天津市寧河區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題含解析

天津市寧河區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題一、選擇題（每題5分，共40分）1.用三段論推理命題：“任何實(shí)數(shù)的平方都大于，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以”你認(rèn)為這個(gè)推理．A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確【答案】A【解析】【詳解】：任何實(shí)數(shù)的平方大于0，這句話是錯(cuò)誤的，所以導(dǎo)致后面的結(jié)論是錯(cuò)誤的，因此大前提錯(cuò)誤．2.若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)求導(dǎo)法則和公式求解即可.詳解】故選：A3.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，留意原函數(shù)的定義域.【詳解】∵的定義域?yàn)椋?，令，解得，∴函?shù)的單調(diào)減區(qū)間是.故選：D.4.曲線，在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解.【詳解】∵，則，∴，，切線的斜率，且過點(diǎn)由題意可得，解得.故選：C.5.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)定積分公式可得,再分別利用定積分的幾何意義以及基本計(jì)算求解即可.【詳解】,其中的幾何意義為在上的面積.又為半圓.故在的面積為四分之一個(gè)圓.故.又.故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)幾何意義與公式計(jì)算定積分的方法.屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，則取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，再由零點(diǎn)存在定理列出不等式求解即可．【詳解】依題意得，則為單調(diào)函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間有極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)，則有，解得．故選：B．7.已知上可導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)原函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間關(guān)系，分類探討，結(jié)合一元二次不等式的解法運(yùn)算求解.【詳解】由的圖像可得：x00對(duì)于可得：當(dāng)時(shí)，則，∴，解得；當(dāng)時(shí)，則，故，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，則，∴，解得；當(dāng)時(shí)，則，故，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，則，∴，解得；綜上所述：不等式的解集為.故選：D.8.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)隨意都有成立，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)，結(jié)合題意分析可得在上單調(diào)遞增，再依據(jù)單調(diào)性分析推斷.【詳解】構(gòu)建，則，∵對(duì)隨意都有成立，則，且，∴對(duì)隨意恒成立，則在上單調(diào)遞增，又∵在上單調(diào)遞增，則，∴，即，故.故選：A.二、填空題（每題5分，共30分）9.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程是（的單位是秒，的單位是米），則物體在時(shí)的速度______（m/s）【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo),再應(yīng)用路程的導(dǎo)數(shù)是速度,把代入導(dǎo)函數(shù)即可求解.【詳解】因?yàn)槁烦痰膶?dǎo)數(shù)是速度,所以當(dāng)時(shí),.故答案為:.10.設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則__________．【答案】.【解析】【分析】依據(jù)平面和空間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形的面積類比立體圖形的體積，結(jié)合三角形面積的求法求出三棱錐的體積，進(jìn)而求出內(nèi)切球的半徑為.【詳解】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個(gè)面的距離都為，所以四棱錐的體積等于以為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的四個(gè)小三棱錐的體積之和，則四面體的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查了類比推理.類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相像性，將已知一類的數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去.11.對(duì)于大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：……仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59，則的值為_____.【答案】8【解析】【分析】由題意知，的三次方就是個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，且從2起先，這些三次方的分解正好是從奇數(shù)3起先連續(xù)出現(xiàn)，由此規(guī)律即可找出的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59時(shí)，的值．【詳解】由題意，從到，正好用去從3起先的連續(xù)奇數(shù)共個(gè)，59是從3起先的第29個(gè)奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，從到，用去從3起先的連續(xù)奇數(shù)共個(gè)，當(dāng)時(shí)，從到，用去從3起先的連續(xù)奇數(shù)共個(gè)，故，故答案為8.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，求解的關(guān)鍵是依據(jù)歸納推理的原理歸納出結(jié)論，其中分析出分解式中項(xiàng)數(shù)及每個(gè)式子中各數(shù)據(jù)之間的改變規(guī)律是解答的關(guān)鍵．12.求由拋物線與它在點(diǎn)的切線和直線所圍成的區(qū)域的面積______.【答案】9【解析】【分析】先依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再利用定積分求區(qū)域面積.【詳解】由題意可得：，則，即在點(diǎn)的切線的斜率，則切線方程為，故區(qū)域的面積.故答案為：9.13.若函數(shù)f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2處有極值，則函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為________．【答案】－5【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由f′（2）＝0，可得求出c＝－4，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】∵函數(shù)f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2處有極值，∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，令f′（2）＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×2×2＝0，∴c＝－4，∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x．∴函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線的斜率為f′（1）＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5．故答案為：－514.已知函數(shù)為上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，關(guān)于，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______.【答案】0【解析】【分析】令得，即，然后利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，即，設(shè)，則．∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得微小值，同時(shí)也是最小值，∴當(dāng)時(shí)，，∴無解，即無解，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)，故答案為：0．三、解答題（解答題要寫出必要的推理、計(jì)算過程，只寫結(jié)果不給分）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，滿意.（1）當(dāng)時(shí)，用表示；（2）計(jì)算，，，；（3）猜想的表達(dá)式（不用證明）.【答案】（1）（2），，，（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)與之間的關(guān)系運(yùn)算整理即可；（2）依據(jù)題意干脆可得，分別取結(jié)合（1）中的關(guān)系式運(yùn)算求解；（3）猜想，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，整理得.【小問2詳解】由題意可得：；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；故，，，.【小問3詳解】猜想，理由如下：當(dāng)時(shí)，則滿意上式；假設(shè)當(dāng)時(shí)，則滿意上式；當(dāng)時(shí)，則滿意上式；故由數(shù)學(xué)歸納法可知.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為0【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，可得切線斜率，進(jìn)而可得切線方程；（2）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，同時(shí)可得函數(shù)在上的單調(diào)性與最值．【小問1詳解】依題意得，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率，且，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．【小問2詳解】由（1）得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．且，，，所以函數(shù)在區(qū)間上最大值，最小值0．17.已知函數(shù)．（1）若2是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，依據(jù)2是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，即可得，再將代入原函數(shù)進(jìn)行分析說明即可；（2）結(jié)合（1）可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定的單調(diào)性列出不等式，再結(jié)合恒成立條件即可求解．【小問1詳解】依題意得，因?yàn)?是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得．此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，2是函數(shù)一個(gè)極大值點(diǎn)，符合題意，綜上，；【小問2詳解】因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，∴在上恒成立，即在上恒成立，即，恒成立，∵，∴得．18.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在上的最大值為，求的值；（2）設(shè)，若對(duì)隨意，均存在，使得，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分與兩種狀況求解函數(shù)最大值即可得到答案；（2）將題意轉(zhuǎn)化為，易求得，再結(jié)合（1）分與兩種狀況求解，進(jìn)而求解即可．【小問1詳解】依題意可得，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，（舍去），②當(dāng)時(shí)，令，得，ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，ⅱ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以，（舍去），綜上，若函數(shù)在上的最大值為，則，【小問2詳解】由已知轉(zhuǎn)化為，又時(shí)，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋缓项}意（或舉出反例：存在，不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴，解得，綜上，的取值范圍是．19.已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，試求的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)在上有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，依據(jù)題意運(yùn)算求解；（2）留意到當(dāng)時(shí)，對(duì)于，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）依據(jù)題意分析可得在上有兩個(gè)不同的根，且，構(gòu)建新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)解決方程根的問題.【小問1詳解】.由，得.【小問2詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)于，恒成立，∴當(dāng)，，當(dāng)，，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問3詳解】由條件可知，在上有三個(gè)不同的根，∵是的根，∴，即在上有兩個(gè)不同的根，且，令，則，∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴的最大值為，且，，又∵，即，∴，故.20.已知函數(shù)，（為常數(shù)）.（1）若在處的切線過點(diǎn)（0，-5），求的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若關(guān)于的方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）令，若函數(shù)存在極值，且全部極值之和大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）由求導(dǎo)公式和法則求，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由題意和點(diǎn)斜式方程求出切線方程，把代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入求出的值；（2）求出方程的表達(dá)式，利用參數(shù)分別法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值范圍即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求函數(shù)以及定義域，求出，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化：在（0，+∞）上有根，即在上有根，依據(jù)二次方程根的分布問題列出方程組，依據(jù)條件列出關(guān)于的不等式，求出的范圍．試題解析：（1）設(shè)在處的切線方程為，因?yàn)?，所以，故切線方程為.當(dāng)時(shí)，，將（1,6）代入，得.（2），由題意得方程有唯一解，即方程有唯一解.令，則，所以在區(qū)間上是增