浙江省紹興市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

Page22Page22浙江省紹興市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題參考公式：假如事務(wù)A，B互斥，那么假如事務(wù)相互獨(dú)立，那么假如事務(wù)在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)恰好發(fā)生次的概率臺(tái)體的體積公式其中分別表示臺(tái)體的上，下底面積，表示臺(tái)體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑選擇題部分（共40分）一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)全集，集合，利用補(bǔ)集的運(yùn)算求得，再利用交集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槿?，集合，所以，又，所以故選：A2.已知（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)相等列方程組解得參數(shù)，即可求得的值.【詳解】由，可得，解之得則故選：D3.某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】三視圖可得該幾何體為正方體中挖去一個(gè)圓錐，由此可得答案.【詳解】由三視圖可得該幾何體為正方體中挖去一個(gè)圓錐，且圓錐的底面圓為正方體的上底面的內(nèi)切圓，該正方體的棱長(zhǎng)為2，圓錐的底面圓的半徑為1，高為2.所以該幾何體的體積為故選：C4.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分有不必要條件【答案】B【解析】【分析】由，則，依據(jù)集合的包含關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】由，則由所以由“”可得出“”，反之不成立例如取，滿意，但無意義，不滿意故“”是“”的必要不充分條件故選：B5.已知平面對(duì)量，若，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將變?yōu)?，將該式兩邊平方，利用向量乘法運(yùn)算求出，再依據(jù)向量的夾角公式計(jì)算可得答案.【詳解】由，可得，所以，即，所以，設(shè)的夾角為，則,故選：B.6.函數(shù)，且與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不行能的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對(duì)稱軸為<1，對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為0，，由圖知，從而，選項(xiàng)A可能；對(duì)于B，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對(duì)稱軸為<1，對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為0，，由圖知，從而，選項(xiàng)B可能；對(duì)于C，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對(duì)稱軸為>1，對(duì)應(yīng)方程兩個(gè)根為0，，由圖知，從而，選項(xiàng)B可能；對(duì)于D，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象可知，又函數(shù)，對(duì)稱軸為<1，對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為0，，由圖知，從而，選項(xiàng)D不行能.故選：D.7.已知正方體是直線上一點(diǎn)，（）A.若，則直線平面B.若，則直線平面C.若，則直線平面D.若，則直線平面【答案】A【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系后，求出相關(guān)直線所在的向量及平面的法向量，通過向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取，則，從而可知直線平面，故選項(xiàng)A正確，B不正確.同理可取平面的一個(gè)法向量，若時(shí)，，所以與不共線，所以直線與平面不垂直，故C不正確；若時(shí)，，所以與不共線，所以直線與平面不垂直，故D不正確.故選：A,8.已知圓C：，設(shè)為直線上一點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的值不行能的是（）A. B.0 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由題可知圓心在直線上，然后利用圓的性質(zhì)可知，再利用弦長(zhǎng)公式可得，即得.【詳解】由圓C：，可得，圓心，半徑為，∴圓心在直線上，∵為直線上一點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)，使得，∴，又，∴，即，∴實(shí)數(shù)的值可能是，0，4；實(shí)數(shù)的值不行能是2.故選：C.9.若，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.，且 B.，且C.，且 D.，且【答案】C【解析】【分析】依據(jù)的圖象對(duì)稱性的定義，得到對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，的值域分析，可得對(duì)于且使得和取值在(時(shí))或(時(shí))之外的全部實(shí)數(shù)的值恒成立，進(jìn)而得到有無窮多實(shí)數(shù)根，從而求得.【詳解】∵，∴函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)恒成立，由于在和上時(shí)(或和上時(shí)))分別單調(diào)遞減和單調(diào)遞增，且對(duì)稱軸為直線，又∵和取值范圍都是實(shí)數(shù)集,且除了時(shí)相等，其余狀況下不相等，∴對(duì)于且使得和取值在(時(shí))或(時(shí))之外的全部實(shí)數(shù)的值恒成立，∴有無窮多實(shí)數(shù)根，故,故選：C.10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，已知，若，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】分析】將原式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，運(yùn)用疊加法求出，依據(jù)題意即可選出答案.【詳解】由題意可知，，因?yàn)椋?，?令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，上式相加，得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，?故選：C非選擇題部分（共110分）二?填空題：本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分.11.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩(shī)句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別名.如圖是折扇的示意圖，已知為的中點(diǎn)，，則此扇面（扇環(huán)）部分的面積是__________.【答案】##【解析】【分析】由已知條件利用扇形面積公式求解即可【詳解】由題意得此扇面（扇環(huán)）部分的面積是，故答案：12.若實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最小值是__________，最大值是_________.【答案】①.-2；②.6【解析】【分析】作出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義找到取最大值和最小值的位置，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】作出不等式組的可行域如圖所示：目標(biāo)函數(shù)表示函數(shù)在y軸上的截距，由圖知在B點(diǎn)取最小值，A點(diǎn)取最大值；則B點(diǎn)滿意，解得，即最小值；A點(diǎn)滿意，解得，即最大值；故答案為：-2；613.在的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________，的系數(shù)是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理即得.【詳解】∵，∴綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為，的系數(shù)是.故答案為：；.14.在中，是邊上一點(diǎn)，且，則__________，__________.【答案】①.6②.【解析】【分析】設(shè)，在中由余弦定理先求出的長(zhǎng)，從而得出，再在中，由余弦定理先求出的長(zhǎng)，再由正弦定理得出答案.【詳解】設(shè)，在中由余弦定理可得：即，即，解或（舍）由，則在中，所以由正弦定理：，即故答案為：6；15.袋子中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從中有放回地隨機(jī)取2個(gè)球，每次取1個(gè)，且各次取球間相互獨(dú)立.設(shè)此過程中取到的紅球個(gè)數(shù)為，則__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】有放回地取球，每次取一球，先求出每次取到紅球的概率，然后可得，由題意，從而得出答案.【詳解】有放回地取球，每次取一球，則每次取到紅球的概率為在此過程中取到的紅球個(gè)數(shù)為，的取值為0,1,2.則，則故答案為：；16.已知是雙曲線.左，右焦點(diǎn)，若上存在一點(diǎn)，使得成立，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)，則，先求出，，由條件可得，再依據(jù)，依據(jù)建立不等式從而可得答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，設(shè)，則，則則同理可得由，可得，又所以，即，即所以，即，即，即所以，即故答案為：17.已知矩形中，，點(diǎn)分別在邊上（包含端點(diǎn)），若，則與夾角的余弦值的最大值是__________.【答案】##0.8【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，依據(jù)題意設(shè)出可設(shè)，,利用向量的數(shù)量積和夾角余弦值的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，基本不等式，利用分類探討思想求得與夾角余弦值的最大值.【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，則可設(shè)，,，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，故,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴最大值為，∴的最小值為,此時(shí)取得最大值為，即與夾角的余弦值的最大值為.故答案為：三?解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù).（1）若對(duì)于隨意實(shí)數(shù)恒成立，其中，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，由正弦函數(shù)的性質(zhì)得到恒成立,進(jìn)而求得；（2）先利用降冪公式和兩角和的余弦公式及協(xié)助角公式化簡(jiǎn)，然后依據(jù)已知區(qū)間和三角函數(shù)的性質(zhì)求得.【小問1詳解】解：由，即恒成立，∴恒成立,或恒成立，由于不行能恒成立，∴恒成立,即恒成立，又∵，∴.【小問2詳解】解：,當(dāng)時(shí)，,∴,∴,即在區(qū)間上的取值范圍是區(qū)間.19.如圖，在四棱臺(tái)中，底面為矩形，平面平面，.（1）求證：；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面，取CD,C1D1,AB中點(diǎn)O,E,G，OD中點(diǎn)F，連接OG,OE,D1F，可證得OC,OE,OG兩兩垂直，分別以射線OG,OC,OE為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知條件和棱臺(tái)的性質(zhì)求得的坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式證得，從而證得結(jié)論；（2）求得平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，然后利用空間向量的夾角的余弦的坐標(biāo)運(yùn)算公式求得直線和平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：∵底面為矩形，∴AD⊥DC,又∵平面平面，且平面平面，平面，∴AD⊥平面，取CD,C1D1,AB中點(diǎn)O，E,G,OD中點(diǎn)F，連接OG,OE,D1F，由底面ABCD為矩形，可得OG//AD，∴OG⊥DC,OG⊥平面，又∵OE?平面，∴OG⊥OE,∵為四棱臺(tái)，∴DC//D1C1，又∵，∴為等腰梯形，∴OE⊥OC,∴OC,OE,OG兩兩垂直，分別以射線OG,OC,OE為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.由于棱臺(tái)的上下底面相像，且，∴,又∵，∴，∴,∴,∴∴.【小問2詳解】解：由于棱臺(tái)的上下底面相像，且，∴,∴，，∴,設(shè)平面ABB1D1的法向量為,則,∴,取,則，得.∵，設(shè)直線和平面所成角為，則.直線和平面所成角的正弦值為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的值，并證明：數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿意，記的前項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)的值.【答案】（1），證明見解析（2）k=4

【解析】【分析】（1）由條件寫出，再與原式作差可求解；（2）由（1）得到數(shù)列的通項(xiàng)，再求和代入后解不等式即可.【小問1詳解】令，有，得，由，有，兩式相減有，化簡(jiǎn)整理得，又，，所以，所以數(shù)列是一個(gè)常數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，所以，所以有不等式，故，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故滿意不等式的.21.已知橢圓，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線交于兩點(diǎn)，如圖.（1）當(dāng)直線垂直軸時(shí)，，求的準(zhǔn)線方程；（2）若三角形的重心在軸上，且，求的取值范圍.【答案】（1）x=-1；（2）

【解析】【分析】(1)依據(jù)拋物線的性質(zhì)可得，依據(jù)題意可得，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程求出p的值即可；(2)依據(jù)題意設(shè)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線PB的斜率進(jìn)而表示出方程，聯(lián)立橢圓方程并消去x，利用韋達(dá)定理求出，依據(jù)三角形的重心可得，列出方程并解之得出，利用拋物線的定義表示，結(jié)合換元法化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【小問1詳解】由知，，當(dāng)直線PF垂直于x軸時(shí)，由，得，有，所以的準(zhǔn)線方程為：，即；【小問2詳解】由題意知，，設(shè)直線，，則，，，由，即直線PB的斜率為，所以直線PB的方程為：，即，，，又G為的重心，且G在x軸上，故，所以，又，所以，整理，得，解得，①，令，則，所以①式②，令，則，所以②式，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線的綜合問題時(shí)，要留意：(1)留意視察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、曲線的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算實(shí)力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積和取值范圍等問題．22.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）記為的導(dǎo)函數(shù)，證明：；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)