2023-2024學年河南省南陽市高一下學期期末質量評估數(shù)學試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年河南省南陽市高一下學期期末質量評估數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.cos215A.64 B.12 C.2.已知：z1?i=1+i，其中i為虛數(shù)單位，則z=A.1 B.2 C.3 3.如圖是底面半徑為1的圓錐，將其放倒在水平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點O滾動，當這個圓錐在水平面內首次轉回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則滾動過程中該圓錐上的點到水平面的距離最大值為(

)

A.22 B.2 C.44.已知向量a=(1,2)，b=(?2,?4)，|c|=5，若(a+A.30° B.60° C.120° D.150°5.在平面直角坐標系xOy中，平面向量OA=3,4，將OA繞原點逆時針旋轉2π3得到向量OB，則向量OB在向量OA上的投影向量是A.32+23,2?3326.如圖，一個三棱錐容器的三條側棱上各有一個小洞D，E，F(xiàn)，經(jīng)測量知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，這個容器最多可盛原來水的(

)A.2933

B.2327

C.19277.在數(shù)學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義1?cosθ為角θ的正矢，記作versinθ；定義1?sinθ為角θA.函數(shù)fx=versinx?coversx+1的對稱中心為kπ?π4,1,k∈Z

B.若gx=versinx?coversx?1，則gx的最大值為2+1

C.若?x8.如圖，在直角梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，現(xiàn)將?ABD沿BD折起到?PBD的位置，使二面角P?BD?C的大小為45°，則此時三棱錐P?BCDA.8π3 B.14π3C.4π D.6π二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列有關復數(shù)內容表述正確的是(

)A.若復數(shù)z滿足z+z=0，則z一定為純虛數(shù)

B.對任意的復數(shù)z均滿足：z2=z2

C.設在復數(shù)范圍內方程x2?4x+13=0的兩根為x1，x2，則x1+x210.已知函數(shù)fx=asinx+bcosxA.a=b B.函數(shù)fπ4?x是偶函數(shù)

C.函數(shù)fx的圖象關于直線x=5π4對稱 11.如圖，在正三棱錐A?BCD中，底面邊長為a，側棱長為2a，點E，F(xiàn)分別為側棱AC，AD上的異于端點的動點.則下列說法正確的是(

)A.若BE⊥AC，則不可能存在這樣的點F，使得EF⊥AC

B.若AE=13AC，AF=23AD，則VE?ABF=29V三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量OA=1,2，OB=2,?1，點P是線段AB的三等分點，則點P的坐標是13.如圖，在?ABC中，∠ABC=60°，AC=6，BC=2，∠ABC的角平分線交AC于D，交過點A且與BC平行的直線于點E，則DE=

．14.設Px,y為函數(shù)fx=sinπ2x四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)(1)已知復數(shù)z滿足z=1+3i?z，求1+3i(2)設x∈R，復數(shù)z=log2x+1+i?lo16.(本小題12分)已知α為銳角，β為鈍角，且sinα=10(1)求sin2β(2)求β?2α的值．17.(本小題12分)在?ABC中，∠ABD=α，∠DBC=β．(1)求證：sinα+β(2)若AB=AC，∠C=72°，求cos18.(本小題12分)如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AB=12BC=1，點E(1)求證：AE⊥PC；(2)若M，N分別是PD，AC上的點，且PMDM=ANCN=2，Q為19.(本小題12分)已知在?ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c.圓M與?ABC的邊AC及BA，BC的延長線相切(即圓M為?ABC的一個旁切圓)，圓M與邊AC相切于點T.記?ABC的面積為S，圓M的半徑為r．(1)求證：r=2S(2)若B=π3，①求r的最大值；②當r=33時，求AM?答案解析1.C

【解析】運用二倍角余弦公式得到cos故選：C．2.A

【解析】z=1+i1?i=i故選：A．3.C

【解析】如圖所示根據(jù)圓錐的性質，可知2πOA=3?πAB，由圓錐底面半徑為r=1，則AB=2r=2，OA=OB=3所以OC=易知圓錐上到水平面的距離最大的點為B，設距離為d，所以12則d=AB?OC故選：C．4.C

【解析】解：設a與c的夾角為θ，

∵a=(1,2),b=(?2,?4)，則b=?2a，

(a+b)?c=?a?c=5.D

【解析】因為OA=OB=5，OA所以OB在OA上的投影數(shù)量為：OA?所以OB在OA上的投影向量為：OA?故選：D6.B

【解析】解：∵SD：DA=SE：EB=2：1，

∴SD：SA=SE：SB=2：3，則S△SDE：S△SAB=4：9，

∵CF：FS=2：1，∴SF：SC=1：3．

設點F，C到平面SAB的距離分別為?1，?2，

∴?1：?2=1：3，

則VF?SDE：7.D

【解析】對A：fx由x?π4=kπ，k∈Z?x=kπ+π4，k∈Z，所以函數(shù)f對B：gx設sinx+cosx=t，則t∈所以y=t2當t=?2時，ymax

對C：?x因為?α=1且0<α<π所以sinα=所以圓心角為α，半徑為3的扇形的面積為：12×π對D：由versin所以covers3x?1coversx?1=sin故選：D8.D

【解析】如圖：取BD中點E，BC中點F，連接PE，EF，由題意可知：PE⊥BD，EF⊥BD，所以∠PEF為二面角P?BD?C的平面角，∠PEF=45由題意可得?BDC為等腰直角三角形，所以F為?BDC的外心，過F作直線l⊥平面BDC，則三棱錐P?BCD外接球的球心O必在直線l上.因為l⊥平面BDC，BD?平面BDC，所以BD⊥l，所以l在平面PEF中.又E為?PBD的

外心，連接OE，則OE⊥平面PBD．所以∠OEF=45由于AD=AB=1，∠BAD=90°，則?BDC為等腰直角三角形，故CD=BD=在Rt?OEF中，∠OEF=45°，EF=12CD=所以三棱錐P?BCD外接球的

半徑：R=OC=所以三棱錐P?BCD外接球的表面積為：S=4πR故選：D9.CD

【解析】A選項：當z=0時，z=0，此時z+z=0，當zB選項：設z=a+bi，則z2=a2+2abi+C選項：x2?4x+13=0，則x1=2+6i，x2D選項：設z1=a1+即a1a2?b1b2=0a1b2+a2b1=0故選：CD．10.ABC

【解析】解：∵f(x)=asinx+bcos∴f(x)的圖象關于直線x=π∴f(0)=f(π2)，即b=a∴f(x)=a(sin∴f(π4?x)=又f(5π4)=2∴函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=5π4對稱，x∈?π4由于a的正負不確定，則函數(shù)fx在區(qū)間?π4故選：ABC．11.AC

【解析】對選項A：如圖：取BD中點G，連接AG,CG,ED，因為?BCD是邊長為a的等邊三角形，所以BD⊥CG，在?ABD中，AB=AD=2a，所以BD⊥AG，AG∩BG=G，且AG,BG?平面AGC，所以BD⊥平面AGCAC?平面AGC，所以AC⊥BD．又AC⊥BE，BE∩BD=B，BE,BD?平面BED，所以AC⊥平面BED．所以要有EF⊥AC，則必有EF?平面BED.故F點與D點重合．這與F為AD上的點且異于端點矛盾，故A正確；對選項B：因為VE?ABF所以VE?ABFVB?EFDC對選項C：若CD//平面BEF，CD?平面ACD，平面ACD∩平面BEF=EF，所以CD//EF，故C正確；對D選項：如圖：將三棱錐的側面展開，當B,E,F,B′共線時，△BEF的周長最?。藭rcos∠BAC=所以cos∠BAB′=4co所以BB′2=4a2故選：AC12.43,1或【解析】由點P是線段AB的三等分點，可得AP=13AB則OP=或OP=即點P的坐標為43,1或故答案為：43,1或13.1+【解析】在?ABC中，由余弦定理可得：AC即6=4+AB2?2AB，又AB>0因為AE//BC，BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠E=30°，所以在?ABE中，因為∠BAE=120°，所以因為AE//BC，所以?ADE～?CDB，所以BDDE故答案為：1+14.55或【解析】由已知有y=sinπ2由于余弦函數(shù)是偶函數(shù)，故cosπ2x由于0≤π2x≤π所以y=sin這就得到y(tǒng)≥2．若x<411，則若411≤x≤1，則3x?y綜上，有3x?y當P的坐標是1,2時，即x=1，y=2時，有3x?y所以3x?yx2故答案為：515.解：(1)因為z=1+3i?z，可設z=a+3i，則a2所以1+3i3+4i(2)由題意：log所以所求x的取值范圍為：?1,0．【解析】(1)先根據(jù)條件求出復數(shù)z，再根據(jù)復數(shù)的乘除法運算計算結果．(2)根據(jù)第三象限內點的坐標特點列出不等式組，解不等式組可得答案．16.解：(1)sin(2)因為α為銳角，sinα=1010，可得由cos2α=1?2sin2所以tan2α=則tan(β?2α)=又因為tan2α=34>0，所以可得0<β?2α<π，所以β?2α=3π【解析】(1)利用二倍角公式，齊次式的方法即可求值；(2)分別求出tan2α，tan17.解：(1)證明：因為S△ABC所以12兩邊同時除以12AB?BC?BD，得故命題得證．(2)若AB=AC，∠C=72°，則∠A=36當α=β=12∠ABC=36°時，?ABC，?ABD和?BCD所以ACBD所以ACAD=AD所以(ADAC)2+不妨取AC=2m，AD=(5?1)m，則AB=2m在?ABD中，由余弦定理知，cos36【解析】(1)根據(jù)S△ABC(2)令α=β，根據(jù)AD=BD=BC，且?ABC∽?BCD，利用三角形相似的性質，求得ADAC=18.解：(1)∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴AD⊥PA，又底面ABCD為矩形，則AD⊥AB，又PA?AB=A且都在面PAB內，∴AD⊥平面PAB，又AE?平面PAB，∴AE⊥AD，又AD//BC，則AE⊥BC，又PA=AB，點E是棱PB的中點，則AE⊥PB，又BC?PB=B且都在面PBC內，∴AE⊥平面PBC，又PC?平面PBC，∴AE⊥PC；(2)三棱錐P?ABQ的體積是為定值，且定值為29如圖，過M作MG//DA，且MG?PA=G，過N作NF//BC，且NF?AB=F，連接GF，又DA//CB，∴MG//CB，∵PMDM=ANCN∴GM=23AD=又MG//CB，則MG//FN，故四邊形GMNF為平行四邊形，∴MN//GF，又MN?平面PAB，GF?平面PAB，∴MN//平面PAB，又Q為MN上任意一點，∴Q到平面PAB的距離為定值，又?PAB的面積也為定值，∴三棱錐P?ABQ的體積是定值，由(1)知AD⊥平面PAB，由GM//AD，故GM⊥平面PAB，∴Q到平面PAB的距離為GM=2又?PAB的面積為12∴三棱錐P?ABQ的體積為：VP?ABQ故三棱錐P?ABQ的體積是為定值，且定值為29【解析】(1)根據(jù)向量垂直的判定定理證明AE⊥平面PBC即可；(2)過M作MG//DA，且MG∩PA=G，過N作NF//BC，且NF∩AB=F，連接GF，則易證MN//平面PAB，再根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解．19.解：(1)證明：連接MA，MB，MC，則S=S故r=2S(2)①因為S=12ac由cosB=a2故ac=13由(1)知：r=2S由(?)式可得