吉林省長春市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

吉林省長春市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題考試時間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．直線l1、l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直 D．重合2．已知F（4，0）是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓短軸長為6，則橢圓的離心率為（）A．21313B．C．D．3.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值點(diǎn)共有（）A.1個B.2個 C.3個D.4個4.已知{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－6，則該數(shù)列的公差是（）A.3 B. C.－4 D.－145.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－2＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為()A.2 B.4 C.855D.556.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓面積為81π，則p＝（）A.6 B.8 C.10 D.127．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3,x)＋4lnx－x－a－2在區(qū)間(0，2)上至少有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[2，4ln3－2)C．(2，4ln2－eq\f(1,2)) D．[0，＋∞)8．定義：在數(shù)列{an}中，若滿意eq\f(an＋2,an＋1)－eq\f(an＋1,an)＝d(n∈N*，d為常數(shù))，稱{an}為“等差比數(shù)列”．已知在“等差比數(shù)列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，則a2022a2020＝()A．4×20202－1 B．4×20202C．4×20192－1 D．4×20192二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（

）A．B． C．D．10．已知點(diǎn)，直線，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到直線的距離的一半.則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡方程是B．點(diǎn)（2,1）在點(diǎn)P的軌跡內(nèi)部C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為4.D．點(diǎn)P的軌跡與圓：有交點(diǎn)11．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形態(tài)，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，其次層有3個球，第三層有6個球，?，以此類推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（

）A．a(chǎn)4=10C．a(chǎn)10=5412．函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象如圖所示，設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)A．f'(x)>0的解集是（2,5B．3C．x=2時，f'(x)D．f(x)?f三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，其次空3分）13.曲線y＝lnx在點(diǎn)（e，1）處的切線方程為________.14．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-41，an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn取得最小值時,n15.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：＝1（a>0，b>0）的兩個焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn).若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的漸近線方程為.16．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ex)(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)f(x)的最大值為________；若關(guān)于x的方程[f(x)]2＋2tf(x)＋2t－1＝0恰有3個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為________．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知等差數(shù)列滿意：，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn=1(an-8)(a18．（12分）某校在2024年的綜合素養(yǎng)冬令營初試成果中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成果，并將成果共分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．且同時規(guī)定成果小于分的學(xué)生為“良好”，成果在分及以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，且只有成果為“優(yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格，面試通過者將進(jìn)入復(fù)試．(1)依據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)；(2)假如用分層抽樣的方法從“良好”和“優(yōu)秀”的學(xué)生中共選出5人，再從這5人中選2人發(fā)言，那么這兩人都“優(yōu)秀”的概率是多少？(3)假如第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列，規(guī)定初試時筆試成果得分從高到低排名在前22%的學(xué)生可干脆進(jìn)入復(fù)試，依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)初試時筆試成果至少得到多少分才能干脆進(jìn)入復(fù)試？19．（12分）已知函數(shù)fx=xlnx+ax-4(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求的極值．20.（12分）若數(shù)列滿意，a1=2，a(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若bn=log2an，求數(shù)列21.（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(18,m)在拋物線上，且的面積為p(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)（0，1）直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過O點(diǎn)，求直線l的方程22．（12分）已知函數(shù)．(1)若a>0,試探討的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．PAGE1第10頁共2頁高二年級數(shù)學(xué)期末考試參考答案單選題（每小題5分）題號12345678答案BDCACDDA多選題（每小題5分，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）題號9101112答案BDADABDBC填空題（本題共4小題，每小題5分，其中16題第一空2分，其次空3分）13.y=1ex14.2015.y=±2x16.eq\f(1,e)；(eq\f(e－1,2e)，eq\f(1,2))16題【解析】f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)＝eq\f(1－x,ex)，故f(x)在(－∞，1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減，所以f(1)是f(x)的極大值也是最大值．所以最大值為f(1)＝eq\f(1,e).當(dāng)x>0時f(x)>0，當(dāng)x＝0時，f(x)＝0，當(dāng)x<0時，f(x)<0.由[f(x)]2＋2tf(x)＋2t－1＝0，即[f(x)＋2t－1]·[f(x)＋1]＝0，由上述分析可知f(x)＋1＝0，f(x)＝－1有一個解x1.故需f(x)＋2t－1＝0，f(x)＝1－2t有兩個不同的解，由上述分析可知：0<1－2t<eq\f(1,e)，解得eq\f(e－1,2e)<t<eq\f(1,2).所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(eq\f(e－1,2e)，eq\f(1,2)).四、解答題（共70分）17題【詳解】（1）等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差設(shè)為，由，，成等比數(shù)列，則，即，2分即，解得，3分所以.5分（2）bnSn=化簡得：S18題【詳解】(1)依據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的眾數(shù)為：3分(2)“良好”的學(xué)生頻率為，“優(yōu)秀”學(xué)生頻率為；由分層抽樣可得“良好”的學(xué)生有人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，4分將三名優(yōu)秀學(xué)生分別記為A，B，C，兩名良好的學(xué)生分別記為a，b，則這5人中選2人的基本領(lǐng)件有：共10種，5分所以都“優(yōu)秀”的概率是P=310(3)由第三、四、五組的人數(shù)成等差數(shù)列得，①又由（2）知，②由①②可得9分第五組人數(shù)頻率為，第四、五組人數(shù)的頻率為，10分故初試時筆試成果得分從高到低排名在22%的學(xué)生分?jǐn)?shù)在第四組，設(shè)至少得x分能進(jìn)入面試，則(95-x)×0.04+0.02×5=0.22，11分解得x=92，即依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)初試時筆試成果至少得到92分才能干脆進(jìn)入復(fù)試．12分19題【詳解】（1）由題意，，2分解得a=1.4分（2）由（1）fx=xlnx+x-4，且f令f'x=0可得故當(dāng)0<x<e-2時，，單調(diào)遞減；當(dāng)x>e-2故在x=e-2處有微小值，微小值為f（e-2）=-e20題【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列滿意，a1=2，a2a3=32，所以.所以數(shù)列設(shè)其公比為q（）.所以a2a3所以的通項(xiàng)公式為an=2（2）由（1）可知：bn=n，所以anbn2Sn②-①得：21題【詳解】(1)解：由題意得m2=2p×1812×p2(2)解：若K不存在，M(1,2)N(1,-2),則以MN為直徑的圓不過O點(diǎn)，不合題意5分明顯k≠0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2），聯(lián)立，消去y，得k2x2+2(k-1)x+1=0，6分，解得k<，，7分因?yàn)橐訫N為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)O，所以O(shè)MON，x1x2+y1y2=0，8分因?yàn)閥1=kx1+1，y2=kx2+1，所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=，10分+=0，k=-，11分所以直線的方程為y=-x+1．12分22題【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)fx=ln則，2分當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，4分所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減5分（2）解：當(dāng)時，由（1）知，fx在0,+∞上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，不合題意6分當(dāng)