高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 1.2 命題及其關(guān)系訓(xùn)練 北師大版 （文）

第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件A級(jí)課時(shí)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間：40分鐘滿分：60分)一、選擇題(本題共5小題，每小題5分，共25分)1．命題“若a2＋b2＝0，a，b∈R，則a＝b＝0”的逆否命題是()A．若a≠b≠0，a，b∈R，則a2＋b2＝0B．若a＝b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，則a2＋b2≠0解析：若p則q的逆否命題為若綈q則綈p，又a＝b＝0實(shí)質(zhì)為a＝0且b＝0，故其否定為a≠0或b≠0.答案：D2．(·上海卷)“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：x＝2kπ＋eq\f(π,4)?tanx＝tan(2kπ＋eq\f(π,4))＝taneq\f(π,4)＝1，而tanx＝1?x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，當(dāng)k＝2n＋1時(shí)?/x＝2kπ＋eq\f(π,4).答案：A3．給出命題：若函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象不過(guò)第四象限．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()A．3B．2C．1解析：原命題與逆否命題等價(jià)，而原命題為真，所以逆否命題為真命題．原命題的逆命題為：若y＝f(x)的圖象不過(guò)第四象限，則函數(shù)y＝f(x)是冪函數(shù)，顯然此命題為假．又因?yàn)槟婷}與否命題同真假，所以否命題為假．故選C.答案：C4．(·浙江)已知a，b是實(shí)數(shù)，則“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：對(duì)于“a＞0且b＞0”，可以推出“a＋b＞0且ab＞0”，反之也是成立的．答案：C5．a(chǎn)x2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是()A．0＜a≤1B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤1D．0＜a≤1或a＜0解析：(排除法)當(dāng)a＝0時(shí)，原方程有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，可以排除A、D；當(dāng)a＝1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，可以排除B，故選C.答案：C二、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)6．命題“若a＞b，則2a＞2b－1”答案：若a≤b，則有2a≤2b7．有三個(gè)命題：(1)“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；(2)“若a＞b，則a2＞b2”(3)“若x≤－3，則x2＋x－6＞0”的否命題．其中真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：(1)真，(2)原命題假，所以逆否命題也假，(3)易判斷原命題的逆命題假，則原命題的否命題假．答案：18．“ω＝2”是“函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π”的______條件(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”)．解析：當(dāng)ω＝2?函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的最小正周期為π，但函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π，則ω＝±2，故應(yīng)填充分非必要條件．答案：充分非必要三、解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)9．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，對(duì)命題“若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)寫(xiě)出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫(xiě)出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論．解：(1)逆命題是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0為真命題．用反證法證明：假設(shè)a＋b＜0，則a＜－b，b＜－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，則f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，這與題設(shè)相矛盾，所以逆命題為真．(2)逆否命題：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，則a＋b＜0為真命題．因?yàn)樵}?它的逆否命題，所以證明原命題為真命題即可．∵a＋b≥0,∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命題為真．10．已知拋物線C：y＝－x2＋mx－1和點(diǎn)A(3,0)，B(0,3)，求證拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是3＜m≤eq\f(10,3).證明：①必要性：由已知得，線段AB的方程為y＝－x＋3(0≤x≤3)由于拋物線C和線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋mx－1，,y＝－x＋30≤x≤3，))(*)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，消元得：x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)．設(shè)f(x)＝x2－(m＋1)x＋4則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m＋12－4×4＞0，,f0＝4≥0，,f3＝9－3m＋1＋4≥0，,0＜\f(m＋1,2)＜3，))解之得3＜m≤eq\f(10,3).②充分性：當(dāng)3＜m≤eq\f(10,3)時(shí)，x1＝eq\f(m＋1－\r(m＋12－16),2)＞eq\f(m＋1－\r(m＋12),2)＞0，x2＝eq\f(m＋1＋\r(m＋12－16),2)≤eq\f(\f(10,3)＋1＋\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)＋1))2－16),2)＝3.∴方程x2－(m＋1)x＋4＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1，x2，且0＜x1＜x2≤3，方程組(*)有兩組不同的實(shí)數(shù)解．因此，拋物線y＝－x2＋mx－1和線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是3＜m≤eq\f(10,3).B級(jí)素能提升練(時(shí)間：30分鐘滿分：40分)一、選擇題(本題共2小題，每小題5分，共10分)1．“a＝eq\f(1,8)”是“對(duì)任意的正數(shù)x,2x＋eq\f(a,x)≥1”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：據(jù)基本不等式當(dāng)x＞0時(shí)，2x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(2x×\f(a,x))＝2eq\r(2a)，故若對(duì)任意x＞0恒有2x＋eq\f(a,x)≥1，只需2eq\r(2a)≥1?a≥eq\f(1,8)，因此a＝eq\f(1,8)是2x＋eq\f(a,x)≥1的充分但不必要條件．答案：A2．下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是()A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞dB．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的圖象不過(guò)第二象限C．p：x＝1，q：x2＝xD．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)解析：由于a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d卻不一定推出a＞b，c＞d.故A中p是q的必要不充分條件．B中，當(dāng)a＞1，b＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax－b不過(guò)第二象限，當(dāng)f(x)＝ax－b不過(guò)第二象限時(shí)，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要條件．C中，因?yàn)閤＝1時(shí)有x2＝x，但x2＝x時(shí)不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要條件．D中p是q的充要條件．答案：A二、填空題(本題共2小題，每小題5分，共10分)3．(·廣州模擬)設(shè)p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：p：eq\f(1,2)≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1.))∴0≤a≤eq\f(1,2).答案：[0，eq\f(1,2)]4．設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β；②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行；③設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直；④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直．上面命題中，真命題的序號(hào)為_(kāi)_______(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))．解析：命題①是兩個(gè)平面平行的判定定理，正確；命題②是直線與平面平行的判定定理，正確；命題③中在α內(nèi)可以作無(wú)數(shù)條直線與l垂直，但α與β只是相交關(guān)系，不一定垂直，錯(cuò)誤；命題④中直線l與α垂直可推出l與α內(nèi)兩條直線垂直，但l與α內(nèi)的兩條直線垂直推不出直線l與α垂直，所以直線l與α垂直的必要不充分條件是l與α內(nèi)兩條直線垂直．答案：①②三、解答題(本題共2小題，每小題10分，共20分)5．已知命題p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－10≤0，))命題q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若綈p是綈q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m＞0，∵綈p是綈q的必要不充分條件，∴p?q且q?/p.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－