第一章 勾股定理壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練（解析版）-2024年?？?jí)狠S題攻略（9年級(jí)上冊(cè)人教版）

第一章勾股定理壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練評(píng)卷人得分一、單選題1．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC邊上的高為12cm，則△ABC的面積是A．126cm2或66cm2 B．66cm2 C．120cm2 D．126cm2【答案】A【分析】此題分兩種情況：∠B為銳角或∠B為鈍角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式得結(jié)果．【詳解】當(dāng)∠B為銳角時(shí)（如圖1），在Rt△ABD中，cm，在Rt△ADC中，cm，∴BC=21，∴S△ABC=BC?AD=×21×12=126cm2；當(dāng)∠B為鈍角時(shí)（如圖2），在Rt△ABD中，cm，在Rt△ADC中，cm，∴BC=CD-BD=16-5=11cm，∴S△ABC=BC?AD=×11×12=66cm2；故答案為：126或66．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖所示，在中，，，.分別以，，為直徑作半圓（以為直徑的半圓恰好經(jīng)過點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（

）A．4 B．5 C．7 D．6【答案】D【分析】先利用勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)度，然后陰影部分的面積=以AB為直徑的半圓面積+以BC為直徑的半圓面積+-以AC為直徑的半圓面積.【詳解】解：在中∵，,∴,∴BC=3,∴陰影部分的面積=以AB為直徑的半圓面積+以BC為直徑的半圓面積+-以AC為直徑的半圓面積=6.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算和勾股定理.在本題中解題關(guān)鍵是用重疊法去表示陰影部分的面積.3．劉徽是我國(guó)三國(guó)時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)大師，他的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探究的一生，在數(shù)學(xué)理論上的貢獻(xiàn)與成就十分突出，被稱為“中國(guó)數(shù)學(xué)史上的牛頓”．劉徽精編了九個(gè)測(cè)量問題，都是利用測(cè)量的方法來計(jì)算高、深、廣、遠(yuǎn)問題的，這本著作是（

）．A．《周髀算經(jīng)》 B．《九章算術(shù)》 C．《孫子算經(jīng)》 D．《海島算經(jīng)》【答案】D【分析】運(yùn)用《九章算術(shù)注》相關(guān)知識(shí)即可直接解答．【詳解】解：由于《九章算術(shù)注》是我國(guó)學(xué)者編撰的最早的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，該書第一卷的第一個(gè)問題是求海島上的山峰的高度，故本書的名稱是《海島算經(jīng)》．故答案為D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)常識(shí)，了解一定的數(shù)學(xué)史以及數(shù)學(xué)著作是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2016的值為（）A．（）2013 B．（）2014 C．（）2013 D．（）2014【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出S2+S2=S1，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“Sn=()n?3”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：在圖中標(biāo)上字母E，如圖所示．∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，△CDE為等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，…，∴Sn=()n?3．當(dāng)n=2016時(shí)，S2016=()2016?3=()2013．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“Sn=()n?3”．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，寫出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．5．如圖，是一長(zhǎng)、寬都是3cm，高BC＝9cm的長(zhǎng)方體紙箱，BC上有一點(diǎn)P，PC＝BC，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿紙箱表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是()A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm【答案】A【分析】將圖形展開，可得到安排AP較短的展法兩種，通過計(jì)算，得到較短的即可．【詳解】解：(1)如圖1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP=＝3cm((2)如圖2，AC=6cm，CP=6cm，Rt△ADP中，AP==cm綜上，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿紙箱表面爬行到點(diǎn)P的最短距離是cm．故選A．【點(diǎn)睛】題考查了平面展開--最短路徑問題，熟悉平面展開圖是解題的關(guān)鍵．6．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，則下列關(guān)于S1、S2、S3的說法正確的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8【答案】D【分析】根據(jù)八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根據(jù)三個(gè)正方形面積公式列式相加：，求出的值，從而可以計(jì)算結(jié)論即可．【詳解】解：八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，，，，，，，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖，連接AC，F(xiàn)N交EF，GH分別于點(diǎn)M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，則圖中陰影部分的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出DH和AH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根據(jù)全等三角形的判定可證AEM≌CGN，AHN≌CFM，從而得出S△AEM=S△CGN，S△AHN=S△CFM，即可求出S四邊形MFGN，最后根據(jù)S陰影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD，∴AH2＋DH2=AD2=21即（3DH）2＋DH2=21解得：DH=，∴AH=由全等三角形的性質(zhì)可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN∵AH∥CF，∴∠HEN=∠FCM∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF∴AEM≌CGN，AHN≌CFM，∴S△AEM=S△CGN，S△AHN=S△CFM∴S四邊形MFGN=S△CFM－S△CGN=S△AHN－S△AEM=S四邊形EMNH=S正方形EFGH=×=∵S△FGN=2S△CGN，∴S陰影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN=S△MNF＋2S△CGN=S△MNF＋S△FGN=S四邊形MFGN=故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)和各圖形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．8．如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在弦圖中（如圖2），連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，連接．若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)K作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，由圖形關(guān)系求得，再求得，，求得與，進(jìn)而由勾股定理求得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)K作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，∵，，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，，∵，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴中，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．9．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米．若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度．【詳解】解：如圖，由題意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB＞0，∴AB=2米，∴小巷的寬度為：0.7+2=2.7（米）．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．10．如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點(diǎn)A，O，E在同一直線l上，且EF＝，AB＝3，下列結(jié)論：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面積是．其中正確的結(jié)論為（）A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④【答案】A【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)和平角的定義可求得∠COD；②根據(jù)正方形的性質(zhì)求得OE的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差解得AE的長(zhǎng)；③作于H，作交CO的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)含45°的直角三角形的性質(zhì)可求FG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求得CF，BD的長(zhǎng)，據(jù)此解答；④根據(jù)三角形面積公式即可解答．【詳解】解：①故①正確；②故②正確；③作于H，作交CO的延長(zhǎng)線于G，則FG=1故③錯(cuò)誤；④，故④正確，即正確的結(jié)論為：①②④故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、含45°的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積、勾股定理、平角的定義等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．評(píng)卷人得分二、填空題11．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．點(diǎn)E為邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△AD'E與△ADE關(guān)于直線AE對(duì)稱，當(dāng)△CD'E為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為．【答案】3或6【分析】分兩種情況分別求解，（1）當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6；（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得AC＝10，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，根據(jù)勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相關(guān)的值，計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)∠CED′＝90°時(shí)，如圖（1），∵∠CED′＝90°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）當(dāng)∠ED′A＝90°時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E為直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得，∴CD′＝10?6＝4，設(shè)DE＝D′E＝x，則EC＝CD?DE＝8?x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8?x)2，解得x＝3，即DE＝3；綜上所述：DE的長(zhǎng)為3或6；故答案為：3或6．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，分情況討論，作出圖形是解題關(guān)鍵．12．折紙飛機(jī)是我們兒時(shí)快樂的回憶，現(xiàn)有一張長(zhǎng)為290mm，寬為200mm的白紙，如圖所示，以下面幾個(gè)步驟折出紙飛機(jī)：（說明：第一步：白紙沿著EF折疊，AB邊的對(duì)應(yīng)邊A′B′與邊CD平行，將它們的距離記為x；第二步：將EM，MF分別沿著MH，MG折疊，使EM與MF重合，從而獲得邊HG與A′B′的距離也為x），則PD=mm．【答案】【分析】延長(zhǎng)ME′交CD于T，在TM上截取TW=TP，設(shè)DP=m．構(gòu)建方程可求得x=30，TW=TP可知∠PWT=45°，∠PMW=22.5°，進(jìn)而∠WMP=∠WPM=22.5°，可求得MW=PW=（100-m）可構(gòu)建方程（100-m）+100-m=16，解得m=（260-160）mm，即可解決問題．【詳解】解：延長(zhǎng)ME′交CD于T，在TM上截取TW=TP，設(shè)DP=m．由題意MW=WM=100，MT=1603x=290-200x=30∵TW=TP∴∠PWT=45°∵∠PWT=∠PMT+∠MPW，∠PMW=22.5°∴∠WMP=∠WPM=22.5°∴MW=PW=（100-m）∴（100-m）+100-m=160解得m=（260-160）mm∴PD=（260-160）mm故答案為260-160【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型．13．如圖，點(diǎn)在直線上，，．為射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，以為斜邊作等腰．若點(diǎn)在直線上，則的長(zhǎng)是．

【答案】5或【分析】本題按照題意合理畫圖，盡可能想到各種情況，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及以此構(gòu)造全等三角形，結(jié)合正切函數(shù)的概念，即可求解．【詳解】分兩種情況：第一種情況：如圖，延長(zhǎng)交于，

∵是等腰直角三角形，∴．又，∴．由已知，且點(diǎn)C、點(diǎn)A、點(diǎn)在同一條直線上，∴A與是同一點(diǎn)（或重合）．又∵，且為直角三角形．∴，又由得，，解得：．第二種情況：如下圖，分別自C、D作的垂線，垂足為點(diǎn)O、點(diǎn)F，過D作延長(zhǎng)線的垂線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N．設(shè)與交于R．

∵，∴，∴．又∵，∴．∴．同理可證，，則．由得四邊形是矩形，∴．由、為直角三角形，可得．設(shè)，則．由于為等腰直角三角形，且，設(shè)，則．在直角與直角中，由勾股定理得：，即：，消去x，得，即．考慮到a為正值，兩邊開方得，，∴．∴，故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，涉及等腰直角三角形性質(zhì)、正切函數(shù)的計(jì)算等，利用90°旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E；連接，則下列結(jié)論正確的是．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))①；

②當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，﹔③若，則；

④若，則面積的最大值為2．【答案】①②③④【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)以及等角的余角相等即可判斷①正確；證得△ACD是等邊三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=AC，即可判斷②正確；證得△ADE≌△BDM即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判斷③正確；根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的可得，則，則面積的最大值為2，即可判斷④正確．【詳解】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD=BD=AD，∴∠DCB=∠DBC，∴∠ADC=2∠DCB，∵AE⊥CD于點(diǎn)E，∴∠ACE+∠CAE=90°，∵∠ACE+∠DCB=90°，∴∠CAE=∠DCB，∴∠ADC=2∠CAE，故①正確；當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，∵AE⊥CD，∴AC=AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴BC=AC，故②正確；作BM⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則AE∥BM，∴∠DAE=∠DBM，∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴DE=DM，若∠BED=60°，則BE=2EM=4DE，故③正確；∵△ADE≌△BDM，∴AE=BM，DE=DM，∴S△ABE=S△BEM=?BM?EM=?AE?2DE=AE?DE，若AB=4，則AD=2，在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，即的最大值值為1，∴△ABE面積的最大值為2，故④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在四邊形中，，是上一點(diǎn)，，，．【答案】【分析】通過等腰直角三角形構(gòu)建一線三等角模型求解即可．【詳解】解：如圖所示，分別過A、D作于E，于F∴∴,∵∴∴,在與中∴∴，在中，∴同理可得：∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊的直角三角形，靈活運(yùn)用一線三等角模型及特殊直角三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．在一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬AD平行且大于AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是米．（精確到0.1米）【答案】2.6【分析】將木塊展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理即可求出答案．【詳解】如圖，將木塊展開，可知螞蟻從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，在橫向上移動(dòng)的距離為：（米），在縱向上移動(dòng)的距離為：（米），由兩點(diǎn)之間線段最短可知，從點(diǎn)A處到達(dá)C處需要走的最短路程為：（米）．故答案為：2.6【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間最短距離，需要想象著將木塊展開再進(jìn)行計(jì)算，對(duì)空間想象能力要求較高，有一定難度．17．如圖，在中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿A→C→B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，那么當(dāng)，△APE的面積等于12．

【答案】3或18或22【分析】分當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)且在點(diǎn)E的右邊時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)且在點(diǎn)E的左邊時(shí)三種情況討論，即可求出t的值．【詳解】解：∵，，，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，．當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵的面積等于12，即，∴，∴秒；當(dāng)點(diǎn)P在線段運(yùn)動(dòng)時(shí)上且在點(diǎn)E的右邊時(shí)，，如圖2所示，同理可知，∴秒；

當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)且在點(diǎn)E的左邊時(shí)，如圖3所示，同理可知，∴秒；

故答案為∶3或18或22．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式的運(yùn)用，勾股定理，以及中線的性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)思想，解答時(shí)分類討論是是關(guān)鍵．18．如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體紙箱，長(zhǎng)是6，寬和高都是4，一只螞蟻從頂點(diǎn)A沿紙箱表面爬到頂點(diǎn)B，它所走的最短路線的長(zhǎng)是．【答案】10【分析】根據(jù)題意畫出圖形，求出AC、BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AB即可.【詳解】有兩種情況，如圖所示：（1）如圖1，由題意知AC=4，BC=6+4=10由勾股定理得：（2）如圖2，由題意知：AC=4+4=8，BC=6由勾股定理得：（3）如圖3，由題意知：AC=4+4=8，BC=6由勾股定理得：∵∴最短是10故答案為10【點(diǎn)睛】本題考查利用勾股定理解決最短路徑問題，畫出平面展開圖，分類討論是解題關(guān)鍵.評(píng)卷人得分三、解答題19．圖1，圖2中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，（1）在圖1中畫出一個(gè)面積是2的鈍角三角形，并寫出它的三邊的長(zhǎng)．（2）在圖2中畫出一個(gè)面積是5的正方形，并寫出它的邊長(zhǎng)．【答案】（1）鈍角三角形見解析；三邊長(zhǎng)分別為；（2）正方形見解析；邊長(zhǎng)為【分析】（1）面積是2的鈍角三角形，底和高要是整數(shù)的話，應(yīng)分別是1，4；（2）面積是5的正方形，邊長(zhǎng)則為，應(yīng)是直角邊長(zhǎng)為1,2的直角三角形的斜邊長(zhǎng).【詳解】（1）如圖（1）即為所求，三邊長(zhǎng)分別為（2）如圖（2）即為所求，正方形的邊長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.20．有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體的透明魚缸，假設(shè)其長(zhǎng)AD＝80cm，高AB＝60cm，水深A(yù)E＝40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌，G在水面線EF上，且EG＝60cm.一小蟲想從魚缸外的點(diǎn)A處沿缸壁爬到魚缸內(nèi)G處吃魚餌．(1)小蟲應(yīng)該走怎樣的路線才可使爬行的路程最短？請(qǐng)畫出它的爬行路線，并用箭頭標(biāo)注；(2)試求小蟲爬行的最短路程．【答案】(1)如圖所示見解析，AQ→QG為最短路線；(2)小蟲爬行的最短路程為100cm.【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì),通過作對(duì)稱點(diǎn)將折線轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段距離最短.(2)根據(jù)AE＝40cm,AA′＝120cm,可得:A′E＝120－40＝80(cm),再根據(jù)EG＝60cm,可得:A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,A′G＝100cm,進(jìn)而可得:AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm.【詳解】(1)如圖所示,AQ→QG為最短路線,(2)因?yàn)锳E＝40cm,AA′＝120cm,所以A′E＝120－40＝80(cm),因?yàn)镋G＝60cm,所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000,所以A′G＝100cm,所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100cm,所以小蟲爬行的最短路程為100cm.【點(diǎn)睛】本題主要對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握利用軸對(duì)稱性質(zhì)和勾股定理解決實(shí)際問題的方法.21．已知：與之間有一點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，在上點(diǎn)的右邊有點(diǎn)，連接，且平分，在的延長(zhǎng)線上有點(diǎn)，連接，其中，求的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，如圖3，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，連接，其中，點(diǎn)在上，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，試求的面積．【答案】（1）見解析；（2）70°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可寫出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作EJ//AB，證明∠GFC=∠GEJ=60°，得出∠FGN=∠GFC-∠GNC=60°-25°=35°，由平分∠MGF得∠MGH=∠FGN=35°，故可得結(jié)論；（3）由可得出，再證明△PGN為等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，過點(diǎn)G作GH∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以GH∥CD，所以∠AMG＝∠MGH，∠CFG＝∠FGH，∴∠MGF═∠AMG+∠CFG∴∠AMG、∠CFG與∠MGF之間的數(shù)量關(guān)系為∠G＝∠AMG+∠CFG．（2）∵，而∠AMG+∠GME+∠EMB=180°，∴∠GME=∠EMG過點(diǎn)E作EJ//AB，如圖，∴∠MEJ=∠EMB=∠GME∵∴∠MEG-∠E=60°=∠GEJ∵EJ//AB，AB//CD，∴EJ//CD∴∠GFC=∠GEJ=60°而∠GFC=∠FGN+∠GNC∴∠FGN=∠GFC-∠GNC=60°-25°=35°∵平分∠MGF∴∠MGH=∠FGN=35°∴∠MGE=∠MGN+∠FGN=35°+35°=70°（3）∵，又∵∴又∵∴∴∴∴△PGN為等腰直角三角形，∴又∵∴∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．22．在和中，，，，點(diǎn)E在內(nèi)部，直線AD與BE交于點(diǎn)F．(1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D、F重合時(shí)，則AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系為______；(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D、F不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立；(3)如圖（3），在和中，，，（k是常數(shù)），則線段AF，BF，CF之間滿足什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)，理由見解析【分析】（1）先證得△ACD≌△BCE（SAS），得BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，再證△CDE為等腰直角三角形，得DE＝EF＝CF，即可得出結(jié)果；（2）過點(diǎn)C作CG⊥CF交BF于點(diǎn)G，證△BCG≌△ACF（ASA），得GC＝FC，BG＝AF，則△GCF為等腰直角三角形，GF＝CF，即可得出結(jié)論；（3）先證△BCE∽△ACD，得∠CAD＝∠CBE，過點(diǎn)C作CG⊥CF交BF于點(diǎn)G，再證△BGC∽△AFC，得BG＝kAF，GC＝kFC，然后由勾股定理求出GF＝，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠ACD＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵BC＝AC，EC＝DC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠EBC＝∠CAD，∵點(diǎn)D、F重合，∴BE＝AD＝AF，∵∠DCE＝90°，EC＝DC，∴△CDE為等腰直角三角形，∴DE＝EF＝CF，∴BF＝BD＝BE＋ED＝AF＋CF，∴線段AF、BF、CF之間的數(shù)量關(guān)系為：BF＝AF＋CF；（2）過點(diǎn)C作，交BF于點(diǎn)G，如圖所示，∴，∴即，由（1）得，∴，在和中，∵∴∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．（3），理由如下：過點(diǎn)C作，交BF于點(diǎn)G，如圖所示，由（2）得，∴而，（k是常數(shù)）∴，∴，∴，由（2），∴∴，∴，在中，∵，∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．23．已知△ABD與△GDF都是等腰直角三角形，BD與DF均為斜邊（BD＜DF）．（1）如圖1，B，D，F(xiàn)在同一直線上，過F作MF⊥GF于點(diǎn)F，取MF=AB，連結(jié)AM交BF于點(diǎn)H，連結(jié)GA，GM．①求證：AH=HM；②請(qǐng)判斷△GAM的形狀，并給予證明；③請(qǐng)用等式表示線段AM，BD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，GD⊥BD，連結(jié)BF，取BF的中點(diǎn)H，連結(jié)AH并延長(zhǎng)交DF于點(diǎn)M，請(qǐng)用等式直接寫出線段AM，BD，DF的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）AM2=BD2+DF2﹣DF?BD．【分析】（1）①易證∠ABD=∠HFM=45°，從而根據(jù)“AAS”可證△AHB≌△MHF，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AH=HM；②根據(jù)“SAS”可證△GAD≌△GMF，從而AG=GM，∠AGD=∠MGF，進(jìn)而可證∠AGM=90°,所以△GAM是等腰直角三角形；③根據(jù)勾股定理即可得出線段AM，BD，DF的數(shù)量關(guān)系；（2）易證∠ADM=90°，根據(jù)“AAS”可證△ABH≌△HFM，從而FM=AB，然后根據(jù)AM2=AD2+DM2整理即可.【詳解】（1）①證明：如圖1，∵M(jìn)F⊥GF，∴∠GFM=90°，∵△ABD與△GDF都是等腰直角三角形，∴∠DFG=∠ABD=45°，∴∠HFM=90°﹣45°=45°，∴∠ABD=∠HFM，∵AB=MF，∠AHB=∠MHF，∴△AHB≌△MHF，∴AH=HM；②如圖1，△GAM是等腰直角三角形，理由是：∵△ABD與△GDF都是等腰直角三角形，∴AB=AD，DG=FG，∠ADB=∠GDF=45°，∴∠ADG=∠GFM=90°，∵AB=FM，∴AD=FM，∴△GAD≌△GMF，∴AG=GM，∠AGD=∠MGF，∴∠ADG+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°，∴△GAM是等腰直角三角形；③如圖1，AM2=BD2+DF2，理由是：∵△AGM是等腰直角三角形，∴AM2=2MG2，Rt△GMF中，MG2=FG2+FM2=AB2+FG2，∵△ABD與△GDF都是等腰直角三角形，∴AB=，F(xiàn)G=，∴AM2=2MG2=2（+）=BD2+DF2；（2）如圖2，∵GD⊥BD，∠ADB=45°，∴∠ADG=45°，∴∠ADM=45°+45°=90°，∵∠HMF=∠ADM+∠DAM=90°+∠DAM=∠BAH，∵H是BF的中點(diǎn)，∴BH=HF，∵∠AHB=∠MHF，∴△ABH≌△HFM，∴FM=AB，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM2=AD2+DM2，=AD2+（DF﹣FM）2，=AD2+DF2﹣2DF?FM+FM2，=BD2+DF2﹣2DF，=BD2+DF2﹣DF?BD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．24．如果一個(gè)三角形有一邊上的中線與這邊的長(zhǎng)相等，那么稱這個(gè)三角形為“和諧三角形”．（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖1中畫一個(gè)以線段AB為一邊的“和諧三角形”；（2）如圖2，在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=，請(qǐng)你判斷△ABC是否是“和諧三角形”？證明你的結(jié)論；（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)M經(jīng)過的路程為S，當(dāng)△AMN為“和諧三角形”時(shí)，求S的值．【答案】（1）作圖見解析；（2）△ABC是“和諧三角形”，理由見解析；（3）當(dāng)△AMN為“和諧三角形”時(shí)，S的值為或.【詳解】解：（1）如圖1，作線段AB的中點(diǎn)O，②以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，③在圓O上取一點(diǎn)C（點(diǎn)E、F除外），連接AC、BC．∴△ABC是所求作的三角形．（2）如圖2，∠C=90°，AB=,BC=，CD=1，在Rt△BCD中，，∴中線BD=邊AC,∴△ABC是“和諧三角形”；（3）易知，點(diǎn)M在AB上時(shí)，△AMN是等腰直角三角形，不可能是“和諧三角形”，當(dāng)M在BC上時(shí)，連接AC交MN于點(diǎn)E，（Ⅰ）當(dāng)?shù)走匨N的中線AE=MN時(shí)，如圖，有題知AC=,MC=2-S，∴MN=(2-s)，CE=(2-S),∵AE=MN，∴，S=，（Ⅱ）當(dāng)腰Am與它的中線NG相等，即AM=GN=AN時(shí)，作NH⊥AM于H，如圖∵NG=NA,NH⊥AM,∴GH=AH=GN=,在Rt△NHA中，在Rt△NHM中，tan∠HMN=;在Rt△AME中,tan∠AME;;．綜上，S=或時(shí)25．如圖1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D在AB邊的延長(zhǎng)線上，且CD＝AB．（1）求BD的長(zhǎng)度；（2）如圖2，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'與CD相交于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)度；②連接A'D、BD'，若旋轉(zhuǎn)過程中A'D＝BD'時(shí)，求滿足條件的α的度數(shù)．（3）如圖3，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段A'D'上任意一點(diǎn)，直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段MN長(zhǎng)度的取值范圍．【答案】（1）3﹣3；（2）①6﹣2；②45°或225°；（3）3﹣3≤MN≤6＋3【分析】（1）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得CH＝BH＝AB，由勾股定理求出DH，則可求出答案；（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD＝CD'＝，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，即可求解；②分兩種情況討論，由“SSS”可證△A'CD≌△BCD'，可得∠A'CD＝∠BCD'，即可求解；（3）當(dāng)A'D'⊥AC時(shí)，N是AC與A'D'的交點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，當(dāng)A'D'⊥AC時(shí)，N是AC與A'D'的交點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（2）①如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥CD'于F，∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∵圖1中CD=2CH，∴∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如圖2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠D