新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線2雙曲線2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第一冊

2.2雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)A組1.下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2x的是().A.x2-y24=1 B.x24C.y24-x2=1 D.y2-x2.已知定點(diǎn)A,B,且|AB|=4,動點(diǎn)P滿意|PA|-|PB|=3,則|PA|的最小值為().A.12 B.32 C.3.設(shè)F1和F2為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點(diǎn),若F1,F2,P(0,2bA.32 B.2 C.54.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A.y=±2x B.y=±3xC.y=±22x D.y=±35.(多選題)已知在等邊三角形ABC中,D,E分別是CA,CB的中點(diǎn),以A,B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D,E的橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則下列關(guān)于e1,e2的關(guān)系式正確的有().A.e2+e1=2 B.e2-e1=2C.e1e2=2 D.e2e1=6.已知A,B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則雙曲線E的離心率為().A.5 B.2 C.3 D.27.與雙曲線x2-y24=1有共同的漸近線,且過點(diǎn)(2,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是8.已知F1,F2分別為雙曲線C:x29-y227=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A∈C,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0),AM為∠F1AF2的平分線,9.已知橢圓D:x250+y225=1與圓M:x2+(y-5)2=9,雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn),雙曲線的兩條漸近線恰好與圓MB組1.(多選題)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若A.漸近線方程為y=±33B.離心率e=3C.離心率e=2D.漸近線方程為y=±3x2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均與圓C:x2+y2-6x+5=A.355 B.62 C.3.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+dA.x24-y2C.x23-y24.已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),P是以F1F2為直徑的圓與該雙曲線的一個交點(diǎn),且∠PF1F2=2∠PF2A.3+22 B.3C.3+1 D.35.已知F1,F2是兩個定點(diǎn),點(diǎn)P是以F1和F2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個交點(diǎn),且PF1⊥PF2,記e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率,則有().A.e12+e2C.1e12+16.若點(diǎn)O和點(diǎn)F(-2,0)分別為雙曲線x2a2-y2=1(a>0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的隨意一點(diǎn),則OP7.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為2,且過點(diǎn)M(4,-10).(1)求雙曲線的方程;(2)若點(diǎn)N(3,m)在雙曲線上,求證:NF1(3)對于(2)中的點(diǎn)N,求△F1NF2的面積.

參考答案2.2雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)A組1.C由題意知,選項(xiàng)A,B的焦點(diǎn)在x軸上,故解除選項(xiàng)A,B,選項(xiàng)C的漸近線方程為y=±2x,選項(xiàng)D的漸近線方程為y=±122.C如圖,點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,當(dāng)點(diǎn)P與雙曲線右支頂點(diǎn)M重合時,|PA|最小.(第2題)又2c=4,2a=3,故|PA|的最小值為a+c=32+2=73.B由tanπ6=c2b=33,得3c2=4b即4a2=c2,故e=ca=24.A因?yàn)閑=ca=3,所以c2a2=a2+b2a2=3,5.BCD設(shè)△ABC的邊長為2.由題意,可得橢圓的離心率e1=3-1,雙曲線的離心率e2=3+1,所以e1+e2=23,e1e2=2,e2-e1=2,e2e1=2+3.6.D如圖,設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),令點(diǎn)M在雙曲線的右支上,AB=BM=2a,∠MBA=(第6題)則∠MBH=60°,BH=a,MH=3a,所以M(2a,3a).將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程x2a2-y所以e=2.故選D.7.x23-y212=1依題意設(shè)雙曲線的方程為x2-y24=λ故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23-8.6因?yàn)锳M為∠F1AF2的平分線,所以|AF1又因?yàn)閨AF1|-|AF2|=2×3,所以|AF2|=6.9.解橢圓D的兩個焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0),因此雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且c=5.設(shè)雙曲線G的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>∴漸近線方程為bx±ay=0.∵圓M的半徑為3,圓M與漸近線相切,∴圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為3,∴|5a|b2+a2∴雙曲線G的方程為x29-B組1.AC由已知,不妨設(shè)點(diǎn)M,N所在的漸近線方程為y=bax,由∠MAN=60°,知△MAN為等邊三角形,則A(a,0)到漸近線y=bax的距離為32b,所以|ab-0|a2+b2=32b,化簡得a2=3b2,則c2.A因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,所以圓心為C(3,0),半徑r=2.雙曲線的漸近線方程為y=±bax,不妨取y=bax,即bx-ay=0.因?yàn)闈u近線與圓相切,所以圓心到直線的距離d=|3b|a2+b2=2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=45a2=c2-a2,即95a23.C(方法一)因?yàn)橹本€AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸,所以不妨取Ac,b2a,Bc,-b2a,取雙曲線的一條漸近線bx-ay=0.由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc+b2c.因?yàn)閐1+d2=6,即bc-b(方法二)由d1+d2=6,得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,所以b=3.因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以ca=2,所以a2+b2a2=4.C由題意得,點(diǎn)P在雙曲線的左支上,∠F1PF2=90°.又因?yàn)椤螾F1F2=2∠PF2F1,所以∠PF2F1=30°.又因?yàn)閨F1F2|=2c,所以|PF1|=c,|PF2|=3c,|PF2|-|PF1|=(3-1)c=2a,解得e=ca=35.D由題意,設(shè)焦距為2c,橢圓的長軸長為2a,雙曲線的實(shí)軸長為2m,不妨令公共焦點(diǎn)在x軸上,F1為左焦點(diǎn),F2為右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線的右支上.由雙曲線的定義,得|PF1|-|PF2|=2m, ①由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a, ②又因?yàn)椤螰1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2, ③①2+②2,并化簡得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2, ④將④代入③,并化簡得a2+m2=2c2,即a2c即1e126.[3+23,+∞)因?yàn)镕為左焦點(diǎn),所以c=2,所以a2=3,所以雙曲線的方程為x23-y2=設(shè)P(x0,y0),則OP·FP=(x0,y0)·(x0+2,y0)=x02+2x0+y02=x02+2x0+x0由點(diǎn)P在雙曲線右支上,得x0≥3,所以O(shè)P·FP≥3+27.(1)解因?yàn)閑=2,所以有1+b2a故可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ(λ≠0).因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)M(4,-10),所以16-10=λ,得λ=6.故雙曲線的方程為x26-(2)證明由(1)可知,不妨令F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),在雙曲線中,a=b=6,則c=23.所