2023屆河南省TOP二十高三9月摸底考試數(shù)學(xué)理試題

2022-2023學(xué)年高三年級(jí)TOP二十名校九月摸底考試

高三理科數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.設(shè)集合4=卜用22},8={1,2,4,5},則3C6RA=（）.

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,4}D.{4,5}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（z-i）Q+i）=l,則|z—i|=（）.

A.1B.2C.V5D.2A/2

3.已知向量2,B滿足同=忖=1,（2a-b）lb,則方與5的夾角為（）.

71Tt一無(wú)2兀

A.—B.-C.—D.—

6323

4.中國(guó)公民身份號(hào)碼編排規(guī)定，女性公民的順序碼為偶數(shù)，男性為奇數(shù)，反映了性別與數(shù)字之間的聯(lián)系；數(shù)

字簡(jiǎn)譜以1,2,3,4,5,6,7代表音階中的7個(gè)基本音階，反映了音樂(lè)與數(shù)字之間的聯(lián)系，同樣我們可以對(duì)

幾何圖形賦予新的含義，使幾何圖形與數(shù)字之間建立聯(lián)系.如圖1,我們規(guī)定1個(gè)正方形對(duì)應(yīng)1個(gè)三角形和1

個(gè)正方形，1個(gè)三角形對(duì)應(yīng)1個(gè)正方形，在圖2中，第1行有1個(gè)正方形和1個(gè)三角形，第2行有2個(gè)正方形

和1個(gè)三角形，則在第9行中的正方形的個(gè)數(shù)為（）.

八…第1行

I

■…第2行

圖1圖2

A.53B.55C.57D.59

5.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,與x軸平行的直線與/和C分別交于A,B兩點(diǎn)，且若

網(wǎng)=網(wǎng),則|的=（）.

A.2B.2>/2C.2百D.4

6.已知等比數(shù)列{4}的公比q>0,前〃項(xiàng)和為S“，3a,-S3=60,a2-a4=18,則為=（）.

A.2B.3C.6D.10

7.在正方體ABC?！?用￡A中，P,。分別為AB,CD的中點(diǎn)，則（）.

A.AB1〃平面BGQB.平面〃平面BC|Q

c.4Qj_平面qopD.平面4CD_L平面4。尸

3

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的。的值為士，則輸入的f的值可以為().

7

9.已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB,CD分別為上、下底面圓的直徑，ABLCD,則直線AC與

8。所成角的余弦值為().

1V21V2

A.-B.---C.-D.---

4433

10.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,若"1—2x)為奇函數(shù)，g(l+2x)為偶函數(shù)，則().

A.|/(x)|+g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

B.y(x)+|g(x)|的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

C.|/(x)|-g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

D.”x)—|g(x)|的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

II.將10個(gè)不同的數(shù)字分成4組，第1組1個(gè)數(shù)，第2組2個(gè)數(shù)，第3組3個(gè)數(shù)，第4組4個(gè)數(shù)，記項(xiàng)是第

i組中最大的數(shù)(i=l,2,3,4),則司<馬<七<尤4的概率為()?

24-24

A.—B.—C.-D.一

151599

12.若過(guò)點(diǎn)(a”)(a<0)可以作曲線y=三的三條切線，則().

A.—hebVQ<0B.0<Z?<—aea

C.4--h<ae2<0D.0<be2<4-a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(1一2月(1+2月4的展開式中Y的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

14.曲線/（%）=sm1+cosK的一個(gè)對(duì)稱中心為（答案不唯一）.

sinx-cosx

15.已知雙曲線C：5■-斗=1（。＞0力＞0）的右焦點(diǎn)為F,尸為C右支上一點(diǎn)，OP與x軸切于點(diǎn)F,與y

軸交于A,B兩點(diǎn)，若△AP8為直角三角形，則C的離心率為.

16.玩具廠家設(shè)計(jì)一款兒童益智玩具，玩具主體是由一矩形托盤和放置在托盤中的L形木塊構(gòu)成.L形木塊的

水平截面如圖1所示，矩形托盤中間有一隔斷，隔斷的寬為m隔斷上有一開口，開口的長(zhǎng)為人,水平截面如

圖2所示.若木塊可以按照?qǐng)D2所示的方式緊貼托盤底部旋轉(zhuǎn)穿過(guò)隔斷，則28-。的最小值為

圖1圖2

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分

17.（本小題滿分12分）

.,nsinC-sinB

△AABC中，tanA-tanB=------------.

cosAcosB

(1)求A；

（2）若BC=2,△ABC的面積為*3,求A8+AC.

2

18.（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，94,底面ABC。，AD//BC,ZADC^60°,

AP=AD=23C=2,E為棱CP上一點(diǎn).

（1）證明：平面ABEL平面AOP：

（2）若AE=BE,求平面A8E與平面CQP所成二面角的平面角的正弦值.

19.（本小題滿分12分）

檢測(cè)新型冠狀病毒特異序列的方法最常見(jiàn)的是熒光定量PCR（聚合酶鏈?zhǔn)椒磻?yīng)）.在PCR反應(yīng)體系中，如反

應(yīng)體系存在靶序列，PCR反應(yīng)時(shí)探針與模板結(jié)合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性將探針酶切降解,

報(bào)告基團(tuán)與淬滅基團(tuán)分離，發(fā)出熒光.熒光定量PCR儀是病毒檢測(cè)過(guò)程中的核心設(shè)備，能夠監(jiān)測(cè)出熒光到達(dá)

預(yù)先設(shè)定閾值的循環(huán)數(shù)（Ct值）與病毒核酸濃度有關(guān)，病毒核酸濃度越高，Ct值越小.某第三方核酸檢測(cè)機(jī)

構(gòu)先后采用過(guò)甲、乙兩家公司的熒光定量PCR儀，日核酸檢測(cè)量分別為60（）管和1000管，現(xiàn)兩家公司分別推

出升級(jí)方案，受各種因素影響，升級(jí)后核酸檢測(cè)量變化情況與相應(yīng)概率p如下表所示：

甲公司：

日核酸檢測(cè)量增加200%增加50%降低10%

311

n———

4126

乙公司:

日核酸檢測(cè)量增加80%增加50%增加10%

]_

P

244

（1）求至少有一家公司的升級(jí)方案使得日核酸檢測(cè)量增加不低于50%的概率；

（2）以日核酸檢測(cè)量為依據(jù)，該檢測(cè)機(jī)構(gòu)應(yīng)選哪家公司的儀器？

20.（本小題滿分12分）

22

己知橢圓C:￡+表?=l（a>6>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,左焦點(diǎn)為凡|AF|=1,忸目=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)M,N是C上在x軸兩側(cè)的兩點(diǎn)，直線AM與交于點(diǎn)P,若尸的橫坐標(biāo)為4,求△■RMN的周長(zhǎng).

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（X）=x（x-lnx-l）.

（1）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

⑵若4（力4，7一%,求〃的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）

X=2H—t

2

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《廠（，為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸非負(fù)半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2=看許命（/〃>0）.

（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程；

（2）/與。交于4,B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P,若|%|=2歸可，求江

23.［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分10分）

己知。，6都是正數(shù)，且、石+〃=2,證明：

(1)a+b>2；

11

(2)~?-----—?—>1.

a-+1b'+\

2022-2023學(xué)年高三年級(jí)TOP二十名校九月摸底考試

高三理科數(shù)學(xué)參考答案

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】C

■.【答案】A

11.【答案】A

12.【答案】D

13.【答案】—16

14.【答案】（答案不唯一）

__\/2+V6

15.【答案】-----

2

16.【答案】4>/2

17.【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)由tanA-tan5=sinCsinB

cosAcosB

一/口sinAsin3sinC-sinB

可得------------=------------，

cosAcosBcosAcosB

整理得sinAcosB-cosAsinB=sinC-sinB.

則sinAcosB-cosAsinB=sin(A+B)-sinB,

即sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB,

故sin5=2cosAsinB.

由sin8w0,故cosA=',

2

又Ae(O,兀)，所以A=1.

(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，h,c,

因?yàn)锳=P,所以△4BC的面積S='bcsinA=^bc=走，

3242

所以歷=2.

因?yàn)锽C-a=2,由余弦定理"-b2+c2-2hccosA,

得Z?2+c2-bc=[b+c^-3bc=4,

所以A5+AC=b+c=VHi.

18.【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)由題意可知AB_LAZ>,

因?yàn)?4_L底面ABC。，ABu平面A8CQ,所以ABJ_AP,

又APcAD=A,所以ABJ_平面AOP,

又A6u平面ABE,所以平面AB￡_L平面AOP.

(2)由題意可知△ACD為等邊三角形，且AB=G.

連接AC,作砂J_AC于尸，連接8尺

則有所〃AP,且￡FJ_平面A8CZ),

因?yàn)锳E=BE,所以瓶=8產(chǎn)，

所以AF=C尸，故E為CP的中點(diǎn).

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,?戶的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（（）,0,0）,B（V3,0,0）,C（73,l,0）,￡）（0,2,0）,E冬;,1,P（0,0,2）.

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量居=（jq,y,zJ,

AB=（V3,0,0）,AE=,,1，

22

7

y/3x=0

ABn,=0t

則《即Gi，可?。?（0,2,—1）.

AE-^=0彳玉+萬(wàn)弘+4=0

設(shè)平面€7）戶的一個(gè)法向量為=（9,必,Z2），定=（6,1,一2）,而=（0,2,—2）,

則［￡為=。，即產(chǎn)巧+%-2Z2=O,可（1,瘋⑹

PD?而2=。12y2-2Z2=0'7

mil/__\2百—67105所曠.缶.口力1（Ji而丫4770

則COS〈％,〃）〉=1=——L=-------，即所求角的正弦=11一------=-----?

''75x7735VI35I35

平面4BE與平面CDP所成二面角的平面角的正弦值為士叵.

35

19.【答案】見(jiàn)解析

【解析】（D記事件A為“甲公司的方案使日核酸檢測(cè)量增加不低于50%”,

事件B為“乙公司的方案使日核酸檢測(cè)量增加不低于50%”，

事件C為“至少有一家公司的升級(jí)方案使得日核酸檢測(cè)量增加不低于50%”

則C=A與DXBDAB,且A,B相互獨(dú)立.

315113

由題意可知尸（A）=二十—=—，P（B）=-+-=-

v74126,，244

23

P（C）=P（A^）+P（Z6）+P（A8）=

24

故至少有一家公司的升級(jí)方案使得日核酸檢測(cè)量增加不低于50%的概率為一.

24

（2）設(shè)采用甲公司的儀器和改造方案后日核酸檢測(cè)量為X,采用乙公司的儀器和改造方案后日核酸檢測(cè)量為

Y,

隨機(jī)變量X的分布列為:

X1800900540

31

P

4126

311

則E（x）==1800x-+900x—+540x-=1515.

4126

隨機(jī)變量丫的分布列為:

Y180015001100

_1__1__l_

P

244

?（y）=1800xl+1500xl+1100xl=1550.

故E（X）＜E（y）,應(yīng)該選擇乙公司的儀器.

20.【答案】見(jiàn)解析

【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為。

i|AF|=l,\BF\=3,可得。一。=1,a+c=3.

則a=2,c=l,k=片一02=3,所以C的方程為'+二=1.

43

（2）由C的方程可知A（-2,0）,3（2,0）,設(shè)尸（4,r）,M包,yj,N（x2,y2）,

則直線AM的方程為y=-（x+2）,直線BN的方程為y=-（x-2）,

62

>=：（x+2）

由，22，得（27+*卜2+-+4*-108=0,

----F--=1

43

4=16/一4（27+/）（4/一108）>0,

4『—10854-2r2

所以（一2）時(shí)則玉

27+/27+產(chǎn)

’54-2產(chǎn)‘2/一64、

所以M,同理可得N

、27+727+*）、3+t2'3+/，

AZ.-x-rr,6/6t[2/一6、

所以直線MN的方程為y+打y=一[x-至二二J,

即丁=一詈3%+詈3=一詈3（》—1）,故直線MN恒過(guò)右焦點(diǎn)F'（l,0）.

則有ARWN的周長(zhǎng)L=+1NF|+|M?V|=眼目+1+|NF|+|NF[=4a=8,

所以△EWN的周長(zhǎng)為8.

21.【答案】見(jiàn)解析

【解析】（1）設(shè)尸（x）=x-lnx-l,

V尸（力的定義域?yàn)椋?,+8）,可知“X）與尸（X）的零點(diǎn)相同.

1r_1

r（x）=i--=—,當(dāng)X?0,l）時(shí),尸（力＜0,尸（%）單調(diào)遞減,

XX

當(dāng)X?l,+8）時(shí)，r（x）＞o,尸（X）單調(diào)遞增，

當(dāng)X=1時(shí)尸（X）取得最小值，且尸⑴=0,則尸（X）有且只有1個(gè)零點(diǎn),

故”另有且只有1個(gè)零點(diǎn).

(2)方法一：由得gJ-尤一依(x-lnx-l)20,

X—1X—1

由龍〉0,得-----l-tz(x-lnx-l)>0,設(shè)g(x)=-----l-tz(x-lnx-l),

則g(l)=0,g《)=e『)_。.？=*(-—詞.

設(shè)G(x)=e'T-x(x>0),G'(x)=ex-'-\,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，G'(x)<0,G(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，G(x)>0,G(x)單調(diào)遞增，則G(x)NG⑴=0,

當(dāng)4<1時(shí)，因?yàn)閄￡(0,-Kc),所以-0x2/7-xNO.

所以xe(O,l)時(shí)，g'(x)=?(exT_ar)<0,g(x)單調(diào)遞減，

xe(l,+oo)時(shí)，8'(%)=上」卜1_如)>0,g(x)單調(diào)遞增，

故g(x)在(0,+oo)上的最小值為g⑴=0,即4(x)(e、T-x恒成立，

當(dāng)時(shí)，設(shè)〃(X)=/T—依(尤>0),則/z(l)=l-a<0,

令/2‘(X)=/T—。=0,Wx=1+In6/,由知x=l+kiQ>l.

當(dāng)X￡(l,l+lna)時(shí),//(%)<0,〃(%)單調(diào)遞減，?,力(尤)<耳1)<0.

故x￡(l[+lna)時(shí)，g'(x)=±J(ei<or)<0,g(x)單調(diào)遞減，

而g⑴=0,即％?U+lna)時(shí),g(x)<0,故不成立.

綜上，4的取值范圍為(—8,1].

(2)方法二：ar(x-lnx-l)<eA-1-%

x]nxy

<=>tz(x-lnx-l)<----1=e--_J

號(hào)t=x—Inx—1,/'=1—.

x

則光w(0,l)時(shí)，f=x-lnx-l遞減；尢￡(1,十8)時(shí)，r=x-lnx-l遞增.

則of(x)<e'T—X。"W--1對(duì)于出0