精講精煉（選擇性必修第二冊）4 .3 等比數(shù)列（精練）

4.3等比數(shù)列（精練）

【題組一等比數(shù)列的判斷或證明】

1（2021?全國）有下列四個(gè)說法：①等比數(shù)列中的某一項(xiàng)可以為0；②等比數(shù)列中公比的取值范圍是（f,e）；

③若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)常數(shù)列的公比為1；④若。2=ac,則a，6,c,成等比數(shù)列.其中說法正

確的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】對于①，因?yàn)榈缺葦?shù)列中的各項(xiàng)都不為0,所以①不正確；

對于②，因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比不為0,所以②不正確；

對于③，若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)常數(shù)不為0,根據(jù)等比數(shù)列的定義知此數(shù)列的公比為1,所以③

正確；

對于④，只有當(dāng)"，b,c,都不為。時(shí)，a,b,c才成等比數(shù)列，所以④不正確.

因此，正確的說法只有1個(gè)，

故選：B.

2.（2021?全國高二專題練習(xí)）以下條件中，能判定數(shù)列是等比數(shù)列的有（）

①數(shù)列1,2,6,18,...；②數(shù)列｛4,｝中，已知a=2,—=2；③常數(shù)列4，a,a,....④數(shù)列｛%｝

a\a2

中，空=虱"°），其中"eN*.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】①中，數(shù)列不符合等比數(shù)列的定義，故不是等比數(shù)列；

②中，前3項(xiàng)是等比數(shù)列，多于3項(xiàng)時(shí)，無法判定，故不能判定是等比數(shù)列；

③中，當(dāng)a=O時(shí)，不是等比數(shù)列；

④中，數(shù)列符合等比數(shù)列的定義，是等比數(shù)列.

故選：A.

3.（2021?全國高二單元測試）已知數(shù)列也｝是等比數(shù)列，則下列數(shù)列中：①忖卜②｛2%｝；③，（-1，等比

數(shù)列的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

1

【解析】設(shè)｛。,,｝的公比為q,則弁=d*=，故｛硝、上］］均為等比數(shù)歹I」.

2%

取a?=2",bn=2%,則瓦=2?=4也=2%=16也=2。=256,

此時(shí),=吟=16,/哈故｛2%｝不是等比數(shù)列，

故選：C.

4.（2021?全國）設(shè)xeR,記不超過x的最大整數(shù)為印，如［2.5］=2,［-2.5］=-3,令｛x｝=x-［x］,則

亞里，三個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列

A.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

B.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

【答案】A

【解析】［與4=且里-1=叵口［母］=1,故三個(gè)數(shù)成等比，選A.

222L2.

5.（2021.吉林延邊二中高二月考）下列命題中正確的是（）

A.若a,b,c是等差數(shù)列，則log2。，log28,log2c是等比數(shù)列

B.若a,Bc是等比數(shù)列,則log2a,log2b,log2c是等差數(shù)列

C.若a,Ac是等差數(shù)列，則2。，2b,2。是等比數(shù)列

D.若a,b,c是等比數(shù)列,則2",2h,2,是等差數(shù)列

【答案】C

【解析】若a=b=c=—1,則對數(shù)無意義，A,B錯(cuò)誤；

對C,若a,b,c是等差數(shù)列，則a+c=?,所以2"2=2"。=22〃=（2"）2,正確;

對D,若a=l,b=2,c=4,則2"=2,2"=4,2。=16,顯然2"+2,*2x2〃，錯(cuò)誤.

故選：C.

6（2021.全國高二專題練習(xí)）已知不全相等的實(shí)數(shù)。，b,c成等比數(shù)列，則一定不可能是等差數(shù)列的為（）

A.a,c,bB.a2,b2,c2C.1。1,1^1,Ic\D.—,—,—

abc

【答案】D

【解析】因?yàn)椴蝗嗟鹊膶?shí)數(shù)。，b.c成等比數(shù)列，

所以該等比數(shù)列的公比4工1，顯然有〃工。,夕工。，b=aq,c=aq2,

A：若。,c,匕成等差數(shù)列，顯然2c=a+力成立，即2〃/=。+〃。，

化簡為2/-q-l=0,解得4=-；,或4=1(舍去)，所以假設(shè)成立，故。，c,匕有可能是等差數(shù)列；

B：若/,/,02成等差數(shù)列，顯然2從=/+d成立，即4瀉2=標(biāo)+潟4,

化簡為：/-4/+1=0,解得：/=2±6,顯然4=±^/^二萬或4=±亞二3,所以假設(shè)成立，故/,b2,

,?有可能成等差數(shù)列；

C：若|a|,\b\,?成等差數(shù)列，顯然2|。|=向+凡即2|匈=同+阿2|,

化簡為：|才-2回+1=0,解得@=1,因?yàn)?1,所以4=-1,因此假設(shè)成立，

故Ml,1勿，Ic|有可能成等差數(shù)列；

D：若工，!，，成等差數(shù)列，顯然2==，+L即2-!-=，+—L,

化簡為：d-2g+l=0,解得9=1,而qxl,因此假設(shè)不成立，故!，[一定不可能成等差數(shù)列，

abc

故選：D

7.(2021?遼寧阜新?高二期末)(多選)已知等比數(shù)列｛風(fēng)｝中，滿足q=1,公比4=-3,貝!!()

A.數(shù)列｛3久+%｝是等比數(shù)列

B.數(shù)列｛。向-4,｝是等差數(shù)列

C.數(shù)列｛可4+J是等比數(shù)列

D.數(shù)列｛log3k1｝是等差數(shù)列

【答案】CD

【解析】等比數(shù)列｛%｝中，滿足4=1,公比4=-3,q=(-3廣'.

對于A,3%+%=3[(-3門+(-3)"=[(-1)*'+(-1)13"=0,不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤：

對于B,4+「。”=(-3)"-(-3廣=*(-3)”,是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

對于C%,用=（-3廣二（一3）"=（-3廣'，是等比數(shù)列，故C正確；

對于D,log3|a?|-log,|（-3）"''|=n-l,是等差數(shù)列，故D正確.

故選：CD.

8.（2021?全國）（多選）若｛4｝是等比數(shù)列，則（）

A.｛%是等比數(shù)列B.｛%+q用｝是等比數(shù)列

C.是等比數(shù)列D.｛4?.｝是等比數(shù)列

【答案】ACD

【解析】因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以設(shè)其公比為4,即智=4.

2

因?yàn)檩?。2,所以｛《：｝是等比數(shù)列，所以A選項(xiàng)正確；

1

因?yàn)?=&=1,所以是等比數(shù)列，所以C選項(xiàng)正確；；

a?

因?yàn)閭€(gè)等=T，所以｛“/向｝是等比數(shù)列，所以D選項(xiàng)正確：

當(dāng)q=-l時(shí)，a“+a.”=0,所以此時(shí)｛4+。用｝不是等比數(shù)列，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ACD

9.（2021?深圳市皇御苑學(xué)校）（多選）已知數(shù)列｛a,,｝是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是

,1,,

A.｛—）B.log,（a,,）-C.｛4+-｝D.｛an+an+l+an+2]

【答案】AD

2

【解析】氏=1時(shí)，log2（??）=0,數(shù)列｛log??）?｝不一定是等比數(shù)列，

4=-1時(shí),an+an+l=0,數(shù)列｛%+.｝不一定是等比數(shù)列,

由等比數(shù)列的定義知4｝和U+《,.2｝都是等比數(shù)列.

an

故選AD.

10.（2021?全國高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛斯｝滿足0=1,+1=2（〃+1）〃〃，設(shè)兒=4■.

n

(1)求力，岳，〃3；

(2)判斷數(shù)列｛為｝是否為等比數(shù)列，并說明理由;

(3)求他〃｝的通項(xiàng)公式.

【答案】⑴"=1,62=2,為=4；⑵是,理由見解析；(3)a“=〃2"7.

【解析】⑴由條件可得斯+產(chǎn)3”?麗

n

將〃=1代入得，42=4〃],而4]=1,所以，42=4.

將〃=2代入得，〃3=3〃2,所以，6=12.

從而力1=1,岳=2,Z?3=4.

⑵數(shù)列｛兒｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.理由如下：

由條件可得均=生，即6,田=25，又"=1,

所以數(shù)列｛兒｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

(3)由(2)可得益=2-1,所以勺=〃?2"T.

n

【題組二等比數(shù)列基本量計(jì)算】

1.(2021?全國高二課時(shí)練習(xí))在數(shù)列｛4｝中，4=1，點(diǎn)m，4+J在直線y=2x上，則為的值為()

A.7B.8C.9D.16

【答案】B

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(??,4,+1)在直線y=2x上，所以a?+I=2ali,

因?yàn)?=1,所以｛〃“｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以q=q=1x23=8.故選：B.

2.(2021?北京牛欄山一中高二期中)已知等比數(shù)列｛凡｝的前“項(xiàng)和為S”下表給出了S,的部分?jǐn)?shù)據(jù):

n123456

S?-120-61

那么數(shù)列但“｝的第四項(xiàng)為等于()

A.81B.27C.-81或81D.-27或27

【答案】B

【解析】由題意得，等比數(shù)列｛〃“｝中，__,

1'一一一—8?1

故/=81,g=±3,

因?yàn)镾1<0,S產(chǎn)仁>0,由成-1>0,所以1-4>0,

1-g

所以g=-3,所以4=_(_3廣，

故q=a聞a=-(-3)3=27.

故選：B.

3.(2021.全國高二課時(shí)練習(xí))記正項(xiàng)等比數(shù)列包｝的前〃項(xiàng)和為S“，若為=4,，=5$2,則$6=()

A.2B.-21C.32D.63

【答案】D

(解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛a,,｝的公比為q(q>0),

因?yàn)?=4,S4=5S2,

4g2=4\a\Q2—4jq=2

(4+44+4如+4。)=5(q+qq)[q~+q=4(1+^)[q=l

=1X^-2)=26-l=63-

61-2

故選：D.

4.(2021?全國高二課時(shí)練習(xí))在160與5中間插入4個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這4個(gè)數(shù)依次

為.

【答案】80,40,20,10

【解析】不妨設(shè)等比數(shù)列｛%｝嗎=160,4=5,公比為q

貝lj4=a4,即5=160g5,

a

故％=\Q=80M3=a"=40M4=a4=20,a5==10

，這4個(gè)數(shù)依次為80,40,20,10.

故答案為：80,40,20,10

5.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列｛斯｝中，若內(nèi)=3,aio=384,則公比行.

【答案】2

【解析】為=3,%0=384,.?./=方，.?.384=3寸,即d=128=2，,.“=2,故答案為：2.

6.（2021.上海市進(jìn)才中學(xué)高二月考）在2,x,8,y四個(gè)數(shù)中，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)成等差數(shù)列，則

x—y=___________

【答案】-8或一24.

（x=4\x——4

【解析】由已知得八16』63y解得…或尸2?！?g.故答案為…或3

7.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，將這四個(gè)數(shù)分別減去1,1,4,13成等差數(shù)列，則這四

個(gè)數(shù)的和是.

【答案】45

2

【解析】設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為maq,的2,叼3,貝|jq—],（妁一],aq-4f陽3—13成等差數(shù)歹ij.即

2(^-1)=(aq?a(q-V)2=3,

整理得

2(。夕2-4)=(。4一1)+(。/-]3),aq(q-1)2=6,

解得〃=3,q=2.因此這四個(gè)數(shù)分別是3,6,12,24,其和為45.

故答案為：45

8.（2021.全國高二專題練習(xí)）等比數(shù)列｛?。?公比為q,前一項(xiàng)和為國

（1）若。1=—8,43=—2,求§4；

（2）若§6=315,q=2,求0.

【答案】（1）-15或一5；（2）5.

【解析】⑴由題意可得/=2=]=;,

q—O4

所以4=一；或《=

當(dāng)時(shí)，s4

綜上所述，54=-15或邑=-5.

is,解得4=5.

("61"1-2"L

9.(2021?全國高二課時(shí)練習(xí))已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)歹U.

⑴若4=3,4=2,〃=6,求5〃；

(2)若。=-2.7,q=_；,a〃=專,求S”；

(3)若4=-1,4=64,求夕與S4；

39

(4)若。3=5，，求以1與夕.

9131

【答案】(1)189；(2)——；(3)<7=-4,S4=51；⑷4=于4=1或q=6,g=-..

【解析】(1)因?yàn)?=3,4=2,〃=6,可得臬=色魯豈=上"豈=189.

l-q1-2

⑵因?yàn)椋?-2.7,q=_g,且6=2，

(3)設(shè)等比數(shù)列｛4“｝的公比為因?yàn)閝=-l,4=64,可得°q3=-ixq3=64,

即,=-64,解得q=T,所以S,=誓二心=二平=51.

1-q11-4(-4)￡1

,、39

(4)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,因?yàn)椋?；,S3=j,

當(dāng)q=l時(shí)，可得%=%=]3,此時(shí)&=9],滿足題意;

3

2解得4=6,q=_；.

當(dāng)4*1時(shí),可得

q(l"=9

\-q~2

【題組三等比數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)】

1.(2021?全國)若三個(gè)數(shù)1,2,胴成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)加=()

A.8B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】因?yàn)長2,機(jī)為等比數(shù)列，故，=￡即，*=4,故選：B.

2.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列｛風(fēng)）中，已知%，%是方程f-6x+l=0的兩根,則勾=

A.1B.-1C.±1D.3

【答案】A

【解析】在等比數(shù)列｛4｝中，因?yàn)椤?，%是方程V-6x+l=0的兩個(gè)根，所以為+%=6>0,。/％=1>0,所以

a3>0,a7>0,%>0,因?yàn)椤?，“7=，Y=1，所以%=1，選A.

3.（2021.全國）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，已知442a3=4,4限4=12,〃吁口/向=324,則〃等于（）

A.11B.12C.14D.16

【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,則的必=靖=4,。必必=《=12,所以，/=4=3,則43=3；,

a2

因?yàn)閝-=端=324,則產(chǎn)6=與=學(xué)=81=3」，即*人解得”=14.故選：C.

4.（2021?全國）在等比數(shù)列｛《,｝中，a5aM=3,%??4=24,則％4a9的值為（）

A.48B.72C.144D.192

【答案】D

【解析】由生的7=3,得。；=3,由6%4=24,得蠟=24,所以/=牛===8,

紜3

所以%4%=46%”應(yīng)3=24x8=192.故選：D

5.（2021?新蔡縣第一高級中學(xué)）已知女工1,則等比數(shù)列a+log”,4+log〃，"+1。以％的公比為（）

A2工比B—3

C.JD.以上答案都不對

4

【答案】B

【解析】設(shè)數(shù)列的公比為4（4/0），

a+\og2k,a+logM，a+logs%的公比相當(dāng)于a+log?%,a+-\og2k,a+glog2k的公比,

a1a1

+

相當(dāng)于1—7+1,log2Jt2'log2&+§的公比'

10g2fc

令"春’即相當(dāng)于的公比'

2f+口，解得

=(f+l)

3

311

貝niljr+lt=：,>

424

1_1

‘公比"富W

4

故選：B

6.（2021?北京清華附中高二期中）已知等比數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且4=3,則

log3?i+>og,,?2+log3%+log,a4+log,%=()

A.-B.5C.10D.15

2

【答案】B

【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且為=3,

3

log,O]+log3a2+log3a3+log3a4+log,a5=log3?%?4?%?%)=log3g=log33=5.

故選：B.

7.(2021?江西省銅鼓中學(xué)高二開學(xué)考試(文))已知-1,a,b,-9成等差數(shù)列，-1,c,d,e,一9成等比

數(shù)列，則號=().

a

88「8「8』8

AA-3B-iC--9D-§或一5

【答案】B

_o_(_n_88

【解析】因?yàn)?1,",b,-9成等差數(shù)列，所以公差d=[1

4—133

Q

所以6-a=</=--,

因?yàn)?1,c,d,e,-9成等比數(shù)列，所以"是-1和-9的等比中項(xiàng)，

所以"2=-1X(-9)=9,解得4=3或d=—3,

因?yàn)榈缺葦?shù)列中奇數(shù)項(xiàng)同號，所以d=-3,

_8

所以",

故選：B

【題組四等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)】

1.（2021.安徽宣城.高二期中（文））設(shè)S,是等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若$3=4,a4+a5+a6=G,則今=（）

>6

A3n19「5n19

A.—B.—C.-D.—

21036

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為夕，若4=1，則“4+%+必=34=53,矛盾.

所以，4*1,故4+%+%=吆匕6=絲止6=夕5,則q3=j,

l-q\-q2

S19s3219

因此丁9丁函=6

故選：B.

2.（2021.全國高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為48,前14項(xiàng)和為60,則前21項(xiàng)和為（）

A.180B.108

C.75D.63

【答案】D

【解析】由題意得57,S14-S7,跖一，4組成等比數(shù)列48,12,3,

即Su—$4=3,521=63.

故選：D

3.（2021?新余市第一中學(xué)高二月考）已知等比數(shù)列前2（）項(xiàng)和是21,前30項(xiàng)和是49,則前10項(xiàng)和是（）

A.7B.9C.63D.7或63

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為s”，

則Szo-Sio=41+%2++/()=d°(q+/++qo)=/°S]o,

^30-^20=<321+a22++a3O=<7~O(ai+a2++4())=/°兒，

2

所以，(Sg-BoynqXSinEolSso-SR)，(21-Sl0)=S10(49-21),

整理可得品-70sHi+441=0,解得E。=7或63.

當(dāng)S。=63時(shí)，52。-九=-42,則，。=-==-；,顯然不成立，故九=7.

633

故選：A.

4(2021.全國)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和記為Sn,若Sio:S5=l:2,則$5：S5=()

A.-B.-C.；D.-

4323

【答案】A

【解析】：???數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)歹%且其前“項(xiàng)和記為S“

??.S5,SlOrS5,Sl5Wo成等比數(shù)歹U.

VSio；S5=1；2,即$0=355,

等比數(shù)列S5$O-S5$5-$O的公比為邑=-1.

/.5i5-Sio=-；(5IO-S5)=-S5.

24

13

???S15="S5+S10=：S5.

44

3

???$5:S=-.

54

故選：A.

5.(2021.全國高二課時(shí)練習(xí))已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍,

前.3項(xiàng)之積為64,則q=().

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】由題意可得所有項(xiàng)之和S奇+S偶是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，???5奇+S偶=4S偶，

設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為4，山等比數(shù)列的性質(zhì)可得5偶=好奇，即S奇二：S偶，

**?1S偶+S偶=4s偶，:S偶w0,.?.解得q=§,

又前3項(xiàng)之積4a2%=色=64,解得。2=4,—=12,

q

故選:B.

6.(2021.北京海淀.)已知等比數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和5'=3"+乙則％=,廠=—

【答案】6-1

【解析】因等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S"=3"+r,

232

于是得q=S1=3+r,a2=S2~St=(3+r)—(3+r)=6,a3=S3—S2=(3+r)—(3+/,)=18,

數(shù)列公比4="=&=3,解得/?=—1,

%a2

此時(shí)S'=3"-l,當(dāng)"22時(shí)，a“=S“-S,i=3"-3"T=2-3"T,q=2滿足上式，

a2邛

即a“=2-3”T,〃eN*,有&1=(^=3是非零常數(shù)，則心｝是等比數(shù)列，

an2?3

所以4=6/=-1.

故答案為：6；—1.

7.(2021.全國高二課時(shí)練習(xí))設(shè)等比數(shù)列｛叫的前“項(xiàng)和為S“，若率=3,則%?=.

7

【答案】y

S,6a.-八

【解析】q#l，否則寸=廣=2片3.

S33%

q(i-

—=―J-=1+^=3,

S34(I-0

1一夕

「q

7

故答案為：—

8.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列｛斯｝中，前〃項(xiàng)和為S”S3=2,S6=6,則so+au+ai2=

【答案】16

【解析】由S3,56-S3,S9-S6,S12—S9成等比數(shù)列，此數(shù)列首項(xiàng)為$3=2

S_s6-2

其公比4=^^=-^-=2,得$2-59=2x23=16.

故答案為：16

9.（2021?全國）若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且q+%=l,%+%=4,則%+即）=.

【答案】256

【解析】

是等比數(shù)列，

??6+生，“3+04，a5+06,%+4，%+4（）/J等比數(shù)列，

%+。4

目.公比4==4

①+4

%+^1（）=1x44=256.

故答案為：256

10.（2021.全國）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛氏｝共有2〃項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍，則公比4=.

【答案】2

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為品，

貝]lS偶=%+&++a2n=a{q+a,q+--+a2n_{q=q（ai+a3++%“-）=贅奇,

由邑，=35奇，得（l+q）S奇=3S奇，因?yàn)榭桑?,所以S花＞。，所以l+q=3,q=2.

故答案為：2.

11.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列｛4｝共有2〃項(xiàng)，其和為一240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大

80,則公比4=.

【答案】2

5,-5=80S、=-80

【解析】由題意，設(shè)奇數(shù)項(xiàng)的和為偶數(shù)項(xiàng)的和為也得2

S2=760

S,-160、

故公比=2

dj—oU

故答案為2

s1§

12.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)S,是等比數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和，若^=可，則丁、

?10J》20十

【答案】:

4（1-4。）4（1-力（l+q5）

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛七｝的公比為4,由已知4工1,因?yàn)?5=空匕色，510

1-q1-17l-q

=1.5=,，k=2,Si。=3S5,

,101十C/D

S，0="'（j"）=q（l-/）（1+45）（1+"°）=S5（I+q5）（1+/。）=S5（1+2）（1+4）=155,.

\-ql-q

.s5S5=1

"S10+S203S5+15S518,

故答案為：.

1o

13.（2021.全國）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,,=J3”2-；,則實(shí)數(shù)f的值為.

【答案】3

【解析】由S“=T—g,得S“=需3T.

當(dāng)夕=1時(shí),S“=na、,不合乎題意.

當(dāng)"1時(shí)，5j包,令4=y，則s=A?_1）,

“1-qq-1q-\—、'

所以，1=1,解得f=3.

故答案為：3.

14.（2021.柳州市第二中學(xué)（理））已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5?=3向+1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為=

【答案】2.3".

【解析】由S“=3向+f得，

當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=3?+，=9+，，

當(dāng)九=2時(shí)，^1+^2=^2=33+Z=27+f,9+/+〃2=27+f,所以〃？=18

當(dāng)〃=3時(shí)，/=§3-S2=3,-3,=54,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等比數(shù)列，所以琉二%%，即18x18=54x（9+。，所以/=—3,

4=6,公比4="=3,

所以4=041=631=2.3".

故答案為：??=2-3".

15（2021?全國高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S“=3向+2,則6+2=.

【答案】3

+,

【解析】“22時(shí)，an=S?-S?_t=（3"+A）-（3"+2）=2x3",

又q=H=9+/l,數(shù)列｛4｝等比數(shù)列，

.?.—a,=二a.，即￡178=^54，解得；l=—3.

4a29+218

a,+A=3.

故答案為：3.

【題組五等比數(shù)列的單調(diào)性】

1.（2021?全國）等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，若%-4=60,%一%=24,則公比4為（）

A.B.2C.?或—2D.2或g

【答案】D

【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的公比q滿足4＞。旦夕Ri,

所以，%一%==黑=\，即2q2-5q+2=0,解得q或2.

a4-a2a｝qiqq2422

i3

若9=彳，則％-%=4夕（夕2-1）=-石6=24,解得q=-64,

2o

此時(shí)q=qgi=-64x擊，此時(shí)數(shù)列｛《,｝為遞增數(shù)列，合乎題意；

若q=2,則4-%=%4（“i2-1）=64=24,解得q=4,

此時(shí)a“=q*=4x2"M=2T此時(shí)數(shù)列｛〃“｝為遞增數(shù)列，合乎題意.

綜上所述，＜7=；或2.

故選：D.

2.（2021?陜西新城?西安中學(xué)高三（文））在等比數(shù)列｛斯｝中，*=a，且”8＞。9,則使得q-，＞0的自然數(shù)”的最

a\

大值為（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【解析】因?yàn)?=%,即所以為=1，

又因?yàn)?＞%，所以數(shù)列｛q｝為單調(diào)遞減,

因?yàn)?-，=q--=/向尸T）=/（/'"T）>0,

所以廣9>1=/>,所以〃<9.又因?yàn)椤檎麛?shù)，故〃皿=8.

故選：C

3.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5,”則“S.+6SJ是單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】S,川>S“=a,m>0,例如4=/>0,但是數(shù)列｛4｝不單調(diào)遞增，故不充分；

數(shù)列｛0｝單調(diào)遞增，例如q=一?，但是故不必要；故選：D

4.（2021?福建省福州第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理））（多選）設(shè)｛4｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，刀,是

其前〃項(xiàng)的積，且?―,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Q>1B.<4=iC.Ti0>T6D.T）與4均為，的最大值

【答案】BD

【解析】由題意知,

A：由工,<<得的>1,由4=4得出=^=1,

所以"="1,又q>0,所以0<4<1,故A錯(cuò)誤;

%

B：由<=篤得4=工=1,故B正確;

C：因?yàn)椋?｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，4€（0，1）,

有4>。2>>%>4=1>>《0>，

2

所以?=WMo=(asa,)=a；<1,

[6

所以幾<"，故C錯(cuò)誤；

D：T<T<

t2<T,<TS>T9>TI0>,

則1與”均為4的最大值，故力正確.

故選：BD

5.(2021.江蘇連云港.高三月考)(多選)設(shè)等比數(shù)列也,｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S“，前〃項(xiàng)積為7；,并滿足

條件4AL/MOM>1，(生020-1),(%)21-1)<。，則下列結(jié)論中正確的有()

A.q>lB.52021>02020

C.a2020-a2022<lD.Go是數(shù)列｛口中的最大值

【答案】BCD

【解析】依題意等比數(shù)列｛4｝滿足條件：

“I>1，”2020,“2021>1，

(%)20—D(%)2I-1)<。,

若"1，

則生回=4P刈9>1嗎⑼="「屋。2。>1,

則“202。-1>°,。2021—1>°，

則(“2020T)>0與已知條件矛盾.

所以421不符合，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

a

山于q>1,“2020'202l>1，

D(%)2I-1)<。,

所以。2020°<“2021<1，°<”1,??>0,

a

則$202]=$2020+202l>$2020，

所以B選項(xiàng)正確，

乂“2020'02022="2021<L

所以C選項(xiàng)正確.

因此，前2020項(xiàng)都大于1,

從第2021項(xiàng)開始起都小于1,

因此乙2。的值是，中最大的.

所以D選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

6.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）（多選）關(guān)于遞增等比數(shù)列｛4｝,下列說法不正確的是（）

a>0a.

A.當(dāng)〈?,B.a.>0C.q>\D.—tl<1

q>Ia0+i

【答案】BCD

[a,>0,s

【解析】A,當(dāng)時(shí)，從第二項(xiàng)起，數(shù)列的每一項(xiàng)都大于前一項(xiàng)，所以數(shù)列｛4｝遞增，正確；

B,當(dāng)4>。，4<。時(shí)，伍“｝為擺動數(shù)列，故錯(cuò)誤；

C,當(dāng)《<0,4>1時(shí)，數(shù)列僅“｝為遞減數(shù)列，故錯(cuò)誤；

D,若4>0,&<1且取負(fù)數(shù)時(shí)，則僅“｝為擺動數(shù)列，故錯(cuò)誤，

an+\

故選：BCD.

7.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)數(shù)列的第機(jī)項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前機(jī)項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)列為“沉積數(shù)

列若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝是一個(gè)“2020積數(shù)列“，且4>1,則當(dāng)其前〃項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)，〃

的值為.

【答案】1009或1010

【解析】設(shè)數(shù)列｛““｝的公比為夕.

由題意可得，?2020=4.%.%?一?，

“2019=1，

??a\'a20\9=a2,〃2OI8=〃3,〃2017==〃101（）=1.

又4>1,

0<夕<I,數(shù)列｛%｝為遞減等比數(shù)列，

“1009>1，“1010=1，4ou<1>

則當(dāng)其前〃項(xiàng)的乘積取最大值時(shí)，〃的值為1009或1010.

故答案為：1009或1010

8.（2021.西城?北京育才學(xué)校高二期中）等比數(shù)列滿足如下條件：①q<0；②數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，試寫出滿

足上述所有條件的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式4,=.

【答案】（答案不唯一）

【解析】滿足上述所有條件的一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式凡=-卷.

故答案為：-￡（答案不唯一）

9.（2021.湖北黃州.黃岡中學(xué)高三）設(shè)數(shù)列伍“｝的前〃項(xiàng)和為S,,寫出｛〃“｝的一個(gè)通項(xiàng)公式4=,滿

足下面兩個(gè)條件：①｛〃“｝是單調(diào)遞減數(shù)列；②｛，｝是單調(diào)遞增數(shù)列.

【答案】（￡）”（答案不唯一）

【解析】根據(jù)前〃項(xiàng)和數(shù)列是單調(diào)遞增的，可以判定數(shù)列的各項(xiàng)，從第二項(xiàng)起，各項(xiàng)都是大于零的，由數(shù)

列本身為單調(diào)遞減數(shù)列，結(jié)合各項(xiàng)的值的要求，可以考慮公比在0到1之間的等比數(shù)列的例子，4=（；）”就

是符合條件的例子，

故答案為：J（答案不唯一）

【題組六等比數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用】

1.（2021.全國高二課時(shí)練習(xí)）中國人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征，測算顯示中國是世界上人

口老齡化速度最快的國家之一，再不實(shí)施“放開二胎''新政策，整個(gè)社會將會出現(xiàn)一系列的問題.若某地區(qū)

2015年人口總數(shù)為45萬，實(shí)施“放開二胎''新政策后專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2016年開始到

2025年每年人口比上年增加0.5萬人.從2026年開始到2035年每年人口為上一年的99%.

（1）求實(shí)施新政策后第〃年的人口總數(shù)%的表達(dá)式；（注：2016年為第一年）

（2）若新政策實(shí)施后的2016年到2035年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí)施.問到2036

年是否需要調(diào)整政策？

【答案】（1）以=京450+.9O9.，15Z?。,/1<印/?<14O2,。H,G“7V+”）2°36年-不需要倜整一政一策.

【解析】解：（1）當(dāng)它10時(shí)，數(shù)列｛如｝是首項(xiàng)為45.5,公差為0.5的等差數(shù)列，

所以a“=45.5+0.5x（〃-l）=45+0.5〃.

當(dāng)?>11時(shí)，數(shù)列｛斯｝是以0.99為公比的等比數(shù)列.

又00=50,所以斯=50x0.99"，°,

因此新政策實(shí)施后第〃年的人口總數(shù)為(單位：萬人)的表達(dá)式為

j45+0.5?,l<H<10,neW,

“l(fā)[50x0.99,"'°,11</i<20,?eA/*.

⑵設(shè)S,為數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，則從2016年到2035年共20年，山等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得

S2O=Slo+(〃ll+a】2+…+〃20)

10

10x9149.5(1-O.99)

二10x45.5+X+

221-0.99

=477.5+4950x(1—0.99昨950.8(萬)，

所以新政策實(shí)施后的2016年到2035年的年人口均值為黑=47.54萬.

因?yàn)?7.54V49,故到2036年不需要調(diào)整政策.

2.(2021?全國高二課時(shí)練習(xí))某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：

甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30%的利潤；

乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000