蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講練專題訓(xùn)練全等三角形壓軸題型(原卷版+解析)

專題訓(xùn)練全等三角形壓軸題型【題型歸納】全等三角形壓軸題型【重難點(diǎn)題型】1．（2020·山東德州·八年級(jí)期中）在和中，，，，，則這兩個(gè)三角形的關(guān)系是（

）A．不一定全等 B．不全等 C．根據(jù)“ASA”全等 D．根據(jù)“SAS”全等2．（2021·安徽·淮南實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知，點(diǎn)D、E分別在、上且，連接交于點(diǎn)M，連接，過點(diǎn)A分別作，垂足分別為F、G，下列結(jié)論：①；②；③平分；④如果，則E是的中點(diǎn)；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）“經(jīng)過已知角一邊上的一點(diǎn)作“個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程如下：已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點(diǎn)C．求作：一個(gè)角等于∠AOB，使它的頂點(diǎn)為C，一邊為CA．作法：如圖（2），（1）在0A上取一點(diǎn)D（OD＜OC），以點(diǎn)O為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)E；（2）以點(diǎn)C為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫弧，交CA于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；（3）作射線CC．所以∠CCA就是所求作的角此作圖的依據(jù)中不含有（）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．兩直線平行同位角相等 D．兩點(diǎn)確定一條直線4．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，則∠BFD的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．45° D．120°5．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，、是的角平分線，、相交于點(diǎn)F，已知，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．46．（2020·廣東·廣州市番禺執(zhí)信中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=20cm，BC=16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE=6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上從點(diǎn)C到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)時(shí)間t為（

）s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．37．（廣西玉林·八年級(jí)期末）如圖，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90?，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90?，CD，BE相交于點(diǎn)F，有下列四個(gè)結(jié)論：①DC=BE；②∠BDC=∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)8．（2021·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，在的網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，連接，相交于，那么的大小是（

）A． B． C． D．9．（2021·江蘇·灌南縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖所示，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于點(diǎn)F，若∠BAC=40°，則∠BFC的大小是（

）A．105° B．100° C．110° D．115°10．（2021·江蘇無錫·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，以為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接為邊上的高線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，下列結(jié)論①；②；③；④，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，平分，于，若，則為______．12．（2021·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，，垂足為點(diǎn)A，射線，垂足為點(diǎn)B，，．動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D在射線BM上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，始終保持．若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)________個(gè)秒時(shí)，與全等．13．（2020·湖北·武漢市武珞路中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分線交于點(diǎn)O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，則∠OAC的度數(shù)是_____°．（用含x的式子表示）14．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHE=_______．15．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，連接MN，已知MN＝4，則BD＝_________．16．（2021·重慶梁平·八年級(jí)期末）如圖，AO⊥OM，OA=7，點(diǎn)B為射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上移動(dòng)時(shí)，則PB的長(zhǎng)度____________．17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一條直線上，連接，，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的有_________．①；②；③；④；⑤平分18．（河南南陽·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，是的平分線上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)沿折疊后與點(diǎn)重合，則的度數(shù)是__．19．（2021·山西陽泉·八年級(jí)期中）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）20．（2021·江蘇無錫·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D是△ABC中∠BAC的平分線和邊BC的垂直平分線DE的交點(diǎn)，DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：BG＝CH；（2）若AB＝12，AC＝8，求BG的長(zhǎng)．21．（2021·北京·北理工附中八年級(jí)期中）如圖，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射線BM，∠ABM＝80°，過射線BM上一點(diǎn)D，作∥，且DF＝AB，連接FA．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷AF與BD的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是，連接FB，證明你所填寫的AF與BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．（3）平面內(nèi)有一點(diǎn)G，使得DG＝DB，F(xiàn)G＝FC，求∠BDG的值．22．（2021·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖ABD與AEC均為等腰直角三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）如圖1，若反向延長(zhǎng)ABC的高AM交DE于點(diǎn)N，過D作DH⊥MN．求證：DH＝AM，DN＝EN；（2）如圖2，若AM為ABC的中線，反向延長(zhǎng)AM交DE于點(diǎn)N，試探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）由（1）（2）的探究我們發(fā)現(xiàn)．（填“＜”“＞”或“＝”號(hào)，無需證明）23．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)七年級(jí)期中）【初步探索】（1）如圖1：在四邊中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是____________________；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，已知在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，給出證明過程．24．（2021·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長(zhǎng)上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）25．（2021·江蘇·無錫市第一女子中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）（1）問題引入：如圖1，點(diǎn)F是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時(shí)點(diǎn)G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識(shí)遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實(shí)踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點(diǎn)E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長(zhǎng)．（用含a，b，c的式子表示）26．（2020·重慶市大坪中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在中，，．是過點(diǎn)的直線，于，于．（1）求證：．（2）若將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與相交于點(diǎn)（如圖2），其他條件不變，求證：．（3）在（2）的情況下，若的延長(zhǎng)線過的中點(diǎn)（如圖3），連接，求證：．27．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，已知中，，，分別過、向過的直線作垂線，垂足分別為．（1）如圖1，過的直線與斜邊不相交時(shí)，直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，過的直線與斜邊相交時(shí)，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．專題訓(xùn)練全等三角形壓軸題型【題型歸納】全等三角形壓軸題型【重難點(diǎn)題型】1．（2020·山東德州·八年級(jí)期中）在和中，，，，，則這兩個(gè)三角形的關(guān)系是（

）A．不一定全等 B．不全等 C．根據(jù)“ASA”全等 D．根據(jù)“SAS”全等【答案】D【解析】【分析】由角度數(shù)量關(guān)系與三角形內(nèi)角和定理可得，，由線段的數(shù)量關(guān)系可得，，進(jìn)而可證明三角形全等．【詳解】解：∵，∴，∵①+②得②-①得∴在和中，∵∴故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于找出三角形全等的條件．2．（2021·安徽·淮南實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知，點(diǎn)D、E分別在、上且，連接交于點(diǎn)M，連接，過點(diǎn)A分別作，垂足分別為F、G，下列結(jié)論：①；②；③平分；④如果，則E是的中點(diǎn)；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，三角形的面積公式，四邊形的內(nèi)角和定理，補(bǔ)角的定義等逐一判斷即可．【詳解】∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，BE=CD，∴∠EBM=∠DCM，∵∠BME=∠CMD，∴△BME≌△CMD，∴結(jié)論①正確；∵，∴∠FAG+∠FMG=180°，∵∠EMB+∠FMG=180°，∴∠FAG=∠EMB，∴結(jié)論②正確；∵△BME≌△CMD，∴∠BEM=∠CDM，∴∠AEF=∠ADG，∵，AE=AD，∴△AEF≌△ADG，∴AF=AG，∴MA平分∠EMD，∴結(jié)論③正確；∵△BME≌△CMD，∴∠BEM=∠CDM，EM=DM，∴∠AEM=∠ADM，∵AE=AD，∴△AEM≌△ADM，∴，∵，∴，∴E是AB的中點(diǎn)，∴結(jié)論④正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理，鄰角，四邊形的內(nèi)角和定理，三角形的面積，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）“經(jīng)過已知角一邊上的一點(diǎn)作“個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過程如下：已知：如圖（1），∠AOB和OA上一點(diǎn)C．求作：一個(gè)角等于∠AOB，使它的頂點(diǎn)為C，一邊為CA．作法：如圖（2），（1）在0A上取一點(diǎn)D（OD＜OC），以點(diǎn)O為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)E；（2）以點(diǎn)C為圓心，OD長(zhǎng)為半徑畫弧，交CA于點(diǎn)F，以點(diǎn)F為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；（3）作射線CC．所以∠CCA就是所求作的角此作圖的依據(jù)中不含有（）A．三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．兩直線平行同位角相等 D．兩點(diǎn)確定一條直線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意知，作圖依據(jù)有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性質(zhì)和兩點(diǎn)確定一條直線，直接判斷即可．【詳解】解：由題意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正確；結(jié)合該全等三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等，故B正確；作射線CG，利用兩點(diǎn)確定一條直線，故D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查作一個(gè)角等于已知角和三角形全等的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確作圖原理，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．4．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，則∠BFD的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．45° D．120°【答案】B【解析】【分析】先證△BAE≌△CAD，得出∠B=∠C，再證∠CFB=∠BAC=90°即可．【詳解】解：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE=∠CAD，在△BAE和△CAD中，,∴△BAE≌△CAD，∴∠B=∠C，∵∠BGA=∠CGF，∴∠CFB=∠BAC=90°,∴∠BFD=90°,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是確定全等三角形并通過8字型導(dǎo)角求出度數(shù)．5．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，、是的角平分線，、相交于點(diǎn)F，已知，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】當(dāng)AF=FC、△AEF≌△CDF時(shí)，需要滿足條件∠BAC=∠BCA，據(jù)此可判斷①②；在AC上取AG=AE，連接FG，即可證得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再證得∠CFG=∠CFD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得結(jié)論，據(jù)此可判斷③④．【詳解】解：①假設(shè)AF=FC．則∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；故①不一定正確；②假設(shè)△AEF≌△CDF，則∠2=∠3．同①，當(dāng)∠BAC=∠BCA時(shí)，該結(jié)論成立，∴當(dāng)∠BAC≠∠BCA時(shí)，該結(jié)論不成立；故②不一定正確；③如圖，在AC上取AG=AE，連接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF與△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，則∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，則∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC與△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正確；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．6．（2020·廣東·廣州市番禺執(zhí)信中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=20cm，BC=16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE=6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上從點(diǎn)C到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)時(shí)間t為（

）s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意用時(shí)間t表示出線段BP和線段PC的長(zhǎng)度，再分類討論兩個(gè)三角形全等的不同情況，或，利用全等的性質(zhì)列式求出t的值．【詳解】解：∵，，，∴，，，當(dāng)時(shí)，有，則，解得，當(dāng)時(shí)，有，則，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)全等三角形進(jìn)行分類討論，再利用全等三角形的性質(zhì)求出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．7．（廣西玉林·八年級(jí)期末）如圖，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90?，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90?，CD，BE相交于點(diǎn)F，有下列四個(gè)結(jié)論：①DC=BE；②∠BDC=∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE．其中，正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)∠BAD=∠CAE=90°，結(jié)合圖形可得∠CAD=∠BAE，再結(jié)合AD=AB，AC=AE，利用全等三角形的判定定理可得△CAD≌△EAB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；根據(jù)已知條件，結(jié)合圖形分析，對(duì)②進(jìn)行分析判斷，設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為O，由（1）中△CAD≌△BAE可得∠ADC=∠ABE，再結(jié)合∠AOD=∠BOF，即可得到∠BFO=∠BAD=90°，進(jìn)而判斷③；對(duì)④，可通過作△CAD和△BAE的高，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得到兩個(gè)高之間的關(guān)系，再根據(jù)角平分線的判定定理即可判斷．【詳解】∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠CAD=∠BAE，又∵AD=AB，AC=AE，∴△CAD≌△EAB（SAS）,∴DC=BE．故①正確．∵△CAD≌△EAB，∴∠ADC=∠ABE．設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為O．∵∠AOD=∠BOF，∠ADC=∠ABE，∴∠BFO=∠BAD=90°，∴CD⊥BE．故③正確．過點(diǎn)A作AP⊥BE于P，AQ⊥CD于Q．∵△CAD≌△EAB，AP⊥BE，AQ⊥CD，∴AP=AQ，∴AF平分∠DFE．故④正確．②無法通過已知條件和圖形得到．故選Ｂ．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法和性質(zhì)應(yīng)用為解題關(guān)鍵．8．（2021·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，在的網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，連接，相交于，那么的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】取格點(diǎn)，連接，先證明，得出，再證明得出，最后證明是等腰直角三角形，得出，從而得出即可．【詳解】解：取格點(diǎn)，連接，由已知條件可知：，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∴，∵，∴,∴,∴是等腰直角三角形，∴,即，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，所求角轉(zhuǎn)換成容易求出度數(shù)的角，合理的添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021·江蘇·灌南縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖所示，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于點(diǎn)F，若∠BAC=40°，則∠BFC的大小是（

）A．105° B．100° C．110° D．115°【答案】B【解析】【分析】延長(zhǎng)C′D交AB′于H．利用全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)證明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解決問題．【詳解】解：延長(zhǎng)C′D交AB′于H．∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′=∠B′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，∴∠C′AH=120°，∴∠C′+∠AHC′=60°，∴∠BFC=60°+40°=100°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇無錫·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，以為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接為邊上的高線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，下列結(jié)論①；②；③；④，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)∠EAN與∠BAD互余，∠ABC與∠BAD互余，利用同角的余角相等即可判斷①；過E作EH⊥DN于點(diǎn)H，過F作FG⊥DN于點(diǎn)G，利用K字型全等，易證△AEH≌△BAD，從而判斷②；同理可證△AFG≌△CAD，可得GF=AD=EH，再證△EHN≌△FGN，即可判斷④；最后根據(jù)S△AEF=S△AEH+S△EHN+S△AFN，結(jié)合全等三角形即可判斷③．【詳解】∵AD為BC邊上的高，EAB=90°∴∠EAN+∠BAD=90°，∠ABC+∠BAD=90°∴∠EAN=∠ABC故①正確；如圖所示，過E作EH⊥DN于點(diǎn)H，過F作FG⊥DN，交DN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵△ABE為等腰直角三角形∴AE=AB在△AEH與△BAD中，∵∠AHE=∠BDA=90°，∠EAH=∠ABD，AE=AB∴△AEH≌△BAD（AAS）顯然△EAN與△BAD不全等，故②錯(cuò)誤；同理可證△AFG≌△CAD（AAS）∴FG=AD，又∵△AEH≌△BAD∴EH=AD∴FG=EH在△EHN和△FGN中，∵∠ENH=∠FNG，∠EHN=∠FGN=90°，EH=FG∴△EHN≌△FGN（AAS）∴EN=FN故④正確；∵△AEH≌△BAD，△AFG≌△CAD，△EHN≌△FGN∴S△AEF=S△AEH+S△EHN+S△AFN=S△ABD+S△FGN+S△AFN=S△ABD+S△AFG=S△ABD+S△CAD=S△ABC，故③正確；正確的有①③④共3個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握K字型全等，作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，平分，于，若，則為______．【答案】4【解析】【分析】延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，證△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF＝EC，ECCF，及BD＝CF，則CEBD，可以求出其值．【詳解】解：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，∵∠BAC＝90°，，∴∠BAC=∠BEC=∠FAC，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF=8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵CE⊥BD，∴∠BEF＝∠BEC＝90°在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∴ECCF=4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定，會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．12．（2021·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖，，垂足為點(diǎn)A，射線，垂足為點(diǎn)B，，．動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D在射線BM上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，始終保持．若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)________個(gè)秒時(shí)，與全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分兩種情況：①當(dāng)E在線段AB上時(shí)，②當(dāng)E在BN上，再分別分成兩種情況AC=BE，AB=BE進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)E在線段AB上，AC=BE時(shí)，

AC=6，BE=6，AE=12-6=6，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒)．②當(dāng)E在BN上，AC=BE時(shí)，AC=6，BE=6，AE=12+6=18．點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒)．③當(dāng)E在BN上，AB=BE時(shí)，AE=12+12=24.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒)④當(dāng)E在線段AB上，AB=BE時(shí)，這時(shí)E在A點(diǎn)未動(dòng)，因此時(shí)間為秒不符合題意．故答案為：2或6或8．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．13．（2020·湖北·武漢市武珞路中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分線交于點(diǎn)O，若AB＝OC﹣AC，∠OCA＝x，其中60°＜x＜90°，則∠OAC的度數(shù)是_____°．（用含x的式子表示）【答案】（180﹣）【解析】【分析】延長(zhǎng)CA至E，使AE＝AB，連接BO，EO，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠E＝＝90°﹣，由“SAS”可證△EAO≌△BAO，可得∠E＝∠ABO＝90°﹣，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CA至E，使AE＝AB，連接BO，EO，∵AB＝OC﹣AC，∴AB+AC＝OC＝AE+AC，∴EC＝OC，∴∠E＝∠EOC，∴∠E＝＝90°﹣，∵AO平分∠NAC，∴∠NAO＝∠OAC，∵∠BAC＝∠EAN，∴∠EAO＝∠BAO，在△EAO和△BAO中，，∴△EAO≌△BAO（SAS），∴∠E＝∠ABO＝90°﹣，∵△ABC的∠BAC和∠BCA的外角角平分線交于點(diǎn)O，∴OB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABO＝180°﹣x°，∵∠NAC＝∠ABC+∠ACB，∴∠NAC＝180°﹣x+180°﹣2x＝360°﹣3x，∴∠OAC＝180°﹣，故答案為：（180﹣）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．14．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHE=_______．【答案】65°【解析】【分析】先判斷出，再判斷出即可得到平分，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，，，在和中，；過點(diǎn)作于，于，，，在和中，，，在與中，，平分；，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，連接MN，已知MN＝4，則BD＝_________．【答案】2【解析】【分析】延長(zhǎng)BD到E，使DE=BD，連接AE，證明△ADE≌△CDB（SAS），可得AE=CB，∠EAD=∠BCD，再根據(jù)△ABM和△BCN是等腰直角三角形，證明△MBN≌△BAE，可得MN=BE，進(jìn)而可得BD與MN的數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BD到E，使DE=BD，連接AE，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，∴BN=AE，又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，在△MBN和△BAE中，，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，∵BE=2BD，∴MN=2BD．又MN=4，∴BD=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．16．（2021·重慶梁平·八年級(jí)期末）如圖，AO⊥OM，OA=7，點(diǎn)B為射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，在OM兩側(cè)作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，連接EF交OM于P點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在射線OM上移動(dòng)時(shí)，則PB的長(zhǎng)度____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意過點(diǎn)E作EN⊥BM，垂足為點(diǎn)N，首先證明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；進(jìn)而證明△BPF≌△MPE并分析即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EN⊥BM，垂足為點(diǎn)N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均為等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO與△BEN中，，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，∴BF=NE，在△BPF與△NPE中，，∴△BPF≌△NPE（AAS），∴BP=NP=BN，BN=AO，∴BP=AO=×7=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形并靈活運(yùn)用有關(guān)定理進(jìn)行分析．17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一條直線上，連接，，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的有_________．①；②；③；④；⑤平分【答案】①②③⑤.【解析】【分析】由題意根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，對(duì)題干結(jié)論依次進(jìn)行分析即可.【詳解】解：∵△ABE，△BCD均為等邊三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD=EC，故①正確；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中，∴△ABM≌△EBN（ASA），∴BM=BN，故②正確；∴△BMN為等邊三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正確；若EM=MB，則AM平分∠EAB，則∠DAB=30°，而由條件無法得出這一條件，故④不正確；如圖作∵由上可知△ABD≌△EBC，∴兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的高相等即，∴是的角平分線，即有平分，故⑤正確.綜上可知：①②③⑤正確.故答案為：①②③⑤.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)與平行線的判定是解題的關(guān)鍵.18．（河南南陽·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，是的平分線上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)沿折疊后與點(diǎn)重合，則的度數(shù)是__．【答案】．【解析】【分析】利用全等三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)得到，再利用翻折變換的性質(zhì)得出，，進(jìn)而求出．【詳解】解：，平分，，，，，，，，，，，點(diǎn)沿折疊后與點(diǎn)重合，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．19．（2021·山西陽泉·八年級(jí)期中）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，進(jìn)而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進(jìn)而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；（3）過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長(zhǎng)線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進(jìn)而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進(jìn)行求解問題．【詳解】解：（1）∵，∴；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴，∵∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（3），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長(zhǎng)線于M∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，又∵∠ODA+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠DCM，∴△AOD≌△DMC，∴，OD=MC，同理可以證明△FOD≌△DNE，∴，OD=NE，∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，∴△ENP≌△CMP，∴，∵，∴,∴即．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇無錫·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D是△ABC中∠BAC的平分線和邊BC的垂直平分線DE的交點(diǎn)，DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：BG＝CH；（2）若AB＝12，AC＝8，求BG的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2）10【解析】【分析】（1）根據(jù)題意連接BD、CD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DB=DC；依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DG=DH；依據(jù)HL定理可判斷出Rt△BDG≌Rt△CDH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由題意可得Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），得出AG=AH，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）證明：如圖，連接BD、CD，∵D是線段BC垂直平分線上的點(diǎn)，∴BD=DC，∵D是∠BAC平分線上的點(diǎn)，DG⊥AB，DH⊥AC∴DG=DH，∠DGB=∠H=90°，在Rt△BDG與Rt△CDH中，，∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL），∴BG=CH；（2）在Rt△ADG與Rt△ADH中，∵DG=DH，AD=AD，∴Rt△ADG≌Rt△ADH（HL），∴AG=AH，∴AB-AC=AG+BG-（AH-CH）=2BG=12-8=4，∴BG=2，∴AG=AB-BG=12-2=10．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線及角平分線的性質(zhì)和直角三角形全等的判定定理及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形．21．（2021·北京·北理工附中八年級(jí)期中）如圖，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射線BM，∠ABM＝80°，過射線BM上一點(diǎn)D，作∥，且DF＝AB，連接FA．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷AF與BD的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是，連接FB，證明你所填寫的AF與BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．（3）平面內(nèi)有一點(diǎn)G，使得DG＝DB，F(xiàn)G＝FC，求∠BDG的值．【答案】（1）見解析，（2）平行，相等，（3）120°或40°【解析】【分析】（1）依據(jù)題意畫圖即可；（2）連接BF，證明△BDF≌△FAB，即可得出AF與BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；（3）證明△DFG≌△ACF，利用平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)導(dǎo)角可求度數(shù)．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如圖圖所示，（2）AF與BD的位置關(guān)系是平行，數(shù)量關(guān)系是相等，連接BF，∵∥，∴∠BFD＝∠ABF，∵DF＝AB，BF＝FB，∴△BDF≌△FAB，∴DB＝AF，∠DBF＝∠AFB，∴DB∥AF；故答案為：平行，相等，（3）如圖所示，當(dāng)DG1＝DB，F(xiàn)G1＝FC時(shí)，∵DB＝AF，AB＝AC，DF＝AB，∴DG1＝AF，DF＝AC，∴△DFG1≌△ACF，∴∠FDG1＝∠CAF，∵DB∥AF，∴∠ABM+∠BAF＝180°，∵DF∥AB，∴∠ABM+∠FDB＝180°，∴∠BAF＝∠FDB，∴∠BDG1＝∠BAC＝40°；當(dāng)DG2＝DB，F(xiàn)G2＝FC時(shí)，同理，△DFG2≌△ACF，∴∠FDG2＝∠CAF，∵DB∥AF，∠ABM＝80°，∴∠BAF＝100°，∵∠BAC＝40°；∴∠FDG2＝∠CAF＝140°，∵DF∥AB，∴∠ABM＝∠FDM＝80°，∴∠MDG2＝60°，∴∠BDG2＝120°；綜上，∠BDG的度數(shù)為120°或40°；【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用全等三角形的判定證明三角形全等．22．（2021·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖ABD與AEC均為等腰直角三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°．（1）如圖1，若反向延長(zhǎng)ABC的高AM交DE于點(diǎn)N，過D作DH⊥MN．求證：DH＝AM，DN＝EN；（2）如圖2，若AM為ABC的中線，反向延長(zhǎng)AM交DE于點(diǎn)N，試探究AM與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）由（1）（2）的探究我們發(fā)現(xiàn)．（填“＜”“＞”或“＝”號(hào)，無需證明）【答案】（1）見解析；（2）DE＝2AM，見解析；（3）＝【解析】【分析】（1）如圖，過點(diǎn)E作EP⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．先證明△ADH≌△BAM即可推出DH＝AM，同法可證EP＝AM，由此可推出DH＝EP，再證明△DNH≌△ENP即可證得DN＝EN；（2）延長(zhǎng)AM至點(diǎn)G，使AM＝MG，連接GC，首先證明△ABM≌△GCM，可得AB＝GC，AB//GC，進(jìn)而可證得∠DAE＝∠ACG，再證明△ADE≌△CGA(SAS)，可得DE＝AG，進(jìn)而即可證得DE＝2AM；（3）根據(jù)△ABM≌△GCM可得S△ABM＝S△GCM，進(jìn)而可得S△ABC＝S△AGC，再根據(jù)△ADE≌△CGA可得S△AGC＝S△DAE，由此即可證得S△ABC＝S△DAE．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作EP⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∵DH⊥MN，AM⊥BC，∴∠DHA＝∠AMB＝90°，∴∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＋∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠ABM，在△DAH與△ABM中，∴△DAH≌△ABM（AAS），∴DH＝AM，同理可得：△APE≌△CMA（AAS），∴EP＝AM，∴EP＝DH，∵DH⊥MN，EP⊥MN，∴∠DHN＝∠EPN＝90°，在△DHN與△EPN中，∴△DHN≌△EPN（AAS），∴DN＝EN；（2）解：DE＝2AM，理由如下：如圖，延長(zhǎng)AM至點(diǎn)G，使AM＝MG，連接GC，∵AM為△ABC的中線，∴BM＝CM，在△ABM與△GCM中，∴△ABM≌△GCM（SAS），∴AB＝GC，∠ABM＝∠GCM，∴AB//GC，∴∠BAC＋∠ACG＝180°，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠DAE＋∠BAC＝360°－∠BAD－∠CAE＝180°，∴∠DAE＝∠ACG，∵AB＝GC，AB＝AD，∴AD＝GC，在△ADE與△CGA中，∴△ADE≌△CGA(SAS)，∴DE＝AG，∵AM＝MG，∴AG＝2AM，∴DE＝2AM；（3）解：∵△ABM≌△GCM，∴S△ABM＝S△GCM，∴S△ABM＋S△AMC＝S△GCM＋S△AMC，∴S△ABC＝S△AGC，∵△ADE≌△CGA，∴S△AGC＝S△DAE，∴S△ABC＝S△DAE，故答案為：＝．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等，同角的補(bǔ)角相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并二次證明三角形全等．23．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)七年級(jí)期中）【初步探索】（1）如圖1：在四邊中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是____________________；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，已知在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，給出證明過程．【答案】（1）∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）∠EAF＝∠BAE＋∠DAF；（3）∠EAF＝180°?∠DAB．【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF；（3）在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根據(jù)∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，推導(dǎo)得到2∠FAE＋∠DAB＝360°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BAE＋∠FAD＝∠EAF．理由：如圖1，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵，∴，∵DG＝BE，，∴△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵，DG＝BE，∴，且AE＝AG，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF．故答案為：∠BAE＋∠FAD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF；（3）∠EAF＝180°?∠DAB．證明：如圖3，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE＋FD＝DG＋FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE＝∠FAG，∵∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，∴2∠FAE＋（∠GAB＋∠BAE）＝360°，∴2∠FAE＋（∠GAB＋∠DAG）＝360°，即2∠FAE＋∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°?∠DAB．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等．24．（2021·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長(zhǎng)；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長(zhǎng)上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請(qǐng)你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）【答案】（1）17；（2）見解析；（3）∠3＝2∠1+∠2【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS證明△AMC≌△BMD，由AC＝BD求出AC的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使FG＝FE，連接BG，證明△BFG≌△CFE，可得EC＝GB，∠G＝∠CEF，再由BD＝BG可得∠G＝∠BDF，從而證得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)AE、BM交于點(diǎn)C，作MH⊥AC于點(diǎn)H，作MF⊥BG于點(diǎn)F，證明∠FEM＝∠HEM＝45°及△AEM≌△GEM，再證明∠AME＝∠1，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可推導(dǎo)出∠3＝2∠1+∠2．【詳解】解：（1）如圖1，∵AM⊥BM，∴∠AMC＝∠BMD＝90°，∵AM＝BM，MD＝MC，∴△AMC≌△BMD（SAS），∴AC＝BD＝17．（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使FG＝FE，連接BG，∵F為BC中點(diǎn)，∴BF＝CF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝EC，∠G＝∠CEF，又∵BD＝AC，EC＝AC，∴BD＝EC，∴BG＝BD，∴∠G＝∠BDF，∴∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，延長(zhǎng)AE、BM交于點(diǎn)C，作MH⊥AC于點(diǎn)H，作MF⊥BG于點(diǎn)F，∵AM⊥BM，AE⊥BE，∴∠BEC＝∠AMC＝90°，∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH，∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，

∴△BFM≌△AHM（AAS），∴FM＝HM，∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM，∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL），∵∠FEH＝90°，∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°，∵∠AEB＝∠GEC＝90°，∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°，∵AE＝EG，EM＝EM，∴△AEM≌△GEM（SAS），∴∠AME＝∠GME，∵∠BEM＝∠BAM＝45°，∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1，∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1，∵∠3＝∠AMG+∠2，∴∠3＝2∠1+∠2．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，證明三角形全等．25．（2021·江蘇·無錫市第一女子中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）（1）問題引入：如圖1，點(diǎn)F是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時(shí)點(diǎn)G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點(diǎn)E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識(shí)遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實(shí)踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點(diǎn)E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長(zhǎng)．（用含a，b，c的式子表示）【答案】（1）EF＝GE，理由見詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見詳解；（3）BE＝，理由見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS直接可證△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，連接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，從而SAS證△ABG≌△ADF，再通過SAS證△GAE≌△FAE，得GE＝EF，從而解決問題；（3）作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F，取FG＝BE，連接CG，由（2）同理可兩次全等證明出DE＝GD即可．【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE?DF＝EF，理由如下：如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE?DF＝EF；（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F，取FG＝BE，連接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠