有限元法及其應(yīng)用 課件 FEM 3 平面問題有限元法、FEM 4 ANSYS簡介

3平面問題的有限元法位移函數(shù)的選取有限元法中，連續(xù)體的位移場，采用分片連續(xù)的多項(xiàng)式函數(shù)來表征。選取位移函數(shù)的核心問題是要保證有限元法解答的收斂性問題，即網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解應(yīng)當(dāng)收斂于問題的理論解。為保證收斂性，位移函數(shù)必須滿足三個性質(zhì)：完備性、協(xié)調(diào)性、幾何各項(xiàng)同性。完備性是收斂的必要條件，協(xié)調(diào)性和幾何各向同性是充分條件。相鄰單元公共邊界的變形情況選取位移函數(shù)滿足的三個準(zhǔn)則：

（1）完備性——反映單元的剛體位移狀態(tài)和常應(yīng)變狀態(tài)。真實(shí)狀態(tài)下，物體任意點(diǎn)的位移包含剛體位移和彈性位移疊加而成。因此，插值函數(shù)必須有剛體位移狀態(tài)，必須有常數(shù)項(xiàng)。（2）協(xié)調(diào)性——相鄰單元在公共邊界處位移或位移導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。在公共邊界上，沒有縫隙、重疊、且具有相同的法向轉(zhuǎn)角。位移函數(shù)的選?。?）幾何各向同性——所取位移函數(shù)從一個笛卡爾直角坐標(biāo)系線性變換到另一個坐標(biāo)系要保持完備性與協(xié)調(diào)性不變。選擇以下的位移函數(shù)能滿足單元的幾何各向同性：完全的n次多項(xiàng)式；不完全的n次多項(xiàng)式，但含有保持“對稱性”的合適的項(xiàng)。帕斯卡（Pascal）三角形位移函數(shù)的選取3節(jié)點(diǎn)三角形單元確定單元的位移模式設(shè)定一個簡單的函數(shù)作為單元位移的近似函數(shù)，該函數(shù)稱為位移函數(shù)，位移函數(shù)一般取為多項(xiàng)式形式。對于三角形平面單元：

節(jié)點(diǎn)位移列向量節(jié)點(diǎn)力列向量根據(jù)帕斯卡三角，單元位移函數(shù)選完全多項(xiàng)式前三項(xiàng)：式中：αi

稱為廣義坐標(biāo)。節(jié)點(diǎn)位移滿足位移函數(shù)3節(jié)點(diǎn)三角形單元單元節(jié)點(diǎn)處各位移分量滿足該位移函數(shù)：其中，為三角形的面積。伴隨矩陣求逆方法，左邊方程組的解為：將系數(shù)代入位移插值函數(shù)，得到位移用節(jié)點(diǎn)位移的表示形式：同理，可得y方向位移用節(jié)點(diǎn)位移的表示形式3節(jié)點(diǎn)三角形單元因此，三角形單元內(nèi)，位移插值函數(shù)的表達(dá)式為：3節(jié)點(diǎn)三角形單元令則有位移插值函數(shù)的表達(dá)式：為形函數(shù)。式中：[N]為形函數(shù)矩陣，其元素是位置坐標(biāo)的函數(shù)。寫成矩陣形式：式中：

形函數(shù)的性質(zhì)：（1）形函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)，且與位移函數(shù)的形式相同。（2）形函數(shù)在本節(jié)點(diǎn)上取值為1，在其余節(jié)點(diǎn)取值為零。即有如下表達(dá)式：3節(jié)點(diǎn)三角形單元三個節(jié)點(diǎn)位移都是基本的物理量，相互獨(dú)立。因此,i節(jié)點(diǎn)位移與其他兩個節(jié)點(diǎn)位移無關(guān)，其系數(shù)為0。以i節(jié)點(diǎn)為例，i節(jié)點(diǎn)x方向位移：（3）在任意點(diǎn)(x,y)，形函數(shù)值的總和為1，即位移插值函數(shù)必然能滿足物體的剛體運(yùn)動，因此假設(shè)物體做剛體運(yùn)動（如，任意點(diǎn)運(yùn)動u0）3節(jié)點(diǎn)三角形單元帕斯卡（Pascal）三角形位移插值函數(shù)——四個節(jié)點(diǎn)，選四項(xiàng)。4節(jié)點(diǎn)四邊形單元雙線性函數(shù)：固定x，位移函數(shù)u(x,y)和v(x,y)是關(guān)于y的線性函數(shù)；固定y，位移函數(shù)u(x,y)和v(x,y)是關(guān)于x的線性函數(shù)。用形函數(shù)表示：四節(jié)點(diǎn)矩形單元節(jié)點(diǎn)3形函數(shù)N3(x,y)在節(jié)點(diǎn)1,2,4取0，由于形函數(shù)為雙線性函數(shù)，固定一條邊時，線性變化。因此，N3(x,y)在直邊14和12都取0，即：4節(jié)點(diǎn)四邊形單元N3(x,y)在節(jié)點(diǎn)3取1總結(jié)規(guī)律，有如下一般形式：同理，2節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)可以表示為：N2(x,y)在節(jié)點(diǎn)2取1，則有：因此，（1）單元應(yīng)變矩陣有限元方程的建立為單元應(yīng)變矩陣，為3×2n矩陣；n為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

其中：有限元方程的建立對于線性平面3節(jié)點(diǎn)三角形單元，形函數(shù)為：單元應(yīng)變矩陣可表示成分塊的形式：其中：有限元方程的建立(2)單元應(yīng)力矩陣平面應(yīng)力問題的本構(gòu)方程：可簡寫為將

代入，得到用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力的關(guān)系式：，其中[D]是與單元材料有關(guān)的彈性矩陣

（3）虛功原理——彈性體變形時，外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功。有限元方程的建立虛功原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式：內(nèi)虛功外虛功計(jì)算內(nèi)力虛功時，從彈性體中截取微小矩形，邊長為dx和dy，厚度為t，圖示微小矩形的實(shí)際應(yīng)力和虛設(shè)變形。有限元方程的建立總內(nèi)虛功有限元方程的建立內(nèi)力在虛位移上所做的虛功：內(nèi)力×虛位移，其中，內(nèi)力=應(yīng)力×面積，虛位移=虛應(yīng)變×原長虛應(yīng)變向量應(yīng)力向量式中：外力在虛位移上所做的虛功：式中：矩陣形式：虛位移向量體力向量面力向量有限元方程的建立單元e的節(jié)點(diǎn)位移向量為有限元方程的建立單元e內(nèi)的虛應(yīng)變?yōu)閱卧獌?nèi)虛功單元e的節(jié)點(diǎn)虛位移向量為由單元位移產(chǎn)生的單元應(yīng)力向量為厚度為t的單元內(nèi)的虛變形功為其中單元剛度矩陣單元外虛功有限元方程的建立其中，等效節(jié)點(diǎn)力虛位移場得到：外力所做虛功作用于任意一個單元上的載荷有體積力和單元邊界的表面力，單位體積力為，單位表面力為有限元方程的建立單元平衡方程記作用于單元e上的等效節(jié)點(diǎn)載荷向量為得到外力虛功由虛功原理得到即：單元平衡方程對于平面問題的3節(jié)點(diǎn)三角形單元，剛度矩陣：

有限元方程的建立其中有限元方程的建立對于平面應(yīng)力問題，單元子剛度矩陣為對于平面應(yīng)變問題，只需令單元子剛度矩陣為一厚度為h的平面薄片懸臂結(jié)構(gòu)，承受一集中荷載P，求其變形及應(yīng)變。現(xiàn)將該結(jié)構(gòu)劃分為4個單元，總共6個節(jié)點(diǎn)，單元及節(jié)點(diǎn)編號如圖。例題先計(jì)算單元①的剛度矩陣，單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)按逆時針順序編號，節(jié)點(diǎn)i,j,m對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號為1，2，3。按節(jié)點(diǎn)分塊，單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為:★1.單元剛陣的計(jì)算例題單元①的剛度矩陣對于單元②

，按逆時針方向取節(jié)點(diǎn)的順序?yàn)?，5，3，即按節(jié)點(diǎn)順序分塊，其單元平衡方程為例題單元剛度矩陣對于單元③和④，因?yàn)槠鋷缀涡螤罴肮?jié)點(diǎn)排列的順序與單元①完全相同，所以有例題單元③平衡方程單元④平衡方程★2.整體剛陣的疊加例題節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷平衡。以節(jié)點(diǎn)2為例，系統(tǒng)的有限元方程為結(jié)構(gòu)的基本方程為整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)荷載列陣為★

3.基本方程和約束條件的處理其中各項(xiàng)為約束反力。例題整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量為基本方程含有12個方程，包含6個未知位移和6個未知約束反力是可以求解的。如只求位移，可將約束的位移條件代入（劃行劃線法）?！?/p>

3.基本方程和約束條件的處理例題如節(jié)點(diǎn)4的約束反力★

4.求位移、支反力例題求解降階后的平衡方程即可求解節(jié)點(diǎn)位移。將節(jié)點(diǎn)位移向量代入整體平衡方程即可得到約束反力。例題★

5.求應(yīng)變和應(yīng)力以單元②為例，單元節(jié)點(diǎn)的編碼為i=2，j=5，m=3，從已解的整體結(jié)構(gòu)位移列陣中，找出此單元的節(jié)點(diǎn)位移值，即有故單元②的單元節(jié)點(diǎn)位移列陣為單元②的各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為可求得各有關(guān)系數(shù)為單元面積為例題★

5.求應(yīng)變和應(yīng)力單元②的應(yīng)變矩陣為單元②的應(yīng)變列陣為對于平面應(yīng)力問題，也可根據(jù)求出單元的應(yīng)力。例題★

5.求應(yīng)變和應(yīng)力4有限元軟件ANSYS簡介主要內(nèi)容4.1ANSYS的功能模塊4.2ANSYS的坐標(biāo)系4.3ANSYS的單位制ANSYS部分功能列表如下：結(jié)構(gòu)分析線性分析非線性分析材料、幾何、接觸動力學(xué)分析模態(tài)、諧分析、瞬態(tài)動力、譜分析、隨機(jī)振動顯式動力分析：ANSYSLS-DYNA熱分析（穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)熱分析）流體分析(CFD,聲學(xué)和其他流體分析)電磁場分析耦合場分析設(shè)計(jì)靈敏度及優(yōu)化分析4.1ANSYS的功能模塊ANSYSMultiphisical–最廣泛的物理場耦合分析工具，將結(jié)構(gòu)、熱、流體、聲學(xué)和電磁仿真功能組合為單一的軟件產(chǎn)品。ANSYSMechanical–結(jié)構(gòu)和熱分析工具，包括完整的線性和非線性單元、材料范圍從金屬到橡膠，以及最全面的求解能力。ANSYSStructural–提供所有ANSYS非線性結(jié)構(gòu)功能，以及線性功能。

ANSYSProfessional–用于結(jié)構(gòu)/熱分析項(xiàng)目的便宜、容易使用的程序。ANSYSDesignSpace–可在桌面上將想法概念化、進(jìn)行設(shè)計(jì)和認(rèn)證。ANSYSLS-DYNA–將LS-DYNA顯式動力求解技術(shù)與ANSYS軟件強(qiáng)有力的前/后處理融合在一起，可以分析如碰撞試驗(yàn)、金屬成形、沖壓成形和突發(fā)性失效等非線性現(xiàn)象。ANSYSEmag–用于低頻電磁學(xué)分析。Workbench

模塊：DesignModeler

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Workbench為仿真應(yīng)用提供了獨(dú)特的建模功能，包括詳細(xì)的幾何建模、CAD幾何修整，以及概念建模工具。DesignXplorer–用于Workbench環(huán)境，在Workbench中執(zhí)行DesignOfExperiments(DOE)仿真分析，包括CAD參數(shù)。DesignXplorerVT–強(qiáng)有力的變量化技術(shù)解決方案，給用戶的的各個設(shè)計(jì)要點(diǎn)提供完整的FEA結(jié)果，從而對設(shè)計(jì)概念有一個廣闊的視野。

ANSYSFatigue

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提供在給定的循環(huán)載荷條件下，對產(chǎn)品的預(yù)期壽命進(jìn)行仿真的能力。Workbench和MechanicalAPDL的區(qū)別MechanicalAPDL是ANSYS的經(jīng)典界面，通常所說的ANSYS指的就是這個經(jīng)典界面；Workbench是一個CAE開發(fā)平臺，便于與CAE軟件進(jìn)行相互交流；Workbench的界面操作系統(tǒng)更加友好和人性化，建模與網(wǎng)格劃分比經(jīng)典版方便，更適合工程設(shè)計(jì)人員，而MechanicalAPDL適合專業(yè)FEA人員；Workbench中網(wǎng)格劃分只能是自由劃分；從功能上來說，兩者都能獨(dú)立的完成有限元分析，但由于軟件定位不同，MechanicalAPDL更像是一個求解器，功能強(qiáng)大；Workbench則更注重于不同軟件之間的相互溝通，在有限元分析這一塊的功能不及前者。兩者的計(jì)算結(jié)果有小的差別，Workbench和經(jīng)典版默認(rèn)的算法是不同的，Workbench默認(rèn)的PCG算法，而MechanicalAPDL是消元法。4.2ANSYS的坐標(biāo)系整體坐標(biāo)系(GlobalCoordinateSystems)局部坐標(biāo)系(LocalCoordinateSystems)工作平面坐標(biāo)系(WorkingPlaneCoordinateSystem）節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系(NodalCoordinateSystems)單元坐標(biāo)系(ElementCoordinateSystems)顯示坐標(biāo)系(DisplayCoordinateSystem)結(jié)果坐標(biāo)系(ResultsCoordinateSystem)1)總體坐標(biāo)系GlobalCSCartesianCS(CS,0)CylindricalCS(CS,1或CS,5)SphericalCS(CS,2)(a)Cartesian(CS,0)(b)Cylindrical(CS,1)(c)Spherical(CS,2)

(d)Cylindrical(CS,5)(X,Y,Zcomponents)(R,θ,Zcomponents)(R,θ,Φcomponents)(R,θ,Ycomponents)2)局部坐標(biāo)系LocalCS局部坐標(biāo)系是用戶根據(jù)建模需要而定義的坐標(biāo)系，可以是CartesianCS、CylindricalCS、SphericalCS當(dāng)創(chuàng)建了局部坐標(biāo)系后，分配給它一個坐標(biāo)系號（必須是11或更大）用戶可定義多個局部坐標(biāo)系，但某一時刻只能有一個坐標(biāo)系被激活。每當(dāng)用戶定義一個新的局部坐標(biāo)系，這個新的坐標(biāo)系就會自動被激活。3)工作平面坐標(biāo)系WorkingPlaneCS工作平面坐標(biāo)系是創(chuàng)建幾何模型的參考平面(X,Y)，默認(rèn)情況下，工作平面坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系相重合。為方便對模型進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)或鏡像等操作，可以改變工作平面坐標(biāo)系的位置和方向。工作平面是由原點(diǎn)、二維坐標(biāo)系、捕捉增量和顯示柵格組成的無限平面。工作平面坐標(biāo)系的編號是4。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系的作用和使用場合：定義節(jié)點(diǎn)自由度的方向節(jié)點(diǎn)輸入數(shù)據(jù)（如約束自由度、荷載等）是以節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系方向來表達(dá)的。定義節(jié)點(diǎn)結(jié)果數(shù)據(jù)的方向時間歷程后處理（POST26）中節(jié)點(diǎn)結(jié)果數(shù)據(jù)（如自由度解、節(jié)點(diǎn)力等）也是以節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系方向來表達(dá)的。4)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系NodalCS每個節(jié)點(diǎn)都有一個附著的坐標(biāo)系，缺省情況下，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系平行于總體笛卡爾坐標(biāo)系。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系可以通過菜單路徑顯示：UtilityMenu：Plotctrls→Symbols→NodalCS必要時可以轉(zhuǎn)換節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系的方向。例如：模擬一個斜的滾動支座；施加徑向力；施加徑向約束。(a)Defaultorientation-paralleltoglobalCartesianSystem(CS,0)(b)RotatedparalleltolocalcylindricalSystem(CS,11)旋轉(zhuǎn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系步驟：在圓的中心創(chuàng)建一個局部柱坐標(biāo)系（CS，11）；選擇圓上的節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到該柱坐標(biāo)下（Preprocessor→Move/Modify→RotateNodalCStoactiveCS），則節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系的X方向指向徑向，Y方向是周向。在該節(jié)點(diǎn)上施加的X向載荷即徑向載荷，Y向載荷即周向載荷。(a)Defaultorientation-paralleltoglobalCartesianSystem(CS,0)(b)RotatedparalleltolocalcylindricalSystem(CS,11)…csys,0(激活直角坐標(biāo)系為當(dāng)前坐標(biāo)系)nrotat,all(將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系切換到與當(dāng)前坐標(biāo)系方向一致)f,all,fx,100f,all,fy,100_______________________________________…csys,1(激活柱面坐標(biāo)系為當(dāng)前坐標(biāo)系)nrotat,allf,all,fx,100f,all,fy,100(i)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系一致時(ii)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系與柱面坐標(biāo)系一致時5)單元坐標(biāo)系ElementCS單元坐標(biāo)系的作用：規(guī)定材料屬性的方向（如復(fù)合材料的鋪層方向）；規(guī)定所施加面力的方向；規(guī)定單元結(jié)果數(shù)據(jù)(應(yīng)力或應(yīng)變)的方向大多數(shù)單元坐標(biāo)系的缺省方向遵循以下規(guī)則：線單元（如Link180）的x軸通常由單元的I節(jié)點(diǎn)指向J節(jié)點(diǎn)；殼單元(如Shell181)的x軸通常取I節(jié)點(diǎn)到J節(jié)點(diǎn)的方向，z軸過中心且與殼面垂直，其正向由單元的I、J和K節(jié)點(diǎn)按右手規(guī)則確定，y軸總垂直于x,z軸；二維和三維實(shí)體單元(如Plane182,Solid185)的單元坐標(biāo)系總平行于整體直角坐標(biāo)系。xyzxyLINK180SOLID185SHELL181xyz6)顯示坐標(biāo)系Display

CS顯示坐標(biāo)系對列表圓柱和球節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)非常有用(例如徑向、周向坐標(biāo))。在缺省情況下，即使是在其它坐標(biāo)系中定義的節(jié)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，列表都顯示其總體笛卡爾坐標(biāo)。改變顯示坐標(biāo)系會影響圖形顯示，顯示坐標(biāo)系若為柱坐標(biāo)系，可能引起混亂。例如：在顯示坐標(biāo)系為笛卡爾坐標(biāo)系的圓環(huán)，在顯示坐標(biāo)系為柱坐標(biāo)下就變成一個矩形。除非用戶有特殊需要，在以非笛卡爾坐標(biāo)系列表節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之后應(yīng)將顯示坐標(biāo)系恢復(fù)到總體笛卡爾坐標(biāo)系。改變顯示坐標(biāo)系操作：UtilityMenu/Workplane/ChangeDisplayCSto7）結(jié)果坐標(biāo)系通用后處理器（POST1）中的結(jié)果是按結(jié)果坐標(biāo)系進(jìn)行表達(dá)的。缺省情況下，結(jié)果坐標(biāo)系平行于總體笛卡爾坐標(biāo)系。在POST1中要顯示徑向和環(huán)向應(yīng)力，結(jié)果坐標(biāo)系需要旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下。若設(shè)置結(jié)果坐標(biāo)系為計(jì)算所用坐標(biāo)系“as-calculated”，則后續(xù)的等值圖、列表、拾取查詢等，將顯示節(jié)點(diǎn)和單元坐標(biāo)系下的結(jié)果值。（1）自由度解和支反力為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的結(jié)果；

（2）應(yīng)力、應(yīng)變等為單元坐標(biāo)系的結(jié)果。/prep7et,1,plane42mp,ex,1,1e5mp,prxy,1,0.3local,11,1,17,0n,30,6,0n,35,6,90fill,30,35ngen,3,10,30,35,1,2,0,0csys,11e,30,40,41,31egen,5,1,1egen,2,10,1,5d,30,alld,40,alld,50,alld,35,alld,45,alld,55,allesel,allsfe,all,2,pres,,100fini/solusolve局部坐標(biāo)系采用柱坐標(biāo)系示例/post1rsys,0（將直角坐標(biāo)系置為結(jié)果坐標(biāo)系）plnsol,s,x（顯示x方向應(yīng)力云圖）—————————————————rsys,11（將局部坐標(biāo)系11置為結(jié)果坐標(biāo)系）plnsol,s,x（顯示x方向應(yīng)力云圖）X方向?yàn)閺较騒方向缺省情況下，結(jié)果坐標(biāo)系為整體直角坐標(biāo)系一般情況下，環(huán)形結(jié)構(gòu)需要得到柱坐標(biāo)系下的顯示結(jié)果激活坐標(biāo)系默認(rèn)為總體直角坐標(biāo)系。UtilityMenu>WorkPlane>ChangeActiveCSto改變激活坐標(biāo)系為：總體直角坐標(biāo)系[csys,0]總體圓柱坐標(biāo)系[csys,1]總體球坐標(biāo)系[csys,2]工作平面[csys,4]或用戶定義的局部坐標(biāo)系[csys,n]用于幾何輸入和生成，以及旋轉(zhuǎn)邏輯

在定義節(jié)點(diǎn)或關(guān)鍵點(diǎn)時，不管哪個坐標(biāo)系是激活的，ANSYS界面上都將坐標(biāo)顯示為X,Y,Z,如果激活的不是笛卡爾坐標(biāo)系，應(yīng)將X,Y,Z理解為柱坐標(biāo)中的R,θ,Z或球坐標(biāo)系中的R,θ,φ4.3ANSYS的單位制ANSYS不規(guī)定也不檢查用戶所使用的物理量的單位，而是由用戶自己確定所使用的單位，只要在一個問題中各物理量的單位統(tǒng)一、協(xié)調(diào)就可以。ANSYS不進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換，只接受輸入的所有數(shù)據(jù)，而不管數(shù)據(jù)的單位是否一致，以及數(shù)據(jù)是否有效。物理量可分為基本物理量和導(dǎo)出物理量?；疚锢砹坑校嘿|(zhì)量、長度、時間和溫度。導(dǎo)出物理量有：面積、體積、速度、加速度、彈性模量、壓力、應(yīng)力、導(dǎo)熱率、比熱、熱交換系數(shù)、能量、熱量、功等。選定基本物理量的單位后，可根據(jù)公式得到導(dǎo)出物理量的單位?；疚锢砹浚嘿|(zhì)量kg長度m時間s導(dǎo)出物理量單位密度ρ=kg/m3=10-3g/cm3力F=kg·m/s2=N彈簧