滬教版八年級數(shù)學下冊期中期末滿分沖刺卷專題06乘法公式壓軸題的四種考法(原卷版+解析)

專題06乘法公式壓軸題的四種考法類型一、平方差公式與幾何圖形綜合例1．【探究】如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形．（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：圖①圖②；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：(用字母a、b表示)；【應用】請應用這個公式完成下列各題：①已知2m﹣n=3，2m+n=4，則4m2﹣n2的值為；②計算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．【拓展】計算的結果為．【變式訓練1】如圖，在邊長為的正方形中，剪去一個邊長為的小正方形（），將余下的部分拼成一個梯形，根據(jù)兩個圖形中陰影部分面積關系，解決下列問題：（1）如圖①所示，陰影部分的面積為（寫成平方差形式）．（2）如圖②所示，梯形的上底是，下底是，高是，根據(jù)梯形面積公式可以算出面積是（寫成多項式乘法的形式）．（3）根據(jù)前面兩問，可以得到公式．（4）運用你所得到的公式計算：．【變式訓練2】從邊長為的正方形剪掉一個邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是______（請選擇正確的一個）．A．B．C．（2）若，，求的值；（3）計算：．【變式訓練3】工廠接到訂單，需要邊長為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的邊長多少？（用含a代數(shù)式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測得盒子底部長方形長比寬多3，則S2﹣S1的值為．【變式訓練4】（1）如圖1所示，若大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則陰影部分的面積是______；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2所示的一個長方形，則它的面積是_________；（2）由（1）可以得到一個乘法公式是________；（3）利用你得到的公式計算：．類型二、完全平方公式變形例1．已知，求與的值．例2已知，則________.【變式訓練1】已知，求的值．【變式訓練2】已知（x+2021）+（x+2022）=49，則（x+2021）（x+2022）的值為（）A．20 B．24 C． D．【變式訓練3】已知：，，分別求和的值．【變式訓練4】已知，求下列各式的值：【變式訓練5】當x=______時，代數(shù)式8x2-12x+5有最小值，最小值為______.類型三、完全平方公式字母的值例1．當k取何值時，是一個完全平方式？【變式訓練1】如果是一個完全平方公式，求k的值．【變式訓練2】若把代數(shù)式化成的形式，其中，為常數(shù)，則______．【變式訓練3】（1）設，則__________．A．

B．

C．

D．【變式訓練4】若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，完全平方數(shù)是非負數(shù)．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n是完全平方數(shù)，求n的值．（2）若一個正整數(shù)，它加上61是一個完全平方數(shù)，當減去11是另一個完全平方數(shù)，寫所有符合的正整數(shù)．類型四、完全平方公式與幾何圖形例.乘法公式的探究及應用：數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積．方法1：________；方法2：________；(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的數(shù)量關系：_______；(3)根據(jù)（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【變式訓練1】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）（1）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關系是；（2）根據(jù)（1）中的結論，若x+y=5，xy=，則x-y=；（3）拓展應用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值【變式訓練2】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．(1)圖2中的陰影部分的面積為：____________（用a、b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關系是____________；(3)利用（2）中的結論，若，，求的值____________；(4)實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式．如圖3，請你寫出這個等式____________．(5)如圖4，點是線段上的一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當時，的面積記為，當時，的面積記為，…，以此類推，當時，的面積記為，計算的值．【變式訓練3】如圖，將邊長為的正方形剪出兩個邊長分別為，的正方形（陰影部分）．觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：______，方法2：________；（2）從中你發(fā)現(xiàn)什么結論呢？_________；（3）運用你發(fā)現(xiàn)的結論，解決下列問題：①已知，，求的值；②已知，求的值．【變式訓練4】閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關系可以得到某些數(shù)學公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學公式是__________．（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關系是__________（3）利用（2）的結論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個等式：__________．（5）小明同學用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關系也可以得到某些數(shù)學公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：___________．【變式訓練5】用幾個小的長方形、正方形拼成一個大的正方形，然后利用兩種不同的方法計算這個大的正方形的面積，可以得到一個等式，利用這些等式也可以求一些不規(guī)則圖形的面積．（1）由圖1可得乘法公式________；（2）如圖2，由幾個面積不等的小正方形和幾個小長方形拼成一個邊長為的正方形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么結論？該結論用等式表示為________；（3）利用（2）中的結論解決以下問題：已知，，求的值；（4）如圖3，由兩個邊長分別為，的正方形拼在一起，點，，在同一直線上，連接，，若，，求圖3中陰影部分的面積．專題06乘法公式壓軸題的四種考法類型一、平方差公式與幾何圖形綜合例1．【探究】如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形．（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積：圖①圖②；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：(用字母a、b表示)；【應用】請應用這個公式完成下列各題：①已知2m﹣n=3，2m+n=4，則4m2﹣n2的值為；②計算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．【拓展】計算的結果為．【答案】探究：（1），；（2）；應用：①12；②；拓展：．【詳解】探究：（1）圖①陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即，圖②的陰影部分為長為，寬為的矩形，則其面積為，故答案為：，；（2）由圖①與圖②的面積相等可得到乘法公式：，故答案為：；應用：①，故答案為：12；②原式，，；拓展：原式，，，，，．故答案是：．【變式訓練1】如圖，在邊長為的正方形中，剪去一個邊長為的小正方形（），將余下的部分拼成一個梯形，根據(jù)兩個圖形中陰影部分面積關系，解決下列問題：（1）如圖①所示，陰影部分的面積為（寫成平方差形式）．（2）如圖②所示，梯形的上底是，下底是，高是，根據(jù)梯形面積公式可以算出面積是（寫成多項式乘法的形式）．（3）根據(jù)前面兩問，可以得到公式．（4）運用你所得到的公式計算：．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2000．【詳解】解：（1）大正方形的面積為：，小正方形的面積為：，∴陰影部分的面積為：；故答案為：；（2）由梯形的定義可知：上底是：，下底是：，高是：，∴梯形的面積為：；故答案為：；（3）由（1）（2）可知，；故答案為：；（4）===2000；【變式訓練2】從邊長為的正方形剪掉一個邊長為的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是______（請選擇正確的一個）．A．B．C．（2）若，，求的值；（3）計算：．【答案】（1）B；（2）；（3）【詳解】解：（1）根據(jù)陰影部分面積相等可得：，

上述操作能驗證的等式是B，故答案為：B；（2）∵，∵∴（3）【變式訓練3】工廠接到訂單，需要邊長為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的邊長多少？（用含a代數(shù)式來表示）；（2）若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2測得盒子底部長方形長比寬多3，則S2﹣S1的值為．【答案】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面積＝a2+6a；②拼成的長方形的邊長分別為a和a+6；（2）9.【詳解】（1）①裁剪正方形后剩余部分的面積=（a+3）2﹣32=（a+3﹣3）（a+3+3）=a（a+6）=a2+6a；②拼成的長方形的寬是：a+3﹣3=a，∴長為a+6，則拼成的長方形的邊長分別為a和a+6；（2）設AB=x，則BC=x+3，∴圖1中陰影部分的面積為S1=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x﹣3），圖2中陰影部分的面積為S2=x（x+3）﹣（a+3）2﹣32+3（a+6﹣x），∴S2﹣S1的值=3（a+6﹣x）﹣3（a+6﹣x﹣3）=3×3=9．故答案為9．【變式訓練4】（1）如圖1所示，若大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則陰影部分的面積是______；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2所示的一個長方形，則它的面積是_________；（2）由（1）可以得到一個乘法公式是________；（3）利用你得到的公式計算：．【答案】（1）a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）1【詳解】解：（1）圖①陰影部分的面積為：a2-b2，圖②長方形的長為a+b，寬為a-b，所以面積為：（a+b）（a-b），故答案為：a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，故答案為：（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．類型二、完全平方公式變形例1．已知，求與的值．【答案】【詳解】，,，,．例2已知，則________.【答案】6【詳解】解：∵x2+y2+z2-4x+6y+2z+14=0，∴x2-4x+4+y2+6y+9+z2+2z+1=0，∴(x-2)2+(y+3)2+(z+1)2=0，∴x-2=0，y+3=0，z+1=0，∴x=2，y=-3，z=-1，∴xyz=2×（-3）×（-1）=6．故答案為：6【變式訓練1】已知，求的值．【答案】34【詳解】解：根據(jù)非負性，得：，，，，，的值是34．【變式訓練2】已知（x+2021）+（x+2022）=49，則（x+2021）（x+2022）的值為（）A．20 B．24 C． D．【答案】B【詳解】解：且故選：B【變式訓練3】已知：，，分別求和的值．【答案】，【詳解】解：，，①②得，即；①②得，即．【變式訓練4】已知，求下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)7；(2)5【解析】(1)解：∵，∴，即，∴．(2)解：∵，∴，∴．【變式訓練5】當x=______時，代數(shù)式8x2-12x+5有最小值，最小值為______.【答案】

【詳解】解：，當時，有最小值，最小值為．故答案為：；．類型三、完全平方公式字母的值例1．當k取何值時，是一個完全平方式？【答案】【詳解】解：∵100x2﹣kxy+49y2是一個完全平方式，∴﹣k＝±2×10×7，∴k＝±140，即當k＝±140時，100x2﹣kxy+49y2是一個完全平方式．【變式訓練1】如果是一個完全平方公式，求k的值．【答案】．【詳解】由題意得：，即，則解得．【變式訓練2】若把代數(shù)式化成的形式，其中，為常數(shù)，則______．【答案】【詳解】解：∵＝x2?2x＋1?3＝（x?1）2?3，∴m＝?1，k＝?3，∴m＋k＝?4．故答案為：?4．【變式訓練3】（1）設，則__________．A．

B．

C．

D．（2）當________時，多項式有最小值___________．【答案】（1）A；（2）2，14【詳解】解：（1）∵，，∴，∴M>N，故選A．（2）∵，，∴當a=2時，有最小值為14，故答案為：2，14．【變式訓練4】若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式，則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，完全平方數(shù)是非負數(shù)．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n是完全平方數(shù)，求n的值．（2）若一個正整數(shù)，它加上61是一個完全平方數(shù)，當減去11是另一個完全平方數(shù)，寫所有符合的正整數(shù)．【答案】（1）n＝4或n＝10；（2）所有符合的正整數(shù)是20、60或300．【詳解】（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2，∴若28＝a2，210＝b2，則a＝24，b＝25，2n＝2ab＝210，解得：n＝10若28＝a2，210＝2ab，所以b＝25，則2n＝b2＝210，解得：n＝10，若210＝a2，28＝2ab，所以b＝22，則2n＝b2＝24，解得：n＝4，所以n＝4或n＝10；（2）解：設正整數(shù)為x，則x+61＝a2，x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整數(shù)），則a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，故（a+b）（a﹣b）＝72，由于a+b與a﹣b同奇偶，故或或者，當時,解得：，∴x＝b2+11＝60；當時，解得：，∴x＝b2+11＝300；當時，解得：，∴x＝b2+11＝20．所以所有符合的正整數(shù)是20、60或300．類型四、完全平方公式與幾何圖形例.乘法公式的探究及應用：數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b、寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)請用兩種不同的方法表示圖2大正方形的面積．方法1：________；方法2：________；(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的數(shù)量關系：_______；(3)根據(jù)（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：，，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)（a+b）2；a2+2ab+b2(2)（a+b）2＝a2+b2+2ab(3)①ab＝2；②-3【解析】(1)方法1：大正方形的邊長為（a+b），∴S＝（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2．方法2：大正方形的面積＝各個部分面積之和，∴S＝a2+2ab+b2．故答案為：a2+2ab+b2．(2)由圖2可得總面積減掉兩個小矩形面積等于兩個正方形面積之和，即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．故答案為：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．(3)①∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，a2+b2＝21，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣21＝4，∴ab＝2；②令，∴，由可得，2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝－6，∴＝xy＝-3.【變式訓練1】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）（1）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關系是；（2）根據(jù)（1）中的結論，若x+y=5，xy=，則x-y=；（3）拓展應用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值【答案】（1）；（2）或；（3）【詳解】解：（1）由圖知：（2）∵，∴∵，∴，∴或，故答案為：或（3）∵且，∴【變式訓練2】如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．(1)圖2中的陰影部分的面積為：____________（用a、b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關系是____________；(3)利用（2）中的結論，若，，求的值____________；(4)實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式．如圖3，請你寫出這個等式____________．(5)如圖4，點是線段上的一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當時，的面積記為，當時，的面積記為，…，以此類推，當時，的面積記為，計算的值．【答案】(1)；(2)；(3)16(4)；(5)【解析】(1)(2)(3)，時，，故答案為：16(4)(5)如圖，連接，在正方形和正方形中∴∴當時，；當時，；……當時，；∴．【變式訓練3】如圖，將邊長為的正方形剪出兩個邊長分別為，的正方形（陰影部分）．觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個不同的代數(shù)式表示陰影部分的面積．方法1：______，方法2：________；（2）從中你發(fā)現(xiàn)什么結論呢？_________；（3）運用你發(fā)現(xiàn)的結論，解決下列問題：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①28；②．【詳解】解：（1）方法1，陰影部分的面積是兩個正方形的面積和，即，方法2，從邊長為的大正方形面積減去兩個長為，寬為的長方形面積，即，故答案為：，；（2）在（1）兩種方法表示面積相等可得，，故答案為：；（3）①，，又，；②設，，則，，，答：的值為．【變式訓練4】閱讀理解，解答下列問題：利用平面圖形中面積的等量關系可以得到某些數(shù)學公式．（1）例如，根據(jù)下圖①，我們可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根據(jù)圖②能得到的數(shù)學公式是__________．（2）如圖③，請寫出（a＋b）、（a﹣b）、ab之間的等量關系是__________（3）利用（2）的結論，解決問題：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根據(jù)圖④，寫出一個等式：__________．（5）小明同學用圖⑤中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片，用這些紙片恰好拼出一個面積為（3a＋b）（a＋3b）長方形，請畫出圖形，并指出x＋y＋z的值．類似地，利用立體圖形中體積的等量關系也可以得到某些數(shù)學公式．（6）根據(jù)圖⑥，寫出一個等式：___________．【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）畫圖見解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2【詳解】（1）根據(jù)圖②各個部分面積之間的關系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案為：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋