北師版八上數(shù)學(xué)專題5 一次函數(shù)中的綜合問(wèn)題（課件）

第四章一次函數(shù)專題5一次函數(shù)中的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS

◎問(wèn)題綜述一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，常常涉及三角形全等、三角形存在

性問(wèn)題、相交型圖象信息問(wèn)題等.在遇到這些問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是要

認(rèn)真審題，理清題意，熟練運(yùn)用一次函數(shù)的知識(shí)正確解答.◎要點(diǎn)歸納1.

一次函數(shù)與三角形全等中“三垂直”模型相結(jié)合.右圖為

“三垂直”全等模型，其中△

ABC

為等腰直角三角形，

AE

⊥

EC

，

BF

⊥

CF

，

E

，

C

，

F

三點(diǎn)共線，則有△

ACE

≌△

CBF

.

在與一次函數(shù)的綜合題中需要作垂線構(gòu)造全等三角形.2.

一次函數(shù)中的三角形存在性問(wèn)題的解題步驟.（1）找點(diǎn)：利用尺規(guī)作圖確定點(diǎn)的位置；（2）求點(diǎn)：利用等量關(guān)系或聯(lián)立函數(shù)表達(dá)式，直角三角形需要

根據(jù)直角頂點(diǎn)分類討論，再由等腰直角三角形的特殊性，利用

勾股定理或構(gòu)造全等三角形求解；（3）定點(diǎn)：依據(jù)題意確定符合要求的點(diǎn)的坐標(biāo).3.

相交型圖象信息問(wèn)題.若兩個(gè)一次函數(shù)

y1與

y2的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

x0，

y0），則當(dāng)

x

＝

x0時(shí)，函數(shù)值

y1＝

y2＝

y0；當(dāng)函數(shù)值

y

＝

y0時(shí)，自變量的值

x1

＝

x2＝

x0.數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練

類型一

一次函數(shù)中的三角形全等問(wèn)題

如圖，已知一次函數(shù)

y

＝－2

x

＋2的圖象與

y

軸交于點(diǎn)

A

，

與

x

軸交于點(diǎn)

B

，過(guò)點(diǎn)

B

作線段

BC

⊥

AB

且

BC

＝

AB

，直線

AC

交

x

軸于點(diǎn)

D

.

（2）若點(diǎn)

Q

是圖中坐標(biāo)平面內(nèi)不同于點(diǎn)

B

，

C

的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)

B

，

D

，

Q

為頂點(diǎn)的三角形與△

BCD

全等時(shí)，直接寫出點(diǎn)

Q

的

坐標(biāo).（1）求點(diǎn)

A

，

B

，

C

的坐標(biāo)和直線

AC

的函數(shù)表達(dá)式；【思路導(dǎo)航】（1）過(guò)點(diǎn)

C

作

CM

⊥

x

軸于點(diǎn)

M

，得到△

AOB

≌△

BMC

，推出點(diǎn)

C

的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求得直線

AC

的函數(shù)表達(dá)式；（2）以點(diǎn)

B

，

D

，

Q

為頂點(diǎn)的三角形與△

BCD

全等時(shí)，分情況討論求出點(diǎn)

Q

的坐標(biāo).（1）解：把

x

＝0代入

y

＝－2

x

＋2中，得

y

＝2.所以點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為（0，2）.把

y

＝0代入

y

＝－2

x

＋2，得－2

x

＋2＝0，解得

x

＝1.所以點(diǎn)

B

的坐標(biāo)為（1，0）.如圖1，過(guò)點(diǎn)

C

作

CM

⊥

x

軸于點(diǎn)

M

，圖1圖1所以∠

AOB

＝∠

BMC

＝90°.因?yàn)?/p>

AB

⊥

BC

，所以∠

ABC

＝90°.所以∠

ABO

＋∠

MBC

＝90°.所以∠

OAB

＝∠

MBC

.

所以△

AOB

≌△

BMC

（AAS）.所以

BM

＝

OA

＝2，

CM

＝

OB

＝1.所以

OM

＝3.所以點(diǎn)

C

的坐標(biāo)為（3，1）.設(shè)直線

AC

的函數(shù)表達(dá)式為

y

＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.

因?yàn)椤?/p>

ABO

＋∠

OAB

＝90°，

（2）點(diǎn)

Q

的坐標(biāo)為（3，－1），（4，－1）或（4，1）.【解析】如圖2，以點(diǎn)

B

，

D

，

Q

為頂點(diǎn)的三角形與△

BCD

全等時(shí)，點(diǎn)

Q

有三種情形.由圖形的全等，知點(diǎn)

Q1與點(diǎn)

C

關(guān)于

x

軸對(duì)稱.故點(diǎn)

Q1（3，－1）；由直線

AC

，知

D

（60），點(diǎn)

C

與點(diǎn)

Q3關(guān)于

BD

的中垂線對(duì)稱，故點(diǎn)

Q3（4，1）；點(diǎn)

Q2和點(diǎn)

Q3關(guān)于

x

軸對(duì)稱，故點(diǎn)

Q2（4，－1）.故點(diǎn)

Q

的坐標(biāo)為（3，－1），（4，－1）或（4，1）.圖2【點(diǎn)撥】在解答一次函數(shù)與三角形的綜合性問(wèn)題時(shí)，常會(huì)用到

三角形全等中的常見模型，例如本題中用到的“三垂直”模

型，也常常會(huì)利用軸對(duì)稱的知識(shí)去解題.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線

y

＝

kx

＋

b

與

x

軸交于點(diǎn)

A

，與

y

軸交于點(diǎn)

B

（0，6），與直線

y

＝2

x

交于點(diǎn)

C

（

a

，

4）.（1）求點(diǎn)

C

的坐標(biāo)及直線

AB

的函數(shù)表達(dá)式.（2）若點(diǎn)

E

的坐標(biāo)是（4，0），過(guò)點(diǎn)

E

作直線

l

⊥

x

軸，交直線

y

＝2

x

于點(diǎn)

F

，交直線

y

＝

kx

＋

b

于點(diǎn)

G

.

①求△

CGF

的面積.②直線

l

上是否存在點(diǎn)

P

，使

OP

＋

BP

的值最??？若存在，直接

寫出點(diǎn)

P

的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.（3）若點(diǎn)

E

是

x

軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

E

的橫坐標(biāo)為

m

（

m

＞

0），當(dāng)點(diǎn)

E

在

x

軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)

m

取何值時(shí)，直線

l

上存在點(diǎn)

Q

，使得以點(diǎn)

A

，

C

，

Q

為頂點(diǎn)的三角形與△

AOC

全等？請(qǐng)直

接寫出相應(yīng)的

m

的值.

備用圖解：（1）將點(diǎn)

C

（

a

，4）代入

y

＝2

x

，可得

a

＝2，所以點(diǎn)

C

的坐標(biāo)為（2，4）.將點(diǎn)

B

（0，6），點(diǎn)

C

（2，4）代入

y

＝

kx

＋

b

，可得

b

＝6，2

k

＋

b

＝4，所以

k

＝－1.所以直線

AB

的函數(shù)表達(dá)式為

y

＝－

x

＋6.（2）①因?yàn)橹本€

l

⊥

x

軸，點(diǎn)

E

，

F

，

G

都在直線

l

上，且點(diǎn)

E

的

坐標(biāo)為（4，0），所以點(diǎn)

F

，

G

的橫坐標(biāo)均為4.設(shè)點(diǎn)

F

（4，

y1），

G

（4，

y2），分別代入

y

＝2

x

和

y

＝－

x

＋

6，可得

y1＝8，

y2＝2，所以

F

（4，8），

G

（4，2）.所以

FE

＝8，

GE

＝2.所以

FG

＝6.圖1如圖1，過(guò)點(diǎn)

C

作

CH

⊥

FG

于點(diǎn)

H

.

因?yàn)?/p>

C

（2，4），

E

（4，0），所以

CH

＝4－2＝2.

圖1②存在點(diǎn)

P

（4，3），使得

BP

＋

OP

的值最小.理由如下：如圖2，設(shè)點(diǎn)

O

關(guān)于直線

l

的對(duì)稱點(diǎn)為

D

（8，0），連接

BD

.

設(shè)直線

BD

的函數(shù)表達(dá)式為

y

＝

mx

＋

n

（

m

≠0）.圖2圖2將點(diǎn)

B

（0，6），

D

（8，0）代入

y

＝

mx

＋

n

，可得

n

＝6，8

m

＋

n

＝0.

因?yàn)辄c(diǎn)

P

在直線

l

：

x

＝4上，令

x

＝4，則

y

＝3，所以點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為（4，3）.（3）

m

的值為2，6或8.理由如下：因?yàn)橹本€

AB

的函數(shù)表達(dá)式為

y

＝－

x

＋6，所以

A

（6，0）.分三種情況討論：①如圖3，當(dāng)△

OAC

≌△

QCA

，點(diǎn)

Q

在第四象限時(shí)，則∠

ECA

＝∠

EAC

.

所以

AE

＝

CE

＝4，

OE

＝6－4＝2.所以

m

＝2；圖3②如圖4，當(dāng)△

ACO

≌△

ACQ

，點(diǎn)

Q

在第一象限時(shí)，因?yàn)?/p>

A

（6，0），

B

（0，6），所以

OA

＝

OB

.

所以∠

OAC

＝∠

OBC

＝45°.圖4因?yàn)椤?/p>

ACO

≌△

ACQ

，所以∠

OAC

＝∠

QAC

＝45°.所以∠

OAQ

＝90°.所以點(diǎn)

E

與點(diǎn)

A

重合.所以

OE

＝

AO

＝6.所以

m

＝6；③如圖5，當(dāng)△

ACO

≌△

CAQ

，點(diǎn)

Q

在第一象限時(shí)，圖5∠

ACO

＝∠

CAQ

，∠

CAO

＝∠

ACQ

.

所以

CQ

＝

AO

＝6.易得

AE

＝2，所以

OE

＝8.圖5所以

m

＝8.綜上所述，

m

的值為2或6或8.類型二

一次函數(shù)與三角形的存在性問(wèn)題

如圖，已知四邊形

ABCO

是長(zhǎng)方形，

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)

B

的

坐標(biāo)為（8，6），點(diǎn)

A

，

C

都在坐標(biāo)軸上，

P

是線段

BC

上的一

動(dòng)點(diǎn)，

PC

＝

m

.直線

y

＝2

x

＋6向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后，在該

直線上是否存在點(diǎn)

G

，使△

APG

是等腰直角三角形？若存在，

請(qǐng)求出點(diǎn)

G

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：存在點(diǎn)

G

，使△

APG

是等腰直角三角形.理由如下：直線

y

＝2

x

＋6向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)表達(dá)式為

y

＝2（

x

－6）＋6＝2

x

－6.如圖1，當(dāng)∠

AGP

（

B

）＝90°，

AG

＝

PG

時(shí)，易得點(diǎn)

G

的坐標(biāo)

為（4，2），且在直線

y

＝2

x

－6上；圖1【思路導(dǎo)航】利用平移的規(guī)律求出

y

＝2

x

＋6向右平移后的函數(shù)

表達(dá)式，再分三種情況討論，求出每種情況下點(diǎn)

G

的坐標(biāo)即可.

圖2

圖3圖3【點(diǎn)撥】等腰直角三角形的存在性問(wèn)題要抓住腰相等，然后構(gòu)

造全等三角形解決問(wèn)題.

解：（1）經(jīng)過(guò).因?yàn)?/p>

y

＝

kx

＋2

k

，所以

y

＝

k

（

x

＋2）.所以當(dāng)

x

＝－2時(shí)，

y

＝0.所以直線

l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（－2，0）.（1）直線

l2是否經(jīng)過(guò)

x

軸上一定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求該定點(diǎn)的坐

標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）過(guò)點(diǎn)

M

（0，6）作平行于

x

軸的直線

l3，點(diǎn)

Q

為直線

l3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△

QAB

是不以點(diǎn)

A

為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)

Q

的坐標(biāo).

所以點(diǎn)

B

的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為（6，0）.如圖，設(shè)點(diǎn)

Q

的坐標(biāo)為（

n

，6）.

類型三

相交型圖象信息問(wèn)題

甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)挖掘兩段長(zhǎng)度相等的隧道，甲、乙

兩隊(duì)挖掘隧道長(zhǎng)度

y

（m）與挖掘時(shí)間

x

（天）之間關(guān)系的部分

圖象如圖所示.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）在前2天的挖掘中，甲隊(duì)的挖掘速度為

m/天，乙隊(duì)

的挖掘速度為

m/天.（2）①當(dāng)2＜

x

＜6時(shí)，求

y乙與

x

之間的函數(shù)表達(dá)式；②開挖幾天后，兩工程隊(duì)挖掘的隧道長(zhǎng)度相差5

m？【思路導(dǎo)航】（1）利用“速度＝路程÷時(shí)間”分別列式計(jì)算即

可；（2）①利用待定系數(shù)法即可求得；②求出甲隊(duì)的函數(shù)表達(dá)

式，再根據(jù)

y甲－

y乙＝5或

y乙－

y甲＝5，列出方程求解即可.10

15

（1）【解析】甲隊(duì)挖掘速度：60÷6＝10（m/天），乙隊(duì)前2天

挖掘速度：30÷2＝15（m/天）.故答案為10，15.（2）解：①當(dāng)2＜

x

＜6時(shí)，設(shè)

y乙＝

kx

＋

b

（

k

≠0）.根據(jù)圖象，得2

k

＋

b

＝30，6

k

＋

b

＝50，解得

k

＝5，

b

＝20.所以當(dāng)2＜

x

＜6時(shí)，

y乙＝5

x

＋20.②由題可得，當(dāng)0≤

x

≤2時(shí)，

y乙＝15

x

；當(dāng)2＜

x

≤6時(shí)，

y乙＝5

x

＋20.當(dāng)0≤

x

≤6時(shí)，

y甲＝10

x

.由10

x

＝5

x

＋20，解得

x

＝4.當(dāng)0≤

x

≤2時(shí)，15

x

－10

x

＝5，解得

x

＝1；當(dāng)2＜

x

≤4時(shí)，（5

x

＋20）－10

x

＝5，解得

x

＝3；當(dāng)4＜

x

≤6時(shí)，10

x

－（5

x

＋20）＝5，解得

x

＝5.故挖掘1天或3天或5天后，兩工程隊(duì)挖掘的隧道長(zhǎng)度相差5

m.【點(diǎn)撥】特別注意分段函數(shù)的圖象和自變量的取值范圍，不同

的取值范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)不同的圖象.

1.

如圖，

l1表示某機(jī)床公司一天的銷售收入與銷售量的關(guān)

系，

l2表示該公司一天的銷售成本與銷售量的關(guān)系.有以下四

個(gè)結(jié)論：①

l1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是

y

＝

x

；②

l2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是

y

＝

x