第06講 直線的方程（3大考點(diǎn)10種解題方法）-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

第06講直線的方程（3大考點(diǎn)10種解題方法）

題型一：直線的點(diǎn)斜式方程

考點(diǎn)一:直線的點(diǎn)斜式與斜截式方程源型二:直線的斜破式方程

題型三:點(diǎn)斜式和斜截式的實(shí)際應(yīng)用

題型四：直線的兩點(diǎn)式方程

考點(diǎn)二:直線的兩點(diǎn)式方程,一題型五：直線的截距式方程

直線的方程

題型六：兩點(diǎn)式與戴距式的綜合應(yīng)用

題型七：直線的一般式方程

題型八：由直線的位置關(guān)系求參數(shù)

考點(diǎn)三:直線的一般式方程1

題型九：由直線的位關(guān)關(guān)系求方程

題型十：直線方程的綜合應(yīng)用

Q考點(diǎn)考向

一、直線的點(diǎn)斜式與斜截式方程

1.直線的點(diǎn)斜式方程的定義

已知直線/經(jīng)過點(diǎn)《（為,%）,且斜率為k則直線/的方程為y—y0=Mx—x0）.這個(gè)方程是由直線上一

定點(diǎn)及其斜率確定的，因此稱為直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式.

當(dāng)直線/的傾斜角為0°時(shí)（如圖1）,tanO=0,即A=0,這時(shí)直線/與x軸平行或重合，/的方程就是

y-），o=O,或尸治?

當(dāng)直線，的傾斜角為90。時(shí)（如圖2）,直線沒有斜率，這時(shí)直線,與y軸平行或重合，它的方程不能用

點(diǎn)斜式表示.因?yàn)檫@時(shí)/上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于與,所以它的方程是X-%=0,或x=x0.

圖1圖2

2.直線的點(diǎn)斜式方程的推導(dǎo)

如圖，設(shè)點(diǎn)P（x,y）是直線/上不同于點(diǎn)《（%,%）的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式得

k=~—(i),即y-y。=攵(％-%0)(2).

注意：方程（1）與方程（2）的差異：點(diǎn)外的坐標(biāo)不滿足方程（1）,但滿足方程（2）,因此，點(diǎn)外不在

方程（1）表示的圖形上，而在方程（2）表示的圖形上，方程（1）不能稱為直線/的方程.

上述過程可以證明直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程（2）的解.對(duì)上面的過程逆推，可以證明以方程（2）的

解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線,上，所以這個(gè)方程就是過點(diǎn)兄，斜率為4的直線/的方程.

【微點(diǎn)撥】（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，才能用直線的點(diǎn)斜式方程.

3.直線的斜截式方程的定義

我們把直線1與y軸交點(diǎn)（0力）的縱坐標(biāo)b叫做直線1在y軸上的截距.

如果直線/的斜率為衣，且在y軸上的截距為6,則方程為y-h=?x-0）,即y=依+人叫做直線的斜截

式方程，簡(jiǎn)稱斜截式.

當(dāng)6=0時(shí);y=Ax表示過原點(diǎn)的直線；當(dāng)A=0且6W0時(shí)，y=6表示與x軸平行的直線；當(dāng)A=0且爐0時(shí),

y=O表示與x軸重合的直線.

【微點(diǎn)撥】（1）縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、零或

負(fù)數(shù).縱截距也可能不存在，比如當(dāng)直線與y軸平行時(shí).

（2）由于有些直線沒有斜率，即有些直線在y軸上沒有截距，所以并非所有直線都可以用斜截式表示.

4.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

x_"1+毛2

若點(diǎn)6,8的坐標(biāo)分別為（西,%）,（9,）2），且線段的中點(diǎn)用的坐標(biāo)為（x,y），貝”2.此公

I2

式為線段46的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

二、直線的兩點(diǎn)式方程

1.直線的兩點(diǎn)式方程的定義

已知直線/過兩點(diǎn)片（為，乂）,公（電，必），當(dāng)玉聲％時(shí)，直線/的方程為上二九=士工.這個(gè)方

y2f々一%

程是由直線/上的兩點(diǎn)確定的，因此稱為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式.

2.直線的兩點(diǎn)式方程的推導(dǎo)

己知直線/過兩點(diǎn)6（內(nèi),必）,鳥（々,%）（其中玉力々，乂力%），此時(shí)直線的位置是確定的，也就是直線的

方程是可求的.

當(dāng)七聲/時(shí)，所求直線的斜率k=之二》.

工2一%

任取6,R中的一點(diǎn)，例如取《（X|，x）,由點(diǎn)斜式方程，得y-y=2二八（x-玉），

龍2-西

當(dāng)XW當(dāng)時(shí)，可寫為上二Z=f.

%一切馬一不

【微點(diǎn)撥】利用兩點(diǎn)式直線方程公式切記關(guān)注兩點(diǎn)的位置特殊性.

3.直線的截距式方程的定義

己知直線/過點(diǎn)A（a,O）,8（0,0（。W0,。#0）,則由直線的兩點(diǎn)式方程可以得到直線/的方程為

—%JI—=1.

ab

我們把直線/與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a叫做直線在x軸上的截距，此時(shí)直線在y軸上的截距是

這個(gè)方程由直線/在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距a和8確定，因此叫做直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式.

4.直線的截距式方程的推導(dǎo)

已知直線/與x軸的交點(diǎn)為A（a,O）,與丁軸的交點(diǎn)為6（0/），如圖，其中awO/wO.

將兩點(diǎn)A（a,O）,8（0/）的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得2a=2二即日+?=1.

b-00-aab

5.兩點(diǎn)式直線方程與截距式直線方程的應(yīng)用

【微點(diǎn)撥】利用兩點(diǎn)式直線方程公式時(shí)切記兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)不能相同；利用截距式直線方程公式時(shí)切記

截距為零時(shí)的情況的討論.

三、直線的一般式方程

1.直線的一般式方程

在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于X,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于X,y的二元一次

方程Ar+8y+C=0(其中46不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式.

【微點(diǎn)撥】解題時(shí)，若無特殊說明，應(yīng)把求得的直線方程化為一般式.

2.直線的一般式與斜截式、截距式的互化

直線的一般式、斜截式、截距式如下表：

一般式斜截式截距式

Ar-^+與=1（4氏。都不為0）

Ax+8y+C=0（A,8不同時(shí)為0）y=--x--（B*o）V_xV_z

DD~~A

直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)任意一條直線.因此在一定條件下，直線的一般式方程可以進(jìn)行如

下轉(zhuǎn)化：

ArrA

(1)當(dāng)BwO時(shí)，Ar+8y+C=0可化為y=——x--,它表示在y軸上的截距為一上，斜率為——的

BBBB

直線.

(2)當(dāng)A,8,C均不為零時(shí)，Ax+By+C=O可化為一1+C=l,它表示在x軸上的截距為-9，在

_C_CA

—A~B

y軸上的截距為-上C的直線.

B

3.一般式方程中兩直線平行與垂直的條件

若兩條直線的方程是用一般式給出的，設(shè)直線4，/2的方程分別為4%+4/+。1=0,A2x+B2y+C2=O,

則可以在條件允許時(shí)將兩方程化為斜截式方程，從而得出兩直線平行與垂直的結(jié)論如下：

(1)若《〃，2,當(dāng)斜率存在時(shí)，&當(dāng)斜率不存在時(shí)，4=3,=0且6#邑.

&B2C2A14

即/]〃4o4層—&耳=o,且BQ—。o或—4。產(chǎn)o.

(2)若當(dāng)斜率存在時(shí)，4.%=一1；當(dāng)斜率不存在時(shí)，A=°，8,=0或4=0歸=0.

即=44+4為=0.

延技巧方法

i.直線的點(diǎn)斜式方程

用點(diǎn)斜式求直線的方程，確定直線的斜率和其上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)后即可求解.

2.直線的斜截式方程

根據(jù)斜率和截距的幾何意義判斷k,6的正負(fù)時(shí)，

(1)攵>0直線呈上升趨勢(shì)；左<0直線呈下降趨勢(shì)；左=0直線呈水平狀態(tài).

(2)b>0直線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方；〃<0直線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方；/?=0直線過原點(diǎn).

3.點(diǎn)斜式和斜截式的實(shí)際應(yīng)用

由直線的斜截式方程與一次函數(shù)的表達(dá)式的關(guān)系，利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出直線方程，可以解決實(shí)

際問題.

4.直線的兩點(diǎn)式方程

已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解直線方程，可直接將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)即得.代入點(diǎn)的

坐標(biāo)時(shí)注意橫縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.若點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)，需注意當(dāng)直線平行于坐標(biāo)軸或與坐標(biāo)軸重合時(shí),

不能用兩點(diǎn)式求解.

5.直線的截距式方程

(1)由已知條件確定橫、縱截距.

(2)若兩截距為零，則直線過原點(diǎn)，直接寫出方程即可；若兩截距不為零，則代入公式三+2=1中，可

ab

得所求的直線方程.

(3)如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等、截距互為相反數(shù)或在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸

上的截距的多少倍等條件時(shí)，采用截距式求直線方程時(shí)一定要注意考慮“零截距”的情況.

6.直線的一般式方程

(1)直線的一般式方程—+5)，+。=0中要求4,6不同時(shí)為0.

(2)由直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程去分母、移項(xiàng)就可以轉(zhuǎn)化為直線的一般式方程；反過

來，也可以由直線的一般式方程化為斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用條件.

7.由直線的位置關(guān)系求參數(shù)

對(duì)于由直線的位置關(guān)系求參數(shù)的問題，有下列結(jié)論：設(shè)直線4,2的方程分別為4尤+5^+6=0(A，B1

不同時(shí)為0),4》+52y+C2=0(A,,為不同時(shí)為0),則(〃40—A2Bt=0,且用。?一82cl.()

或AG-AG/o；4_L/,0A4+4&=o.

8.由直線的位置關(guān)系求方程

一般地，直線Ax+B)，+C=O中的系數(shù)46確定直線的斜率.因此，利用平行直線系或垂直直線系直接

設(shè)出直線方程，用待定系數(shù)法即可求解.

U考點(diǎn)精講

考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式與斜截式方程

題型一：直線的點(diǎn)斜式方程

35

1.已知點(diǎn)A(3,3)和直線/：y=-x--.求：

42

(1)過點(diǎn)力且與直線/平行的直線方程；

(2)過點(diǎn)力且與直線，垂直的直線方程.

353

【解析】因?yàn)橹本€/：y=—x-一，所以該直線的斜率&=—.

-424

3

(1)過點(diǎn)A(3,3)且與直線/平行的直線方程為y-3=2(x—3).

4

4

(2)過點(diǎn)A(3,3)且與直線/垂直的直線方程為y-3=—§(x-3).

題型二：直線的斜截式方程

2.已知直線/與直線尸-2戶3的斜率相同，且在y軸上的截距為5,求直線，的斜截式方程，并畫出圖

形.

【解析】因?yàn)橹本€/與直線尸-2x+3的斜率相同，所以直線/的斜率為-2.

又直線1在y軸上的截距為5,所以直線1的斜截式方程為尸-2x拈.

在直線/上取一點(diǎn)(1,3),作出圖形如圖所示.

【名師點(diǎn)評(píng)】直線的斜截式方程是點(diǎn)斜式方程的特殊情形.

題型三：點(diǎn)斜式和斜截式的實(shí)際應(yīng)用

3.已知一ABC的頂點(diǎn)為A(2,4),8(0,-2),C(-2,3).,

(I)求邊上的中線。獷所在直線的方程；

(II)4?邊上的高線口所在直線的方程

【答案】(I)2x+3y-5=0：(]|)x+3y-7=0.

【分析】(I)求出AB中點(diǎn)M坐標(biāo)，再求得直線CM斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程，并整理成一般式即可.

(II)由垂直求出直線CV的斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，整理成一般式.

【詳解】(I)力8中點(diǎn)”的坐標(biāo)是(1,1),

.._3-1_2

??kcM—F-7——T，

—z—1J

二中線或所在直線的方程是=

即中線所在直線的方程是2x+3y-5=0,

,11

ku=-----=—,

CHL3

KAB,

二高線。/所在直線方程為y-3=-g(x+2),

即x+3y-7=0.

4.求適合下列條件的直線方程：

(1)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,-3),傾斜角等于直線)，=理工的傾斜角的2倍;

⑵經(jīng)過點(diǎn)5(3,4),且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形.

【答案】(1)>/3x-j+V3-3=0(2)%—y+1=°或無+y—7=0.

【分析】

(1)根據(jù)傾斜角等于直線y=@x的傾斜角的2倍，求出直線的傾斜角，再利用點(diǎn)斜式寫出直線.

(2)與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形等價(jià)于直線的斜率為士1.

【詳解】⑴已知tana=3，氏=tan2a=-^限=百

3l-taira

直線方程為y+3=G(x+D化簡(jiǎn)得+岔一3=0

(2)由題意可知,所求直線的斜率為±1.

又過點(diǎn)(3,4),由點(diǎn)斜式得y—4=±(x—3),

所求直線的方程為％-y+i=o或x+y-7=d

【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，屬了基礎(chǔ)題.

5.A43C的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-3,0),8(2,1),C(-2,3),求：

(1)8c邊所在直線的方程；

(2)8c邊上中線所在直線的方程；

(3)BC邊的垂直平分線。E的方程.

【答案】(1)x+2y-4=0；(2)2x-3y+6=0；(3)2x-y+2=0

【分析】(1)利用點(diǎn)斜式可得：8c邊所在直線的方程.

(2)線段BC的中點(diǎn)50,2),利用截距式可得8C邊上中線AO所在直線的方程.

(3)&班=-/-=2.利用斜截式BC邊的垂直平分線OE的方程.

【詳解】解：(1)3(2,1),C(-2,3)

,3-11

?,-^c=-Z—7="T

一乙—LL

BC邊所在直線的方程為：y-l=-1(x-2),化為一般式：x+2y-4=0.

(2)線段BC的中點(diǎn)0(0,2),可得BC邊上中線AD所在直線的方程：=+與=1,化為一般式：2x-3y+6=0.

-32

(3)L=-；=2..iBC邊的垂直平分線的方程為：y=2x+2.

KBC

【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程的求法、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查了推理能

力與計(jì)算能力.

考點(diǎn)二：直線的兩點(diǎn)式方程

題型四：直線的兩點(diǎn)式方程

6.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)4(-4,0),B(0,-3),6,(-2,1),求：

(1)外邊所在的直線的方程；

(2)重邊上中線所在的直線的方程.

【解析】(1)直線5。過點(diǎn)6(0,-3),「(一2,1),由兩點(diǎn)式方程得色=土色，化簡(jiǎn)得2x

1+3-2-0

+y+3=0.

0-2-3+1

（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得先的中點(diǎn)〃的坐標(biāo)為［三一，一^—）,即〃（-1,-1）.又直線/I。過點(diǎn)力（一

4,0）,由兩點(diǎn)式方程得"■=二化簡(jiǎn)得x+3y+4=0.

0+1-4+1

題型五：直線的截距式方程

7.已知直線/過點(diǎn)（-3,4）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,求直線/的方程.

【解析】設(shè)直線/的方程為二+g=l，則。+匕=12,①

-34

又直線過點(diǎn)（一3,4）,???一+丁=1,②

a=-4

由①②得〈

b=16

二直線/的方程為二+?=1或二+上=1，即x+3y-9=0或4x—y+16=0.

93—416

題型六：兩點(diǎn)式與截距式的綜合應(yīng)用

8.光線由點(diǎn)A（l,3）發(fā)出，被直線/：x+2y-2=0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)8（4,2）,求反射光線所在直線的方程.

【答案】3x-5j-2=0.

【解析】

試題分析：根據(jù)中點(diǎn)在對(duì)稱軸匕及兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸斜率之積為-1列方程組，解方程組可得點(diǎn)

A（l,3）關(guān)于直線/:x+2y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為4的坐標(biāo)為而反射光線即為經(jīng)過點(diǎn)以4,2）和

的直線，根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程，可得反射光線所在直線的方程.

試題解析：根據(jù)光學(xué)的有關(guān)性質(zhì)可知，點(diǎn)A關(guān)于直線x+2y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)必在反射光線所在的直線上，

設(shè)點(diǎn)/關(guān)于/：x+2y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為4（xo,㈤，

2。一3_1

則2，解得［”°=一即/'（一1,一1）.

Vtl+2,A12_2=o〔為

I22

根據(jù)兩點(diǎn)式可求得所求反射光線所在直線的方程為3x—5y—2=0.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查解析幾何中的軸對(duì)稱問題，屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對(duì)稱問題，主要有以下

三種題型：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，P（x,y）關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)P'（九〃），利用勺=7,且點(diǎn)

（主絲，”在對(duì)稱軸/上，列方程組求解即可：（2）直線關(guān)于直線對(duì)稱，利用已知直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)

22

以及直線上特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（利用（1）求解），兩點(diǎn)式求對(duì)稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合方

法（1）利用逆代法求解.

9.是否存在過點(diǎn)（一5,—4）的直線1,使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5?若存在，求出直線/的方

程（化成直線方程的一般式）；若不存在，說明理由.

【答案】存在直線/的方程，且為：8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.

【分析】假設(shè)存在過點(diǎn)（-5,-4）的直線/,使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5,設(shè)直線/的方程為：

；+1=1，代入點(diǎn)（-5T）可得4a+5b+"=0,由于S=g阿=5,化為|聞=10,聯(lián)立解得即可判斷存在

性.

【詳解】假設(shè)存在過點(diǎn)（一5,—4）的直線1,

使它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5,

設(shè)直線1的方程為：-+^=1,

ab

貝lj/+Y=l.即4a+5b+ab=0.

ab

S=y|ab|=5,化為|ab|=10.

4a+5b+ab=0

聯(lián)立

|a/?|=10

5

ci=—a=5

解得2或

h=-2

b=4

故存在直線/的方程，且為：8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.

【點(diǎn)睛】該題考查的是是否存在類問題的解法，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的截距式，是否存在類問題的

解法是假設(shè)其存在，求得結(jié)果.

考點(diǎn)三：直線的一般式方程

題型七：直線的一般式方程

10.設(shè)直線/的方程為（加2一2加—3）x+（2機(jī)2+/〃—Dy=2/〃—6,根據(jù)下列條件分別確定加的值:

（1）/在x軸上的截距是一3；

（2）/的斜率是一1.

m2-2m-3工0①

【解析】⑴由題意可得］2M—6人

—\-------=-3②

、nr-2m-3

由①得初工一1且〃zw3.由②得〃2=3或〃2=-2.，加二一3

33

2m？+機(jī)一1。0(3)

(2)由題意得《m2-2m-31不

------=-1④

、2m+m-l

由③得mw—1且加，!，由④得加=-1或加=一2.

2

?1m=-2

題型八：由直線的位置關(guān)系求參數(shù)

11.求力，/?的值，使直線人：y=(/〃T)XF+7滿足：

(1)平行于x軸；

(2)平行于直線I2：7%-y+15=0；

(3)垂直于直線A：7%-y+15=0.

【解析】(1)當(dāng)直線L平行于x軸時(shí)，直線L的斜率為0,即力T=0,/ZFI.

又直線4不與x軸重合，所以一九+7W0,即/H7.綜上，當(dāng)爐1且〃*7時(shí)，直線5平行于x軸.

(2)將7燈415=0化為斜截式得,產(chǎn)7x+15,???直線4的斜率左二7,截距占15,

當(dāng)/i〃A時(shí)，應(yīng)有直線人的斜率拈=7且截距%W15,即勿T=7且r+7W15,工爐8,且〃WT.

(3)由題意及(2)可得(mT)?7--1,拉cR,即m=一時(shí)，hA-h.

7

12.已知直線4：x+根y+6=0,/2：(加一2)x+3y+2〃z=0,當(dāng)4〃，2時(shí)，求加的值.

【解析】由題意4的方程可化為丁=一絲六1—§機(jī)，

m—22

則其斜率氏2=-——，在y軸上的截距b2=--m.

的斜率一定存在，即相。0.

.../1的方程為y=—X——,斜率&]=---,在y軸上的截距a=一2.

mmmm

26

——m手---

4HI

由4〃。，得《c\,解得加=—1.

--m----2----1-

.3m

???/"的值為一1.

題型九：由直線的位置關(guān)系求方程

13.己知直線4的方程為3x+4y-12=0,求直線4的方程，4滿足：

（1）過點(diǎn)（T,3）,且與4平行；

（2）過點(diǎn)（T,3）,且與4垂直.

3

【解析】（1）方法一：由題設(shè)4的方程可化為：y=-^x+3,

33

*,?1\的斜率為—，又/，與4平一行,：,L的斜率為—.

4-4

又4過（T,3）,由點(diǎn)斜式知方程為y—3=—』（x+l）,即3x+4y-9=0.

4

方法二：由4與4平行，可設(shè)4的方程為3x+4y+片0（77^-12）.

將點(diǎn)（T,3）代入上式得獷e...所求宜線方程為3x+4y—9=0.

3

（2）方法一：由題設(shè)4的方程可化為：y=--x+3,

4

34

4的斜率為—，由/，與4垂直，得/?1的斜率為一，

43

4

又6過（T,3）,由點(diǎn)斜式可得方程為y-3=m（x+l）,即4xTy+13=0.

方法二：由4與4垂宜，可設(shè)4的方程為4廠3了+/?=0.將（T,3）代入上式得上13.

.?.所求直線方程為4xTy+13=0.

14.已知直線/平行于直線3x+4y-7=0,并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24,求直線/的方程.

【解析】???直線/平行于直線3x+4y—7=0,

可設(shè)直線/的方程為3x+4y+〃=0（“H—7）.

當(dāng)尤=00^,>=—；當(dāng)y=0時(shí)，x-—.

43

由題意得|一勺」一口」=24,即且=48,〃=±24.

43212

經(jīng)檢驗(yàn)，成立，

.?.直線/的方程為3x+4y+24=0或3x+4y-24=0.

題型十：直線方程的綜合應(yīng)用

15.已知直線/：云--+帥=0（必>0）經(jīng)過點(diǎn)P（-l,2）.則2。+匕的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】c

【分析】由點(diǎn)尸(-1,2)在直線/上得L—1,根據(jù)必>0結(jié)合基本不等式1的代換，知2a+h=4+&當(dāng)即

abab

可求其最小值.

!?

【詳解】由題意知：2a+b=ab,即一+7=1,

ab

??2。+b=(2。+。)(—F—)=4H----卜――1而cib>0,

abab

A->0,^>0,則4+加加之4+2.、H^=8當(dāng)且僅當(dāng)心￥時(shí)等號(hào)成立，

abab\abab

???2a+。的最小值為8.

故選：C

17

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由點(diǎn)在直線上得到上+：=1,應(yīng)用“1”的代換求目標(biāo)代數(shù)式的最值.

ab

16.已知aeR,若不論。為何值時(shí)，直線/：(l-2a)x+(3a+2)y-a=0總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)

是()

A.(-2,1)B.(-1,0)C.D.

【答案】C

【分析】因?yàn)橹本€/總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，所以與。值無關(guān)，參變量分離，解方程組即得.

【詳解】直線/的方程(l—2a)x+(3a+2)y—。=0可化為：x+2y—a(2x—3y+l)=0.

2

x=——

2x-3y+1=07

直線/總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，二—解得

所以不論。為何值，直線/總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查宜線過定點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是參變量分離.

Q鞏固提升

一、單選題

1.(2020?浙江臺(tái)州市?高二期中)若直線x+ay-2=0與直線心+丫+1=0垂直，貝ija=()

A.一1或0B.-1C.1或0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)直線垂直：A4+A&=o即可求解.

【詳解】由題意可得心儲(chǔ)+〃*1=0，

解得〃=—1或0.

故選:A

2.（2020?曲靖市關(guān)工委麒麟希望學(xué)校高二月考）過點(diǎn)（1,0）且與直線x-2y=0垂直的直線方程是（）

A.x-2^-1=0B.x-2y+l=0C.2x+y-2=0D.x+2y-\=0

【答案】c

【分析】根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1,可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程，

最后化成一般式方程即可.

【詳解】因?yàn)橹本€x-2y=0的斜率為段,故所求直線的斜率等于-2,

所求直線的方程為V-O=-2（x-l）,即2x+y-2=0,

故選：C.

3.（2021?重慶市合川實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二開學(xué)考試）已知點(diǎn)（2,3）在直線ax+by包工上，則4a例-7的值為（）

A.5B.-11C.-5D.11

【答案】B

【分析】先求得為+3）,由此求得正確結(jié)論.

【詳解】將（2,3）代入or+切+2=0得2a+3b+2=0,2〃+3b=-2,

所以4a+6。-7=2（2n+3b）-7=-11.

故選：B

4.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)42,-3）,5（-3-2）.若直線/：，〃x+y-，〃-1=0與線段A8相交，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

334彳

—00,------34,+8)B.K'

4_

1、,3'

一,+8D.-4,-

5).4J

【答案】A

【分析】直線/過定點(diǎn)一（1,1）,且與線段46相交，利用數(shù)形結(jié)合法，求出處、陽的斜率,

從而得出1的斜率一機(jī)的取值范圍，即得解

【詳解】設(shè)直線/過定點(diǎn)P@,y）,則直線，:皿+y-m-l=O可寫成〃?（x-l）+y-l=O,

x-l=O,x=l,

令解得，二直線/必過定點(diǎn)尸（”）.

〔y-i=o，IN=L

_a_i-1Q

kPA=_7r_r=-4,女0直線/:皿+y_/“_i=o與線段AB相交，

則實(shí)數(shù)用的取值范圍是014,+00）.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的應(yīng)用，過定點(diǎn)的直線與線段相交的問題，考查了學(xué)生綜合分析、數(shù)形結(jié)合

的能力，屬于中檔題.

二、多選題

5.（2020?重慶萬州區(qū)?萬州外國(guó)語學(xué)校天子湖校區(qū)高二月考）已知直線7,：x+犯+6=0,&5fx

+3y+2?=0,下列命題中正確的有（）

A.當(dāng)m=3時(shí)，人與人重合B.若人〃，2,則m=0

C.當(dāng)勿W3時(shí)，/與A相交D.若則必

【答案】AD

【分析】A中將0值代入驗(yàn)證即可；B中由兩線平行的充要條件知〃?（〃?-2）=3,可求必值；C中由B所得如

值，當(dāng)機(jī)=-1時(shí)/"/4,即可排除；D中由垂直的充要條件知%-2+3〃?=0求值判斷其正誤.

【詳解】A：當(dāng)"=3時(shí)，直線4為x+3y+6=0,直線4為x+3y+6=0,即兩線重合，故正確；

B：4〃4時(shí)，有皿，"-2）=3,解得帆=-1或心=3（重合舍去），故錯(cuò)誤；

C：由B知，當(dāng)?shù)?,m=—1時(shí)，1JI12,故錯(cuò)誤；

D：時(shí)，m-2+3m=0,即，"=1,故正確；

2

故選:AD

6.（2020?北儲(chǔ)區(qū)?重慶市朝陽中學(xué)高二期中）定義直線1與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫直線的縱截距，直線1

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫直線的橫截距.若直線ax+"+l=0的縱截距的絕對(duì)值等于橫截距的絕對(duì)值，則此

直線的斜率可能是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】BD

【分析】結(jié)合題意求得直線ax+如+l=0的斜率及與x軸，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到a=±&,從而求得斜

率.

【詳解】由題意知：直線ax+Z?y+l=0與y軸，與x軸都相交，

所以a4（）且岳4）,所以宜線ax-\-by-\-1=0的斜率為-不

b

又直線ax+Z?y+l=0與x軸交點(diǎn)為

與y軸交點(diǎn)為,

若縱截距的絕對(duì)值等于橫截距的絕對(duì)值，則,

ab

即|4=例，則。=S，所以斜率為-￡=±1,

故選：BD.

7.（2020?重慶市萬州清泉中學(xué)高二月考）已知直線/：x-my+m-l=O,則下述正確的是（）

A.直線/的斜率可以等于0B.直線/的斜率有可能不存在

C.直線/可能過點(diǎn)Q（-3,O）D.若直線/的橫縱截距相等，則加=土1

【答案】BCD

【分析】根據(jù)直線方程判斷斜率AB,代入點(diǎn)的坐標(biāo)可判斷直線是否過一點(diǎn)判斷C,求出橫縱截距可判斷D.

【詳解】桃=0時(shí)，斜率不存在，a/0時(shí)，斜率不等于0,A錯(cuò)；B正確；

-3+加一1=（）,解得機(jī)=4,C對(duì)；

n?—1ni.—\

〃z=O時(shí)，縱截距不存在，mwO時(shí)，令工=0得丫=----,令y=0,x=\-m,由-----=\-m^m=+\,D

mm

正確.

故選:BCD.

8.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）已知直線-@+l=O（aeR）,則下列說法正確的是（）

A.直線/過定點(diǎn)（-1,0）

B.直線/一定不與坐標(biāo)軸垂直

C.直線/與直線r:-x+ay+"2=0（mGR）一定平行

D.直線/與直線/'：3+y+，〃=0（，〃eR）一定垂直

【答案】AD

【分析】多項(xiàng)選擇題，一個(gè)一個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證:

對(duì)于A:/:x-qy+l=O（aeR）整理為：ay=x+\,判斷過定點(diǎn);

對(duì)于B、D：判斷直線與直線的垂直，用兩直線垂直的條件判斷;

對(duì)于C:用兩直線平行的條件判斷.

【詳解】對(duì)于A：/：x-@+l=O（awR）整理為：ay=x+l,恒過定點(diǎn)（-1,0）,故A正確:

當(dāng)a=O時(shí),直線/與無軸垂直，故B錯(cuò)誤;

當(dāng)切=T時(shí)，兩直線重合，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)閘xa+lx（-a）=0,故直線/與直線「一定垂直，故D正確,

故選：AD.

【點(diǎn)睛】（1）證明直線過定點(diǎn)，通常有兩類：直線方程整理為斜截式y(tǒng)=履歷，過定點(diǎn)（0,3；

（2）若用--般式表示的直線，不用討論斜率是否存在，只要44+8昆=0,兩直線垂直；只要AMAB,B2

BG,可判斷兩直線平行.

9.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）直線尸ax+十可能是（）

【分析】分類討論和。<0時(shí)，直線的位置.

【詳解】因?yàn)閍WO,所以C錯(cuò)；

當(dāng)加>0時(shí)，->0,不過第四象限，故A對(duì)；

a

當(dāng)a<0時(shí)，-<0,不過第一象限，故D錯(cuò)，B對(duì).

a

故選：AB

10.（2020?長(zhǎng)沙市?湖南師大附中高二開學(xué)考試）（多選題）下列說法正確的是（)

A.直線x-y+2=0與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積是2

B.過(與,乂),(々,必)兩點(diǎn)的直線方程為鋁

C.點(diǎn)(1,1)關(guān)于直線x-y+l=O的對(duì)稱點(diǎn)為(0,2)

D.經(jīng)過點(diǎn)尸(3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距都是非負(fù)整數(shù)的直線條數(shù)共有6條

【答案】AC

【分析】選項(xiàng)A先求出直線x-y+2=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求面積；選項(xiàng)B利用直線方程的條件限

制判定；選項(xiàng)C利用求一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的步驟求解；選項(xiàng)D分截距為零和截距不為零討論，對(duì)于截

距不為零的利用截距式方程求解.

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)橹本€x-y+2=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為A(-2,0),8(0,2),

所以直線x-y+2=0與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積是gx卜2|x2=2,故選項(xiàng)A正確：

選項(xiàng)B：直線方程寫成上五=3■的條件為M二%,占工々，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

丁2一,々一不

選項(xiàng)C：設(shè)點(diǎn)(1,1)關(guān)于直線x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為,

6+1〃+1,八

-；----^-+1=0，f/M=o

由I,解得《故選項(xiàng)c正確；

=1"=2

jn-\

選項(xiàng)1):當(dāng)截距為零時(shí)，有一條"如；當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為2+?=1,

3ab

因?yàn)檫^定點(diǎn)23,4),所以二3+；4=1,即匕=41+2=，

aba-3

又。，b均為正整數(shù)，所以a-3必為12的正因數(shù)1,2,3,4,6,12,共6種情況，

故綜合起來應(yīng)該有7條，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

11.(2021?全國(guó)高二期中)已知直線丫=履+2%-1過定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為,

【答案】(-2,-1)

【分析】把方程整理為關(guān)于左的方程，由恒等知識(shí)可得.

【詳解】解：由y=6+2J,得:k(x+2)-(y+l)=0,

故x=-2,y=~l,故直線恒過定點(diǎn)(-2,-1),

故答案為：(-2,-1).

12.(2021?廣西壯族自治區(qū)北流市高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試)過點(diǎn)(0,1)且與直線2x-y+3=0平行的直線方

程為.

【答案】2x-y+l=0

【分析】根據(jù)平行關(guān)系可設(shè)直線方程為2x-y+%=0,將點(diǎn)（0,1）代入求得加即可求解.

【詳解】設(shè)與直線2x_y+3=0平行的直線為2x_y+，w=0,

因?yàn)辄c(diǎn)（0,1）在直線2x-y+機(jī)=0上,

所以2x0-l+/n=0,可得：m=\,

所以該直線方程為：2x-y+l=0,

故答案為：2x-y+l=0.

13.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）如圖，射線OA,。8分別與x軸正半軸成45和30角，過點(diǎn)P（L。）作直線

A8分別交OA,03于A,5兩點(diǎn)，當(dāng)A3的中點(diǎn)C恰好落在直線y=上時(shí)，則直線A3的方程是

【答案】（3+g）x-2y-3-百=0

【分析】先求出射線OA,OB的方程，A（樞機(jī)），川-石〃,〃），可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)C在直線y=以

及%=kBP列方程組可得m的值，再求出kAp,由點(diǎn)斜式可得直線方程.

【詳解】由題意可得&3=tan45=1,%=tan（180-30）=tan150=-y->

所以直線OA的方程：y=x,直線08的方程：y=-^-x，

3

m-y/3nm-\-n

設(shè)A（〃7,〃7）,所以A8的中點(diǎn)c

~2~，2

由點(diǎn):C在直線y=h,且4尸,8三點(diǎn)共線得:

m+n_\m-\/3n

2-22-

解得:m=6所以A（百，百）

m-0_〃-0

m-\-\f3n-1

又尸(1,0)，所以斯=%“=卻=苧，

所以直線4B的方程是：尸檸叵(*-1),即(3+⑹x-2y-3-6=0,

故答案為：(3+g)x-2y-3-e=0.

14.(2021?廣西壯族自治區(qū)北流市高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試)若點(diǎn)A(-2,-l)在直線如+〃y+l=O上，其中

〃均大于0,則上+'的最小值為.

mn

【答案】8

【分析】根據(jù)點(diǎn)在直線上得到相，〃的關(guān)系式，再根據(jù)基本不等式中“1”的妙用求解出上+4的最小值.

mn

【詳解】點(diǎn)/在直線如+〃丁+1=。上，則

c.12(12V.、“〃4m...

2m+H=1,—F—=—F—\(2m+ri)=4+—F-->4+4=8,

mnnJmn

當(dāng)且僅當(dāng)"=2加時(shí)，即〃=:，“=!時(shí)，等號(hào)成立，

24

即上1+上9的最小值為8.

mn

故答案為：8.

三.解答題

15.已知直線/：y=6+2Z+l.

(1)求證：直線/過一個(gè)定點(diǎn)；

(2)