2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章 第三節(jié) 圓的方程含答案

5版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章第三節(jié)圓的方程第三節(jié)圓的方程【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握圓的一般方程,能對圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行互化,了解二元二次方程表示圓的條件.【考情分析】考點考法:圓的方程高考一般不單獨考查,它常與直線、平面向量及圓錐曲線相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題或填空題中.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運算、邏輯推理【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.圓的定義與方程定義平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心坐標(biāo):(a,b)半徑為r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0充要條件:D2+E2-4F>0圓心坐標(biāo):(-D2,-E半徑:r=1【微點撥】圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F為常數(shù))具有以下特點:(1)x2,y2項的系數(shù)均為1;(2)沒有xy項;(3)D2+E2-4F>0.2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.圓心位置和圓的半徑確定,圓就唯一確定B.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓C.圓(x+1)2+(y-1)2=2的圓心坐標(biāo)是(1,-1),半徑長是2D.點(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外【解析】選AD.確定圓的幾何要素就是圓心和半徑,故A正確;當(dāng)m=0時,不表示圓,故B錯誤;圓(x+1)2+(y-1)2=2的圓心坐標(biāo)是(-1,1),半徑長是2,故C錯誤;因為(0-1)2+(0-2)2>1,所以點(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外,故D正確.2.(選擇性必修第一冊P88練習(xí)T1變形式)圓x2+y2-4x-1=0的圓心坐標(biāo)及半徑分別為 ()A.(2,0),5 B.(2,0),5C.(0,2),5 D.(2,2),5【解析】選B.依題意,圓x2+y2-4x-1=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-2)2+y2=5,所以圓心為(2,0),半徑為5.3.(忽略D2+E2-4F>0)若點P(1,1)在圓C:x2+y2+x-y+k=0外,則實數(shù)k的取值范圍是 ()A.(-2,+∞) B.[-2,-12C.(-2,12) D.【解析】選C.由題意得1+1+1解得-2<k<124.(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為____________.

【命題意圖】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,關(guān)鍵是確定圓心和半徑.【解析】因為點M在直線2x+y-1=0上,所以設(shè)點M為(a,1-2a),又因為點(3,0)和(0,1)均在☉M上,所以點M到兩點的距離相等且為半徑R,所以(a-3)2a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,所以M(1,-1),R=5,☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.答案:(x-1)2+(y+1)2=5【巧記結(jié)論·速算】1.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.同心圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù).【即時練】1.“大漠孤煙直,長河落日圓”體現(xiàn)了我國古代勞動人民對于圓的認(rèn)知.已知A(1,3),B(3,-1),則以AB為直徑的圓的方程為 ()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=20C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x+1)2+(y-2)2=20【解析】選A.所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)(x-3)+(y-3)(y+1)=0,即(x-2)2+(y-1)2=5,即以AB為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.2.與圓(x-1)2+y2=4同圓心且經(jīng)過點P(-2,4)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()A.(x-1)2+y2=17 B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=25【解析】選D.由圓(x-1)2+y2=4的方程可知圓心為(1,0),設(shè)所求圓的方程為(x-1)2+y2=r2(r>0),將點P(-2,4)代入得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=25.【核心考點·分類突破】考點一求圓的方程[例1](1)(一題多法)過點A(1,-1)與B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為 ()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】選C.方法一(待定系數(shù)法):設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則(1-故所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.方法二(幾何法):圓心一定在AB的中垂線上,AB的中垂線方程為y=x.由y=所以r=(1所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.(2)(2022·全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為__________.

【命題意圖】考查圓的一般方程,待定系數(shù)法.【解析】依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,若過(0,0),(-1,1),(4,0),則F=016+4D所以圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;若過(0,0),(4,0),(4,2),則F=016+4D所以圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;若過(0,0),(-1,1),(4,2),則F=01+1-所以圓的方程為x2+y2-83x-143y=0,即(x-4若過(-1,1),(4,0),(4,2),則1+1-D+所以圓的方程為x2+y2-165x-2y-165=0,即(x-85)答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或(x-43)2+(y-73)【誤區(qū)警示】選取不共線的三點求解即可.若考慮三點共線,既耽誤時間又無解.【解題技法】求圓的方程的兩種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫出方程待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出a,b,r的值.②若已知條件中涉及圓上的點的坐標(biāo),常選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值提醒:解答圓的有關(guān)問題時,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運用圓的幾何性質(zhì).【對點訓(xùn)練】1.(2024·許昌模擬)以點A(3,4)為圓心,且與y軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x-3)2+(y+4)2=16C.(x-3)2+(y-4)2=9D.(x-3)2+(y+4)2=9【解析】選C.以點A(3,4)為圓心,且與y軸相切的圓的半徑為3,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3)2+(y-4)2=9.2.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為______________.

【解析】方法一:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則F=0,故圓的方程為x2+y2-2x=0.方法二:設(shè)O(0,0),A(1,1),B(2,0),則kOA=1,kAB=-1,所以kOA·kAB=-1,即OA⊥AB,所以△OAB是以∠A為直角的直角三角形,則線段BO是所求圓的直徑,則圓心為(1,0),半徑r=12|OB|=1,圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0答案:x2+y2-2x=0【加練備選】若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點,且圓心在直線y=-2x+3上運動,當(dāng)半徑最小時,圓的方程為__________.

【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a+3),則圓的半徑r=(a-=5(當(dāng)a=65時,rmin=3故所求圓的方程為(x-65)答案:(x-65考點二與圓有關(guān)的軌跡問題教考銜接類題串串聯(lián)題號類題說明(1)源自第89頁綜合運用·T8.此題為定義圓(2)源自第87頁例5.此題為圓的伴生圓(3)源自第89頁拓廣探索·T9.此題為比例圓(阿氏圓)(4)源自第89頁拓廣探索·T10.此題為圓的參數(shù)方程[例2](1)長為2a的線段的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,則線段AB的中點的軌跡方程為__________.

【解析】(1)如圖,設(shè)線段AB的中點為M(x,y),點M運動時,它到原點O的距離為定長,即Rt△AOB的斜邊上的中線長為定長.因為AB=2a,即點M∈M|OM=a,點M的軌跡方程為x2+y2答案:x2+y2=a2(2)已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,則線段AB的中點M的軌跡方程為__________.

【解析】(2)如圖,設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y),點A的坐標(biāo)是x0由于點B的坐標(biāo)是(4,3),且M是線段AB的中點,所以x=x0+42,y于是有x0=2x-4,y0=2y-3,①因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,所以點A的坐標(biāo)滿足方程,即(x0+1)把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得x-322答案:x-32(3)已知動點M到兩定點O(0,0),A(3,0)的距離比為12,則動點M的軌跡方程為__________【解析】(3)如圖,設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)題設(shè)有M∈M|MO||MA化簡,得點M的軌跡方程為x2+y2+2x-3=0.軌跡是圓心為-1,答案:x2+y2+2x-3=0(4)在平面直角坐標(biāo)系中,如果點P的坐標(biāo)(x,y)滿足x=a+rcosθ,【解析】(4)由于點P的坐標(biāo)(x,y)滿足x=a+rcosθ,y=b+rsinθ,其中θ為參數(shù),所以x-a=rcosθ,y-b=rsinθ,可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos答案:(x-a)2+(y-b)2=r2【解題技法】求與圓有關(guān)軌跡問題的兩種方法(1)直接法:當(dāng)題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時,可設(shè)出該點的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示等式,直接求解軌跡方程.(2)代入法:當(dāng)題目條件中已知某動點的軌跡方程,而要求的點與該動點有關(guān)時,常找出要求的點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程.【對點訓(xùn)練】(2024·宜昌模擬)已知定點M(1,0),N(2,0),動點P滿足|PN|=2|PM|.(1)求動點P的軌跡C的方程;【解析】(1)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y),因為M(1,0),N(2,0),且|PN|=2|PM|,所以(x-2)2整理得x2+y2=2,所以動點P的軌跡C的方程為x2+y2=2.(2024·宜昌模擬)已知定點M(1,0),N(2,0),動點P滿足|PN|=2|PM|.(2)已知點B(6,0),點A在軌跡C上運動,求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程.【解析】(2)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,n),點A的坐標(biāo)為(xA,yA),因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點,所以AQ=2QB,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n),解得xA又點A在軌跡C上運動,由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化簡得(m-4)2+n2=29即點Q的軌跡方程為(x-4)2+y2=29【加練備選】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A0,-2,若動點M滿足MAMO=2,則點M的軌跡方程是 A.x2+(y+2)2=22B.x2+(y-2)2=22C.x2+(y+2)2=8D.x2+(y-2)2=8【解析】選D.設(shè)M(x,y),因為MAMO=2,A(0,-2),所以x2+所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),所以x2+(y-2)2=8為點M的軌跡方程.2.已知等腰三角形ABC的底邊BC對應(yīng)的頂點是A(4,2),底邊的一個端點是B(3,5),則底邊另一個端點C的軌跡方程是______________.

【解析】設(shè)C(x,y).由題意知,|AB|=(3-4因為△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,所以|CA|=|AB|=10,即點C的軌跡是以點A為圓心,10為半徑的圓.又點A,B,C構(gòu)成三角形,所以三點不可共線,所以軌跡中需去掉點B(3,5)及點B關(guān)于點A對稱的點(5,-1),所以點C的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點).答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點)考點三圓的對稱性問題[例3](1)(2022·北京高考)若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對稱軸,則a= ()A.12 B.-12 C.1 D【命題意圖】考查直線與圓的位置關(guān)系,基礎(chǔ)題.【解析】選A.因為直線是圓的對稱軸,所以直線過圓心.又因為圓心坐標(biāo)為(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=12(2)(多選題)圓上的點(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點仍在圓上,且圓的半徑為5,則圓的方程可能是 ()A.x2+y2=5B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5D.(x-1)2+(y+1)2=5【解析】選AD.因為圓上的點(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點仍在這個圓上,所以圓心在直線x+y=0上,因此設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),則由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.【解題技法】圓的對稱性的兩點推廣由于圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,因此過圓心的直線必定平分圓的周長,且圓上的點關(guān)于過圓心直線的對稱點也在圓上.【對點訓(xùn)練】(多選題)關(guān)于圓(x-2)2+y2=5,下列說法正確的是 ()A.關(guān)于點(2,0)對稱B.關(guān)于直線y=0對稱C.關(guān)于直線x-y+2=0對稱D.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱【解析】選ABD.由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0).圓是關(guān)于圓心對稱的中心對稱圖形,所以A正確;圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形,直線y=0過圓心,所以B正確;直線x-y+2=0不過圓心,所以C不正確;直線x+3y-2=0過圓心,所以D正確.【加練備選】(2024·沈陽模擬)已知直線l:mx+y-1=0(m∈R)是圓C:x2+y2-4x+2y+1=0的對稱軸,則m的值為 ()A.1 B.-1 C.2 D.3【解析】選A.由圓C方程得:圓心C(2,-1),因為直線l是圓C的對稱軸,所以圓心C在直線l上,即2m-1-1=0,解得m=1.第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.【考情分析】考點考法:直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考的熱點內(nèi)容之一,其中直線與圓相切及直線與圓相交是重點考查的內(nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r)位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點Δ<0Δ=0Δ>0幾何觀點d>rd=rd<r【微點撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系,常用幾何法而不用代數(shù)法.2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2位置關(guān)系方法公切線條數(shù)幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1+r2無解4外切d=r1+r2一組實數(shù)解3相交|r1-r2|<d<r1+r2兩組不同的實數(shù)解2內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解1內(nèi)含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)無解03.直線被圓截得的弦長(1)幾何法:弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形,弦長|AB|=2r2(2)代數(shù)法:設(shè)直線y=kx+m與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于點M,N,代入,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,則|MN|=1+k(x【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12,3541.(多維辨析)(多選題)下列說法正確的是 ()A.若直線與圓有公共點,則直線與圓相交或相切B.若兩圓沒有公共點,則兩圓一定外離C.若兩圓外切,則兩圓有且只有一個公共點,反之也成立D.若兩圓有公共點,則|r1-r2|≤d≤r1+r2【解析】選AD.直線與圓有一個公共點,則直線與圓相切,有兩個公共點,則直線與圓相交,故A正確;兩圓沒有公共點,則兩圓外離或內(nèi)含,故B錯誤;若兩圓外切,則兩圓有且只有一個公共點;若兩圓有且只有一個公共點,則兩圓外切或內(nèi)切,故C錯誤;若兩圓有公共點,則兩圓外切或相交或內(nèi)切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故D正確.2.(選擇性必修第一冊P96例5變條件)圓O1:x2+y2-4y+3=0和圓O2:x2+y2-16y=0的位置關(guān)系是 ()A.外離 B.相交 C.相切 D.內(nèi)含【解析】選D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O(shè)1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8,O1O2=(0-0)2+(3.(選擇性必修第一冊P93練習(xí)T3變條件)直線x-y+3=0被圓(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦長等于 ()A.62 B.3 C.23 D.【解析】選D.圓心(-2,2)到直線x-y+3=0的距離d=22,圓的半徑r=2,解直角三角形得,半弦長為62,所以弦長等于4.(2023·新高考Ⅰ卷)過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα= ()A.1 B.154 C.104 D【解析】選B.圓C:x2+y2-4x-1=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式得(x-2)2+y2=5,所以圓心C(2,0),半徑r=5,設(shè)∠CPA=θ,則α=2θ.如圖,sinθ=CACP=522=104,則cos所以sinα=sin2θ=2sinθcosθ=1545.(忽視直線斜率不存在的情形致誤)過點P(2,2)的圓C:x2+(y-1)2=2的切線方程為x=2或x+22y-52=0.

【解析】由圓C方程知:圓心C(0,1),半徑r=2;當(dāng)過P的直線斜率不存在,即直線方程為x=2時,直線與圓C相切;設(shè)過P點且斜率存在的圓C的切線方程為y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,則圓心C到直線的距離d=1-2kk2+1=2,即k=-24,所以該切線方程為-即x+22y-52=0;綜上所述:所求切線方程為x=2或x+22y-52=0.【巧記結(jié)論·速算】1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2(r>0)上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.2.當(dāng)兩圓外切時,兩圓有一條內(nèi)公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線;當(dāng)兩圓內(nèi)切時,兩圓有一條外公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線.無論兩圓外切還是內(nèi)切,將兩圓方程(方程等號右邊是0的形式)左右兩邊直接作差,消去x2,y2得到兩圓的公切線方程.3.兩圓相交時公共弦的性質(zhì)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E12-4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22(1)將兩圓方程直接作差,消去x2,y2得到兩圓公共弦所在直線方程;(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2).【即時練】1.已知過圓x2+y2=4外一點P(3,4)作圓的兩條切線,切點為A,B兩點,則A,B所在的直線方程為 ()A.3x+4y-4=0 B.3x+4y+4=0C.3x-4y-4=0 D.3x-4y+4=0【解析】選A.A,B所在的直線方程為3x+4y-4=0.2.圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-2)2=4的公共弦所在直線的方程為x-y=0.

【解析】根據(jù)題意(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,①x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②由②-①得x-y=0,即為兩圓公共弦所在直線的方程.【核心考點·分類突破】考點一直線與圓的位置關(guān)系【考情提示】直線與圓相切求切線方程以及直線與圓相交求弦長是高考的重點,正確利用圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵.角度1直線與圓的位置關(guān)系的判斷[例1](1)(一題多法)已知圓C:x2+y2-6x-8y+21=0和直線l:kx-y+3-4k=0的位置關(guān)系是 ()A.相交、相切或相離 B.相交或相切C.相交 D.相切【解析】選C.圓C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圓心為C(3,4),半徑為r=2.方法一直線l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直線l過定點B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以點B(4,3)在圓C內(nèi),所以直線l與圓C相交.方法二圓心C(3,4)到直線l:kx-y+3-4k=0的距離為|3k-4+3-4k|1+所以直線與圓相交.(2)(多選題)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是 ()A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切【解析】選ABD.圓心C(0,0)到直線l的距離d=r2a2+b2,若點A(a,b)在圓C上,則a2+b2=r2,所以d=r2若點A(a,b)在圓C內(nèi),則a2+b2<r2,所以d=r2a2+b2>若點A(a,b)在圓C外,則a2+b2>r2,所以d=r2a2+b2<若點A(a,b)在直線l上,則a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d=r2a2+b2=r【解題技法】判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法(1)幾何法:圓心到直線的距離與圓半徑比較大小,特點是計算量較小;(2)代數(shù)法:將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組,通過解的情況判斷,適合于判斷直線與圓的位置關(guān)系.角度2弦長問題[例2](2024·昆明模擬)已知直線y=2x與圓(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B兩點,則AB= ()A.55 B.255 C.35【解析】選B.因為圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=1,所以圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑r=1,則圓心(2,2)到直線y=2x的距離d=2×2-22所以弦長AB=2r2-d2=2【解題技法】直線和圓相交弦長的兩種求法(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,根據(jù)弦長公式求弦長.(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長l=2r2根據(jù)弦長求直線方程時要注意驗證斜率不存在的情況.角度3切線問題[例3]已知點P(2+1,2-2),點M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求過點P的圓C的切線方程;【解析】由題意得圓心C(1,2),半徑r=2.(1)因為(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以點P在圓C上.又kPC=2-2-22+1所以過點P的圓C的切線方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.[例3]已知點P(2+1,2-2),點M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.(2)求過點M的圓C的切線方程,并求出切線長.【解析】(2)因為(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以點M在圓C外部.當(dāng)過點M的直線斜率不存在時,直線方程為x=3,即x-3=0.又點C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r,即此時滿足題意,所以直線x=3是圓的切線.當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,則圓心C到切線的距離d=|k-2+1-3k|所以切線方程為y-1=34(x即3x-4y-5=0.綜上可得,過點M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.因為|MC|=(3-1所以過點M的圓C的切線長為|MC|2-【解題技法】1.過一點求圓的切線方程的兩種求法(1)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個一元二次方程,然后令判別式Δ=0進(jìn)而求得k.注意斜率不存在的情況.(2)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k.注意斜率不存在的情況.特別地,當(dāng)點在圓上時,可直接利用圓心與切點的連線的斜率及切線的性質(zhì)求切線方程.2.過圓外一點P引圓的切線,求切線長時,常利用點P、圓心、切點構(gòu)成的直角三角形求解.【對點訓(xùn)練】1.(2024·南京模擬)直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是 ()A.過圓心 B.相切C.相離 D.相交但不過圓心【解析】選D.由題意知,圓(x-1)2+(y+1)2=9的圓心為(1,-1),半徑r=3,則圓心到直線3x+4y+12=0的距離d=3×1+4×(-1)因為0<d<r,所以直線與圓相交但不過圓心.2.過點(-33,0)且傾斜角為π3的直線l交圓x2+y2-6y=0于A,B兩點,則弦AB的長為 (A.42 B.22 C.210 D.10【解析】選A.過點(-33,0)且傾斜角為π3的直線l的方程為y=3(x+33),即3x又圓x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圓心(0,3),半徑r=3,則圓心(0,3)到直線l的距離d=|-3+1所以直線被圓截得的弦AB=232-13.(2024·曲靖模擬)若直線3x+4y-b=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則b的值是 ()A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12【解析】選D.由(x-1)2+(y-1)2=1得圓的圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,因為直線3x+4y-b=0與圓相切,所以|3+4-b|32【加練備選】(2024·宜春模擬)已知圓C經(jīng)過三點O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圓C的方程;【解析】(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圓C經(jīng)過三點O(0,0),A(1,1),B(4,2),得F=02+D所以圓C的方程為x2+y2-8x+6y=0.(2024·宜春模擬)已知圓C經(jīng)過三點O(0,0),A(1,1),B(4,2).(2)經(jīng)過點M(1,-4)的直線l被圓C所截得的弦長為45,求直線l的方程.【解析】(2)由(1)知圓C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圓心C(4,-3),半徑為5,由直線l被圓C所截得的弦長為45,得圓心C到直線l的距離d=52-(而直線l經(jīng)過點M(1,-4),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=4k+3-4-kk2+1所以直線l的方程為2x-y-6=0或x+2y+7=0.考點二圓與圓的位置關(guān)系[例4](1)已知圓E的圓心在y軸上,且與圓x2+y2-2x=0的公共弦所在直線的方程為x-3y=0,則圓E的方程為 ()A.x2+(y-3)2=2 B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3 D.x2+(y+3)2=3【解析】選C.兩圓圓心連線與公共弦垂直,不妨設(shè)所求圓心的坐標(biāo)為(0,a),半徑為r.又圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1,故a-1×13=-1,解得a故所求圓心為(0,3).點(1,0)到直線x-3y=0的距離為11+3=1所以x2+y2-2x=0截直線x-3y=0所得弦長為212-14=3,圓心(0,3)到直線x-3y=0的距離為32,所以圓截直線x-3y=0所得弦長為2r2-故圓心坐標(biāo)為(0,3),半徑為3.得圓E的方程為x2+(y-3)2=3.(2)已知兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判斷兩圓公切線的條數(shù);【解析】①兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,則圓C1的圓心為(1,-5),半徑r1=52;圓C2的圓心為(-1,-1),半徑r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以兩圓相交,所以兩圓有兩條公切線.(2)已知兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.②求公共弦所在的直線方程以及公共弦的長度.【解析】②將兩圓方程相減,得公共弦所在直線方程為x-2y+4=0.圓心C1到直線x-2y+4=0的距離d=|1-2×設(shè)公共弦長為2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦長2l=25.一題多變[變式1]本例(2)中,若兩圓相交于A,B兩點,不求交點,則線段C1C2(C1,C2分別為兩個圓的圓心)的垂直平分線所在的直線方程為x-2y-6=0.

【解析】由圓C1的圓心坐標(biāo)為(1,-5),圓C2的圓心坐標(biāo)為(-1,-1),可知kC1C2=-5-(-1)1-(-1因此線段C1C2的垂直平分線所在的直線方程為y+3=12x,即x-2y-6=0[變式2]本例(2)中的兩圓若相交于兩點A,B,則經(jīng)過兩點A,B且圓心在直線x+y=0上的圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.

【解析】設(shè)所求的圓的方程為x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圓的圓心坐標(biāo)為(1-λ1+λ,-λ+51+λ),由于圓心在x解得λ=-2,因此所求的圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.【解題技法】圓與圓的位置關(guān)系問題的解題策略(1)判斷兩圓位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對值的大小關(guān)系判斷.(2)兩圓相交時,兩圓的公共弦所在直線的方程,可由兩圓的方程作差消去x2,y2項得到.(3)求兩圓公共弦長,常選其中一圓,由弦心距d、半弦長l2、半徑r構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理求解考點三與圓有關(guān)的最值、范圍問題[例5](2024·沈陽模擬)已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)yx【解析】(1)由圓的一般方程可得:圓心為(2,0),半徑r=3;因為02+02-4×0+1=1>0,所以原點在圓x2+y2-4x+1=0的