2025版 數學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版四十六 空間向量的運算及其坐標表示含答案

2版數學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版四十六空間向量的運算及其坐標表示含答案四十六空間向量的運算及其坐標表示(時間:45分鐘分值:95分)【基礎落實練】1.(5分)在空間四邊形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值為 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選B.在空間四邊形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·CD+(AB+BC)·(AB-AD)+AD·BC=AB·CD+AB·AB+AB·BC-AB·AD=AB·(BC+CD)+AB·(AB-AD)=AB·BD+AB·DB=0.2.(5分)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,則λ= ()A.9 B.-9 C.-3 D.3【解析】選B.由題意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),所以2x-y=73.(5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,設AD=1,則BD1·AD等于 (A.1 B.2 C.3 D.6【解析】選A.由長方體的性質可知AD⊥AB,AD⊥BB1,AD∥BC,AD=BC=1,BD1=BA+BC+所以BD1·AD=(BA+BC+B=BA·AD+BC·AD+BB1=0+BC2+0=14.(5分)如圖,在空間四邊形ABCD中,若向量AB=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),點E,F分別為線段BC,AD的中點,則EF的坐標為 ()A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)【解析】選B.取AC的中點M,連接ME,MF(圖略),ME=12AB=MF=12CD=而EF=MF-ME=(-2,-3,-3).5.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 ()A.32 B.C.105 D.【解析】選C.由題知,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,因為BC?平面ABC,AB?平面ABC,所以BB1⊥BC,CC1⊥AB,因為AB1=BB1-BA,BC所以AB1·BC1=BB1·BC+BB1·CC1-BA因為AB1=5,BC所以cos<AB1,BC1>=AB1·BC1AB16.(5分)如圖,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,則AC·AD=________【解析】由題干圖可得:AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=0+3BD·=3(BA+AD)·AD=3·|AD|2=3.答案:37.(5分)(2023·西安模擬)空間四邊形ABCD中,AC與BD是四邊形的兩條對角線,M,N分別為線段AB,CD上的兩點,且滿足AM=23AB,DN=34DC,若點G在線段MN上,且滿足MG=3GN,若向量AG滿足AG=xAB+yAC+zAD,則x+y+【解析】空間四邊形ABCD中,AC與BD是四邊形的兩條對角線,M,N分別為線段AB,CD上的兩點,且滿足AM=23AB,DN=34DC,若點G在線段MN上,且滿足由于MG=3GN,得AG-AM=3(AN-AG),整理得4AG=3AN+AM=3AD+3DN+AM=3AD+94DC=3AD+94AC-9=34AD+94所以AG=316AD+916故x=16,y=916,z=所以x+y+z=1112答案:118.(5分)如圖所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC=________.

【解析】因為PC=PA+AB+BC,所以|PC|2=|PA|2+|AB|2+|BC|2+2AB·BC=36+36+36+2×36cos60°=144.所以|PC|=12.答案:129.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M為PC的中點.(1)求證:PB⊥DM;【解析】(1)結合題圖知,PB=AB-AP,DM=12(DP+DC)=12(AP-AD+AB-12AD)=12AP+12AB-34AD,則PB·DM=(=12|AB|2-12|AP|2=0,故PB9.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M為PC的中點.(2)求AC與PD所成角的余弦值.【解析】(2)設PA=AD=AB=2BC=2,由于PD=AD-AP,AC=AB+12因此|PD|2=|AD-AP|2=AD2-2AD·AP+AP故|PD|=22,|AC|2=|AB+12AD=|AB|2+2AB·12AD+14|AD故|AC|=5,PD·AC=(AD-AP)·AB+故cos<PD,AC>=222×所以AC與PD所成角的余弦值為1010【能力提升練】10.(5分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,且滿足DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD1,則|DE|的最小值是 (A.13 B.23 C.33 【解析】選C.因為DE=xDA+yDC+(1-x-y)DD由空間向量的共面定理可知,點E,A,C,D1四點共面,即點E在平面ACD1上,所以|DE|的最小值即為點D到平面ACD1的距離d,由正方體的棱長為1,可得△ACD1是邊長為2的等邊三角形,則S△ACD1=12×(2)2S△ACD=12×1×1=1由等體積法得VD-AC所以13×32×d=13解得d=33,所以|DE|的最小值為311.(5分)已知長方體ABCD-A1B1C1D1,下列向量的數量積一定為0的是 ()A.AD1·B1C BC.AB·AD1 D.B【解析】選C.當側面BCC1B1是正方形時,得AD1·當底面ABCD是正方形時,得AC垂直于體對角線BD1,所以排除B;顯然AB⊥側面ADD1A1,C正確;由題圖可得BD1與BC所成的角小于90°,所以排除D.12.(5分)已知點O為空間直角坐標系的原點,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且點Q在直線OP上運動,當QA·QB取得最小值時,OQ的坐標是____________.

【解析】因為OP=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,設OQ=λOP=(λ,λ,2λ),又因為OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),所以QA=OA-OQ=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=(2-λ,1-λ,2-2λ),則QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-43)2-2當λ=43時,QA·QB此時OQ的坐標為43答案:413.(5分)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點,則cos∠EAF=______,EF=______.

【解析】如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,因為正方體的棱長為1,則E(0,12F(1,0,12),所以AE=0,12,1,AF=(1,0,12cos<AE,AF>=AE·AF|AE||所以cos∠EAF=25EF=|EF|=12+-答案:2514.(10分)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(1)求BN的模;【解析】(1)如圖,以點C作為坐標原點O,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系.由題意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|BN|=(1-014.(10分)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(2)求cos<BA1,【解析】(2)由題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以BA1=(1,-1,2),BA1·CB1=3,|BA1|=所以cos<BA1,CB1>=14.(10分)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.(3)求證:A1B⊥C1M.【解析】(3)由題意得C1(0,0,2),M12A1B=(-1,1,-2),C1所以A1B·C1M=-所以A1B⊥C1M,即A1B15.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),點A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;【解析】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|=02+(-15.(10分)已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),點A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(2)在直線AB上是否存在一點E,使得OE⊥b?(O為原點)【解析】(2)令AE=tAB(t∈R),所以OE=OA+AE=OA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若OE⊥b,則OE·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95因此存在點E,使得OE⊥b,此時E點的坐標為-6【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)(多選題)在三棱錐P-ABC中,以下說法正確的有 ()A.若2AD=AB+AP,則BP=3BDB.若PA·AC=0,PA·AB=0,則PA·BC=0C.若PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,M,N分別為PA,BC的中點,則MN=2D.若T為△ABC的重心,則2PT+AT=PB+PC【解析】選BD.由2AD=AB+AP,得2OD-OA=OB-OA+OP-OA,整理可得,2OD=OB+所以OD-OB=OP-OD,即BD=DP,所以BP=2BD,故A錯誤;因為PA·AC=0,PA·AB=0,且BC=AC-AB,所以PA·BC=PA·(AC-AB)=PA·AC-PA·AB=0,故B正確;因為PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,由勾股定理逆定理可得,∠APB=∠APC=∠BPC=90°,因為M,N分別為PA,BC的中點,所以MN=PN-PM=12所以MN2==14(PB2+PC2+PA2+22PB·PA-2PA·PC)=14×(4+4+4+0-0-0)=3,所以MN=3若T為△ABC的重心,設BC中點為N,則PT=PA+AT=PA+2=PA+2=PA+23(12=13(PA+PB+PC所以3PT=PA+PB+PC,所以3PT=PT+TA+PB+PC,所以2PT-TA=PB+PC,即2PT+AT=PB+PC,故D正確.四十七利用空間向量研究直線、平面的位置關系(時間:45分鐘分值:85分)【基礎落實練】1.(5分)已知平面α內有一個點A(2,-1,2),α的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點P中,在平面α內的是 ()A.(1,-1,1) B.1C.1,-3,32【解析】選B.由題意可知符合條件的點P應滿足PA·n=0,選項A,PA=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),PA·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α內;同理可得:選項B,PA=(1,-4,12),PA·n=0,故在平面α選項C,PA=(1,2,12),PA·n=6≠0,故不在平面α選項D,PA=(3,-4,72),PA·n=12≠0,故不在平面α內2.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點建立空間直角坐標系,E為BB1的中點,F為A1D1的中點,則下列向量中,能作為平面AEF的法向量的是 ()A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1) D.(1,2,-2)【解析】選B.設AB=2,則A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),設平面AEF的法向量n=(x,y,z),則n·取y=1,得n=(-4,1,-2).3.(5分)已知向量m=(2,-4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,-3y)是直線l的方向向量,若l⊥α,則x+y= ()A.-4 B.4 C.-2 D.2【解析】選C.因為n是直線l的方向向量,m是平面α的法向量,l⊥α,所以m∥n,所以26=-4x12=1-所以x+y=-2.4.(5分)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和AC上的點,A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關系是 (A.相交 B.平行C.垂直 D.不能確定【解析】選B.分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.因為A1M=AN=2a3,A1B=AC=2所以M(a,23a,a3),N(23a,23所以MN=(-a3,0,23又因為C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1D1=(0,a,0),所以MN所以MN⊥C1D1.因為C1D1是平面BB1C1C的一個法向量,且MN?平面BB1C1C,所以MN∥5.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則 ()A.BD1⊥平面B1EFB.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EFD.A1D∥平面B1EF【解析】選C.以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設AB=2,則B12,2,2F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,C1(0,2,2),D(0,0,0),D1(0,0,2).EF=-1,1,0,E設平面B1EF的法向量為m=x,y,z,則m·因為BD1與m不平行,所以BD1與平面B1因為DB與m不平行,所以BD與平面B1EF不垂直,B錯誤;因為A1C1·m=0,且直線A1C1在平面B1EF外,所以A1C1∥平面B因為DA1·m=2≠0,所以A1D與平面B1EF6.(5分)(多選題)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點,F為A1D1的中點,如圖所示建立空間直角坐標系,則下列說法正確的有 ()A.DB1=32B.向量AE與AC1C.平面AEF的一個法向量是(4,-1,2)D.A1D⊥BD1【解析】選BCD.根據空間直角坐標系D-xyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E為BB1的中點,F為A1D1的中點,所以E(2,2,1),F(1,0,2),故DB1=|DB1|=22對于B,因為AE=(0,2,1),AC所以|AE|=5,|AC1|=2故cos<AE,AC1>=AE·AC對于C,設平面AEF的法向量為n=(x,y,z),因為AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),所以n·AE=0

n·AF=0,整理得y=對于D,由于A1D=(-2,0,-2),故A1D·BD1=0,故A1D⊥【加練備選】(多選題)以下命題正確的是 ()A.直線l的方向向量為a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),則l⊥mB.直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),則l⊥αC.兩個不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),則α∥βD.平面α經過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1【解析】選CD.直線l的方向向量a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,-1,2)·(1,2,1)=1,則l與m不垂直,所以A不正確;直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,則l∥α或l?α,所以B不正確;兩個不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),n1=-12n2=(2,-1,0),則α∥β平面α經過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,可得n·AB=-1+u7.(5分)已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則x+y+z=________.

【解析】因為AB⊥BC,所以AB·BC=3+5-2z=0,所以z=4,所以BC=(3,1,4),又因為BP⊥平面ABC,AB,BC?平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,所以BP·解得x=因此x+y+z=537答案:538.(5分)如圖,在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.寫出平面MD1B的一個法向量為________.

【解析】根據題意,在坐標系中,A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),由于點M在棱C1C上,且CM=2MC1,因此M(0,3,2),則D1B=(3,3,-3),設平面MD1B的一個法向量為n=(x,y,z),則有D1令y=1可得,x=2,z=3,則n=(2,1,3),故平面MD1B的一個法向量為(2,1,3).答案:(2,1,3)(答案不唯一)9.(10分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點.求證:(1)PB∥平面EFH;【證明】(1)因為E,H分別是線段AP,AB的中點,所以PB∥EH.因為PB?平面EFH,且EH?平面EFH,所以PB∥平面EFH.9.(10分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點.求證:(2)PD⊥平面AHF.【證明】(2)建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0).PD=(0,2,-2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1),因為PD·AF=0×0+2×1+(-2)×1=0,PD·AH=0×1+2×0+(-2)×0=0.所以PD⊥AF,PD⊥AH,所以PD⊥AF,PD⊥AH.因為AH∩AF=A,且AH,AF?平面AHF,所以PD⊥平面AHF.【能力提升練】10.(5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,點P為線段A1C上的動點,則下列結論不正確的是 ()A.當A1C=2A1P時,B1,B.當AP⊥A1C時,APC.當A1C=3A1P時,D1PD.當A1C=5A1P時,A1C⊥【解析】選B.如圖,建立空間直角坐標系,則A1(1,0,1),C(0,3,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,3,1),D(0,0,0),B(1,3,0),C1(0,3,1),當A1C=2A1P時,A1P=(-DP=DA1+A1P=(12而DB1=(1,所以DP=12所以B1,P,D三點共線,A正確,不符合題意;設A1P=λA1C,則AP=AA1+A1P=AA1+λA1C=(-當AP⊥A1C時,有AP·A1所以λ=15,所以AP=(-15,35,45),D1P=D1A1所以AP·D1P=(-15,35,45)·(4=-15所以AP與D1當A1C=3A1P時,A1P=(-D1P=A1P-A1D1又DB=(1,3,0),DC1=(0,所以D1P=23所以D1P,DB,又D1P?平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C正確,不符合題意;當A1C=5A1P時,A1P=(-從而AP=(-15,35,又AD1·A1C=(-1,0,1)·(-1,3,-1)=0,所以A1CAP·A1C=(-15,35,所以A1C⊥AP,因為AD1∩AP=A,AD1,AP?平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正確,不符合題意.11.(5分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則直線ON,AM所成的角為________.

【解析】以A為原點,分別以AB,AD,AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略).設正方體的棱長為1,則A(0,0,0),M(0,1,12),O(12,12,0),AM·ON=0,1,所以ON與AM所成的角為90°.答案:90°12.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中點,C1N=λNC,且AB1⊥MN,則λ的值為【解析】如圖所示,取B1C1的中點P,連接MP,以MC,MA,MP的方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系,因為底面邊長為1,側棱長為2,則A(0,32,0),B1(-12,0,2),C(C1(12,0,2),M設N(12,0,t),因為C1N=所以N(12,0,2所以AB1=(-12,-32,2),MN=(1又因為AB1⊥MN,所以AB1·所以-14+41+λ=0,解得答案:1513.(5分)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是棱D1D上一點,N是A1B1的中點,則當DMDD1=________時,ON【解析】以A為坐標原點,以AB,AD,AA1的方向分別為x,y,設正方體的棱長為1,則A(0,0,0),O(12,12,0),N(1設M(0,1,a)(0≤a≤1),則AM·ON=(0,1,a)·(0,-12,1)=-12+解得a=12.故當DMDD1=12時,答案:114.(10分)(2024·常州模擬)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(1)求證:AB⊥PD;【解析】(1)取AB的中點為O,連接DO,PO,因為PA=PB,所以PO⊥AB,又因為底面ABCD為直角梯形,且AB⊥BC,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,所以四邊形OBCD為正方形,則DO⊥AB,又因為DO∩PO=O,且DO,PO?平面POD,所以AB⊥平面POD,又PD?平面POD,所以AB⊥PD;14.(10分)(2024·常州模擬)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB