河南省焦作市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，所以或，由，得，解得，所以，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，所以.故選：A.3.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以.故選：B.4.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a〖答案〗A〖解析〗由，且，即，又，所以c＜b＜a．故選：A．5.在中，邊BC上的中線與邊AC上的中線的交點(diǎn)為E，若，則（）A.1 B.－1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知E為三角形的重心，則，∴，，∴.故選：D.6.隨機(jī)抽查了某校名高三學(xué)生的視力情況，得到的頻率分布直方圖如圖所示，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后組的頻數(shù)和為，設(shè)視力在到之間的學(xué)生人數(shù)為，各組中頻率最大的為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗前兩組的頻數(shù)之和為，第四組的頻數(shù)為，后五組的頻數(shù)之和為，所以，前三組的頻數(shù)之和為，故第三組的頻數(shù)為，因此，.故選：B.7.已知函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①的最小正周期是；②在區(qū)間上不單調(diào)；③將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.① B.② C.①② D.①②③〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的最小正周期，故①正確；當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的圖象可知，函數(shù)，在上先增后減，故②正確；將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度后，可得，故③錯(cuò)誤，所以結(jié)論正確為①②.故選：C.8.如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槿庵?，所以，面面，又因?yàn)槊婷?，面面，所以，顯然為三棱臺，設(shè)，（），三棱柱的高為，則，所以三棱柱體積為，三棱臺的體積為，①三棱臺的體積占，則，得，得或，均不符合題意；②三棱臺的體積占，則，得，得或，因?yàn)椋?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量，，則的值可以是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由題知，，因?yàn)?，，所以，，即的范圍?故選：BC.10.下列命題正確的是（）A.在中，若A＞B，則B.在中，若，，A＝45°，則B＝60°C.在中，若，則是等腰三角形D.在中，〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以A＞B，則，故A正確；對于B，若，，A＝45°，由正弦定理可得：，則，解得：，則或，因?yàn)?，則，所以或，故B不正確；對于C，由可得：所以，則所以是等腰三角形，故C正確；對于D，，因?yàn)樵谥?，，所以，故D正確.故選：ACD.11.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)?，所以，令，則，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，對于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，所以A正確，對于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，即，所以D正確.故選：AD.12.如圖，若正方體的棱長為1，M是側(cè)面（含邊界）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.若，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為C.若，則的最大值為D.若，則的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，三棱錐的體積為，因?yàn)镻是的中點(diǎn)，所以的面積為定值，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為正方體的棱長，所以三棱錐的體積為定值，所以A正確；對于B，過點(diǎn)作于，則由正方體的性質(zhì)和面面垂直的性質(zhì)，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)檎襟w的棱長為1，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為，所以B正確；對于CD，過點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，則∥，因?yàn)?，所以≌，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)的軌跡是線段，在中，，所以的最大值為，所以C正確，在中，，所以，所以點(diǎn)到的距離為，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)，，，，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為______．〖答案〗〖解析〗，所以向量在方向上的數(shù)量投影為.故〖答案〗為：.14.已知圓臺的下底面半徑為，上底面半徑為，其側(cè)面積等于上、下底面積之和，則圓臺的高為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)圓臺的母線長為，則圓臺上底面面積，圓臺下底面面積，所以兩底面面積之和為，又圓臺側(cè)面積，則，所以，所以圓臺的高為.故〖答案〗為：15.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對任意，都有，則t的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，由，所以，同理可得，依此類推，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：當(dāng)時(shí)，令，則，解得，對任意，都有，只需對任意，函數(shù)的圖象不在直線的上方即可，由圖知，即t的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，作中點(diǎn)，連接、，在上作的中心，過點(diǎn)作平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)，使得，因?yàn)槿忮F底面是等邊三角形，是的中心，所以三棱錐外接球球心在過點(diǎn)的平面垂線上，又因，則即為球心，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，，平面平面，，所以平面，，，，，設(shè)球的半徑為，則，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求實(shí)數(shù)t的值．解：（1）因?yàn)?，，所以，．因?yàn)?，所以，解得．?），因?yàn)?，所以，解得?8.在一次數(shù)學(xué)考試后，隨機(jī)抽取了100名參加考試的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們的分?jǐn)?shù)（單位：分）都在內(nèi)，按，，…，分組得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中a的值；（2）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)；（結(jié)果精確到整數(shù)）（3）現(xiàn)在按人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中任取2人參加這次數(shù)學(xué)考試的總結(jié)會，試求和兩組各有一人參加總結(jié)會的概率.解：（1）由頻率分布直方圖得，解得a＝0.030.（2）由頻率分布直方圖可得前四組的頻率之和為0.4，前五組的頻率之和為0.7，故中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，則中位數(shù)為.（3）在和兩組中的人數(shù)分別為100×(0.01×10)＝10和100×(0.015×10)＝15，故在分組中抽取人，記為A，B，在分組中抽取3人，記為c，d，e，從這5人中任取2人，樣本空間為，共含有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件M為“和兩組各有一人參加總結(jié)會”，則，含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故.19.已知函數(shù)的圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且．（1）求的〖解析〗式；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）由已知得的最小正周期，所以，從而，又，，所以，所以．（2）由已知得，故，令，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．20.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，且．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積．解：（1）∵四邊形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∵，平面，∴平面平面，又平面，∴平面．（2）∵平面，平面，∴，在矩形中，，又∵，平面，∴平面，又平面，∴平面平面．（3）∵平面，平面，∴平面平面，又，平面平面，平面，∴平面，則為三棱錐的高，且，∵，∴，∴．21.已知函數(shù)，．（1）若，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若a＞1，且對任意，都有，使得成立，求a的取值范圍．解：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則由零點(diǎn)存在定理可得，即解得，所以的取值范圍是．（2）若對任意，都有，使得成立，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閍＞1，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，，所以，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，，，不符合條件，當(dāng)時(shí)，，，符合條件，所以a的取值范圍是．22