八年級數(shù)學(xué) 壓軸題綜合（一）（老師版）

壓軸題綜合訓(xùn)練(一)

(時間：60分鐘總分：100)班級姓名得分

一、選擇題

1.化簡V—a3+aJ—｝的結(jié)果為()

A.(—a+1)V—ciB.(—a—1)V—aC.(u+1)V—uD.(a-1)：—a

【答案】B

【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)

【解析】［分析］

根據(jù)題意得到a<0,再根據(jù)后=|a|=-a化簡，最后合并同類二次根式即可.

［詳解］

解：由題意得：a<0

二原式=—a>/—a—V—a=(—a—1)V~a-

故選8.

［點(diǎn)評］

本題考查二次根式的乘法和二次根式的性質(zhì)及化簡，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出a<0及準(zhǔn)

確化簡.

2.如圖，直角三角形的三邊長分別為“，b,c,以直角三角形的三邊為邊(或直徑)分別向

外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足Si+

S2=S3的圖形個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【知識點(diǎn)】勾股定理

【解析】

【分析】

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在任何一個直角

三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.此題還考查了等腰直角三角形、

等邊三角形、圓以及正方形的面積的求法，要熟練掌握.根據(jù)直角三角形八氏C為邊，應(yīng)

用勾股定理，可得a2+/)2=c2.(l)第一個圖形中，首先根據(jù)等邊三角形的面積的求法，表

示出3個三角形的面積；然后根據(jù)a2+b2=c2,可得5】+$2=53?(2)第二個圖形中，首先

根據(jù)圓的面積的求法，表示出3個半圓的面積；然后根據(jù)+匕2=。2,可得S]+S2=S3.(3)

第三個圖形中，首先根據(jù)等腰直角三角形的面積的求法,表示出3個等腰直角三角形的面積;

然后根據(jù)+川=c2,可得51+52=53.(4)第四個圖形中，首先根據(jù)正方形的面積的求法,

表示出3個正方形的面積；然后根據(jù)a2+b2=c2,可得Si+S2=S3.

【解答】

解：⑴S[=，a2,52=4爐，$3=??2,

222

va+b=c,

...血。2+且爐=更。2,

444

?*,Si+S2=S3；

222

(2)Sj=^a,S2=^b,S3=^c,

222

vab=c,

,^a2+-b2=-c2

888t

???Si+S2=S3;

(3汽=",2S=；c2,

S2=\b,3

??,a2+Z?2=c2,

121112

-az4--Z?z=-cz,

444

?*,Si+S2=S3；

IQ2S=c2,

(4)S=2,s2=bf3

va2+&2=c2,

???Si+S2=S3.

綜上，可得面積關(guān)系滿足Si+S2=S3圖形有4個.

故選D.

3.如圖所示，點(diǎn)P是正方形A8C￡>的對角線80上一點(diǎn)，PELBC于點(diǎn)

E,PF1CD于點(diǎn)F,連接EF.給出下列結(jié)論：?AP=EF-（2）AP1EF；

③"FE=NB4P；?PD=EC；(5)PB2+PD2=2P".其中正確的

結(jié)論個數(shù)有（）

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股定理、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)

【解析】

【分析】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理等.本

題難度較大，綜合性較強(qiáng)，在解答時要認(rèn)真審題.

連接PC，根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明AABP三ACBP后即可證明2P=EF,"FE=NB4P：

再過P作PG14B于點(diǎn)G,延長AP到EF上于一點(diǎn)H,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得4P1EF；

由RtAP。/中，PD>PF,矩形PECF中，PF=EC,可得PC>EC；利用勾股定理即可判

斷⑤.

【解答】

在正方形ABC。中，乙4BP=NCBP=45。，AB=CB,

??,在△力BP和ACBP中,

AB=CB

/.ABP=乙CBP,

BP=BP

ABP^^CBP(SAS),

:.AP=PC,乙BAP=ABCP,

?:PELBC,PF1CD,

.??四邊形PECF是矩形,

PC=EF,Z.BCP=Z.PFE,

.-.AP=EF,^PFE=/.BAP,故①③正確；

過P作PGJ.4B于點(diǎn)G,延長AP到EF上于一點(diǎn)H,

???乙PFE=4BAP,AAPG=乙FPH,

4PHF=/.PGA=90°,BP/1P1EF；

故②正確；

??,在RtaPDF中，PD>PF,

在矩形PECF中，PF=EC,

?1.PD>EC,故④錯誤；

vPB2=PE2+BE2=2PE2,PD2=PF2+DF2=2PF2,

?-1PB2+PD2=2(PE2+PF2),

XvPE2+PF2=EF2,由①知AP=EF,

PB2+PD2=2PA2,故⑤正確；

故①②③⑤正確，

故選B.

4.快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行

駛.圖中折線表示快、慢兩車之間的路程y(0n)與它們的行駛時間x(h)之間的函數(shù)關(guān)

系.小欣同學(xué)結(jié)合圖象得出如下結(jié)論：①快車途中停留了0.5包②快車速度比慢車速

度快20km/h；③圖中a=340；④快車先到達(dá)目的地.其中正確的是()

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】B

【解析】略

二、填空題

5.已知x+-=V13,那么工—-=.

XX

【答案】±3

【知識點(diǎn)】二次根式的化簡求值

【解析】

【分析】

此題主要考查了二次根式的化簡求值以及完全平方公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用完全平方公式是解

題關(guān)鍵.

直接利用完全平方公式得出/+2=11,進(jìn)而得出x-5的值.

【解答】

解：+L=

X

...(%+1)2=13,

X2+4+2=13,

???3=11,

X2

???M+或―2=-=9,

故答案為：±3.

6.已知直角三角形的兩邊長分別為3aw和5cm,則第三邊長為.

【答案】或4cm

【知識點(diǎn)】勾股定理

【解析】

【分析】

此題考查勾股定理.考慮兩種情況：3和5都是直角邊或5是斜邊，根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解.

【解答】

解：當(dāng)3和5都是直角邊時，則第三邊是V32+52=原;

5是斜邊時，則第三邊是,52-32=4.

故答案為或4c/?.

7.如圖，有一塊直角三角形的木板A08/。=90。,。4=3,。8=丁、

4,一只小螞蟻在0A邊上爬行（可以與0、A重合），設(shè)其所處

的位置C到AB的中點(diǎn)。的距離為x,則x的取值范圍是.

【答案】2WXW2.5°B

【知識點(diǎn)】宜角三角形斜邊上的中線、三角形的中位線定理

【解析】解：在Rt△0AB中，AB=V32+42=5

當(dāng)C點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)4重合時，CD的長最大

0D=AD=-AB=2.5

2

當(dāng)。Cl40時，線段C￡）長最小，此時CO是中位線

ACD=-0B=2

2

???2<%<2,5.

由勾股定理知，AB=y/a2+b2=5，當(dāng)C點(diǎn)與點(diǎn)?；螯c(diǎn)A重合時，到點(diǎn)D的距離最大，根

據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半知，00=40=348=2.5,當(dāng)。CJ.4。時，

線段C。是從點(diǎn)。到AO的垂線段，長最小，此:時。是中位線，CD=~0B=2,所以2W

x<2.5.

本題利用了勾股定理和三角形的中位線求解.注意點(diǎn)C在點(diǎn)A或點(diǎn)。是X是最大的，8是

從點(diǎn)。到AO的垂線段時，x是最小的.

8.把a(bǔ),6兩個數(shù)中較小的數(shù)記為min｛a,b｝,直線y=kx+2k與函數(shù)y=min[-x+2,2x+

1｝的圖象只有一個公共點(diǎn)，則上的取值范圍是.

【答案】/￡=]或人>2或/￡￡-1

【知識點(diǎn)】一次函數(shù)圖象匕點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、分類討論思想、一

次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系、一次函數(shù)的圖象、分段函數(shù)

【解析】

【分析】

本題主要考查分段函數(shù)，一次函數(shù)的圖像，-次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)

的坐標(biāo)特征，兩條直線相交或平行問題以及分類討論的思想.

首先，求出一次函數(shù)y=-x+2和y=2x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(U，畫出函數(shù)y=+

2,2x+1｝的圖象的圖像，由y=以+2k經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0),結(jié)合圖像，分情況討論即可求得k

的取值范圍.

【解答】

解：由題意得：一%+2=2%+1,

解得：X=[,

.??y=-"2=|，

:一次函數(shù)y=-x+2和y=2x4-1的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q,I),

???函數(shù)y=min1-x+2,2%+1｝的圖象的圖像如圖:

y

vy=kx+2k=k(x+2)經(jīng)過定點(diǎn)(-2,0).

(1)如圖，當(dāng)y=kx+2k經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y=kx+2/c與函數(shù)y=min[-x+2,2%+1｝的圖

象只有一個公共點(diǎn)，

此時，將點(diǎn)4G,|)代入y=kx+2k,得：|=)+2匕解得：k=-

(2)如圖所示情況下，直線y=kx+2k與函數(shù)y=min｛-x+2,2x+1｝的圖象只有一個公共

點(diǎn)，

當(dāng)直線y=kx+2A與直線y=2%+1平行時，k=2,

???此時,k>2；

（3）如圖所示情況下，直線y=kx+2A與函數(shù)y=min{-x+2,2%+1}的圖象只有一個公共

點(diǎn),

當(dāng)直線y=kx+2A與直線y=-x+2平行時，k=-1,

,此時，k<-1,

綜上，k的取值范圍為k=，或k>2或kW-l,

故答案為k=］或k>2或k<-1.

三、解答題

9.根據(jù)平方差公式（夜+1）（或-1）=（近產(chǎn)-1=1,得到看=V2-1.由此我們可以

得到下面的規(guī)律，請根據(jù)規(guī)律解答后面的問題.

第1個式子：蒜=a-1；

第2個式子：=V3-V2；

（1）請寫出第〃個式子.

(2)已知高+短+募+…+而力=1%求〃的值?

1111

(3)求證：而+兩方+不再+…+湍而<3?

【答案】解：(1)由題意得：第”個式子為方言行=樂不I-標(biāo)(其中〃為大于等干1的整

Vn+1+vn

數(shù))；

(2)等式左邊=(V2—1)4-(V3—V2)+(V4—V3)+…+(Vn4-1—Vn)=V2-14-V3-

V2+A/4-V3+…+7Tl+1-y/n=y/ti+1-1，

等式右邊=19,

???Vn4-1—1=19,

???Vn4-1=20,

vn>1,

An4-1=400,

???n=399.

(3)證明：焉+康+舟+…+T^=或-l+W-&+飆一次+…+VTU—

炳=V10-1<3，

"V5+T+75+7？+^+75+■"+VTO+V9<3.

【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、數(shù)式規(guī)律問題

【解析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、二次根式的化簡、數(shù)式規(guī)律,解題關(guān)鍵在于

讀懂題意，得出數(shù)式的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律化簡即可得出答案.

(1)根據(jù)第1個式子、第2個式子歸納即可得出第〃個式子的規(guī)律；

(2)由(1)的規(guī)律，將等式左邊進(jìn)行化簡解出該方程即可得出答案；

(3)根據(jù)規(guī)律，將不等式的左邊進(jìn)行化簡變形，估算出無理數(shù)的大小即可證明得出答案.

10.如圖①，在凸四邊形中，/.ABC=30°,^ADC=60°,AD=DC.

(1)如圖②，若連接AC,則AADC的形狀是_____三角形.你是根據(jù)哪個判定定理？

答：.(請寫出定理的具體內(nèi)容)

(2)如圖③，若在四邊形ABCD的外部以8c為一邊作等邊ABCE,并連接AE,請問:

B。與AE相等嗎？若相等，請加以證明；若不相等，請說明理由.

(3)在第(2)題的前提下，請你說明BO?=AB2+SC?成立的理由.

【答案】等邊一個內(nèi)角為60。的等腰三角形是等邊三角形

【知識點(diǎn)】全等三角形的判定、勾股定理、等邊三角形的判定

【解析】解：

(1)V在△

ADC中,

AD=AC,

???△4DC是等腰三角形，

又???AADC=60°,

.?.△ADC是等邊三角形(一個內(nèi)角為60。的等腰三角形是等邊三角形);

故答案是：等邊；一個內(nèi)角為60。的等腰三角形是等邊三角形；

(2”.?由(1)知，△ADC是等邊三角形，

:.DC=AC,Z.DCA=60°；

又???△8CE是等邊三角形，

???CB=CE,上BCE=60°,

Z.DCA+Z.ACB=Z.ECB+&ACB,即NDCB=Z.ACE,

:.4BDC三4EAC(SAS),

BD=E做全等三角形的對應(yīng)邊相等)；

(3)證明：?.油(2)知,ABCE是等邊三角形,則BC=CE,Z.CBE=60°.

???/.ABE=Z.ABC+4CBE=90°.

在RtAABE中，由勾股定理得值=4B2+BE2.

又；BD=AE,

■■■BD2=AB2+BC2.

(2)通過全等三角形的判定定理%S證得△BDCaEAC,然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等

推知BD=EA-.

(3)要證明BO?=AB2+BC2,只需證明44BE是直角三角形即可(B。=4E).

本題考查了等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.如果一個三角形滿

足下列任意一條，則它必滿足另一條，三邊相等或三角相等的三角形為等邊三角形：①三

邊長度相等；②三個內(nèi)角度數(shù)均為60度；③一個內(nèi)角為60度的等腰三角形.

11.如圖1,正方形ABCD的頂點(diǎn)C在線段E尸上，8E1EF于點(diǎn)E,OFJLE產(chǎn)于點(diǎn)F,

(1)求證：&BEC3CFD；

(2)判斷線段EEBE、。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)如圖2,若將正方形ABCD四個頂點(diǎn)都置于一組平行線上，且平行線間的間距都為

1cm,求此時8。的長.

【答案】(1)證明：如圖I,???四邊形A8CO是正方形,

BC=CD,乙BCD=90°,

乙BCE+乙DCF=90°,

vBE1EF,DF1EF,

"="=90°=乙BCE+Z.CBE,

:.Z.DCF=Z.CBE,

在△8￡7;和^CFD中,

(^.CBE=乙DCF

jzf=4F,

[BC=CD

BEC*CFD(AAS)；

(2)解：EF=DF+BE,理由是：

由(1)得：4BEC三4CFD,

??,BE=CF,CE=DF,

???EF=CE+CF,

???EF=DF+CF；

(3)解：如圖(2),過8作8E1Q4于E,過。作DF_LQ4于尸，

(2)

???平行線間的間距都為1cm,

???BE=2cm,DF=1cm,

???四邊形ABC。是正方形，

同王里可得△BEC=LCFD(AAS)f

???CF=BE=2cm,

由勾股定理得：CD=V22+l2=V5cm,

BD=y/2CD=VTOcm.

【知識點(diǎn)】四邊形綜合、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)

【解析】(1)通過A4S證明△BEC三△(??￡)；

(2)根據(jù)(1)中的ABEC三△CFD,得BE=CF,CE=DF,相加可得結(jié)論；

(3)如圖(2),作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△BEC三ACFD(44S),得CF=BE=2cm,

最后利用勾股定理可得結(jié)論.

本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和勾股定理等知識，解

本題的關(guān)鍵是證明△BEC三△CFD.

12.某年5月，我國南方某省A、B兩市遭受嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，1.5萬人被迫轉(zhuǎn)移，鄰近縣市C、

。獲知A、8兩市分別急需救災(zāi)物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運(yùn)物資支援災(zāi)區(qū).已

知C市有救災(zāi)物資240噸，。市有救災(zāi)物資260噸，現(xiàn)將這些救災(zāi)物資全部調(diào)往A、B

兩市.已知從C市運(yùn)往A、8兩市的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從。市運(yùn)往往A、

8兩市的費(fèi)用別為每噸15元和30元，設(shè)從。市運(yùn)往B市的救災(zāi)物資為x噸.

(1)請?zhí)顚懴卤?

4(噸)B(噸)合計(噸)

C(噸)——240

D(噸)—X260

總計(噸)200300500

(2)設(shè)C、。兩市的總運(yùn)費(fèi)為卬元，求卬與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取

值范圍；

(3)經(jīng)過搶修，從。市到8市的路況得到了改善，縮短了運(yùn)輸時間，運(yùn)費(fèi)每噸減少，"元

(m>0),其余路線運(yùn)費(fèi)不變.若C、。兩市的總運(yùn)費(fèi)的最小值不小于10320元，求相

的取值范圍.

【答案】(1)C市運(yùn)往A市200-(260-x)=(x-60)噸;C市運(yùn)往8市(300-％)噸;。市

運(yùn)往A市(260-X)噸：

(2)由題意可得，

w=20(x-60)+25(300-X)+15(260-x)+3Ox=10x+10200,

???w=10x+10200(60<x<260)；

(3)由題意可得，

w=10x+10200—mx=(10—m)x+10200,

當(dāng)0<m<10時，

x=60時，w取得最小值，此時w=(10-7n)x60+10200210320,

解得，0<mS8,

當(dāng)m>10時,

x=260時，卬取得最小值，此時，w=(10-m)x260+10200>10320,

解得，山工詈，

V—<10,

13

???m>10這種情況不符合題意，

由上可得，，”的取值范圍是0<mW8.

【知識點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用

【解析】

解：(1)。市運(yùn)往B市x噸，

。市運(yùn)往A市(260-x)噸,C市運(yùn)往8市(300-％)噸,C市運(yùn)往A市200-(260-X)=(x-

60)噸，

故答案為：x—60、300—X..260—x；

(2)見答案;

(3)見答案.

【分析】

(1)根據(jù)題意可以將表格中的空缺數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；

(2)根據(jù)題意可以求得卬與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)根據(jù)題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題.

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用函數(shù)

和不等式的性質(zhì)解答.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別交x軸、y軸于點(diǎn)A(a,0),點(diǎn)8(0,b)且“、

方滿足+4a+4+|2a+b|=0.

(2)點(diǎn)P在直線A8的右側(cè)，且NAPB=45°,

①若點(diǎn)F在x軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

②若AABP為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(3)如圖2,在(2)的條件下，N84P=90。且點(diǎn)