2023-2024學年安徽省合肥168中學高一（下）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年安徽省合肥168中學高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)平面向量AB=(?3,6)，點A(1,?2)，則點B的坐標為(

)A.(+2,?4) B.(?2,4) C.(?4,8) D.(4,?8)2.已知復(fù)數(shù)z=?2+i，則z?3?i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為16，且P(A)=2P(B)，則P(A?A.518 B.1318 C.594.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù).甲組數(shù)據(jù)有6個數(shù)，其平均數(shù)為3，方差為5；乙組數(shù)據(jù)有9個數(shù)，其平均數(shù)為5，方差為3.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為(

)A.4.76 B.4.52 C.4.2 D.3.85.如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BB1，A1C1中點，過A，E，F(xiàn)作三棱柱的截面交BA.13

B.12

C.236.如圖，設(shè)α∈(0,π)，且α≠π2，當∠xOy=α時，定義平面坐標系xOy為α的斜坐標系，在α的斜坐標系中，任意一點P的斜坐標這樣定義：設(shè)e1,e2是分別與x軸，y軸正方向相同的單位向量，若OP=xA.設(shè)a=(m,n),b=(s,t)，若a⊥b，則mt+ns=0

B.設(shè)a=(m,n)，則|a|=m2+n2

C.a=(m,n),b7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=b(2cosA+1)，則下列結(jié)論錯誤的是(

)A.A=2B

B.若a=3b，則△ABC為直角三角形

C.若△ABC為銳角三角形，則ca的取值范圍為(22,8.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M為AB的中點，將△ADM沿DM翻折.在翻折過程中，當二面角A?BC?D的平面角最大時，其正弦值為(

)

A.12 B.55 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.z?z?=1 B.z+1z∈R

C.10.在△ABC中，由以下各條件分別能得出△ABC為等邊三角形的有(

)A.已知a+b=2c且A+B=2C B.已知sinA=32且b=c

C.已知a+b=2c且a2+b11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，棱AB，BC的中點分別為E，F(xiàn)，點G在底面AA.若存在λ，使得A1G=λGD1，則λ=1B.若G∈C1D1，則EG/?/平面ADD1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.定義：|a×b|=|a|?|b|?sin

θ，其中θ為向量a與13.已知△ABC為銳角三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=π3,c=2，則△ABC14.將1，2，3，?，20，21共21個正整數(shù)排成六行，按照第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)…，第六行6個數(shù)的順序排列，則每一行中最大的數(shù)都小于其后一行中最大的數(shù)的概率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖所示是在圓錐內(nèi)部挖去一正四棱柱所形成的幾何體，該正四棱柱上底面的四頂點在圓錐側(cè)面上，下底面落在圓錐底面內(nèi)，已知圓錐側(cè)面積為15π，底面半徑為r=3．

(Ⅰ)若正四棱柱的底面邊長為a=2，求該幾何體的體積；

(Ⅱ)求該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值．16.(本小題15分)

航天員安全返回，中國航天再創(chuàng)輝煌！去年6月4日，當?shù)貢r間6時20分許，神舟十五號載人飛船成功著陸，費俊龍、鄧清明、張陸等航天員安全順利地出艙，身體狀況良好.這標志著神舟十五號載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功.某學校高一年級利用高考放假期間開展組織1200名學生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：

(1)若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取10人成績，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；

(2)求a的值，并以樣本估計總體，估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；

(3)由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為23，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為34，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為12，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至17.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=3，2c?b=2acosB．

(1)求角A的大??；

(2)M為△ABC外心，AM的延長線交BC于點D，且MD=32，求18.(本小題17分)

如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，AA1=BB1=CC1=1，側(cè)棱BB1與底面ABC所成角的正弦值為63.若球O與三棱臺ABC?A1B19.(本小題17分)

給定兩組數(shù)據(jù)A=(x1,x2,?,xn)與B=(y1,y2,?,yn)，稱X(A,B)=i=1n|xi?yi|為這兩組數(shù)據(jù)之間的“差異量”.鑒寶類的節(jié)目是當下非常流行的綜藝節(jié)目.現(xiàn)有n個古董，它們的價值各不相同，最值錢的古董記為1號，第二值錢的古董記為2號，以此類推，則古董價值的真實排序為I=(1,2,?,n).現(xiàn)在某專家在不知道古董真實排序的前提下，根據(jù)自己的經(jīng)驗對這n個古董的價值從高到低依次進行重新排序為x1，x2，?，xn，其中xi為該專家給真實價值排第i位古董的位次編號，記A=(x1,x2,?,xn)，那么A與I的差異量X(A,I)=n|xi?i|可以有效反映一個專家的水平，該差異量X(A,I)越小說明專家的鑒寶能力越強．參考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ABC

10.AC

11.ABD

12.8

13.(14.431515.解：(Ⅰ)由S圓錐側(cè)=πrl，可得3πl(wèi)=15π，

∴l(xiāng)=5，

∴圓錐的高?=l2?r2=52?32=4，

∴圓錐的體積V圓錐=13×πr2×?=13×π×9×4=12π，

∵a=2，∴正四棱柱的底面對角線長為2，

設(shè)正四棱柱的高為?1，如圖所示，

∴?1?=r?1r，

∴?1=r?1r?=3?13×4=83，

∴正四棱柱的體積V正四棱柱16.解：(1)∵成績不高于60分的同學為頻率分布直方圖中的前2組，

又前兩組的比例為10：15=2：3，

∴從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取10人成績，

10人中成績不高于50分的人數(shù)為10×25=4；

(2)根據(jù)題意可得(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，∴a=0.03；

∴估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)為：

45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71；

估計該校學生首輪競賽成績的中位數(shù)為：

70+0.5?0.1?0.15?0.150.03=2203；

(3)設(shè)“甲，乙，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級“分別為事件A，B，C，

則P(A)=23，P(B)=34，P(C)=17.解：(1)由正弦定理及2c?b=2acosB，得2sinC?sinB=2sinAcosB，

因為sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以2sinAcosB+2cosAsinB?sinB=2sinAcosB，即sinB=2cosAsinB，

因為sinB≠0，所以cosA=12，

又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)由(1)得A=π3，

設(shè)△ABC的外接圓M的半徑為R，

在△ABC中，由正弦定理得，2R=asinA=23，解得R=3，

所以BM=CM=R=3，

在△BMC中，∠BMC=2∠BAC=2π3，∠MBC=∠MCB=π6，BC=3，

在△BDM中，由正弦定理得，MDsin∠MBC=18.解：(1)證明：設(shè)A1C1與B1D1、AC與BD分別交點E，F(xiàn)，連接EF，

因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD，

在等腰梯形A1C1CA中，因為E，F(xiàn)為底邊中點，

所以AC⊥EF，又EF與BD相交，

∴AC⊥平面B1D1DB；

(2)由(1)可知平面ABCD⊥平面B1D1DB，又平面ABCD∩平面B1D1DB=BD，

過點B1作B1H⊥BD于H，則B1H⊥平面ABCD，再作HG⊥BC于G，

則由三垂線定理得B1G⊥BC，則∠B1GH是二面角B1?BC?A的平面角，

因為B1H⊥平面ABCD，故∠B1BH是側(cè)棱BB1與底面ABC所成角，

所以sin∠B1BH=63，

在Rt△B1BH中，B1H=BB1sin∠B1BH=63，BH=BB1cos∠B1BH=33，

在Rt△BGH，GH=BHsin30°=36，

在Rt△B1GH中，tan∠B1GH=B1HGH=6336=219.解：(1)若n=3時，則A=(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，且I=(1,2,3)，

∴X(A,I)=0，2，2，4，4，4，

∴X(A,I)的所有可能取值為0，2，4．

(2)設(shè)“X(A,I)=4”為事件M，樣本空間為Ω，

∵n=5，∴A共有5×4×3×2×1=120個，即樣本容量為n(Ω)=120，

若對調(diào)兩個位置的序號之差大于2，則X(A,I)>4，

可知X(A,I)=4只能調(diào)整兩次兩個連續(xù)序號或連續(xù)三個序號之間調(diào)整順序，

若調(diào)整兩次兩個連續(xù)序號，則有{(1,2)，(3,4)}，{(1,2)，(4,