2019高三一輪總復習文科數(shù)學課時跟蹤檢測73空間點線面之間的位置關系

[課時跟蹤檢測][基礎達標]1．空間四點中，三點共線是這四點共面的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：三點共線一定推出四點共面，但是四點共面推不出三點一定共線，故選A.答案：A2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EFA．相交 B．異面C．平行 D．垂直解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，則A1B與EF答案：A3．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析：依題意，直線b和c的位置關系可能是相交，平行或異面，故選D.答案：D4．用a，b，c表示空間中三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a∥b，a∥c，則b∥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()A．①② B．②③C．①④ D．②④解析：若a⊥b，b⊥c，則a∥c或a與c相交或a與c異面，所以①是假命題；在空間中，平行于同一直線的兩條直線平行，所以②是真命題；若a∥γ，b∥γ，則a∥b或a與b相交或a與b異面，所以③是假命題；若兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行，所以④是真命題，故選D.答案：D5．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：連接A1C1，AC，則A1C1∥∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1∴A，M，O三點共線．答案：A6．(2017屆浙江溫州二模)已知a，b為異面直線，下列結論不正確的是()A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b與α所成角相等C．必存在平面α，使得a?α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b與α的距離相等解析：由a，b為異面直線知，在A中，在空間中任取一點O，過O分別作a，b的平行線，則由過O的a，b的平行線確定一個平面α，使得a∥α，b∥α，故正確；在B中，平移b至b′與a相交，因而確定一個平面α，在α上作a，b′交角的平分線，明顯可以做出兩條．過角平分線且與平面α垂直的平面α使得a，b與α所成角相等．角平分線有兩條，所以有兩個平面都可以，故正確；在C中，當a，b不垂直時，不存在平面α使得a?α，b⊥α，故錯誤；在D中，過異面直線a，b的公垂線的中點作與公垂線垂直的平面α，則平面α使得a，b與α的距離相等，故正確．答案：C7．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結論中錯誤的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A－BEF的體積為定值D．△AEF的面積與△BEF的面積相等解析：由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正確；由EF∥BD，EF?平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正確；A到平面BEF的距離即A到平面DBB1D1的距離為eq\f(\r(2),2)，且S△BEF＝eq\f(1,2)BB1×EF＝定值，故VA－BEF為定值，故C正確．答案：D8．如圖，正三棱柱ABC－A′B′C′的底面邊長和側棱長均為2，D、E分別為AA′與BC的中點，則A′E與BD所成角的余弦值為()A．0 B.eq\f(\r(35),7)C.eq\f(\r(14),7) D.eq\f(\r(10),5)解析：取B′B中點F，連接A′F，則有A′F綊BD，∴∠FA′E或其補角即為所求．∵正三棱柱ABC－A′B′C′棱長均為2，∴A′F＝eq\r(5)，F(xiàn)E＝eq\r(2)，A′E＝eq\r(7).∴cos∠FA′E＝eq\f(\r(35),7)，故A′E與BD所成角余弦值為eq\f(\r(35),7).答案：B9．對于空間三條直線，有下列四個條件：①三條直線兩兩相交且不共點；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中使三條直線共面的充分條件有________．解析：易知①中的三條直線一定共面；三棱柱三側棱兩兩平行，但不共面，故②錯；三棱錐三側棱交于一點，但不共面，故③錯；④中兩條直線平行可確定一個平面，第三條直線和這兩條直線相交于兩點，則第三條直線也在這個平面內，故三條直線共面．答案：①④10．如圖，E，F(xiàn)分別是三棱錐P－ABC的棱AP，BC的中點，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成的角為________．解析：取AC的中點為M，連接EM，MF，因為E，F(xiàn)分別是AP、BC的中點，所以MF∥AB，MF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(6,2)＝3，ME∥PC，ME＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(10,2)＝5，所以在△EMF中，∠EMF(或其補角)即為AB與PC所成的角(或其補角)．∴cos∠EMF＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝eq\f(－15,30)＝－eq\f(1,2)，所以∠EMF＝120°，所以異面直線AB與PC所成的角為60°.答案：60°11．下列各圖的正方體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則使這四個點共面的圖形是________(把正確圖形的序號都填上)．解析：①中直線QP與直線RS相交，所以四點共面；②中直線PS與直線QR平行，所以四點共面．③中直線SR與直線PQ平行，所以四點共面；④中直線PS與直線RQ異面，所以四點不共面．答案：①②③12．已知空間四邊形ABCD中，E，H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD的中點．(1)求證：BC與AD是異面直線；(2)求證：EG與FH相交．證明：(1)假設BC與AD共面，不妨設它們所共平面為α，則B，C，A，D∈α.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾，所以BC與AD是異面直線．(2)如圖，連接AC，BD，則EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，則四邊形EFGH為平行四邊形．又EG，F(xiàn)H是?EFGH的對角線，所以EG與FH相交．[能力提升]1．設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，eq\r(2)和a，且長為a的棱與長為eq\r(2)的棱異面，則a的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)) B．(0，eq\r(3))C．(1，eq\r(2)) D．(1，eq\r(3))解析：構造四面體ABCD，使AB＝a，CD＝eq\r(2)，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中點E，連接AE，BE.則AE＝BE＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)>a,0<a<eq\r(2).答案：A2．(2017屆吉林長春外國語期末)設m，n為兩條直線，α，β為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是()A．若m，n與α所成的角相等，則m∥nB．若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥nC．若m?α，n?β，m∥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n解析：對于A，當直線m，n與平面α所成的角相等時，不一定有m∥n，∴A錯誤；對于B，當m∥α，n∥β，且α∥β時，m∥n不一定成立，∴B錯誤；對于C，當m?α，n?β，且m∥n時，α∥β不一定成立，∴C錯誤；對于D，當n⊥β，α⊥β時，n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，D正確．故選D.答案：D3．(2017屆遼寧本溪聯(lián)考)已知a，b表示兩條不同直線，α，β，γ表示三個不同的平面，給出下列命題：①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；②若a?α，a垂直于β內的任意一條直線，則α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b；④若a不垂直于平面α，則a不可能垂直于平面α內的無數(shù)條直線；⑤若a⊥α，a⊥β，則α∥β.上述五個命題中，正確的命題序號是________．解析：對于①，根據(jù)線面垂直的判定定理，需要一條直線垂直于兩條相交的直線，故不正確；對于②，a垂直于β內的任意一條直線，滿足線面垂直的定義，即可得到a⊥β，又a?α，則α⊥β，故正確；對于③，α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b或a∥b，或相交，故不正確；對于④，若a不垂直于平面α，則a可能垂直于平面α內的無數(shù)條直線，故不正確；對于⑤，根據(jù)線面垂直的性質，若a⊥α，a⊥β，則α∥β，故正確．答案：②⑤4．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)