高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7-2空間幾何體的表面積和體積隨堂訓(xùn)練 理 蘇教版

第2課時(shí)空間幾何體的表面積和體積一、填空題1．一個(gè)長(zhǎng)方體上一個(gè)頂點(diǎn)所在的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)是________．解析：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高為a、b、c，則ab＝eq\r(2)，bc＝eq\r(3)，ac＝eq\r(6)，解得：a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)∴長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為：l＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(2＋1＋3)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)2．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)_______．解析：設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πRl＋πR2＝3π,2πR＝π·l))，解得：R＝1，∴2R＝2.答案：23．(·江蘇通州市高三素質(zhì)檢測(cè))已知三棱錐S—ABC中，SA＝SB＝SC＝AB＝AC＝2，則三棱錐S—ABC體積的最大值為_(kāi)_______．答案：14．若圓錐的高等于其內(nèi)切球半徑長(zhǎng)的3倍，則圓錐側(cè)面積與球的表面積之比是________．解析：設(shè)球的半徑為r，圓錐底面半徑為R，圓錐側(cè)棱長(zhǎng)為l，∵eq\f(r,R)＝eq\f(2r,l)，∴l(xiāng)＝2R，∵eq\f(r,R)＝eq\f(l－R,3r)，∴R2＝3r2，∴eq\f(S錐側(cè),S球)＝eq\f(πRl,4πr2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)5．如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P—ABCDEF，則此正六棱錐的體積為_(kāi)_______．解析：連OA、OF，則△OAF為等邊三角形，∴S△OAF＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，∴SABCDEF＝6eq\r(3)，∴VP－ABCDEF＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×6eq\r(3)×2＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)6．(·上海)若等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2，則以一直角邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是________．解析：如下圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體．V＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)πR2·h＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8π,3).答案：eq\f(8π,3)7．(南京市高三期末調(diào)研測(cè)試)已知一個(gè)圓錐的展開(kāi)圖如圖所示，其中扇形的圓心角為120°，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為_(kāi)_______．解析：因?yàn)樯刃位￠L(zhǎng)為2π，所以圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為3，高為2eq\r(2)，所求體積V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3).答案：eq\f(2\r(2)π,3)二、解答題8．已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為10cm，高為5cm.(1)求過(guò)頂點(diǎn)作圓錐的截面中，最大截面的面積；(2)這個(gè)截面是軸截面嗎？為什么？解：(1)如右圖，截面SAB為軸截面．在Rt△SAO中sin∠SAO＝eq\f(SO,SA)＝eq\f(1,2)，∴∠SAO＝30°，∴∠ASB＝120°.作截面SBC，使∠BSC＝90°，則S△BSC最大．∴S△BSC＝eq\f(1,2)·10·10＝50(cm2)．(2)∵S△ASB＝eq\f(1,2)·10·10·sin120°＝eq\f(1,2)·10·10·eq\f(\r(3),2)＝25eq\r(3).∴S△ASB<S△BSC，∴面積最大的截面不是軸截面．9．如圖，在四面體P—ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著四面體的表面繞一周，再回到A點(diǎn)，問(wèn)：螞蟻沿著怎樣的路徑爬行時(shí)路程最短，最短路程是多少？解：如右圖，將四面體沿PA剪開(kāi)，并將其側(cè)面展開(kāi)平鋪在一個(gè)平面上，連接AA′分別交PB，PC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則當(dāng)螞蟻沿著A→E→F→A′路徑爬行時(shí)，路程最短．在△APA′中，∠APA′＝90°，PA＝PA′＝2，∴AA′＝2eq\r(2)，即最短路程AA′的長(zhǎng)為2eq\r(2).10．棱長(zhǎng)為a的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，求此球的表面積與體積．解：以正四面體的每條棱作為一個(gè)正方體的面的一條對(duì)角線(xiàn)構(gòu)造如圖所示的正方體，則該正四面體的外接球也就是正方體的外接球．由圖知正方體的棱長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)a，正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為eq\f(\r(6),2)a，設(shè)正四面體的外接球的半徑為R，則2R＝eq\f(\r(6),2)a，∴R＝eq\f(\r(6),4)a，于是球的表面積S＝4π·(eq\f(\r(6),4)a)2＝eq\f(3,2)πa2，球的體積V＝eq\f(4,3)π(eq\f(\r(6),4)a)3＝eq\f(\r(6),8)πa3.1．如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為_(kāi)_______．解析：如右圖，分別過(guò)A、B作EF的垂線(xiàn)，垂足分別為G、H，連結(jié) DG、CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).答案：eq\f(\r(2),3)2．將圓心角為120°，面積為3π的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積和體積分別為_(kāi)_______、________.解析：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則有eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)·eq\