《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)　圓的方程

第八章

第3節(jié)圓的方程知識(shí)分類落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識(shí)分類落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識(shí)1知識(shí)梳理///////1．圓的定義和圓的方程定點(diǎn)

定長(zhǎng)

D2＋E2－4F＞0

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在

，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi)．圓外圓上圓內(nèi)1．圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1) (y－y2)＝0.1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． (

) (2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓． (

) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓． (

) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (

)√

√

×

×

D

3．過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(

) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.

因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上， 所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2， 所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2， 所以a＝1，b＝1.

所以r＝2.

所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.C

4．(2020·北京卷)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為 (

) A．4B．5C．6D．7A

5．(多選題)(2021·濟(jì)南調(diào)研)已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說(shuō)法正確的是 (

) A．圓M的圓心為(4，－3) B．圓M被x軸截得的弦長(zhǎng)為10 C．圓M的半徑為5 D．圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為6

解析

由圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0， 則圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52， 故圓心為(4，－3)，半徑為5， 則AC正確；令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦長(zhǎng)為6， 故D正確；令y＝0，得x＝0或x＝8，弦長(zhǎng)為8， 故B錯(cuò)誤．ACD

B

解析

設(shè)圓心為P(x0，y0)，半徑為r， ∵圓與x軸，y軸都相切， ∴|x0|＝|y0|＝r，又圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)， ∴x0＝y(tǒng)0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2， ∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦21．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為

________________．考點(diǎn)一圓的方程///////自主演練x2＋y2－2x＝0

所以△OAB是以角A為直角的直角三角形，則線段BO是所求圓的直徑，(x－1)2＋(y＋1)2＝2

解析

法一

∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴可設(shè)所求圓的圓心為(a，－a)．∵所求圓與直線x－y＝0相切，3．(2020·鄭州二模)圓(x＋2)2＋(y－12)2＝4關(guān)于直線x－y＋8＝0對(duì)稱的圓的方程為 (

) A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4 C．(x－4)2＋(y－6)2＝4 D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4C

AB

解析

設(shè)圓心為C(a，b)，半徑為r，圓C被x軸分成兩部分的弧長(zhǎng)之比為1∶2，則其中劣弧所對(duì)圓心角為120°，由圓的性質(zhì)可得r＝2|b|，又圓被y軸截得的弦長(zhǎng)為4，∴a2＋4＝r2，感悟升華考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題///////多維探究角度1利用幾何意義求最值【例1】(2)求x＋y的最大值和最小值； 解

設(shè)t＝x＋y， 則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距． 由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，感悟升華【例2】(2020·衡水聯(lián)考)已知A(0，2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________． 解析因?yàn)閳AC：x2＋y2－4x－2y＝0，角度2利用對(duì)稱性求最值故A′(－4，－2)．感悟升華角度3建立函數(shù)關(guān)系求最值12

根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識(shí)或基本不等式求最值．感悟升華B

【訓(xùn)練1】(2)(2020·長(zhǎng)沙模擬)圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值是________．【例4】已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程； 解法一設(shè)C(x，y)， 因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線， 所以y≠0.

因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1，考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題///////師生共研所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．【例4】(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程． 解

設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，

所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1.

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．感悟升華【訓(xùn)練2】設(shè)定點(diǎn)M(－3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程． 解如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，又點(diǎn)N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以點(diǎn)P的軌跡是以(－3，4)為圓心，2為半徑的圓，課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1．圓心為(1，1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是 (

) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

解析因?yàn)閳A心為(1，1)且過(guò)原點(diǎn)，D

B

3．(2021·荊州模擬)若圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對(duì)稱，則k的值是(

) A．2 B．－2 C．1 D．－1

解析

由題意知直線y＝kx＋3過(guò)圓心(1，1)， 即1＝k＋3，解得k＝－2.B

4．點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 (

) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析

設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，A

5．(2020·成都診斷)若拋物線y＝x2－2x－3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則由交點(diǎn)確定的圓的方程為 (

) A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5

解析拋物線y＝x2－2x－3關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，設(shè)圓心為M(1，b)，半徑為r，D

所以由交點(diǎn)確定的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.

故選D.6．(2021·西安調(diào)研)已知圓C經(jīng)過(guò)P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程為 (

) A．x2＋y2－2x－4y－8＝0 B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0 C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0C

二、填空題7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是

_________________，半徑是________． 解析

由已知方程表示圓， 則a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1.

當(dāng)a＝2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件， 故舍去． 當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．(－2，－4)

5

x2＋(y＋1)2＝4

9．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為_________． 解析

P是x軸上任意一點(diǎn)， 則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3， 則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C1′(2，－3)．三、解答題10．已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2，3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值； 解由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，解設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0.當(dāng)直線y＝x＋b與圓C相切時(shí)，截距b取到最值，11．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； 解

由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．11．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝