2023-2024學(xué)年蘇州市昆山高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷附答案解析

-2024學(xué)年蘇州市昆山高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷（試卷滿分150分考試時間120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若，則符合條件的有序集合對的個數(shù)為（

）A．81 B．90 C．108 D．1142．最接近下列哪個數(shù)字（

）A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.233．，，若在其定義域上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．4．超市舉辦抽獎活動．箱子里裝有十張參與獎與兩張100元代金券．顧客第一次可使用5積分進行一次抽獎，若摸中100元代金券則結(jié)束，若摸中參與獎則可將獎券放回并花費2積分再抽一次．若紫阿姨鐵了心也要抽中100元代金券，則她所花費積分的數(shù)學(xué)期望為（

）A．12 B．15 C．17 D．205．已知復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則符合，記是的反函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．叢雨和芳乃玩猜硬幣正反面的游戲，其中一人拋硬幣，另一人猜硬幣正反面，猜中則猜方獲勝，猜不中則對方獲勝，每輪的勝者可獲得對方的一枚硬幣，直到其中一人贏完所有硬幣之后游戲結(jié)束．已知游戲開始時，叢雨有枚硬幣，芳乃有枚硬幣，則叢雨最后贏得所有硬幣的概率為（

）A． B． C． D．7．下列比大小正確的是（

）A．B．C． D．8．設(shè)為函數(shù)的定義域，若對于且，都有，我們稱為“不減函數(shù)”．對于映射：，符合條件的不減函數(shù)有（

）A．16個B．18個C．20個 D．22個二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9．下列組合恒等式正確的有（

）A． B．C． D．10．對于，若使，則稱是的正因數(shù)，易知也是的正因數(shù)．正因數(shù)只有1與自身的數(shù)叫做素數(shù)，如：2、3、5、7、11……．若對于正整數(shù)與，它們之間最大公因數(shù)為1，則稱與互素．已知一個正整數(shù)可以被唯一分解為一組素數(shù)的乘積：，其中，是兩兩不同的素數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．從中隨機取出兩數(shù)，則它們互素的概率是B．360的正因數(shù)個數(shù)為25C．360的所有正因數(shù)之和為D．360的所有正因數(shù)之積為11．設(shè)非常值函數(shù)定義域為，，且對于任意都滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．是奇函數(shù)C．D．若有且僅有一個整數(shù)解，則的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．將符合每小題的答案填寫到空格上．12．隨機取中的一個元素，則，，，的概率為．13．用個種不同顏色的扇形拼成一個圓，相鄰的扇形不共色，設(shè)拼法數(shù)為，寫出數(shù)列的一個遞推公式．14．“指數(shù)找基友”是高中導(dǎo)數(shù)的重要思想，如和，這揭示了它們導(dǎo)數(shù)之間的奇妙關(guān)系．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)和滿足以下關(guān)系：，，，，則，．四、解答題：本題共5小題，共77分．將符合題目的答案填寫在空白處．15．回答下列問題(1)求的個位數(shù)字(2)若隨機變量，試求最大時的取值(3)證明：是偶數(shù)16．已知，(1)若，試證明：，恒成立(2)若，討論的零點個數(shù)17．對數(shù)均值不等式在各個領(lǐng)域都有著重要應(yīng)用．(1)討論，的單調(diào)性(2)試證明對數(shù)均值不等式：(3)設(shè)，試證明：18．設(shè)樣本空間，，其中兩兩互相獨立．設(shè)隨機事件對應(yīng)的結(jié)果值為，隨機變量和的取值分別為樣本空間和中所發(fā)生事件的結(jié)果值，從而它們的數(shù)學(xué)期望，.(1)證明：，；(2)小明拋一枚奇葩的硬幣，有的概率朝上，的概率朝下，的概率立起來．記朝上為分，朝下為分，立起來是分，設(shè)隨機變量是小明拋次硬幣所得的分數(shù)，求，；(3)若隨機變量，證明：，.19．已知集合.(1)“算兩次”思想在組合數(shù)學(xué)中有著重要應(yīng)用．例如：對于一個元集合的所有子集個數(shù)，一方面有，另一方面：對于所有子集，每個中的元素有“出現(xiàn)”和“不出現(xiàn)”兩種選擇，由分布計數(shù)原理可得，因此有．令，試用算兩次思想化簡；(2)對于的子集個數(shù)還可以這樣理解：，展開式中每一項都唯一對應(yīng)著的一個子集．令，試化簡；(3)對偶原理也是組合數(shù)學(xué)的重要方法，例如數(shù)學(xué)王子高斯小時候在計算的值時，他把與配對，與配對，從而化變量為常量，大大簡化了計算．這其實就是對偶原理的一種體現(xiàn)．令，其中是中元素從小到大的一個排列，試用對偶原理化簡.1．A【分析】根據(jù)滿足條件的集合可看成由的子集與的并集，然后分類計算即可.【詳解】當(dāng)時，滿足條件的有序集合對有1個；當(dāng)為單元集合時，例如，則滿足條件的集合可看成由的子集與集合的并集，共有個，所以為單元集合時，滿足條件的有序集合對有個；當(dāng)為二元集合時，滿足滿足條件的有序集合對有個；當(dāng)為三元集合時，滿足滿足條件的有序集合對有個；當(dāng)為四元集合時，滿足滿足條件的有序集合對有個.綜上，符合條件的有序集合對的個數(shù)為.故選：A2．C【分析】利用二項式定理進行估值即可.【詳解】由題意得，由二項式定理得，而從第3項以后，后面的項非常小，我們進行忽略即可，所以我們得到，則其與1.22更接近，故C正確.故選：C3．B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，畫出的大致圖象，令，則問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的實根，且，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求得答案.【詳解】由，得，由，得，解得或，由，得，解得或，所以在和上遞增，在和上遞減，所以的大致圖象如圖所示，令，由，則，則，所以方程有兩個不相等的實根，則，因為在其定義域上有且僅有兩個零點，所以由的圖象可知，不妨設(shè)，則，因為，所以，所以，得，所以，由，得，所以在上遞增，所以，即的取值范圍是.故選：B.4．B【分析】設(shè)抽獎次數(shù)為，花費的積分為，則，表達出，利用錯位相減法和極限思想求出答案.【詳解】設(shè)抽獎次數(shù)為，花費的積分為，則，每次抽中100元代金券的概率為，故，設(shè)，①，②，兩式相減得，，故，故，故選：B5．B【分析】先根據(jù)反函數(shù)定義得到，兩邊求導(dǎo)得到，再求出，從而得到答案.【詳解】因為互為反函數(shù)，所以，兩邊求導(dǎo)得，故，兩邊求導(dǎo)得，故，是的反函數(shù)，故，故，故.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，利用互為反函數(shù)得到以，從而利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)即可得解.6．B【分析】設(shè)當(dāng)叢雨有枚硬幣，芳乃有枚硬幣時，叢雨最后贏得所有硬幣的概率為，然后利用全概率公式得到，再結(jié)合，即可求出.【詳解】事實上，無論拋硬幣的人選如何，每一局結(jié)束后兩人獲勝的概率都是.設(shè)當(dāng)叢雨有枚硬幣，芳乃有枚硬幣時，叢雨最后贏得所有硬幣的概率為.對，當(dāng)叢雨有枚硬幣，芳乃有枚硬幣時，進行一局游戲后，兩人的硬幣數(shù)有的概率分別變成和，也有的概率分別變成和，則根據(jù)全概率公式有.從而.故可設(shè).顯然也有，，所以.從而由可知，故.所以當(dāng)叢雨有枚硬幣，芳乃有枚硬幣時，叢雨最后贏得所有硬幣的概率.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于將全概率公式和數(shù)列知識結(jié)合，利用數(shù)列得到所求概率.7．D【分析】構(gòu)造函數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷A,化簡函數(shù)構(gòu)造函數(shù)后應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性判斷B,應(yīng)用對數(shù)運算化簡判斷C,計算判斷D.【詳解】對于A:設(shè),當(dāng)在上單調(diào)遞增，所以,所以,A錯誤；對于B:設(shè)，當(dāng)在上單調(diào)遞增，當(dāng)在上單調(diào)遞減,所以,所以,當(dāng)取所以,B選項錯誤；對于C:因為，C錯誤；對于D:因為,D選項正確.故選：D.8．C【分析】根據(jù)“不減函數(shù)”的定義，分情況討論，列出所有情況即可．【詳解】分情況討論，值域取1個元素，取2個元素，取3個元素.值域1個元素，可以；；；；共4個.值域取2個元素，；；；；；；；；；；；；共12個．值域取3個元素，；；；；共4個.總共有20個.故選：C.9．BCD【分析】利用排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】選項：左邊，右邊，當(dāng)時，即，故錯誤；選項：，故正確；選項：，令①，②，由得，故，即，故正確；選項：，的通項為，的通項為，則左邊含的系數(shù)為，右邊含的系數(shù)為，故，故正確.故選：BCD.10．ACD【分析】根據(jù)古典概型概率公式和素數(shù)定義可判斷A；根據(jù)，由分步乘法計數(shù)原理可判斷B；根據(jù)二項式定理的推導(dǎo)過程可判斷C；由因數(shù)的成對性可判斷D.【詳解】對于A，從中隨機取出兩數(shù)有種取法，其中不互素的數(shù)組有，所以它們互素的概率是，A正確；對于B，因為，所以360的正因數(shù)由2、3、5的乘積構(gòu)成，其2有4種取法，3有3種取法，5有2種取法，所以360的正因數(shù)個數(shù)為個，B錯誤；對于C，由二項式定理可知360的正因數(shù)是展開式每一項的系數(shù)，所以360的所有正因數(shù)之和為，C正確；對于D，由題知，360的因數(shù)成對出現(xiàn)，共12對，每隊的乘積都等于360，所以360的所有正因數(shù)之積為，D正確.故選：ACD11．AD【分析】令，可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，求出，然后利用錯位相減求和可判斷A；利用奇偶性定義可判斷B；求出、可判斷C；令，利用導(dǎo)數(shù)得出的大致圖象，結(jié)合圖象可判斷D.【詳解】對于A，令，則，可得，且，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，設(shè)，則，所以，可得，故A正確；對于B，由A選項可知，，，，所以是不奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，，，所以，故C錯誤；對于D，由得，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，且，所以的大致圖象如下圖，直線橫過定點，設(shè)直線與的切點為，則，，所以，解得，或，因為，不滿足有且僅有一個整數(shù)解；所以要使有且僅有一個整數(shù)解，只須，解得，故D正確.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是求出的解析式和數(shù)形結(jié)合解題.12．【分析】根據(jù)給定條件，利用隔板法求出的自然數(shù)解的個數(shù)，再求出滿足的整數(shù)個數(shù)，然后計算古典概率即得.【詳解】依題意，的一個元素，即方程的一個自然數(shù)解，由，得，設(shè)，則，方程的自然數(shù)解的個數(shù)即為方程的正整數(shù)解的個數(shù)，可視為24個小球排成一排，用3塊隔板插入23個間隙分24個小球的分法數(shù)，有種，，令，因此滿足的整數(shù)解的個數(shù)，即為方程的正整數(shù)解個數(shù)，有種，所以所求概率.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出方程的正整數(shù)解的個數(shù)，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為排成一排的24個小球，用3塊隔板分成4部分的不同分法數(shù).13．（答案不唯一，例如也可以）【分析】構(gòu)造另一個數(shù)列作為輔助，利用乘法原理得到，，二者結(jié)合即可得到的遞推公式.【詳解】將所有扇形按逆時針順序分別記為，若每種扇形可從種顏色中選擇一個并染色，設(shè)使得每對都不同色，且不同色的選擇方式有種，使得每對都不同色，但同色的選擇方式有種.則使得每對都不同色的選擇方式有種，而根據(jù)乘法原理，使得每對都不同色的選擇方式有種，從而.而對，我們先考慮使得每對都不同色，且不同色的選擇方式，這樣的選擇方式有種.若每對都不同色，且不同色，則的選擇方式有種，的選擇方式有種；若每對都不同色，但同色，則的選擇方式有種，的選擇方式有種.所以.我們再考慮使得每對都不同色，但同色的選擇方式，這樣的選擇方式有種.若每對都不同色，且不同色，則的選擇方式有種，的選擇方式有種；若每對都不同色，但同色，則無論怎樣選擇都不符合條件，故無法選擇.所以.至此我們得到，，所以.這就得到了的一個遞推公式：.該遞推公式還可以進一步簡化，由該遞推公式可得.故.而根據(jù)乘法原理有，，故.所以.這就得到一個更簡單的遞推式：.故答案為：（答案不唯一，例如也可以）.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于，構(gòu)造另一個數(shù)列作為輔助，以得到所求數(shù)列的遞推公式.14．【分析】根據(jù)題意整理可得，進而可得，即，再根據(jù)題意可得，結(jié)合奇函數(shù)以及列式求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域為，因為，，則，即，由題意可知：，即，可得，則，可得，即，則，又因為，，則，可得，解得，即，，此時符合題意，所以，.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)化簡可得，進而可得，再結(jié)合題意可得，化簡運算即可.15．(1)3(2)或(3)證明見解析【分析】（1）由可知，當(dāng)時，的個位數(shù)字都是0，所以只要求出的個位數(shù)字即可；（2）設(shè)最大，則，然后利用二項分布的概率公式列方程組求解即可；（3）利用組合數(shù)的性質(zhì)證明即可.【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，的個位數(shù)字都是0，因為，所以的個位數(shù)字為3；（2）設(shè)最大，則，因為，所以，所以，即，所以，解得，因為，所以或，（3）證明：因為，，所以，所以是偶數(shù)16．(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）通過等價變形，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最大值即可得證；（2）分和討論，即分別進行正零點和負零點的討論，即可得解.【詳解】（1）證明：要證明，恒成立，即證明恒成立又即只需要證明當(dāng)時，恒成立，令，則，令解得，所以在上單調(diào)遞增；令解得，所以在上單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時，取得極大值，也是在上的最大值，即，所以，當(dāng)時，恒成立，即當(dāng)時，恒成立，所以，恒成立.（2）當(dāng)時，（i）當(dāng)時，，所以恒成立，即無零點；（ii）當(dāng)時恒成立，即在上單調(diào)遞增；又，，由零點存在性定理可得，在上存在唯一的零點，且零點小于0；當(dāng)時，令，即，又，因此零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了與圖象的交點個數(shù)問題，由（1）知，令，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖所示；當(dāng)，即時，又，即此時，與圖象沒有交點，所以沒有零點；當(dāng)，即時，又，即此時，與圖象有兩個交點，所以有2個正零點；綜上所述，當(dāng)時，無零點；當(dāng)時，有一個零點；當(dāng)時，有兩個零點；當(dāng)時，有三個零點；【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（1）問的關(guān)鍵，將恒成立問題，轉(zhuǎn)為了恒成立問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可證明；第（2）問的關(guān)鍵在于分類討論，分和討論，從而得解.17．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性.（2）先進行轉(zhuǎn)化：，；，.在利用（1）的結(jié)論證明.（3）利用，可得，再累加求和即可.【詳解】（1）在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）不妨設(shè)因為設(shè)，，則問題轉(zhuǎn)化為：，.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故，成立，所以：.又因為.由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，故，成立，所以.所以：成立.（3）根據(jù)，所以,所以，成立.18．(1)證明見解析(2)，(3)證明見解析【分析】（1）直接根據(jù)期望的定義以及兩兩互相獨立即可證明；（2）將單次的得分分別記為一個隨機變量，然后求其相應(yīng)的量，最后考慮它們的和的期望和方差即可；（3）使用二項分布的定義，結(jié)合二項式定理和導(dǎo)數(shù)知識即可求解.【詳解】（1）根據(jù)兩兩互相獨立，可知；且.（2）對，設(shè)小明第次拋硬幣時的得分為，則，，.從而，.而顯然兩兩獨立，故.所以由即知，且.（