高中新創(chuàng)新一輪復(fù)習(xí)文數(shù)版講義：第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 含解析

第十二章推理與證明、算法、復(fù)數(shù)

第一節(jié)合情推理與演繹推理

本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.合情推理；2.演繹推理.

突破點(diǎn)(一)合情推理

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)］

類型定義特點(diǎn)

根據(jù)某類事物的部分對(duì)象具有某種特

歸納由部分到整體、

征，推出這類事物的全部對(duì)象都具有這

推理由個(gè)別到一般

種特征的推理

由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一

類比

類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)由特殊到特殊

推理

象也具有這些特征的推理

［基本能力］

1.判斷題

(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.()

(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.()

(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適.()

答案：(1)X(2)V(3)X

2.填空題

(1)已知數(shù)列｛%｝中，ai=l>時(shí)，a?=a?-i+2n—1,依次計(jì)算畋,a3,如后，猜想斯的表達(dá)式是

解析：=。2=4,。3=9,々4=16,猜想斯=，廠.

答案："2

(2)由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推理出“半徑為R的球的內(nèi)接長(zhǎng)方體中，正

方體的體積最大”是合情推理中的推理.

答案：類比

(3)觀察下列不等式：

臉1；嗑嗑的端+東+虛3

則第5個(gè)不等式為_(kāi)_____________________________________________________

答案：全+a+君+壺+才方下

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

歸納推理

運(yùn)用歸納推理時(shí)的一般步驟

(1)通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；

(2)把這種相似性推廣到一個(gè)明確表述的一般命題(猜想)；

(3)對(duì)所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn).

類型(一)與數(shù)字有關(guān)的推理

［例1］(1)給出以下數(shù)對(duì)序列：

(1,1)

(1,2)(2,1)

(1,3)(2,2)(3,1)

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)

記第i行的第j個(gè)數(shù)對(duì)為dijf如。43=(3,2),則“〃1”=()

A.(m,〃—zn+1)B.(m—lfn-m)

C.(帆―1，z+l)D.(m,m)

(2)(2018?蘭州模擬)觀察下列式子：1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+L…，由以上可推

測(cè)出一個(gè)一般性結(jié)論：對(duì)于〃￡N*,則1+2+…+〃+…+2+1=.

［解析］(1)由前4行的特點(diǎn)，歸納可得：若anin=(a9b),則a=m,h=n—m+l9.\an,n=(mfn—m

+1).

(2)由l=l2l+2+l=4=2h+2+3+2+l=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=4?,…，歸納猜想可

得1+2H------I-HH------F2+l=n2.

［答案］(1)A(2)?2

解決此類問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如

等差數(shù)列、等比數(shù)列等.［易錯(cuò)提醒］

類型(二)與式子有關(guān)的推理

［例2］(1)(2016?山東高考)觀察下列等式：

4

-2-

3

4

2222-

(sinf)-+(SinyJ-+(siny)-+(Sin^)-3

4

-2-222-

^sin^+^sin^+^sinyJ_+-3

照此規(guī)律，

6加舟「+,^^)-2+,嵩’2+...+(sin^y2=------------.

(2)已知x￡(0,+°°),觀察下列各式：x+>2,x+p=^+^+p^3,%+?=升;+；+登2%…,

類比得x+$2〃+l(〃￡N*),則。=.

［解析］(1)觀察前4個(gè)等式，由歸納推理可知(sin三Mi)-2+(sin婿］］-2+6加肅彳)r+…+(sin堯哥

4

2--4?(?+1)

3nX(n+l)=T.

(2)第一個(gè)式子是”=1的情況，此時(shí)a=P=l;第二個(gè)式子是"=2的情況，此時(shí)“=22=4;第三個(gè)式

子是n=3的情況，此時(shí)a=33=27,歸納可知

［答案］(1)\Q)"

［方法技巧］

與式子有關(guān)的推理類型及解法

(1)與等式有關(guān)的推理.觀察每個(gè)等式的特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)后可解.

(2)與不等式有關(guān)的推理.觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解.

類型(三)與圖形有關(guān)的推理

［例3］某種樹(shù)的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5,則預(yù)計(jì)第10年樹(shù)的

分枝數(shù)為（）

第1年第2年第3年第4年第5年

A.21B.34

C.52D.55

［解析［因?yàn)?=1+1,3=2+1,5=3+2,即從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，所以第10年樹(shù)的分枝

數(shù)為21+34=55.

［答案］D

［方法技巧］

與圖形有關(guān)的推理的解法

與圖形變化相關(guān)的歸納推理，解決的關(guān)鍵是抓住相鄰圖形之間的關(guān)系，合理利用特殊圖形，找到其中

的變化規(guī)律，得出結(jié)論，可用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?

類比推理

1.類比推理的應(yīng)用一般分為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法，常用技巧如下:

類比

在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)求解

定義

類比從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問(wèn)題，求解時(shí)

性質(zhì)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵

類比有一些處理問(wèn)題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求

方法解中，注意知識(shí)的遷移

2.平面中常見(jiàn)的元素與空間中元素的類比:

平面點(diǎn)線圓三角形角面積周長(zhǎng)???

空間線面球三棱錐二面角體積表面積???

［例4］如圖，在△A8C中，。為其內(nèi)切圓圓心，過(guò)。的直線將三角形面積分為

相等的兩部分，且該直線與AC,BC分別相交于點(diǎn)F,E,則四邊形ABEF與的周

長(zhǎng)相等.試將此結(jié)論類比到空間，寫出一個(gè)與其相關(guān)的命題，并證明該命題的正確

性.

［解］如圖，截面AEF1經(jīng)過(guò)四面體A3CZ)的內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切的球)的球心0,且與8C,DC分

別交于點(diǎn)E,F,若截面將四面體分為體積相等的兩部分，則四棱錐與三棱錐A-E尸C的表面積相

等.

下面證明該結(jié)論的正確性，

設(shè)內(nèi)切球半徑為R,

=

則VA-BEFD^(S^ABD+SAABE+SAADF+SBEFD)XK=吸-EFC=§(SAAEC+SAACF+SAECF)XR,

即SAABD+SAABE+SAA&F+Sb邊9BEFD=SAAEC+SAACF+SAECF，兩邊同加SAAEF可得結(jié)論.

［方法技巧］

類比推理的步驟和方法

(1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步兼為：

①找出兩類事物之間的相似性或一致性；

②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).

(2)類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體

幾何中，得到類似的結(jié)論.

［全練題點(diǎn)］

1.［考點(diǎn)二］由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：

①umn=nmn類比得至lj“a力=加。”；

②a(m+n)t=mt+ntn類比得到“(a+Z0?c=a?c+b,c”；

③a(in*n)t=m(n9t)n類比得到協(xié))?c=a,(8?c)”；

④“￡#0,mt=xt^m=xn類比得到“pWO,ap=xp^>a=x"；

⑤a\m-n\=\m\-\n\v類比得到“|a切=|亦步I"；

?臉=記類比得到噴號(hào)”.

以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B①②正確，③④⑤⑥錯(cuò)誤.

2.［考點(diǎn)二］在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形4BC的內(nèi)切圓面積為S”外接圓面積為S2,則自=/

推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P-A8C的內(nèi)切球體積為匕，外接球體積為V2,則干=()

A.|B.g

c—T)—

L?64U,27

解析：選D正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1：3,故卷=吉.

3,考點(diǎn)一?類型(一)］將正奇數(shù)排成如圖所示的三角形數(shù)陣(第九行有k個(gè)奇數(shù))，其中第i行第j個(gè)數(shù)表示

為旬，例如。42=15,若旬=2017,貝！1i—j=()

1

35

7911

13151719

A.26B.27

C.28D.29

解析：選A前々行共有奇數(shù)為1+2+3+…+4="*邙個(gè),所以第4行的最后一個(gè)數(shù)為2?駕④一

l=k2+k-l,第Jt+1行的第一個(gè)數(shù)為A(A+1)+1,當(dāng)4+1=45時(shí)，?優(yōu)+1)+1=44X45+1=1981,即第

45行的第一個(gè)數(shù)為1981,因?yàn)?----2--------=18,

所以2017是第45行的第19個(gè)數(shù)，

即i=45,j=19,所以i-/=45-19=26.故選A.

4.［考點(diǎn)一?類型(二)］觀察下列各等式:號(hào)+言=2,備+昌=2,六+±=2,恐+二三

=2,依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為()

A，lI8~，Z-7

"—4十(8-")_4一

R"+11_("+l)+5_

?(〃+l)—4(n+1)—4

、〃九+4_

C>L4(n+4)—42

-+1〃+5

DX?+l)-4+(n+5)-4=2

cQc78278—*7］

解析：選A各等式可化為m+E廣2,右+正行=2；口+詼〒7=2,向+

8—10—,,一4n.8—〃.

=2,+=2,

(8-10)-4可歸納得一般等式：w-4(8-n)-4故選

5」考點(diǎn)一?類型(三)1蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊

形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢,

按此規(guī)律，以八〃)表示第〃個(gè)圖的蜂巢總數(shù).

。?

則式4)=,式〃)=.

解析：因?yàn)椋?)=1,八2)=7=1+6,43)=19=1+6+12,所以｛4)=1+6+12+18=37,所以4")=1

+6+12+18+***+6(w—l)=3/i2—3/r+1.

答案：373“2-3"+1

突破點(diǎn)(二)演繹推理

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)］

(1)定義：從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.

(2)模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理;

②小前提——所研究的特殊情況;

③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.

(3)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理.

［基本能力］

1.判斷題

(1)”所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)，"是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但

其結(jié)論是錯(cuò)誤的.()

(2)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確.()

答案：(1)V(2)X

2.填空題

(1)下列說(shuō)法：

①演繹推理是由一般到特殊的推理；②演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的；③演繹推理的一般模式是

“三段論”的形式；④演繹推理得到結(jié)論的正確與否與大前提、小前提和推理形式有關(guān)；⑤運(yùn)用三段論推

理時(shí)，大前提和小前提都不可以省略.

其中正確的有個(gè).

解析：易知①③④正確.

答案：3

(2)推理”①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是

(填序號(hào)).

答案：②

研透高考?講練區(qū)

［全析考法］

<lfl演繹推理

［典例］數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和記為S",已知"1=1,an+1=-^-S?(nGN,).證明：

(1)數(shù)列｛+｝是等比數(shù)列；

(2)S?+i=4a?.

［證明］⑴即+1=S“+1—S“，a?+1，

/.(n+2)S?=n(S?+i—S?),

即"S“+i=2("+l)S".

故祟=2號(hào)，(小前提)

故｛譽(yù)｝是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列?(結(jié)論)

(大前提是等比數(shù)列的定義)

(2)由⑴可知數(shù)列拗是等比數(shù)列，(大前提)

所以雷=4.巖(〃卬

?,S?-i”-1+2

即5"+1=4(〃+1＞白=*-^丁6“-1

=4%("，2).

又。2=351=3,$2=。1+。2=1+3=4=4為，(小前提)

所以對(duì)于任意正整數(shù)“，都有S“+i=4%.(結(jié)論)

［方法技巧］

一藉癡的蹄菰「

(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什

么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略，本例中，等比數(shù)列的定義在解題中是大前提，由

于它是顯然的，因此省略不寫.

(2)在推理論證過(guò)程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成.

[全練題點(diǎn)]

1.已知a,b,m均為正實(shí)數(shù)，b<a,用三段論形式證明￡〈空.

aa-rm

證明：因?yàn)椴坏仁?兩邊)同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方向，(大前提)

b<a,zn>0,(小前提)

所以結(jié)論)

因?yàn)椴坏仁絻蛇呁由弦粋€(gè)數(shù)，不等號(hào)不改變方向，(大前提)

mb<ma,(小前提)

所以m8+a6VMia+a/>,即伙a+，”)Va(Z(+，〃).(結(jié)論)

因?yàn)椴坏仁絻蛇呁砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)不改變方向，(大前提)

b(a+m)<a(h+m),a(a+wi)>0,(小前提)

?b(a+m)a(h+m)hb+m,,,

所以即；;〈二j^.(結(jié)論)

a(a+m)a(a,+m)《aa+m

2.已知函數(shù)y=/(x)滿足：對(duì)任意a,6GR,a￥b,都有q/(a)+4/S)>磔勿+力⑷，試證明：/(x)為R

上的單調(diào)遞增函數(shù).

證明：設(shè)任意Xi,MGR,取Xl<*2,

則由題意得xlfixi)+x2f(x2)>xlf(x2)+x2f(xi),

所以X1[AX1)—/lX2)]+x2[AX2)—/(X1)]>O,LAx2)—/lxi)](x2—x,)>0,

-

因?yàn)閤i<x2,即x2Xi>0,

所以兀適)-1Axl)>0,即人X2)?U1).(小前提)

所以y=/U)為R上的單調(diào)遞增函數(shù).(結(jié)論)

[全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律1

1.(2017?全國(guó)卷H)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中

有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō):

我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，貝11()

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

解析：選D依題意，四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成績(jī)，但還是不知道自己的

成績(jī)，則乙、丙必有1位優(yōu)秀，1位良好，甲、丁必有1位優(yōu)秀，1位良好，因此，乙知道丙的成績(jī)后，必

然知道自己的成績(jī)；丁知道甲的成績(jī)后，必然知道自己的成績(jī)，因此選D.

2.(2016?全國(guó)卷II)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看

了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2"，乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的

數(shù)字不是1"，丙說(shuō)：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5"，則甲的卡片上的數(shù)字是.

解析：由丙所言可能有兩種情況.一種是丙持有“1和2”，結(jié)合乙所言可知乙持有“2和3”，從而

甲持有“1和3”，符合甲所言情況；另一種是丙持有“1和3”，結(jié)合乙所言可知乙持有“2和3”，從而

甲持有“1和2”，不符合甲所言情況.故甲持有“1和3”.

答案：1和3

3.(2014?全國(guó)卷I)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí)，

甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；

乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；

丙說(shuō)：我們?nèi)齻€(gè)去過(guò)同一城市.

由此判斷乙去過(guò)的城市為.

解析：由于甲、乙、丙三人去過(guò)同一城市，而甲沒(méi)有去過(guò)B城市，乙沒(méi)有去過(guò)C城市，因此三人去過(guò)

的同一城市應(yīng)為A,而甲去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市，所以甲去過(guò)A,C城市，乙去過(guò)的城市應(yīng)

為A.

答案：A

［課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)I

［小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)］

對(duì)點(diǎn)練(一)合情推理

1.(1)已知”是三角形一邊的長(zhǎng)，是該邊上的高，則三角形的面積是與〃，如果把扇形的弧長(zhǎng)/，半徑

r分別看成三角形的底邊長(zhǎng)和高，可得到扇形的面積為5r；(2)由1=1勺+3=22］+3+5=32,可得到1+3

+5+…+2〃-1=〃2,則⑴(2)兩個(gè)推理過(guò)程分別屬于()

A.類比推理、歸納推理B.類比推理、演繹推理

C.歸納推理、類比推理D.歸納推理、演繹推理

解析：選A(1)由三角形的性質(zhì)得到扇形的性質(zhì)有相似之處，此種推理為類比推理；(2)由特殊到一般，

此種推理為歸納推理，故選A.

2.觀察下列各式：a+Z>=l>a2+Z>2=3,a3+Z>3=4,a4+Z?4=7,as+Z?5=ll,???,則)

A.121B.123

C.231D.211

解析：選B令%=優(yōu)+)"，則"i=l,“2=3,a3=4,%=7,…，得斯+2=斯+即+1，從而琳=18,

。7=29,。8=47,%=76,。10=123.

3.下面圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖①至圖④的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第"個(gè)圖形中小正方形的

個(gè)數(shù)是()

□BJ巾-h

圖①圖②圖③圖④

A.〃(〃+l)B?2

「心+1)

U?rD./!(?—1)

解析：選C由題圖知第1個(gè)圖形的小正方形個(gè)數(shù)為1,第2個(gè)圖形的小正方形個(gè)數(shù)為1+2,第3個(gè)

圖形的小正方形個(gè)數(shù)為1+2+3,第4個(gè)圖形的小正方形個(gè)數(shù)為1+2+3+4,…，則第〃個(gè)圖形的小正方

形個(gè)數(shù)為1+2+3+…+"=

4.觀察下列各式：55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,…，貝11521H8的末四位

數(shù)字為（）

A.3125B.5625

C.0625D.8125

解析：選B5$=3125,5'=15625,5』78125,58=390625,59=1953125,…，可得5**與5,的后四位

數(shù)字相同，由此可歸納出5"'+"與5"'（JtGN*,m=5,6,7,8）的后四位數(shù)字相同，又2018=4X503+6,所以

52018與56的后四位數(shù)字相同，為5625,故選B.

5.（2018?山西孝義期末）我們知道：在平面內(nèi)，點(diǎn)（xo,%）到直線Ax+By+C=O的距離公式d=

|Axo備以C1,通過(guò)類比的方法，可求得：在空間中，點(diǎn)（2,4,1）到直線工+2/+22+3=0的距離為（）

7A+B

A.3B.5

D.34

解析：選B類比平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式，可得空間中點(diǎn)（X。，jo,zo）到直線Ax+By+Cz+D=Q

|Ax+Bjo+Czo+D|則所求距離dJ+j*工M=5,故選B.

的距離公式為d=o

6.如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個(gè)小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個(gè)三

角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到7個(gè)小三角形，稱為第二次操作；再

將其中一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到10個(gè)小三角形，稱為

第三次操作……根據(jù)以上操作，若要得到100個(gè)小三角形，則需要操作的次數(shù)是

解析：由題意可知，第一次操作后，三角形共有4個(gè)；第二次操作后，三角形共有4+3=7個(gè)；第三

次操作后，三角形共有4+3+3=10個(gè)……由此可得第"次操作后，三角形共有4+3（〃-1）=3"+1個(gè).當(dāng)

3〃+1=100時(shí)，解得1=33.

答案：33

7.以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書(shū)中的“楊輝三角形”.

12345-2013201420152016

3579-402740294031

81216…80568060

2028-16116

該表由若干數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有

一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)為

解析：觀察數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每一行都是一個(gè)等差數(shù)列，且第一行的公差為1,第二行的公差為2,

第三行的公差為4,第四行的公差為8,…，第2015行的公差為2?°口，故第一行的第一個(gè)數(shù)為2X2T,第

二行的第一個(gè)數(shù)為3X2°,第三行的第一個(gè)數(shù)為4X2、第四行的第一個(gè)數(shù)為5X2?,…，第"行的第一個(gè)

數(shù)為5+1>2”-2,故第2016行(最后一行)僅有一個(gè)數(shù)為(1+2016)X22°i4=2017X22°i4.

答案：2017X220"

8.如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)則標(biāo)

上數(shù)字標(biāo)簽：原點(diǎn)處標(biāo)0,點(diǎn)(1,0)處標(biāo)1,點(diǎn)(L—1)處標(biāo)2,點(diǎn)(0,-1)處標(biāo)3,點(diǎn)

(-1,-1)處標(biāo)4,點(diǎn)(一1,0)處標(biāo)5,點(diǎn)(一1,1)處標(biāo)6,點(diǎn)(0,1)處標(biāo)7,依此類推，則

標(biāo)簽為20172的格點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)處標(biāo)1=『，點(diǎn)(2,1)處標(biāo)9=32,點(diǎn)(3,2)處標(biāo)25=5,，點(diǎn)(4,3)

處標(biāo)49=7?,依此類推得點(diǎn)(io。%1008)處標(biāo)2OWL

答案：(1009,1008)

對(duì)點(diǎn)練(二)演繹推理

1.下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()

A.大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：”是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：k是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

B.大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：兀是無(wú)理數(shù)

C.大前提：TT是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：汗是無(wú)理數(shù)

D.大前提：7T是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：兀是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)

解析：選B對(duì)于A,小前提與結(jié)論互換，錯(cuò)誤；對(duì)于B,符合演繹推理過(guò)程且結(jié)論正確；對(duì)于C和

D,大前提均錯(cuò)誤.故選B.

2.某人進(jìn)行了如下的“三段論”：如果r(Xo)=O,則x=xo是函數(shù)人x)的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)人x)=d

在x=0處的導(dǎo)數(shù)值/'(0)=0,所以x=0是函數(shù)八x)=l的極值點(diǎn).你認(rèn)為以上推理的()

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤D.結(jié)論正確

解析：選A若/'(Xo)=O,則x=Xo不一定是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，如八*)=*3,f(0)=0,但x=0不

是極值點(diǎn)，故大前提錯(cuò)誤.

3.正弦函數(shù)是奇函數(shù)，八x）=sin（，+l）是正弦函數(shù)，因此八x）=sin（*2+l）是奇函數(shù)，以上推理（）

A.結(jié)論正確B.大前提不正確

C.小前提不正確D.全不正確

解析：選C因?yàn)?（x）=sin（*2+l）不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確.

4.（2018?湖北八校聯(lián)考）有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測(cè)：4號(hào)或5號(hào)選手得第一名；觀眾乙猜

測(cè)：3號(hào)選手不可能得第一名；觀眾丙猜測(cè)：1,2,6號(hào)選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測(cè)：4,5,6號(hào)選手

都不可能獲得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)比賽結(jié)果，此人是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析：選D若甲猜測(cè)正確，則4號(hào)或5號(hào)得第一名，那么乙猜測(cè)也正確，與題意不符，故甲猜測(cè)錯(cuò)

誤，即4號(hào)和5號(hào)均不是第一名；若乙猜測(cè)正確，則3號(hào)不可能得第一名，即1,2,4,5,6號(hào)選手中有一位獲

得第一名，那么甲和丙中有一人也猜對(duì)比賽結(jié)果，與題意不符，故乙猜測(cè)錯(cuò)誤；若丙猜測(cè)正確，那么乙猜

測(cè)也正確，與題意不符，故僅有丁猜測(cè)正確，所以選D.

5.在一次調(diào)查中，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量有如下關(guān)系：甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量

之和相同，甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和.那么這四名同

學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為.

解析：因?yàn)榧?、丙閱讀量之和等于乙、丁閱讀量之和，甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和，所

以乙的閱讀量大于丙的閱讀量，甲的閱讀量大于丁的閱讀量，因?yàn)槎〉拈喿x量大于乙、丙閱讀量之和，所

以這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為甲、丁、乙、丙.

答案：甲、丁、乙、丙

［大題綜合練——遷移貫通］

1.給出下面的數(shù)表序列：

表1表2表3

113135

448

12

其中表"（"=1,2,3,…）有〃行，第1行的〃個(gè)數(shù)是1,3,5,…，2〃-1,從第2行起，每行中的每個(gè)數(shù)

都等于它肩上的兩數(shù)之和.

寫出表4,驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表〃（"力3）（不

要求證明）.

解：表4為

1357

4812

1220

32

它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.將這一

結(jié)論推廣到表"("23),即表〃(〃23)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n,公比為2的等

比數(shù)列.

2.在RtZkABC中，ABLAC,AO_L5c于點(diǎn)。，求證:力出+力.在四面體45。中，類比上

述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說(shuō)明理由.

A

:

BDC

解：如圖所示，由射影定理4￡>2=51>OC,AB2=BDBC,AC2=BCDC,.?.心=.占一

A"￡>L/*￡/C

_BC2_BC2

=BDBCDCBC=AB2AC2'

.1AB2+A<^11

,,ADI=AB2AC2

猜想，在四面體A8CD中，AB.AC.A。兩兩垂直，AEJ■平面則為+力+力

證明：如圖，連接BE并延長(zhǎng)交C。于點(diǎn)尸，連接4F.A

'：ABA.AC,ABA.AD,ACClAD=A,//V\

.?.48_L平面ACZ).

TA戶U平面AC。，；.ABA.AF.N/

在RtZkAB尸中，AE±BF,

''AE1AIT^AF2-

?.,A8J-平面AC。，：.AB±CD.

TAEJ?平面BCD,.,.4￡_1。.又48門4￡：=4,

...CQJL平面AB尸，：.CD±AF.

.,?在Rt^ACD中.尸1-A3

?,?+=心+親+春

AEABACAD

3.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):

①si/n。+COS2170-sin13°cos17°；

②sin，5。+COS215°—sin15°cos15°；

③sii?18。+COS2120-sin18°cos12°；

@sin2(-18°)+COS248°-sin(—18°)cos48°；

(§)sin2(—25°)+COS255°—sin(—25°)cos55°.

⑴試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

⑵根據(jù)⑴的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

解：(1)選擇②式，計(jì)算如下：

sin215°+cos215°—sin15°cos15°=1—^sin30°

.13

=1-4=4-

(2)三角恒等式為

3

sin2a+cos2(30°—G)—sinQ?COS(30°一1)=不

證明如下：

sin2a+cos2(30°—a)—sinaecos(30°—a)

=sin2a+(cos30°cosa+sin30°sina)2-sina*(cos30°cosa+sin30°sina)

_.2_I_32IA/3?.1.273?1.2

=sma+^cosa+2sina十不ina-2sinacos5sma

=^sin2a+^cos2a=^.

第二節(jié)直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法

本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：L直接證明；2.間接證明；

突破點(diǎn)（一）直接證明

抓牢雙基?自學(xué)區(qū)

［基本知識(shí)］

內(nèi)容綜合法分析法

從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它

利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公成立的充分條件,直至最后，把要證

定義理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立

最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.的條件（已知條件、定理、定義、公理

等）為止

思維

由因?qū)Ч麍?zhí)果索因

過(guò)程

|「(已知)今°||一

框圖。(結(jié)論)”|卜|尸/尸2

?0今。21一…f

表示―????—?得到一個(gè)明顯成立的條件

。“今。(結(jié)論)

書(shū)寫“因?yàn)椤浴薄耙C…，只需證…，

格式或“由…，得…”即證…”

[基本能力]

1.判斷題

(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.()

(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()

(3)在解決問(wèn)題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程.()

(4)證明不等式g+市〈小+,最合適的方法是分析法.()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)V

2.填空題

(1人百一2g與小一市的大小關(guān)系是.

解析：假設(shè)加一2啦>小一巾，由分析法可得，要證出一2g>小一巾，只需證木+幣x/^+2r,

即證13+2屈>13+4師，即版>2師.因?yàn)?2>40,所以#一2吸砧一市成立.

答案：\[6—2y[2>\[5—yjl

(2)已知“，b是不相等的正數(shù)，祥，y="帝，則》、y的大小關(guān)系是.

222

解析：x=^(a+b+2\[ab),y=a+b=^(a+b+a+b)>^(a+b+2y[ab)=x9XVx>0,j>0,

答案：y>x

⑶設(shè)m=y[a—y[b9n=y[a—bf則〃的大小關(guān)系是.

解析：Va>b>09:;>\[L,yja—b>0,

^?n2-in2=a-b-(a+b-2y[ab)

=2y[ab—2b>2y[b2,-28=0,:.,

又■:zn>0,zz>0,n>m.

答案：心m

研透高考?講練區(qū)

[全析考法]

綜合法

綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍是：

(1)定義明確的問(wèn)題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無(wú)條件的等式或不等式；

(2)已知條件明確，并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.

［例1］(2018?武漢模擬)已知函數(shù)犬x)=(&+l)lnx-x+l.

(1)若2=0,求/U)的最大值；

⑵若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,人1))處的切線與直線x+y+l=()垂直，證明：魯>0.

［解］(1加>)的定義域?yàn)?0,+~).

當(dāng)；.=0時(shí)，fix)=\nx~x+l.

則，(x)=；—1,令，(x)=0,解得x=l.

當(dāng)0<x<l時(shí)，f(x)>0,

故./U)在(0,1)上是增函數(shù)；

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<0,

故人X)在(1,+8)上是減函數(shù).

故/U)在x=i處取得最大值yu)=o.

Jlx-1-1

(2)證明：由題可得，f(x)=xlnx+—^-1.

由題設(shè)條件，得,(1)=1,即幺=1.

，/00=(%+1)加X(jué)—x+L

由(1)知，Inx—x+l<0(x>0,且x#l).

當(dāng)0<xvl時(shí)，x—IvO,/(x)=(x+l)lnx-x+l=xlnx+(lnx+l)<0,

當(dāng)x>l時(shí)，x—1>0,/(x)=(x+l)lnx-x+l=lnx+(jdnx—x+l)=lnx—x(ln；-1+

.?.里>0.綜上可知，叫>0.

X-1X-1

［方法技巧1綜合法證題的思路

;分析題目的已知條件及已知與結(jié)論之間

分析條件一:的聯(lián)系，選擇相關(guān)的定理、公式等，確定

選擇方向

:恰當(dāng)?shù)慕忸}方法

其百而秦柞患花械廨版詬牖冢的番百；

轉(zhuǎn)化條件一;主要是文字、符號(hào)、圖形三種語(yǔ)言之間的

組織過(guò)程

;轉(zhuǎn)化

:直而解題互涯二句開(kāi)葡芬方廢品行而整;

適當(dāng)調(diào)整一;并對(duì)一些語(yǔ)言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，反思?/p>

回顧反思

:結(jié)解題方法的選取

Ifiz分析法

［例2］已知a>0,1—^>1,求證：-\/H-a>^=^.

［證明］由已知：一及?