2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上冊綜合檢測試9

第三章3．1第2課時一、選擇題1．設(shè)M是△ABC的重心，記a＝eq\o(BC,\s\up6(→))，b＝eq\o(CA,\s\up6(→))，c＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(AM,\s\up6(→))為()A．eq\f(b－c,2) B．eq\f(c－b,2)C．eq\f(b－c,3) D．eq\f(c－b,3)[答案]D[解析]M為△ABC重心，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(c－b)．2．如圖所示，已知A，B，C三點(diǎn)不共線，P為平面ABC內(nèi)一定點(diǎn)，O為平面ABC外任一點(diǎn)，則下列能表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))的為()A．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→))[答案]C[解析]根據(jù)A，B，C，P四點(diǎn)共面的條件可知eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))．由圖知x＝3，y＝－2，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AC,\s\up6(→))，故選C．3．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，則()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)[答案]D[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以x＝1，y＝eq\f(1,4)．4．已知i與j不共線，則存在兩個非零常數(shù)m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件[答案]C[解析]本題考查空間三個向量共面的條件．若i與j不平行，則k與i，j共面?存在惟一的一對實數(shù)x，y使k＝xi＋yj．故選C．5．如圖所示，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c[答案]B[解析]eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c．6．(2013·河南省固始一中期末)若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝αeq\o(PB,\s\up6(→))＋βeq\o(PC,\s\up6(→))，則α＋β＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]本題主要考查空間中三點(diǎn)共線的充要條件．若α＋β＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝β(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝βeq\o(BC,\s\up6(→))，顯然，A，B，C三點(diǎn)共線；若A，B，C三點(diǎn)共線，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(PB,\s\up6(→))－λeq\o(PC,\s\up6(→))，令α＝1＋λ，β＝－λ，則α＋β＝1，故選C．二、填空題7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1A，B1B的中點(diǎn)，O為BD1的中點(diǎn)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示下列向量：(1)eq\o(D1N,\s\up6(→))＝__________；(2)eq\o(OM,\s\up6(→))＝__________．[答案](1)a－eq\f(1,2)b－c(2)－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c[解析](1)eq\o(D1N,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b－c．(2)eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c．8．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝__________．[答案]eq\f(7,6)[解析]如圖所示，有eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋(－1)·eq\o(C1C,\s\up6(→))．又∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝x·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\o(BC,\s\up6(→))＋3z·eq\o(C1C,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2y＝1，,3z＝－1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(1,3).))∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6)．三、解答題9．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N在AC上，且ANNC＝21，求證：eq\o(A1N,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))、eq\o(A1M,\s\up6(→))共面．[解析]eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1M,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up6(→))．∴eq\o(A1N,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(A1M,\s\up6(→))共面．[點(diǎn)評]1．證明三點(diǎn)A、B、C共線，即證存在λ∈R，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．2．證明四點(diǎn)P、A、B、C共面，即證明對空間任一點(diǎn)O，存在x，y∈R，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，或eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，后者是證明三向量共面的基本方法．3．由向量共線(或共面)求參數(shù)的值時，先由共線(或共面)條件，結(jié)合共線(共面)向量定理．列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)，然后解方程(組)求值．10．已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E在AC′上，且AEEC′＝12，點(diǎn)F，G分別是B′D′和BD′的中點(diǎn)，求下列各式中的x，y，z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))．[解析](1)∵AEEC′＝12，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3)．(2)∵F為B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)．(3)∵G、F分別為BD′、B′D′的中點(diǎn)，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0．一、選擇題11．已知正方體ABCD－A′B′C′D′，點(diǎn)E是A′C′的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A．eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))[答案]D[解析]由條件AF＝eq\f(1,2)EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′E,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)AA′＋eq\f(1,6)(eq\o(A′D′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))．12．(2013·湖南省雅禮中學(xué)月考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，M為空間任意兩點(diǎn)，如果有eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))，那么M必()A．在平面BAD1內(nèi) B．在平面BA1D內(nèi)C．在平面BA1D1內(nèi) D．在平面AB1C1[答案]C[解析]本題主要考查四點(diǎn)共面的判斷方法．由于eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PA1,\s\up6(→))＋6(eq\o(PA1,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))－4(eq\o(PD1,\s\up6(→))－eq\o(PA1,\s\up6(→)))＝11eq\o(PA1,\s\up6(→))－6eq\o(PB,\s\up6(→))－4eq\o(PD1,\s\up6(→))，于是M，B，A1，D1四點(diǎn)共面，故選C．13．在三棱錐S－ABC中，G為△ABC的重心，則有()A．eq\o(SG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))) B．eq\o(SG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→)))C．eq\o(SG,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))) D．eq\o(SG,\s\up6(→))＝eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→))[答案]B[解析]eq\o(SG,\s\up6(→))＝eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(SB,\s\up6(→))－eq\o(SA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(SC,\s\up6(→))－eq\o(SA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\o(SB,\s\up6(→))＋eq\o(SC,\s\up6(→)))．14．對于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，且有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則x＋y＋z＝1是四點(diǎn)P、A、B、C共面的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝x(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＋y(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(CP,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，即eq\o(CP,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))共面，又有公共點(diǎn)C，∴P，A，B，C共面，反之也成立．二、填空題15．如圖所示，已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且PMMC＝21，N為PD中點(diǎn)，則滿足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實數(shù)x＝__________，y＝__________，z＝__________．[答案]－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)eq\f(1,6)[解析]在PD上取一點(diǎn)F，使PFFD＝21，連接MF，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6)．三、解答題16．已知三個向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q[解析]假設(shè)存在實數(shù)λ，μ，使p＝λq＋μr，則a＋b－c＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，∵a，b，c不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－7μ＝1，,－3λ＋18μ＝1，,－5λ＋22μ＝－1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,3)，,μ＝\f(1,3).))即存在實數(shù)λ＝eq\f(5,3)，μ＝eq\f(1,3)，使p＝λq＋μr，故p、q、r共面．17．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up6(→))＝2eq\o(ED1,\s\up6(→))，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up6(→))