教案：高中數學人教B版 必修 第一冊 函數的單調性

3.1.2函數單調性(第1課時)

教學課時：第1課時

教學目標：

會用三種語言表述函數單調性；掌握用定義證明函數單調性的基本方法和步

驟。

在函數單調性的研究中，讓學生經歷觀察分析、歸納概括、語言表示的思維

過程，初步體會研究函數性質的方法。培養(yǎng)函數思維能力。

通過單調性的學習樹立善于思考、敢于質疑、嚴謹求實的精神。

教學重點：

形成函數單調性的形式化定義。

教學難點：

(1)觀察函數解析式，形成單調性的感性認識；

(2)用符號語言表述函數單調性的定義。

教學過程：

一、觀察函數，形成感性認識

問題1.請觀察下列函數，你能發(fā)現它們具備怎樣的變化狀態(tài)嗎？

(1)y=2x+3(2)y=x2(3)y=-3x(4)y=x3

學生活動1：思考問題1,觀察上述函數并用自然語言概括變化狀態(tài)。

預設：(l)y=2x+3當x增大時，y也增大；

(2)y=x2當時x>0,x增大時，y也增大。x<0時，x增大時，y減?。?/p>

(3)y=-3x當x增大時，y減??；

(4)y=x3當x增大時，y也增大。

設計意圖：由解析式觀察變化狀態(tài)，更能夠直觀看到隨著自變量x增大，函

數值y的變化趨勢，也利于學生用自然語言初步概括單調性的內涵。其次，由解

析式觀察函數性質也是今后研究函數必備的能力，選取比較簡單、易于觀察的解

析式著手。這樣可以逐步培養(yǎng)學生由解析式研究函數性質的能力。

二、轉化語言，形成理性認識

(-)由自然語言到圖形語言

問題2：

增函數：在定義域的某一部份上，y隨x的增大而增大；

減函數：在定義域的某一部份上，y隨x的增大而減小。

你認為增函數、減函數的圖像會有什么特點呢？說明理由。

學生活動2：思考并提出看法：增函數圖形向上，減函數圖形向下。

師生分析如下：

增函數：當自變量增大時，對應圖像是從左至右變化；函數值增大，則圖像

從左下向右上。減函數：當自變量增大時，對應圖像是從左至右變化，函數值

減小，則圖像從左上向右下。

學生總結如下：

減函數

設計意圖：結合自然語言，引領學生分析函數圖像的特點。如：x增大，y

也增大，帶來了圖像向上的趨勢。進一步在圖形上，從函數概念角度，揭示單調

性本質。即增函數是：自變量小，對應函數值也小。自變量大，對應函數值也大;

減函數是：自變量小，對應函數值大。自變量大，對應函數值小。

（二）由自然語言、圖形語言到符號語言的轉化

問題3o你能用函數的符號語言來刻畫增函數和減函數嗎？

預設：增函數：當Xi〈Xz時，f（Xi）＜f（x2）；減函數：當X1〈X2時,f（Xi）＞f（x2）.

教師追問：你認為這樣表述對嗎？為什么？

預設:學生提出如下反例，并板書在黑板上：

I

設計意圖：通過問題3的探究及教師的追問，激發(fā)學生進一步思考調整單調

性的符號語言的準確性，從而攻克單調性符號語言表述中的難點''任意性"的理

解。進一步，從符號語言上再次感受x與y的對應特點。

三、探究證明，總結方法

例I0判斷并證明函數f(x)=x"x>0)的單調性。

教師活動：展示例題，巡視學生完成情況，板書典型“假證”做法，組織學

生辨析，并說明理由。

辨析如下證明過程是否正確？

對任意的0<玉<尤2，f(.X2)=X2°

22

?/0<x,<x2Xj<x2

即:日)</a)。

預設：學生通過辨析會發(fā)現，這是在用求證的結論來論證結論，

顯然不是證明。正確的證明如下：

證明：對任意的0<為<%2，

fM-/&)=X；-X；=&-X2X%+W)

?/0<%)<x2,%]-x2<0,/.JC,+x2>0,(%]-x2X%,+x2)<0

即/(%))</(X2)o

所以,函數f(x)=x"x>0)為增函數.

設計意圖：設置已經學過的簡單的二次函數來進行論證，使學生感受到：自

然語言和圖形語言都無法達到論證的嚴謹性，也進一步感受到用符號語言表述的

必要性，以及將符號語言作為定義的必然。從而，感受到作差法以及后續(xù)因式分

解恒等變形的原因。

例2。判斷函數f(x)=3x+5,x￡[T,6]的單調性,并求這個函數的最值。

教師活動：展示例2,組織學生證明，教師巡視。

預設：學生證明如下：

任取Xi,x2e[-1,6],且x,<x2,則XI-X2<0,那么

f(x))-f(x2)=(3X,+5)-(3X2+5)=3(x)-x2)<0,

所以，這個函數是增函數.

從而，這個函數的最小值是f(T)=2,最大值是f(6)=23.

師生共同探討最值定義：

設函數f(x)的定義域為域且XoeD:如果對任意xeD,都有f(x)Wf(x0),

則稱f(x)的最大值為f(x(j),而Xo稱為的x)的最大值點;如果對任意xwD,都有

f(x)2f(x。)，則稱f(x)的最小值為f(X。)，而X