蘇教版（2019）必修第二冊過關(guān)斬將期中學(xué)業(yè)水平檢測（含答案解析）

蘇教版（2019）必修第二冊過關(guān)斬將期中學(xué)業(yè)水平檢測

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在AABC中，若NA=60,NB=45",BC=3?,則4c=()

A.473B.2百C.GD.空

2

2.已知向量G,B滿足同=1,W=G,且1與5的夾角為2，則（1+孫（2&-5）=

()

B.二

A.12

2

D.3

c.--

22

3.若復(fù)數(shù)面-3a+2）+（a-2）i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)”的值為（)

A.1B.2C.1或2D.-1

jr]4

4.已知0<2<一<尸<兀，目.tana=—,tan/7=——,則。+4=()

273

.27r生

A.—D.

3B-7C-T4

5.已知QER,i是虛數(shù)單位.若z=V^+ai,z?z=4,則。的值為()

A.-百或&5B.1C.-1D.1或一1

6.已知sin(a-3

--=7J且a為銳角，則cosa=()

4J5

A.一逑B一也C,正D.述

10101010

7.如圖，有一位于A處的觀測站，某時(shí)刻發(fā)現(xiàn)其北偏東45,且與A相距206海里的

8處有一貨船，正以40海里〃J、時(shí)的速度，向南偏西15勻速直線行駛，30分鐘后到達(dá)

C處，則此時(shí)該船與觀測站A的距離AC為（）海里.

A.20石B.2072C.20D.15A/2

8.古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割

率，黃金分割率的值也可以用2sinl8°表示.若實(shí)數(shù)〃滿足4sin」8°+〃2=4,則

l-sinl8°

8/sin?18°

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位），則（

A.|z|=V2z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

C.z的虛部為iD.z的共軌復(fù)數(shù)為-1+i

10.如圖，4x6的方格紙中有一個(gè)向量方（以圖中的格點(diǎn)。為起點(diǎn)，格點(diǎn)A為終

點(diǎn)），則（）

A.分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與麗是相反向量的共有11個(gè)

B.滿足|。4-。叫=質(zhì)的格點(diǎn)8共有3個(gè)

C.滿足麗.麗=1的格點(diǎn)8共有4個(gè)

D.存在格點(diǎn)B,C,使得況=而+反

11.下列各式中，值為g的是（）

12.在AABC中，下列結(jié)論中，正確的是（）

A.若cos2A=cos2B,則AABC是等腰三角形

B.若sin4>sin8,則A>B

C.^AB2^AC2<BC\則△ABC為鈍角三角形

D.若A=60。，AC=4f且結(jié)合3c的長解三角形，有兩解，則8C長的取值范圍是

(25/3,+oo)

三、雙空題

123

13.在△ABC中，若cosA=—,cosC=-,AC=63,貝！|sinB=____，AB=______.

135

四、填空題

14.sin50°(l+^tanl0°)的值________.

15.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=b=2,c=3,則

a+b+c_

sinA+sin8+sinC

16.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為*=cosx+isin犬，

i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這

個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)此公式，上一4的最大值為.

五、解答題

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面向量2=(2,3),5=(-2,4),c=(l,-l).

(1)求證：與白一乙垂直；

(2)若z?+"與"是共線向量，求實(shí)數(shù)4的值.

18.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且從+“c=/+c2,請?jiān)冖?/p>

c=\,^ABC的面積為3，②b=&,③A=f這三個(gè)條件中任選一個(gè)，完成下列

44

問題：

(1)求角B的大??；

(2)求sinC的值.

19.如圖，已知正三角形ABC的邊長為1,設(shè)麗=a，AC=h.

(1)若。是AB的中點(diǎn)，用弟5分別表示向量迎，CD；

(2)求怩+年

(3)求2&+5與-3a+2b的夾角.

20.如圖，扇形鋼板P。。的半徑為1m,圓心角為60。.現(xiàn)要從中截取一塊四邊形鋼板

ABCO.其中頂點(diǎn)B在扇形PO。的弧PQ上，A,C分別在半徑。尸，。。上，且

ABVOP,BCA.OQ.

(1)設(shè)試用。表示截取的四邊形鋼板ABC。的面積5(。)，并指出夕的取

值范圍；

(2)求當(dāng)e為何值時(shí)，截取的四邊形鋼板ABCO的面積最大.

21.如圖，在復(fù)平面中，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A(3,2),C(-2,4).

(1)求點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù);

(2)記點(diǎn)A,B,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z-z，z3.

①若27=4烏,求復(fù)數(shù)z；

②若復(fù)數(shù)Z滿足Iz-zJTz-zJ,求|z-zj的最小值.

cosA+cosC_cosB

22.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

a+cb

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若a=2,b=布,求AABC的面積.

參考答案：

1.B

【分析】利用正弦定理即可求解.

【詳解】由正弦定理得，AC="I：=—_2-=273,

smAV3

T

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算以及運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橥?1，呵=百，且G與5的夾角為看，

所以必5=同忖卜0$(=(,

因此(1+4Q萬-5)=2同?+萬萬一問=2+|-3=^.

故選：A.

3.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類求解.

2

【詳解】由題意可知，a—3a+2=0f且〃-2和，則解得。=1,

故選：A.

4.B

【分析】先由兩角和的正切公式求出tan(a+￡)的值，再結(jié)合0<a<]</〈兀，求出a+夕

的范圍，從而可求出a+￡的值

1(-4)

【詳解】由題意可知，tan(a+〃)=W+~=7，

「7?3)

因?yàn)?<a<]</?<兀，所以5<</+￡<弓~,

3H

所以。+4=:，

4

故選：B.

5.D

【分析】先求得〉根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，代入計(jì)算，即可得答案.

答案第1頁，共10頁

【詳解】由題意可知，;=導(dǎo)山,

所以zi=(6+ai)(石一ai)=3+“2=4,

解得a=±l,

故選：D.

6.C

【分析】先由a為銳角，得到a-￡的范圍，求得cos(。一￡)，再由a=(a-f)+￡,

4444

運(yùn)用兩角和的余弦公式求解.

【詳解】因?yàn)閟in(a-?)=|,且a為銳角，

貝!]cosa=cos[(a——)+一]

44

,冗、冗/冗、.n

=cos(a----)cos-----sin(a-----)sin—

4444

_忘44&

-------(--------)---------.

25510

故選：C.

7.C

【分析】先求得NABC,然后利用余弦定理求得AC.

【詳解】由題意可知，AB=206,BC=40x0.5=20,NA8C=45。-15。=30。，則在“BC

中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2ABBCcraZABC=1200+400-2x2073

x20xcos30°=400,所以AC=20.

故選：C

8.A

【解析】利用二倍角公式可求三角函數(shù)的值.

【詳解】根據(jù)題中的條件可得

1-sin18°_1-sin18°_1—sin18°_1-sin18°

8/sin2180-8sin218°(4-4sin218°)-8sin218°x4cos2180-8sin236°

答案第2頁，共10頁

l-sinl801-sinl8°_1

-g/-cos72°-4(1-cos72°)-4.

2

故選：A.

9.AB

【分析】由復(fù)數(shù)的相關(guān)概念依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意，因?yàn)閦=l+i,所以|z|=g=應(yīng)，其對應(yīng)的為(1,1)在第一象限，且

其虛部為1，其共輾復(fù)數(shù)為1—i，

所以選項(xiàng)A,B正確，選項(xiàng)C,D錯(cuò)誤，

故選：AB.

10.BCD

【分析】根據(jù)所給圖示，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、求模公式、數(shù)量積公式等知識(shí)，逐一

分析選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】對于選項(xiàng)A,滿足題意的向量共有18個(gè)，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，A(l,2),設(shè)2(膽，")，

因?yàn)?0A-08|=,所以J(1-/n)2+(2--2<n<2,且〃?ez,

〃￡Z),

則可得到B(0,-1),(2,-1),(-2,1)共3個(gè)點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,當(dāng)麗?麗=1時(shí)，m-\-2n—l(—3<m<3,—29W2,且"?eZ,〃GZ),

則得到8(1,0),(3,-1),(-1,1),(-3,2)共4個(gè)點(diǎn)，所以選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D,當(dāng)8(1,0),C(0,2),可滿足次=詼+反，所以選項(xiàng)D正確；

答案第3頁，共10頁

【分析】由二倍角公式計(jì)算可得.

tan22.5。

【詳解】=-xtan45°=-

1-tan222.5°22

sin]5。I：

tan15°cos215°=--------xcos215°=sinl5°cos15°=—sin30°=—；

cos15024

G271J5.2乃百/2萬.?兀、百Ry/35/31

——cos-----------sin~—=——(cos-------sin"——)=——cos—=——x——=—

3123123121236322

]+、=cos50°+6sin53°=；c°s50°+fsin50°_癡800_.

16sin500+16cos50°一16sin50°cos50°-4sin100°一4sin80°-4

故選：AC.

12.ABC

【分析】根據(jù)cos2A=cos2B及角A、B的范圍，可判斷A的正誤；根據(jù)大邊對大角原則，

可判斷B的正誤；根據(jù)條件及余弦定理，可判斷C的正誤；根據(jù)正弦定理，可判斷D的正

誤，即可得答案.

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)閏os2A=cos28,且A,BG(0,兀),所以A=8,所以AASC是

等腰三角形，所以選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,由sinA>sinB,則且A,BC(0,%)，可得A>B,所以選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C,由A^+AC^BC?,以及余弦定理可得cosA<0,即AABC為鈍角三角形，

所以選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D,由A=60。，AC=4,以及正弦定理可得sinB=4WsinA=2@<l,解得8c

BCBC

>273,

且由大邊對大角8>A,可得AOBC,即BCV4,所以BC長的取值范圍是(26,4),所

以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

13.—52

65

【分析】由同角關(guān)系求得sinAsinB,由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式求得sin8,然后由

正弦定理可得48

123

【詳解】由題意可知，在△ABC中，因?yàn)镃OSA=K，COSC=-,且A,C^(0,兀)，

54

所以sinA=—,sinC=—,

135

53]2463

所以sinB=sin(兀-A—C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-x-+—x—=—,

答案第4頁，共10頁

63x-

AC-sinC

在AABC中，由正弦定理可得4B=廿52.

sinB

65

故答案為：52.

65

14.1

【分析】由皿。。=需，結(jié)合輔助角公式可知原式為2包鬻斗，結(jié)合誘導(dǎo)公式以

及二倍角公式可求值.

V3sin10°+cosl00

【詳解】解：sin50°^1+A/3tan10°)=sin50°x

cos10°

_2sin50°(cos30°sin100+sin30°cos10°)_2sin50°sin40°_2sin50°cos50°

cos10°cos10°cos10°

2sin50。cos50。_sin100。_sin(10、+90。)_cos10。

cos10°cos10°cos10°cos10°

故答案為:1.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式，考查了輔助角公式,

考查了誘導(dǎo)公式.本題的難點(diǎn)是熟練運(yùn)用公式對所求式子進(jìn)行變形整理.

5孥

【分析】由余弦定理求得COSA再得sinA,然后由正弦定理計(jì)算.

b2+c2-a24+9-7_\_

【詳解】由題意可知，在△48C中，由余弦定理可得cosA=

2bc2x2x3=5'

因?yàn)?G(0,浦，所以sin4=且，所以由正弦定理可得

2

abc幣272?

sinAsinBsinC5/33

2

所以a=2gsinA,,2yf2\?D2歷.「

b=------sinn,c=-------smc,

33

a-\-b+c2y(sinA+sin3+sinC)2后

所以

sinA+sinB+sinC3

sinA+sinB+sinC

故答案為：岑

16.3

【分析】由已知得2-2|=j5-4cosx,再利用余弦函數(shù)的值域即可求解.

【詳解】Q*=cosx+zsinx,

答案第5頁，共10頁

二.卜"-2卜|cosx-2+isin=J(cosx-2)24-sin2x=V5-4cosx

又8sx,/.V5-4cosxG[1,3]

即當(dāng)cosx=—l時(shí)，＞”-4取得最大值為3,

故答案為：3

17.(1)2—萬與5一二垂直；(2)2=--1

【解析】(1)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出z-萬=(4,7),￡4=(1,4),再由

(￡一"(。一。)=0,能證明1萬與;一】垂直.

(2)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出￡+4=(2-243+4㈤，再由￡+焉與"是共線向量，

根據(jù)平面向量共線定理的坐標(biāo)表示得到方程，即可求出實(shí)數(shù)4的值.

【詳解】解：(1)證明：???平面向量￡=(2,3),石=(-2,4),c=(l,-l)

.?.力=(4「1),1"=(1,4),

.?.(4-q(a-c)=4xl+(-I)x4=0,

??ci-b與ci—c垂?

(2)解：???￡=(2,3),6=(-2,4)，

￡+4=(2-24,3+44),

???￡+萬與I是共線向量,c=(l,-l).

(2-2Z)x(-l)-(3+42)xl=0,

解得2=-|.

【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的證明，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向

量與向量垂直、向量與向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)1;(2)答案見解析.

【分析】(1)由余弦定理可得8有大小；

(2)選①，由面積公式求得。，得AABC為等邊三角形，易得sinC；

選②，由正弦定理可得sinC；

答案第6頁，共10頁

選③，由兩角和的正弦公式求值.

【詳解】（1）選擇條件①②③

因?yàn)椤?的=儲(chǔ)+。2,

由余弦定理可得cosB=----------=----------=-

又因?yàn)锽eQO,所以8='TT.

（2）選擇條件①：因?yàn)?兇死—acsinB=—ax—=—,所以a=l.

2224

ir7T

又因?yàn)閍=c=l,B=q,所以AABC是等邊三角形，所以C=§,

所以sinC=^-.

2

卜r

選擇條件②：由正弦定理—=及b=^c得

smBsinC

.-csinB

sinC=-----

b

選擇條件③：由A=?得C=》-A-3=.，

所以sinC=sin—=sin(—+—)=sin—cos—+cos—sin—='^+y^>

126464644

19.(1)CB=a-b,CD=^a-b.；(2)幣;(3)1201.

【分析】（1）運(yùn)用向量的三角形法則以及運(yùn)用中點(diǎn)的向量表示，即可得到所求向量;

（2）運(yùn)用向量的模的平方和向量的平方是相等的，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求得結(jié)果;

⑶結(jié)合第二問的結(jié)合和解題思路，求得忸+同=近，卜3a+2同=近，應(yīng)用向量的夾角

余弦公式，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求得結(jié)果.

【詳解】⑴CB=AB-AC=a-b,

一一一1——1_

CD=AD-AC=-AB-AC=-a-b.

22

(2)由題意知，同=|司=1,且他與=60°,

則忸+61=4,『+4a-b+b2=4同2+4同問8$((7,5)+|5.=4+2+1=7,

所以忸+司=a

(3)與(2)解法相同，可得上31+2同=萬.

答案第7頁，共10頁

設(shè)2。+5與-34+25的夾角為凡

__7

則cos8=（2。+e（-3。+4）=-6/+無5+赤=F'，

忸+5/3&+2同恒+5.34+2司\/1xy/12

因?yàn)椤[0,180]

所以21+方與-31+2萬的夾角為120°.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有平面向量的分解，三角形法

則，向量的模的平方和向量的平方是相等的，向量所成角的余弦值，屬于簡單題目.

20.（1）S（6）=；a26+對學(xué)一2回，其中6的取值范圍為（。引；⑵0=^.

【分析】（1）由題意可知NBOC=。-。，0A=cos。，AB=sin。，進(jìn)而表達(dá)出的面

積，再根據(jù)OC=cos（，e）,戰(zhàn)^加仁-仍表達(dá)出力蛇的面積，從而得到四邊形鋼板

ABCO的面積義。）的表達(dá)式和9的取值范圍.

（2）利用三角函數(shù)公式可得S（0）=￡sin（2e+g）,再由6的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可

46

求出s（e）的最大值.

【詳解】解：（1）因?yàn)镹AOB=e,扇形鋼板尸。。的圓心角為60。，

所以NBOC=1-e,

因?yàn)樯刃武摪錚。。的半徑為Im,ABLOP,BC1OQ,

所以O(shè)A=cos6,AB=sin0,

所以工叩

=—sin0cos0=—sin20,

24

OC=cos（q-〃），BC=sin（q_0）,

所以弘如-goaBC

所以四邊形鋼板ABC。的面積為:

S（6）=S&OAB+S&OBC

答案第8頁，共10頁

—sin26+siny-20

4

其中e的取值范圍為

(2)S(6)=；sin2^+sin

y-2^

￡/□i

sin2。+cos2,+—sin20

4

=——sin20H———cos23

4(22

弓凈n26+；8s2。

=-^-sinf2^+—\

4I6)

因?yàn)?。e(0,5，

所以26+梟住,出，

6166J

所以當(dāng)2。+?=拳即時(shí)，四邊形鋼板A5C0的面積S⑻最大，最大值為日mL

21.(1)l+6i；⑵①z=^-2i；②拽.

1055

【分析】(1)根據(jù)四邊形0A3C是平行四邊形，結(jié)合向量加法法則運(yùn)算即可；(2)①根據(jù)

題意結(jié)合復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接帶入計(jì)算即可；②根據(jù)已知條件將待求式轉(zhuǎn)化為求二次函

數(shù)最小值即可.

【詳解】(1)在復(fù)平面火力中，由43,2),C(-2,4)得麗=(3,2),詼=(-2,4),

因?yàn)樗倪呅蜵WC為平行四邊形，所以而=礪+元=(3,2)+(-2,4)=(1,6),

所以B的坐標(biāo)為(1，6),所以點(diǎn)B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+6.

(2)由已知及(1)