2015屆高考數(shù)學第二輪高效精練22

第28講不等式選講1.已知實數(shù)x、y、z滿足x＋y＋z＝2，求2x2＋3y2＋z2的最小值．解：由柯西不等式得(x＋y＋z)2≤[(eq\r(2)x)2＋(eq\r(3)y)2＋z2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))\s\up12(2)＋12))，故2x2＋3y2＋z2≥eq\f(24,11)，當且僅當eq\f(\r(2)x,\f(1,\r(2)))＝eq\f(\r(3)y,\f(1,\r(3)))＝eq\f(z,1)，即x＝eq\f(6,11)，y＝eq\f(4,11)，z＝eq\f(12,11)時，2x2＋3y2＋z2取得最小值為eq\f(24,11).2.解不等式：|2x＋1|－|x－4|＜2(x∈R)．解：當x≥4時，2x＋1－(x－4)＜2，∴x∈；當－eq\f(1,2)≤x＜4時，2x＋1＋x－4＜2，∴－eq\f(1,2)≤x<eq\f(5,3)；當x＜－eq\f(1,2)時，－2x－1＋x－4＜2，∴－7＜x＜－eq\f(1,2).綜上，該不等式解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，\f(5,3))).3.設(shè)a1、a2、a3均為正數(shù)，且a1＋a2＋a3＝m，求證：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)≥eq\f(9,m).證明：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋\f(1,a3)))m＝(a1＋a2＋a3)(eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3))≥3·eq\r(3,a1·a2·a3)·3eq\r(3,\f(1,a1)·\f(1,a2)·\f(1,a3))＝9，當且僅當a1＝a2＝a3＝eq\f(m,3)時等號成立．又a1＋a2＋a3＝m＞0，∴eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)≥eq\f(9,m).4.已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求證：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.證明：因為[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](12＋22＋32)≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)]2＝(x＋2y＋3z－6)2＝142，當且僅當eq\f(x－1,1)＝eq\f(y＋2,2)＝eq\f(z－3,3)，即x＝z＝0，y＝－4時，取等號，所以(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.5.設(shè)a、b、c均為正數(shù)，abc＝1.求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).證明：由a、b、c為正數(shù)，根據(jù)平均值不等式，得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥eq\f(2,\r(bc))，eq\f(1,c)＋eq\f(1,a)≥eq\f(2,\r(ca)).將此三式相加，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥eq\f(2,\r(ab))＋eq\f(2,\r(bc))＋eq\f(2,\r(ca))，即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥eq\f(1,\r(ab))＋eq\f(1,\r(bc))＋eq\f(1,\r(ca)).由abc＝1，則有eq\r(abc)＝1.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥eq\f(\r(abc),\r(ab))＋eq\f(\r(abc),\r(bc))＋eq\f(\r(abc),\r(ca))＝eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).6.若正數(shù)a、b滿足a＋b＝1，求eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(4,3b＋2)的最小值．解：(解法1)因為a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.所以eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(4,3b＋2)＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3a＋2)＋\f(4,3b＋2)))[(3a＋2)＋(3b＋2)]≥eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,3a＋2))·\r(3a＋2)＋\r(\f(4,3b＋2))·\r(3b＋2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,7).當且僅當3a＋2＝eq\f(3b＋2,2)，即a＝eq\f(1,9)，b＝eq\f(8,9)時取等號．所以eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(4,3b＋2)的最小值為eq\f(9,7).(解法2)因為a＋b＝1，所以(3a＋2)＋(3b＋2)＝7.所以eq\f(1,3a＋2)＋eq\f(4,3b＋2)＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3a＋2)＋\f(4,3b＋2)))[(3a＋2)＋(3b＋2)]＝eq\f(1,7)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(3b＋2,3a＋2)＋\f(4（3a＋2）,3b＋2)＋4))≥eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(3b＋2,3a＋2)·\f(4（3a＋2）,3b＋2))))＝eq\f(9,7).當且僅當eq\f(3b＋2,3a＋2)＝eq\f(4（3a＋2）,3b＋2)，即a＝eq\f(1,9)，b＝e