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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省縣城教研聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合,,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵,∴,∵,∴,所以.故選:B.2.若復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗設(shè),則,則,即,所以,,解得,,故,對應(yīng)的點在第四象限.故選:D.3.的展開式中的系數(shù)為()A.4 B.-4 C.6 D.-6〖答案〗C〖解析〗因為的展開式的通項公式為,所以含的項為:,即的展開式中的系數(shù)為6,故選:C.4.清代的蘇州府被稱為天下糧倉,大批量的糧食要從蘇州府運送到全國各地.為了核準糧食的數(shù)量,蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少,五斗為一斛,而一只官斛的容量恰好為一斛,其形狀近似于正四棱臺,上口為正方形,內(nèi)邊長為25cm,下底也為正方形,內(nèi)邊長為50cm,斛內(nèi)高36cm,那么一斗米的體積大約為立方厘米?()A.10500 B.12500 C.31500 D.52500〖答案〗A〖解析〗一斛米的體積為,因為五斗為一斛,所以一斗米的體積為,故選:A.5.在中,分別為角的對邊,若,,,則()A.2 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由,可得,根據(jù)進而求出,,由可得,,則,由正弦定理可知,又因為,解得,,由正弦定理可得.故選:B.6.雙曲線C:的左、右焦點為,,直線l過點且平行于C的一條漸近線,l交C于點P,若,則C的離心率為()A. B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗設(shè),由對稱性可知P點在x軸上方或者下方不影響結(jié)果,不妨令P點在x軸下方,如圖:設(shè)、,,雙曲線其中一條漸近線為,直線的方程為,①由,得,即直線的斜率為,直線方程為,②由點在雙曲線上,得,③聯(lián)立①③,得,聯(lián)立①②,得,則,即,因此,所以離心率.故選:C7.已知實數(shù)構(gòu)成公差為d等差數(shù)列,若,,則d的取值范圍為()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由實數(shù)a,b,c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列,所以設(shè),,則,所以,構(gòu)造函數(shù),,當時,,所以此時單調(diào)遞減,當時,,所以此時單調(diào)遞增,所以的最小值為,當b趨近于時,趨近于,當b從負方向趨近于時,也趨近于,所以,所以.故選:A.8.已知拋物線C:的焦點為F,O為坐標原點,若直線l交C于A,B兩點,且,點O關(guān)于l的對稱點為D,則的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由A,B兩點在拋物線上,所以可以設(shè)點,,則,由直線l交C于A,B兩點,故直線l不與x軸平行或重合,故可設(shè)直線l〖解析〗式為,聯(lián)立直線與拋物線方程得,,所以,解得,所以直線l與x軸的交點為,由O,D關(guān)于直線l對稱,所以,且D點不與O點重合,故可知D的軌跡方程為:(不經(jīng)過原點),所以,,即,故選:B.二、多選題9.已知向量,的夾角為,且,,則()A. B.C. D.在的方向上的投影向量為〖答案〗AB〖解析〗,,故A正確;,所以,故B正確;,所以,又因,所以,故C錯誤;在上的投影向量為,故D錯誤;故選:AB.10.已知函數(shù),則()A.當時,的圖象關(guān)于對稱B.當時,在上的最大值為C.當為的一個零點時,的最小值為1D.當在上單調(diào)遞減時,的最大值為1〖答案〗ACD〖解析〗時,,因為,所以關(guān)于對稱,故A正確;時,由可得,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的最大值為,故B錯誤;若,則,,所以,,且,所以的最小值為1,故C正確;因為在上單調(diào)遞減,且,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的單調(diào)遞減區(qū)間為:,,,,所以,,所以,故D正確.故選:ACD.11.已知函數(shù)的定義域為R,,,則()A. B.C.奇函數(shù) D.〖答案〗BCD〖解析〗令,,則,將代入得,即,故A錯誤;由,令可得,若存在x使得,則上式變?yōu)?,顯然不成立,所以,又,因為,所以,將整理為,因為,即1+fx>0,所以,故B令,則,且,所以為奇函數(shù),故C正確;當時,,,所以是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,由可知,因為fn2>-1所以,故D正確;故選:BCD.三、填空題12.已知一組數(shù)據(jù)5,6,7,7,8,9,則該組數(shù)據(jù)方差是______.〖答案〗〖解析〗一組數(shù)據(jù)5,6,7,7,8,9的平均數(shù)為:,∴該組數(shù)據(jù)的方差為:.故〖答案〗為:.13.若,則______.〖答案〗〖解析〗因為可得,因為,可得,解得或(舍去)所以.故〖答案〗為:.14.三棱錐的所有棱長均為2,E,F(xiàn)分別為線段BC與AD的中點,M,N分別為線段AE與CF上的動點,若平面ABD,則線段MN長度的最小值為______.〖答案〗〖解析〗延長CM交AB于點I,因為平面ABD,由線面平行性質(zhì)定理可知,設(shè),因為三棱錐的所有棱長均為2,所以,且E為線段BC的中點,所以AE平分∠BAC,由角平分線定理可知,所以,因為F為線段AD的中點,所以,由余弦定理可知,所以,令,,化簡可得,因為,所以,則在時取得最小值,所以,綜上當,即時MN取得最小值.故〖答案〗為:.四、解答題15.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列,其前n項和為,,且,,成等比數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列,且,求的前n項和.解:(1)因為為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,由,得,即,由,,成等比數(shù)列得,,化簡得,因為,所以.所以.綜上.(2)由知,,又為公比是3的等比數(shù)列,,所以,即,所以,,所以.綜上.16.將號碼為1,2,3,4的4個小球等可能地放入號碼為1,2,3,4的4個盒子中,每個盒子恰放1個小球.(1)求1號球不在1號盒中的概率;(2)記所放小球號碼與盒子號碼相同的個數(shù)為X,不同的個數(shù)為Y,求證:.(1)解:記事件“1號球不在1號盒中”為A,則;(2)證明:X的取值為0,1,2,4,且,,,,,所以,,時,,時,,此時,則,時,,此時,,時,,此時,,,因為,所以.17.如圖,在四棱錐中,底面為正方形,,為線段的中點,平面底面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.(1)證明:因為平面平面,且平面平面,,平面ABCD,所以平面,平面,所以,又因為,為中點,所以,又,平面,所以平面;(2)解:設(shè)點在底面的射影為點,則平面,又平面,所以,取中點,因為,所以,又,平面,所以平面,因為平面,所以,即在的中垂線上,如圖建立空間直角建系,不妨取,則設(shè)為,,,,所以,,,由(1)可知,計算得,,所以,又,,設(shè)平面PBC的法向量為,則,即,取,所以.18.已知函數(shù),.(1)若在點處的切線方程為,求,的值;(2)當時,存在極小值點,求證:.(1)解:因為,則,由在點處的切線方程為,所以,即,解得,綜上,.(2)證明:當時,,因為恒成立,為關(guān)于的一次函數(shù),又因為存在極小值點,所以,又且,解得,令,解得,所以當時,當時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,所以,所以,即,,所以,令,則,因為,,所以當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減,又時,,所以,所以,即,因為,,當時,恒成立,即在時單調(diào)遞增,所以,綜上得證.19.記點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點的變換為.已知:,將上所有的點按變換后得到的點的軌跡記為.(1)求的方程;(2)已知:過點,記與的公共點為,點為上的動點,過作的平行線,分別交直線于兩點,若外接圓的半徑恒為,求四邊形面積的取值范圍.解:(1)取上任意一點為,經(jīng)過變換后得到上的對應(yīng)點為,由題意可知為:,變形后得,即,將點的坐標代入的方程得,,所以的方程為:.綜上方程為:.(2)因為經(jīng)過點,且,則也在上,所以為與的公共點,則也為與的公共點.所以不妨取,,則的〖解析〗式為:,的〖解
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