2017-2018學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)分層突破測(cè)試8

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(三)(建議用時(shí)：45分鐘)一、選擇題1.已知a，b為非零實(shí)數(shù)，則使不等式eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2成立的一個(gè)充分不必要條件是()A.a·b>0 B.a·b<0C.a>0，b<0 D.a>0，b>0【解析】∵eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2，∴eq\f(a2＋b2,ab)≤－2.∵a2＋b2>0，∴ab<0，則a，b異號(hào)，故選C.【答案】C2.平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O，eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))，則四邊形ABCD為()A.菱形 B.梯形C.矩形 D.平行四邊形【解析】∵eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))，∴eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))，∴eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(CD,\s\up12(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形.【答案】D3.若實(shí)數(shù)a，b滿足0<a<b，且a＋b＝1，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210011】A.eq\f(1,2) B.a2＋b2C.2ab D.a【解析】∵a＋b＝1，a＋b>2eq\r(ab)，∴2ab<eq\f(1,2).而a2＋b2>eq\f(（a＋b）2,2)＝eq\f(1,2).又∵0<a<b，且a＋b＝1，∴a<eq\f(1,2)，∴a2＋b2最大，故選B.【答案】B4.A，B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sinA>sinB的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】若A>B，則a>b，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA>sinB；若sinA>sinB，則由正弦定理得a>b，∴A>B.【答案】C5.若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是()A.若mβ，α⊥β，則m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ【解析】對(duì)于A，m與α不一定垂直，所以A不正確；對(duì)于B，α與β可以為相交平面；對(duì)于C，由面面垂直的判定定理可判斷α⊥β；對(duì)于D，β與γ不一定垂直.【答案】C二、填空題6.設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，eq\o(AB,\s\up12(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up12(→))＝e1＋3e2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝________.【解析】若A，B，C三點(diǎn)共線，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(CB,\s\up12(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,3λ＝k，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,k＝6.))【答案】67.設(shè)a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，則a，b，c的大小關(guān)系為________.【解析】∵a2－c2＝2－(8－4eq\r(3))＝eq\r(48)－eq\r(36)>0，∴a>c.又∵eq\f(c,b)＝eq\f(\r(6)－\r(2),\r(7)－\r(3))＝eq\f(\r(7)＋\r(3),\r(6)＋\r(2))>1，∴c>b，∴a>c>b.【答案】a>c>b8.已知三個(gè)不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可能組成________個(gè)正確的命題.【解析】對(duì)不等式②作等價(jià)變形：eq\f(c,a)>eq\f(d,b)?eq\f(bc－ad,ab)>0.于是，若ab>0，bc>ad，則eq\f(bc－ad,ab)>0，故①③?②.若ab>0，eq\f(bc－ad,ab)>0，則bc>ad，故①②?③.若bc>ad，eq\f(bc－ad,ab)>0，則ab>0，故②③?①.因此可組成3個(gè)正確的命題.【答案】3三、解答題9.如圖1-2-3，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PEC.圖1-2-3【證明】∵四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，∴ABeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))CD.又∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴CFeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))AE，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AF∥EC.又AFeq\o(?,\s\up0(/))平面PEC，EC平面PEC，∴AF∥平面PEC.10.在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c也成等差數(shù)列.求證：△ABC為等邊三角形.【證明】由A，B，C成等差數(shù)列知，B＝eq\f(π,3)，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差數(shù)列，∴b＝eq\f(a＋c,2)，代入上式得eq\f(（a＋c）2,4)＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，從而A＝C，而B＝eq\f(π,3)，則A＝B＝C＝eq\f(π,3)，從而△ABC為等邊三角形.1.設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210012】A.2 B.eq\f(3,2)C.1 D.eq\f(1,2)【解析】∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3(ab)≤log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝1.故選C.【答案】C2.在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【解析】因?yàn)閠anA·tanB>1，所以A，B只能都是銳角，所以tanA>0，tanB>0，1－tanA·tanB<0，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)<0，所以A＋B是鈍角，即C為銳角.【答案】A3.若0<a<1，0<b<1，且a≠b，則a＋b，2eq\r(ab)，a2＋b2，2ab中最大的是________.【解析】由0<a<1，0<b<1，且a≠b，得a＋b>2eq\r(ab)，a2＋b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a＋b>a2＋b2，從而a＋b最大.【答案】a＋b4.如圖1-2-4所示，M是拋物線y2＝x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME，MF分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，且MA＝MB.若M為定點(diǎn)，求證：直線EF的斜率為定值.圖1-2-4【證明】設(shè)M(yeq\o\al(2,0)，y0)，直線ME的斜率為k(k>0)，∵M(jìn)A＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴直線MF的斜率為－k，∴直線ME的方程為y－y0＝k(x－yeq\o\al(2,0)).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－y0＝k（x－yeq\o\al(2,0)），,y2＝x，))消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，解得yE＝eq\f(1－ky0,k)，∴xE＝eq\f(（1－ky0）2,k2).同理可得yF＝eq\f(1＋ky0,－k)，∴xF＝eq\f(（1＋ky0）2,k2).∴kEF＝eq\f(yE－yF,xE－xF)＝eq\f(\f(1－ky0,k)－\f(1＋ky0,－k),\f(（1－ky0）2,k2)－\f(（1＋ky0）2,k2))＝eq\f(\f(2,k),\f(－4ky0,k2))＝－eq\f(1,2y0)(定值).∴直線EF的斜率為定值.沁園春·雪<毛澤東>北國(guó)風(fēng)光，千里冰封，萬里雪飄。望長(zhǎng)城內(nèi)外，惟余莽