9.3-二階微分方程

9.3二階微分方程二階微分方程的一般形式為

本節(jié)將介紹可降階的微分方程與二階常系數(shù)線性微分方程的解法.9.3.1可降階的二階微分方程1.形如

的微分方程這類微分方程是最簡單的二階微分方程，

過兩次積分求解其通解.

它可以通它可推廣為一般的形如

的微分方程，

通過n次積分求其通解.例9.3.1求微分方程

的通解.

解方程兩邊逐次積分得2.形如

的微分方程

這類二階微分方程的特點是方程右邊式中不顯含y,

解題的基本步驟是:(1)令

把原方程化為以P為未知函數(shù)的一階方程(9.3.1)(2)求解方程（9.3.1）得P的表達式；

(3)將P的表示式代入式子

求得原方程通解

例9.3.2求微分方程的通解.解原方程中不明顯含y,

故令

則

于是

這是關(guān)于P的一階線性非齊次方程，

即

從而,原方程的通解為3.形如

的微分方程這類二階微分方程的特點是方程的右邊式中不明顯含解題的基本步驟:

(1)令

把原方程化為以

P為未知函數(shù)的一階方程(9.3.2)

(2)求解方程（9.3.2）得P的表示式；(3)將P的表示式代入

求得原方程的通解

例9.3.3求微分方程

的通解，

初始條件

并求滿足的特解.

解原方程中不明顯含x,

故令

從而

代入原方程得

分離變量得

兩邊積分得

即

代入

得

從而得原方程通解

利用初始條件

可以得到

故所求的特解為

9.3.2二階常系數(shù)線性微分方程設(shè)p,q為常數(shù)，形如（9.3.3）

的方程稱為二階常系數(shù)線性微分方程，

當f(x)=0時，

方程

（9.3.4）

稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程；

當f(x)≠0時，（9.3.3）稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程.方程1.二階常系數(shù)線性齊次微分方程先討論方程（9.3.4）解的性質(zhì)。性質(zhì)設(shè)

及

是方程（9.3.4）的兩個線性無關(guān)（即

為常數(shù)）的解，

任意獨立的常數(shù)

那么對于則

（9.3.4）的通解。

是方程考慮到方程（9.3.4）左邊的系數(shù)p、q均為常數(shù)，

導(dǎo)數(shù)的運算規(guī)律可以猜想方程（9.3.4）有形如

由的解(其中r為待定系數(shù))，

將

代入方程（9.3.4）得

由于

所以上面式子可化為

(9.3.5)這表明只要r滿足方程（9.3.5

）,則

就是方程（9.3.4）的解.關(guān)于r為未知數(shù)的方程（9.3.5）稱為方程（9.3.4）的特征方程，

特征方程的根稱為特征根。

求解二階常系數(shù)齊次線性方程的基本步驟是：(1)寫出特征方程

求出特征根;

(2)根據(jù)特征根的不同情況，

按照下表，對應(yīng)地寫出微分方程的通解。特征方程的兩個根微分方程的通解兩個不相等的實根兩個相等的實根一對共軛復(fù)根例9.3.4求微分方程滿足初始條件

的特解．

解該方程的特征方程為

特征根為

于是其通解為

將初始條件

代入得

特解為

例9.3.5求齊次方程

的通解.解該方程的特征方程為求得特征根為

從而所求通解為

例9.3.6求齊次方程的通解.

解該方程的特征方程為求得特征根為

從而所求通解為2.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程性質(zhì)1如果y*是線性非齊次方程（9.3.3）

的一個特解，

是該方程所對應(yīng)的線性齊次方程的通解，則

是線性非齊次方程（9.3.3）的通解。性質(zhì)2設(shè)

分別是方程

和

的解,

則

是方程

的特解。

求方程（9.3.3）

的通解可分兩步(1)求對應(yīng)的齊次方程的通解

(2)求方程（9.3.3）的一個特解

則方程（9.3.3）的通解為

關(guān)于齊次方程的通解

求法，在前面已作過介紹.

本節(jié)僅就自由項f(x)取三種特殊常見形式的函數(shù)時，

討論如何求非齊次方程的一個特解y*。

悉自由項f(x)的不同類型和相應(yīng)特解y*的設(shè)法.求法的關(guān)鍵是熟1）f(x)=型（其中是x

的n次多項式）此時，方程為

(9.3.9)從求導(dǎo)運算的規(guī)律看，不難發(fā)現(xiàn)：

的特解y*必是一個與

當q≠0時，方程(9.3.9)同次的n次多項式

當q=0而p≠0時，應(yīng)是一個n次多項式，

n+1次多項式,

而y*必是一個記為

類似地，當p=q=0時，

y*應(yīng)是一個n+2次多項式

例9.3.7求方程的一個特解.解方程中f(x)

是一次多項式，

由

可設(shè)特解為

將其求導(dǎo)

代入原方程整理得

比較系數(shù)得

即

可為任意常數(shù)

不妨取

則得原方程的一個特解

例9.3.8求方程的一個特解.解方程中f(x)

是二次多項式,

由

可設(shè)特解為

將其求導(dǎo)

代入原方程得

比較系數(shù)得

于是得到方程的一個特解

2）型（其中是一個n次多項式，

λ為常數(shù)）

此時方程（9.3.3）為

(1)當λ不是特征根時，即必是一個n次多項式即m=n。

此時，可設(shè)特解為

（2）當λ是特征方程的單根時，即

而

可以取零，

應(yīng)是一個n+1次多項式，常數(shù)項此時，可設(shè)特解為

（3）當λ是特征方程的重根時，即

應(yīng)是一個n+2次多項式，一次項系數(shù)與常數(shù)項均可以為零。

此時，可設(shè)特解為

例9.3.9求方程

的一個特解.解原方程對應(yīng)的齊次方程為特征方程為

特征根為

因為不是特征方程的特征根，所以可設(shè)特解為求一階、二階導(dǎo)數(shù)并代入原方程得

比較系數(shù)得

于是得到原方程的一個特解例9.3.10求方程的一個特解。解原方程對應(yīng)的齊次方程為

特征方程為

特征根為

因為

是特征方程的單根，故可設(shè)特解

求導(dǎo)得代入原方程整理得

比較系數(shù)得

于是得到原方程的一個特解例9.3.11求方程的通解。

解原方程對應(yīng)的齊次方程為

特征方程為

特征根為

故原方程對應(yīng)的齊次方程的通解為因為λ=3是特征方程的重根,所以可設(shè)求導(dǎo)得

代入原方程并整理得

比較系數(shù)求得

從而得原方程的一個特解故原方程的通解為3）型（其中

為常數(shù)）此時方程為（9.3.12）

由于指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù),

和余弦函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)也總是正弦函數(shù)或余弦函數(shù),

正弦函數(shù)此可設(shè)方程(9.3.3)的特解為

因其中

為待定常數(shù)。(1)當

不是方程(9.3.12)對應(yīng)齊次方程的特征根時,取

(2)當

是方程(9.3.12)對應(yīng)齊次方程的特征根時,取

注:因為二階齊次方程的特征方程是二次的,所以當有復(fù)特征根時,不可能出現(xiàn)重根,因此k不可能取2.例9.3.12求方程的一個特解.

解原方程對應(yīng)的齊次方程為特征方程為

特征根為

因為

不是特征方程的根,

所以取

可設(shè)原方程的特解為求導(dǎo)數(shù)得

代入原方程整理得比較系數(shù)得

即

從而得原方程的一個特解

例9.3.13求方程的一個特解.解根據(jù)本節(jié)的性質(zhì)2知,

只要分別求得下列方程

的特解

則

即為得原方程的一個特解.先求方程

的特解

可設(shè)

代入方程

求得

故得特解

再求方程

的特解

由

是特征方程

的根,

故取k=1所以可得特解為

求導(dǎo)數(shù)得