2x+12x-1)=(x即(-x+a)ln(2x-12x+1)-1=(x則(x-a)ln(2x-12x+1)=(x所以x-a=x+a,得-a=a,得a=0.解法二:f(x)為偶函數(shù),則有f(-1)=f(1),即(-1+a)ln3=(1+a)ln13,解得a=0解法三:g(x)=ln2x-12x+1,g(-x)=-g(x),則g(x)為奇函數(shù),若f(x)=(x+a)·ln2x-12x+1為偶函數(shù),則h(x(2)(2022·全國(guó)乙卷)若f(x)=ln|a+11-x|+b是奇函數(shù),則a=__________,b【解析】若a=0,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,不具有奇偶性,所以a≠0.由函數(shù)解析式有意義可得,x≠1且a+11-所以x≠1且x≠1+1a因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以1+1a=-1,解得a=-1所以f(x)=ln|1+x2(1-x)|+b,定義域?yàn)閧x|x≠1由f(0)=0得ln12+b所以b=ln2,即f(x)=ln|-12+11-x|+ln2=ln|1+x1-x|,在定義域內(nèi)滿足f(-x)=-綜上,a=-12,b=ln2答案:-12【解題技法】已知函數(shù)奇偶性可以解決的三個(gè)問(wèn)題(1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求解析式:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出.(3)求解析式中的參數(shù):利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的方程或方程組,進(jìn)而得出參數(shù)的值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+1,x>0,ax3+b,x<0A.3 B.32 C.-12 D.【解析】選B.由已知得,當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=-ax3+b,因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),即x3+1=-ax3+b,所以a=-1,b=1,所以2a+b=2-1+1=322.(一題多法)(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)=xexeax-1是偶函數(shù),則aA.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】選D.解法一:因?yàn)閒(x)=xexeax-1的定義域?yàn)閧x|x≠0},f(x)為偶函數(shù),所以f(-x所以-xe-所以xeax-所以ax-x=x,所以a=2.解法二:由f(x)為偶函數(shù)得f(-1)=f(1),故-e-1e-又-e-1e-a-1=e-11-e-a=ea-1ea-1,代入①得ea-1ea-1=ee3.若函數(shù)f(x-2)為奇函數(shù),f(-2)=0,f(x)在區(qū)間[-2,+∞)上單調(diào)遞減,則f(3-x)>0的解集為_(kāi)_________.

【解析】因?yàn)閒(x-2)為奇函數(shù),所以f(x-2)的圖象的對(duì)稱中心為(0,0).又因?yàn)閒(x)的圖象可由f(x-2)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)中心對(duì)稱.因?yàn)閒(x)在[-2,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,-2]上也單調(diào)遞減,所以f(3-x)>0=f(-2),即3-x<-2,解得x>5,所以解集為(5,+∞).答案:(5,+∞)考點(diǎn)三函數(shù)周期性及應(yīng)用[例5](1)(2023·長(zhǎng)沙模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x)-2,則下列是周期函數(shù)的是 ()A.y=f(x)-x B.y=f(x)+xC.y=f(x)-2x D.y=f(x)+2x【解析】選D.依題意,定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x)-2,所以f(x+1)+2(x+1)=f(x)+2x,所以y=f(x)+2x是周期為1的周期函數(shù).(2)函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=f(x+2),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=x2,則f(2025)=________.

【解析】由f(x-2)=f(x+2)知f(x)的周期為4,故f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=1.答案:1(3)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),并且f(x+3)=-1f(x),當(dāng)1<x≤3時(shí),f(x)=cosπx【解析】由已知可得f(x+6)=f((x+3)+3)=-1f(x+3)=-1-故函數(shù)f(x)的周期為6,所以f(2024)=f(6×337+2)=f(2).又f(2)=cos2π3=-1所以f(2024)=-12答案:-1【解題技法】函數(shù)周期性有關(guān)問(wèn)題的求解策略(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T,函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·石家莊模擬)函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x+2)=13,且f(1)=2,則f(2023)=__________.

【解析】因?yàn)閒(x)f(x+2)=13,所以f(x),f(x+2)均不為0,所以f(x+2)=13f(x),所以f(x+4)=13f(x+2)=1313f(x所以f(2023)=f(3)=13f(1)=答案:132.設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=log2(x+1),則函數(shù)f(x)在[1,2]上的解析式是____________.

【解析】令x∈[-1,0],則-x∈[0,1],結(jié)合題意可得f(x)=f(-x)=log2(-x+1),令x∈[1,2],則x-2∈[-1,0],故f(x)=f(x-2)=log2[-(x-2)+1]=log2(3-x),故函數(shù)f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log2(3-x).答案:f(x)=log2(3-x)3.(創(chuàng)新題)若函數(shù)f(x)=2-x,x【解析】當(dāng)x>0時(shí),f(x)=f(x-1)-f(x-2),①所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期為6,所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=f(0)-f(-1)=20-21=-1.答案:-1考點(diǎn)四函數(shù)的對(duì)稱性及應(yīng)用[例6](1)(多選題)已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則下列結(jié)論成立的是 ()A.f(x+1)為偶函數(shù)B.f(1+x)=f(1-x)C.f(1+x)+f(1-x)=0D.f(1)=0【解析】選AB.由于y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)為偶函數(shù),故A,B選項(xiàng)正確,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;如f(x)=(x-1)2+1,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,但f(1)=1≠0,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.(2)(2023·?？谀M)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=|x-2|·f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,若f(-1)=-1,則g(3)= ()A.5 B.1 C.-1 D.-5【解析】選B.因?yàn)間(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,則g(x+2)=|x|f(x+2)是偶函數(shù),g(2-x)=|-x|f(2-x)=|x|f(2-x),所以|x|f(2-x)=|x|f(x+2)對(duì)任意的x∈R恒成立,所以f(2-x)=f(2+x).因?yàn)閒(-1)=-1且f(x)為奇函數(shù),所以f(3)=f(2+1)=f(2-1)=-f(-1)=1,因此g(3)=|3-2|f(3)=1.(3)已知函數(shù)y=f(x)-2為奇函數(shù),g(x)=2x+1x,且f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),則y1+y2+…+y【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-2為奇函數(shù),所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對(duì)稱,又g(x)=2x+1x其圖象也關(guān)于(0,2)對(duì)稱,所以兩函數(shù)圖象交點(diǎn)關(guān)于(0,2)對(duì)稱,則y1+y2+…+y6=3×4=12.答案:12【解題技法】函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題的解題關(guān)鍵(1)求解與函數(shù)的對(duì)稱性有關(guān)的問(wèn)題時(shí),應(yīng)根據(jù)題目特征和對(duì)稱性的定義,求出函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心.(2)解決函數(shù)對(duì)稱性有關(guān)的問(wèn)題,一般結(jié)合函數(shù)圖象,利用對(duì)稱性解決求值或參數(shù)問(wèn)題.(3)①若f(a+x)=f(a-x),對(duì)稱軸:x=a;②若f(a+x)=f(b-x),對(duì)稱軸:x=a+③若f(a+x)+f(a-x)=0,對(duì)稱中心:(a,0);④若f(a+x)+f(b-x)=c,對(duì)稱中心:(a+b2,【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)(2023·承德模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱C.f(x)的周期為4D.y=f(x+4)為偶函數(shù)【解析】選ACD.因?yàn)閒(2+x)=f(2-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,故A正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,則f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),所以f(x+4)=f(x),所以T=4,故C正確;因?yàn)門=4且f(x)為偶函數(shù),故y=f(x+4)為偶函數(shù),故D正確.2.若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱,則a=________,b=________.

【解析】f(x)最多有4個(gè)零點(diǎn),顯然已有2個(gè),x=±1,又由對(duì)稱性可知,另外兩個(gè)零點(diǎn)為-3和-5,所以x2+ax+b=0的兩根為-3和-5,所以a=8,b=15.答案:815第3課時(shí)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性[例1](1)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a【解析】選C.易知g(x)=xf(x)在R上為偶函數(shù),因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù),且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8),則c>a>b.(2)(2020·新高考Ⅰ卷)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是 ()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]【解析】選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),則f(0)=0.又f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示,則函數(shù)f(x-1)的大致圖象如圖(2)所示.當(dāng)x≤0時(shí),要滿足xf(x-1)≥0,則f(x-1)≤0,得-1≤x≤0.當(dāng)x>0時(shí),要滿足xf(x-1)≥0,則f(x-1)≥0,得1≤x≤3.故滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].【解題技法】綜合應(yīng)用奇偶性與單調(diào)性解題的技巧(1)比較大小:先利用奇偶性,將不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的自變量的函數(shù)值,然后利用單調(diào)性比較大小.(2)解不等式:先將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系,再利用奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性,再利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)的符號(hào)“f”,轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問(wèn)題.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·合肥質(zhì)檢)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)?x1,x2∈(-∞,0],當(dāng)x1≠x2時(shí),都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,則a=f(sin3),b=f(ln1A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】選A.因?yàn)?x1,x2∈(-∞,0]且x1≠x2時(shí),都有f(所以函數(shù)f(x)在(-∞,0]上單調(diào)遞增.由f(x)為偶函數(shù),得函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,因?yàn)?<sin3<1,1<ln3<2,2<21.5,f(ln13)=f(-ln3)=f所以f(sin3)>f(ln3)>f(21.5),即a>b>c.2.(2023·宜賓模擬)若函數(shù)f(x)=a-x|x|+1為奇函數(shù),則關(guān)于x的不等式f(x2)+f(2x-3)>【解析】由f(-x)=-f(x),得a=0,即f(x)=-x|x當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=-1+1x+1在[0,+∞)上單調(diào)遞減,又f(x)故f(x)在R上單調(diào)遞減.由f(x)為奇函數(shù),則不等式f(x2)+f(2x-3)>0可化為f(x2)>f(3-2x),得x2<3-2x,解得x∈(-3,1).答案:(-3,1)考點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性與周期性[例2](1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且周期為4,f(3)=-2,則f(2025)= ()A.2 B.0 C.-2 D.-4【解析】選A.依題意,函數(shù)f(x)是奇函數(shù),又f(x)的周期為4,且f(3)=-2,則有f(2025)=f(-3+507×4)=f(-3)=-f(3)=2,所以f(2025)=2.(2)(多選題)(2023·青島質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(2x+1)是偶函數(shù),f(x-1)是奇函數(shù),則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(x)=f(x-16) B.f(19)=0C.f(2024)=f(0) D.f(2023)=f(1)【解析】選ABC.因?yàn)閒(2x+1)是偶函數(shù),所以f(-2x+1)=f(1+2x),即f(1-x)=f(1+x),即函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱,則f(x)=f(2-x).因?yàn)閒(x-1)是奇函數(shù),所以f(-x-1)=-f(x-1),則f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x),即f(x-2)=-f(2+x),則f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函數(shù)的周期是8,則f(x)=f(x-16)成立,故A正確;令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0,則f(19)=f(3)=0,故B正確;f(2024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正確;f(2023)=f(8×253-1)=f(-1),故D錯(cuò)誤.【解題技法】綜合應(yīng)用奇偶性與周期性解題的技巧(1)根據(jù)已知條件及相關(guān)函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的周期;(2)利用函數(shù)的周期性將自變量較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量較小的函數(shù)值,直到自變量的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系,必要時(shí)可再次運(yùn)用奇偶性將自變量的符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(3)代入已知的解析式求解,即得欲求的函數(shù)值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)(2023·湖州模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x-1)都是偶函數(shù),則 ()A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x+3)是偶函數(shù) D.f(x)=f(x+4)【解析】選CD.因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),從而f(-x)=f(x+2).因?yàn)閒(x-1)是偶函數(shù),所以f(-x-1)=f(x-1),從而f(-x)=f(x-2),所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).因?yàn)閒(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函數(shù).2.函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,f(1)=4,則f(2020)+f(2021)+f(2022)的值為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)閥=f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4,所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2020)=f(0)=0,f(2022)=f(2)=-f(0)=0,所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.答案:4考點(diǎn)三函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性[例3](1)(2023·拉薩統(tǒng)考模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱.當(dāng)x>0時(shí),f(x)=3x+1,則f(-2)= (A.1 B.3 C.-1 D.-3【解析】選C.因?yàn)閷=f(x+1)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=f(x)的圖象且y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)成中心對(duì)稱,所以y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,則y=f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(-2)=-f(2)=-32+1=-1(2)(多選題)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),則下列結(jié)論一定正確的是 ()A.f(x+2)=f(x)B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱C.函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)D.f(2-x)=f(x-1)【解析】選BC.對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)閒(-x)+f(x)=0,且f(1-x)=f(1+x),則f(1-(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=-f(x),A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因?yàn)閒(-x)+f(x)=0,所以f(-(2+x))+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(-2-x)=-f(2-x),即f(2+x)+f(2-x)=0,故函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,B對(duì);對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),所以函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),C對(duì);對(duì)于D選項(xiàng),因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),所以f(1-(x-1))=f(1+(x-1)),即f(2-x)=f(x)≠f(x-1),D錯(cuò).【解題技法】由函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性可求函數(shù)的周期,常用于化簡(jiǎn)求值、比較大小等.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2-2x,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)的值為 ()A.-2 B.-1 C.0 D.1【解析】選D.因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以f(-x)=-f(2+x),又f(x)為R上的偶函數(shù),所以f(x)=f(-x),所以f(x+2)=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0.又f(0)=1,f(2)=-f(0)=-1,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2024)=506×(1+0-1+0)+f(0)=1.考點(diǎn)四函數(shù)的周期性與對(duì)稱性[例4](1)(2023·新鄉(xiāng)模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且f(x-12)為偶函數(shù),當(dāng)x∈-12,12時(shí),f(x)=x3,則A.0 B.18 C.-18 D【解析】選A.因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以f(x)的周期為4.又f(x-12)為偶函數(shù)所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-12對(duì)稱則f(2023)=f(-1)=f(0)=0.(2)(多選題)(2023·邯鄲模擬)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(x)-f(-x)=0,且滿足f(x+1)為奇函數(shù),當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f(x)=-cosπx2,則下列結(jié)論正確的是 (A.f(1)=0B.f(x)的周期為2C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱D.f(20232)=-【解析】選ACD.因?yàn)閒(x+1