滬教版九年級數(shù)學(xué)上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷專題01相似三角形(重點(diǎn))(原卷版+解析)

專題01相似三角形（重點(diǎn)）一、單選題1．下列四組線段中，是成比例線段的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm．5cmC．5cm，15cm，2cm．6cm D．3cm，4cm，2cm，5cm2．下列命題中，正確的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．邊長相等的兩個(gè)菱形都相似 D．對角線相等的兩個(gè)矩形都相似3．如圖，中，是邊上一點(diǎn)，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．4．下列關(guān)于向量的說法中，不正確的是（

）A．B．如果，那么C．是非零向量，是單位向量，那么D．5．如圖，AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝6．如圖，在中，DE∥BC，若，則的值為（

）A． B． C． D．7．如圖，AD是△ABC的一條中線，G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作EF∥BC，交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BC＝6，則EG的長為（）A．2 B．3 C．3.5 D．48．如圖，P為線段AB上一點(diǎn)，AD與BC交與點(diǎn)E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD與點(diǎn)F，AD交PC于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGDC．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP9．如圖，點(diǎn)G、F分別是的邊、上的點(diǎn)，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．如果，那么的值是（）A． B． C． D．二、填空題11．已知，則＝_________12．在比例尺為的某市旅游地圖上，某條道路的長為，則這條道路的實(shí)際長度為______．13．若線段a＝4，b＝9，則線段a，b的比例中項(xiàng)為____________．14．已知點(diǎn)P是線段MN上的黃金分割點(diǎn)，且，則較長線段PM的長為______cm．15．如圖，點(diǎn)是的重心，如果，，那么向量用向量和表示為______．16．如圖，在與中，，，，交于點(diǎn)D，給出下列結(jié)論．①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是__________（填寫正確結(jié)論的序號）．17．如圖，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四個(gè)頂點(diǎn)均在△ABC的邊上，則正方形HEFG的邊長為___．18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，點(diǎn)D在邊AC上，將△ABD沿著直線BD翻折得△EBD，BE交直線AC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CE，若△BCE是等腰三角形，則AF的長是_____．三、解答題19．已知線段a、b、c滿足且．(1)求線段a、b、c的長；(2)若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)（），求線段x的長．20．如圖，在中，點(diǎn)、分別在、上，，若，，，求AD的長．21．如圖，已知CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)C作CE⊥CD，兩線相交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的長．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥BC交DC于點(diǎn)F，．（1）若BD=20，求BG的長；（2）求的值．23．如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．（1）求證：∽；（2）若，，求的長．24．已知：如圖，在梯形中，，，，對角線、相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作，交對角線BD于點(diǎn)F．(1)求的值；(2)設(shè)，，請用向量、表示向量．25．如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且CF=BE，AE2=AQ·AB求證：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ26．已知：如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．(1)求證：：(2)如果，求證：．27．如圖，在等邊ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)O．（1）求證：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的長．（3）在（2）的條件下，動點(diǎn)P在CE上從點(diǎn)C向終點(diǎn)E勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q在BC上，連結(jié)OP，PQ，滿足∠OPQ＝60°，記PC為x，DQ的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．28．如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B'，聯(lián)結(jié)AB′，CB′，BB'，PB'，BB'與AP交于點(diǎn)E，PB'與AC交于點(diǎn)D．(1)如圖1，若AP＝PC，BC＝6，cos∠ABC＝，求CB'的長；(2)如圖2，若AB＝AC，BP＝3PC，求的值．專題01相似三角形（重點(diǎn)）一、單選題1．下列四組線段中，是成比例線段的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm．5cmC．5cm，15cm，2cm．6cm D．3cm，4cm，2cm，5cm【答案】C【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項(xiàng)一一分析，排除錯誤答案．【解析】解：A、1×4≠2×3，故選項(xiàng)錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；B、3×6≠5×4，故選項(xiàng)錯誤，該選項(xiàng)不符合題意；C、2×15=5×6，故選項(xiàng)正確，該選項(xiàng)符合題意；D、2×5≠3×4，故選項(xiàng)錯誤，該選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．2．下列命題中，正確的是（

）A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似C．邊長相等的兩個(gè)菱形都相似 D．對角線相等的兩個(gè)矩形都相似【答案】A【分析】兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的角分別相等,邊成比例,那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，根據(jù)相似多邊形的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A.所有的正方形都相似，故選項(xiàng)正確，符合題意；B.菱形的邊成比例，但角不一定相等，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C.邊長相等的兩個(gè)菱形都不一定相似，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D.對角線相等的兩個(gè)矩形邊不一定成比例，所以不一定相似，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查命題、相似多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的概念．3．如圖，中，是邊上一點(diǎn)，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形相似的判定定理逐一分析判斷即可．【解析】解：A、∵，∴所以選項(xiàng)A不符合題意；B、∵，∴所以選項(xiàng)B不符合題意；C、∵，∴所以選項(xiàng)C不符合題意；D、，對應(yīng)邊成比例，但是不確定是否與相等，所以不能判定，所以選項(xiàng)D符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定定理，牢記定理的內(nèi)容是解題的重點(diǎn)．4．下列關(guān)于向量的說法中，不正確的是（

）A．B．如果，那么C．是非零向量，是單位向量，那么D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的定義（在平面中既有大小又有方向的量稱為向量）與運(yùn)算法則依次進(jìn)行判斷即可得出選項(xiàng)．【解析】解：A、，本選項(xiàng)正確,不符合題意；B、如果，則，選項(xiàng)正確,不符合題意；C、等號左邊為向量，右邊為向量模長，選項(xiàng)錯誤,符合題意；D、，本選項(xiàng)正確,不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查平面向量的定義與運(yùn)算，理解平面向量的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．5．如圖，AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，對各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解析】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，＝，∴選項(xiàng)A、C、D不正確，選項(xiàng)B正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，避免錯選其他答案．6．如圖，在中，DE∥BC，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【解析】解：，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，AD是△ABC的一條中線，G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作EF∥BC，交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BC＝6，則EG的長為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】A【分析】根據(jù)AD是中線，得到，由G為△ABC的重心，可以得到，有EF∥BC，可以證明△AEG∽△ABD，得到，由此求解即可.【解析】解：∵AD是中線，∴，∵G為△ABC的重心，∴，∵EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，∴，∴，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，重心的性質(zhì)，三角形的中線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.8．如圖，P為線段AB上一點(diǎn)，AD與BC交與點(diǎn)E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD與點(diǎn)F，AD交PC于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGDC．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP【答案】A【分析】根據(jù)∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根據(jù)∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可證明△APG∽△BFP，由此即可求解．【解析】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP故B、D選項(xiàng)不符合題意，∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，∴∠APG=∠BFP，∴△APG∽△BFP，故C選項(xiàng)不符合題意，對于A選項(xiàng)不能得到兩個(gè)三角形相似，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.9．如圖，點(diǎn)G、F分別是的邊、上的點(diǎn)，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線分線段成比例定理即可得到答案．【解析】解：∵交GA于點(diǎn)E，，，，，所以，A，B，D正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．如果，那么的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵EF是點(diǎn)B、D的對稱軸，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵=，∴設(shè)AD=1，BC=4，過A作AG⊥BC于G，∴四邊形AGED是矩形，∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°，∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故選B．二、填空題11．已知，則＝_________【答案】####【分析】依據(jù)比例的性質(zhì)，即可得到y(tǒng)＝x，再代入分式計(jì)算化簡即可．【解析】解：∵，∴y＝x，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解題時(shí)注意：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．在比例尺為的某市旅游地圖上，某條道路的長為，則這條道路的實(shí)際長度為______．【答案】【分析】根據(jù)比例尺圖上距離：實(shí)際距離，依題意列比例式直接求解即可．【解析】解：設(shè)這條道路的實(shí)際長度為，則：，解得．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查比例尺知識，能夠根據(jù)比例尺正確進(jìn)行計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換．13．若線段a＝4，b＝9，則線段a，b的比例中項(xiàng)為____________．【答案】6【分析】由四條線段a，x，x，b成比例，根據(jù)成比例線段的定義解答即可．【解析】解：設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)為c,c>0,根據(jù)比例中項(xiàng)原則：c2＝ab，∴c2＝4×9，∴c＝6故答案：6．【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段、比例中項(xiàng)等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．14．已知點(diǎn)P是線段MN上的黃金分割點(diǎn)，且，則較長線段PM的長為______cm．【答案】##【分析】根據(jù)黃金分割比為，根據(jù)PM為較長線段則，【解析】解：∵點(diǎn)P是線段MN上的黃金分割點(diǎn)，且，∴長線段PM的長為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割比，牢記黃金分割比為是解題的關(guān)鍵．15．如圖，點(diǎn)是的重心，如果，，那么向量用向量和表示為______．【答案】##【分析】由是的重心，推出，，求出，可得結(jié)論．【解析】解：∵G是的重心，∴，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是掌握重心的性質(zhì)，學(xué)會利用三角形法則解決問題．16．如圖，在與中，，，，交于點(diǎn)D，給出下列結(jié)論．①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是__________（填寫正確結(jié)論的序號）．【答案】①③④【分析】根據(jù)SAS推出△AEF≌△ABC，推出AF＝AC，根據(jù)等邊對等角推出即可①正確；不正確，采用反證法，假設(shè)，可以證明△ACF≌△AFD，即可證明∠DAF=∠CAF，由題意無法得出此結(jié)論，判斷②錯誤；根據(jù)∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，推出△ADE∽△FDB即可判斷③正確；根據(jù)△AEF≌△ABC，得出∠EAF＝∠BAC，求出∠EAD＝∠CAF，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，即可判斷④正確【解析】解：在△AEF和△ABC中∵，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠C，∴①正確；不正確，理由是：假設(shè)，∵△AEF≌△ABC∴∠AFD=∠C，AF=AC，∴△ACF≌△AFD，∴∠DAF=∠FAC，原題中無AF為∠BAC平分線這一條件，∴②錯誤；∵∠E＝∠B，∠EDA＝∠BDF，∴△ADE∽△FDB，∴③正確；∵△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠DAF＝∠BAC﹣∠DAF，∴∠EAD＝∠CAF，∵△ADE∽△FBD，∴∠BFD＝∠EAD＝∠CAF，∴④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力，根據(jù)條件判定△AEF≌△ABC是解題關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形HEFG的四個(gè)頂點(diǎn)均在△ABC的邊上，則正方形HEFG的邊長為___．【答案】4cm【分析】設(shè)正方形的邊長為xcm，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式即可求出答案．【解析】解：設(shè)正方形的邊長為xcm，∴AP＝AD﹣PD＝6﹣x，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴，∴＝，解得：x＝4，故答案為：4cm【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，設(shè)正方形的邊長，列出方程．18．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AB＝4，點(diǎn)D在邊AC上，將△ABD沿著直線BD翻折得△EBD，BE交直線AC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CE，若△BCE是等腰三角形，則AF的長是_____．【答案】【分析】根據(jù)題意作圖如下，過作的垂線，交于，由勾股定理求得，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得：，若△BCE是等腰三角形，則，勾股定理求出，在證明，求出，根據(jù)，即可求出．【解析】解：在邊AC上，將△ABD沿著直線BD翻折得△EBD，BE交直線AC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CE，根據(jù)題意作圖如下，過作的垂線，交于，在中，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得：，當(dāng)點(diǎn)D在邊AC之間上動時(shí)，且BE交直線AC于點(diǎn)F，故，若△BCE是等腰三角形，則，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，即，解得：，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的翻折、等腰三角形、勾股定理、三角形相似等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用三角形相似來求邊長．三、解答題19．已知線段a、b、c滿足且．(1)求線段a、b、c的長；(2)若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)（），求線段x的長．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）設(shè)，則，，，再代入解方程求出的值，由此即可得；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可得一個(gè)關(guān)于的方程，解方程即可得．（1）解：設(shè)，則，，，，，解得，則，，．（2）解：線段是線段、的比例中項(xiàng)，且，，，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，即線段的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)、比例中項(xiàng)、解分式方程的應(yīng)用，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．如圖，在中，點(diǎn)、分別在、上，，若，，，求AD的長．【答案】AD=4【分析】設(shè)AD=x，則，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求出答案．【解析】解：∵DE∥BC，∴，設(shè)AD=x，則，∴，解得：x=4或﹣4（舍去），即AD=4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和簡單的一元二次方程的解法，熟練掌握上述知識、靈活應(yīng)用方程思想是解題的關(guān)鍵．21．如圖，已知CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)C作CE⊥CD，兩線相交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）先證出∠DCE＝∠ACB，∠CDE＝∠ACD，再利用CD是斜邊AB中線，可得CD=AD，證得∠A=∠ACD，從而∠CDE＝∠CAD，進(jìn)而可以證明；（2）先利用勾股定理求得AB＝10，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得CD＝5，再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得AB∶DE＝AC∶CD，即可求得答案．【解析】解（1）由題意：∵CE⊥CD，∴，又∵，∴∠CDE＝∠ACD，∵在中，CD是AB邊上的中線，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD，∴∠CDE＝∠CAD，∴．（2）∵AC＝8，BC＝6，∴利用勾股定理得：∵在中，CD是AB邊上的中線，∴CD＝5，∵∴AB∶DE＝AC∶CD，即10∶DE＝8∶5，∴DE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線特征，找準(zhǔn)對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥BC交DC于點(diǎn)F，．（1）若BD=20，求BG的長；（2）求的值．【答案】(1)8;(2)【分析】（1）由GF∥BC，可證，結(jié)合，整理可求出的值；（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可證AB∥CD，AB=CD，從而，整理可求出，根據(jù)比例的性質(zhì)可求出的值.【解析】(1)

∵GF∥BC，∴，∵BD=20，，∴；(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，比例的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對應(yīng)線段的長度成比例.推論：平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.23．如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．（1）求證：∽；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）得到，由可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可，則有，根據(jù)勾股定理求出，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，于是可求出的長．【解析】解：（1）證明：點(diǎn)于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，；（2）解：，，，，，，，，,，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．24．已知：如圖，在梯形中，，，，對角線、相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作，交對角線BD于點(diǎn)F．(1)求的值；(2)設(shè)，，請用向量、表示向量．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，由，得，從而解決問題；（2）求出與的關(guān)系，以及與的關(guān)系，通過即可求解．(1)解：，，，，，設(shè)，則，，，(2)解：，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平面向量的加減運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．25．如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且CF=BE，AE2=AQ·AB求證：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用SAS證明△ACE≌△ABF即可；（2）先證△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再證△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CE=BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE=∠BAF；（2）證明：∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ·AB，AC＝AB，∴，即，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴，即CF·FQ=AF·BQ．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26．已知：如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．(1)求證：：(2)如果，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先通過兩組平行線等角對等邊，證明；再通過兩組對邊平行證明四邊形AFCD是平行四邊形，最后通過平行四邊形的性質(zhì)挖掘條件，即可證明全等（2）利用平行四邊形對邊平行，得到，再將題目條件轉(zhuǎn)化為，利用邊角邊證明，最后利用相似對應(yīng)角相等，即可得到結(jié)論（1）∵，∴∵∴∵∴∴∵∴四邊形AFCD是平行四邊形∴∴∴（2）∵∴在中，∴∴∵，在與中∴∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等，相似；注意第一小問平行四邊形的判定和性質(zhì)是重點(diǎn)，第二小問相似三角形的判定和性質(zhì)是重點(diǎn)27．如圖，在等邊ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)O．（1）求證：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的長．（3）在（2）的條件下，動點(diǎn)P在CE上從點(diǎn)C向終點(diǎn)E勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q在BC上，連結(jié)OP，PQ，滿足∠OPQ＝60°，記PC為x，DQ的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）見解析；（2）2；（3）【分析】（1）只需要證明△BAE≌△ACD即可得到答案；（2）證明△CAD∽△OAE得到，然后求出OE和AD的長即可；（3）過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，過點(diǎn)O作OG∥AB交AC于G，先求出∴，，，從而得到三角形ABC的邊長為6，再證明△OGE∽△BAE，得到，，，，最后證明△PQC∽△OPG，，由此求解即可．【解析】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴AD=BE；（2）由（1）得△BAE≌△ACD，∴∠ABO=∠CAD，AD=BE∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°，又∵∠CAD=∠OAE，∴△CAD∽△OAE，∴，∵，∴，∴，∵CD=AE，∴，∴CD=2；（3）如圖所示，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，過點(diǎn)O作OG∥AB交AC于G，∵∠FAG=60°，∠AEF=30°，∴，∴，∴，∴，∵OG∥AB，∴△OGE∽△BAE，∠OGE=∠BAC=60°∴，∴，，∴，∵∠AOE=60°，∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE，∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，∴∠OPE=∠CQP，∴△PQC∽△OPG，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．28．如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B'，聯(lián)結(jié)AB′，CB