2025版新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.2空間中的平面與空間向量課時(shí)作業(yè)新人教B版選擇性必修第一冊

1．2.2空間中的平面與空間向量1．若向量＝(0，2，1)，＝(－1，1，－2)，則平面ABC的一個(gè)法向量可以是()A．(3，－1，－2)B．(－4，2，2)C．(5，1，－2)D．(5，－2，1)2．已知平面α上三點(diǎn)A(3，2，1)，B(－1，2，0)，C(4，－2，－1)，則平面α的一個(gè)法向量為()A．(4，－9，－16)B．(4，9，－16)C．(－16，9，－4)D．(16，9，－4)3.在三棱錐PABC中，CP，CA，CB兩兩相互垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則下列向量是平面PAB的一個(gè)法向量的是()A．(1，1，)B．(1，，1)C．(1，1，1)D．(2，－2，1)4．已知n為平面α的一個(gè)法向量，l為一條直線，則“l(fā)⊥n”是“l(fā)∥α”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知平面α和平面β的法向量分別為m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，則()A．α⊥βB．α∥βC．α與β相交但不垂直D．以上都不對6.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1D17．已知平面α內(nèi)的兩個(gè)向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c為平面α的法向量，則m，n的值分別為()A．－1，2B．1，－2C．1，2D．－1，－28．設(shè)A(a，1)，B(2，1)，C(4，5)為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量與在方向上的投影相同，則實(shí)數(shù)a的值為()A．2B．－2C．3D．－39．如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，以下說法正確的是()A．A1E∥平面CC1D1DB．A1E⊥平面BCC1B1C．A1E∥D1FD．A1E⊥D1F10．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1A，C1D1，A1D1的中點(diǎn)，則()A．AC∥平面EFGB．A1C∥平面EFGC．B1C⊥平面EFGD．BD⊥平面EFG11．三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分別是AB，A1C的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面BCC1B1；(2)求證：MN⊥平面A1B1C.12．在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．(1)證明：B1D⊥平面ABD；(2)證明：平面EGF∥平面ABD．13．如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1.點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，求證：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD.14.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿意PQ⊥QD，則a＝()A．1B．2C．3D．41．2.2空間中的平面與空間向量必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：C解析：設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，因?yàn)橄蛄浚?0，2，1)，＝(－1，1，－2)，所以，取y＝1，得n＝(5，1，－2).故選C.2．答案：B解析：由已知＝(－4，0，－1)，＝(1，－4，－2)，設(shè)平面α的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，由，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x－z＝0,x－4y－2z＝0))，取x＝4，可得z＝－16，y＝9，所以平面α的一個(gè)法向量為n＝(4，9，－16).故選B.3．答案：A解析：由題意P(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，則＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，由，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2z＝0,－x＋y＝0))，令z＝1，得n＝(2，2，1)，又(1，1，eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)n，∴平面PAB的一個(gè)法向量為(1，1，eq\f(1,2)).故選A.4．答案：B解析：n為平面α的一個(gè)法向量，l為一條直線，則“l(fā)⊥n”?“l(fā)∥α或l?α”，“l(fā)∥α”?“l(fā)⊥n”，∴“l(fā)⊥n”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件．故選B.5．答案：B解析：∵m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，∴n＝－2m，∴m∥n，∴α∥β.故選B.6．答案：B解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1中棱長為2，則A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，1，2)，＝(1，－1，2)，＝(－2，2，0)，·＝－4，∴CE與AC不垂直，故A錯(cuò)誤；＝(－2，－2，0)，·＝0，∴CE⊥BD，故B正確；＝(－2，0，－2)，·＝－6，∴CE和A1D不垂直，故C錯(cuò)誤；＝(－2，0，0)，·＝－2，∴CE與A1D1不垂直，故D錯(cuò)誤．故選B.關(guān)鍵實(shí)力綜合練7．答案：A解析：∵a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，∴c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c為平面α的法向量，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c·a＝3m＋n＋1＝0,c·b＝m＋5n－9＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝2)).故選A.8．答案：A解析：A(a，1)，B(2，1)，C(4，5)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由向量與在方向上的投影相同，則＝，即·＝·；所以4a＋5＝8＋5，解得a＝2，則實(shí)數(shù)a的值為2.故選A.9．答案：A解析：對A：由長方體的性質(zhì)有平面ABB1A1∥平面CC1D1D，又A1E?平面ABB1A1，所以A1E∥平面CC1D1D，故選項(xiàng)A正確；對B：因?yàn)镋為棱BB1的中點(diǎn)，且A1B1⊥BB1，所以A1E與BB1不垂直，所以若A1E⊥平面BCC1B1，則A1E⊥BB1，這與A1E和BB1不垂直相沖突，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C，D：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA＝a，DC＝b，DD1＝c，則A1＝(a，0，c)，E(a，b，eq\f(c,2))，D1(0，0，c)，F(xiàn)(eq\f(a,2)，b，c)，所以＝(0，b，－eq\f(c,2))，＝(eq\f(a,2)，b，0)，因?yàn)榕c不是共線向量，且·＝b2>0，所以A1E與D1F不平行，且A1E與D1F不垂直，故選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤．故選A.10．答案：A解析：取CC1，BC，AB的中點(diǎn)分別記為H，I，J，連接FH，HI，IJ，EJ，依據(jù)正方體的性質(zhì)可得平面EFG即為平面EGFHIJ，對于A：如圖1，AC∥IJ，AC?平面EFG，IJ?平面EFG，所以AC∥平面EFG，故A正確；對于B：如圖2，在平面A1D1CB中，A1C∩GI＝K，則A1C∩平面EFG＝K，所以B錯(cuò)誤；對于C，D：如圖3，B1D⊥平面EGFHIJ，因?yàn)檫^平面EGFHIJ外一點(diǎn)作B1(D)僅能作一條垂線垂直該平面，故C，D錯(cuò)誤；其中B1D⊥平面EGFHIJ可按如下證明：如圖4建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則D(0，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，0，1)，G(0，1，2)，F(xiàn)(1，2，2)，所以＝(2，－2，2)，＝(0，1，1)，＝(1，2，1)，所以·＝0，·＝2×1＋2×(－2)＋2×1＝0，即⊥，⊥，又EG∩EF＝E，EG，EF?平面EFG，所以B1D⊥平面EFG.故選A.11．證明：(1)連接BC1，AC1.在△ABC1中，∵M(jìn)，N是AB，A1C的中點(diǎn)，∴MN∥BC1.又∵M(jìn)N?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)如圖，以B1為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系B1xyz.則B1(0，0，0)，C(0，2，2)，A1(－2，0，0)，M(－1，0，2)，N(－1，1，1)，∴＝(0，2，2)，＝(2，0，0)，＝(0，－1，1).設(shè)平面A1B1C的法向量為n＝(x，y，z).eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·B1C＝0,n·A1B1＝0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝－z))，令z＝1，則x＝0，y＝－1，∴n＝(0，－1，1).∴n＝.∴MN⊥平面A1B1C.12．證明：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，設(shè)BA＝a，則A(a，0，0)，所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0，0，3)，G(eq\f(a,2)，1，4)，F(xiàn)(0，1，4)，則＝(eq\f(a,2)，1，1)，＝(0，1，1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EGF∥平面ABD.核心素養(yǎng)升級(jí)練13．證明：(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因?yàn)锳D⊥AB，所以AB，AD，AP兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，所以＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，所以·＝0，所以⊥，所以BE⊥D