北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊?？碱}專練專題14全等三角形模型(一)(原卷版+解析)

專題14全等三角形模型（一）題型一三垂直模型1．如圖，，，，，垂足分別為，，，，求的長．2．如圖1，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，，，，（1）求證：．（2）如果是如圖2這個(gè)圖形，、、有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．3．如圖所示，在中，，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)．（1）如圖1，連接，若，且，求的長；（2）如圖2，連接，交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰為中點(diǎn)，求證，．

4．如圖所示，直線一側(cè)有一個(gè)等腰，其中，．直線過頂點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)，，的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，恰好滿足．延長，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．5．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題．（1）求證：；（2）如果每塊磚的厚度，請你幫小明求出三角板的面積．6．如圖，在中，點(diǎn)在的延長線上，且．過點(diǎn)作，與的垂線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）請找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．已知：中，，，過點(diǎn)作，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，連接．求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，連接交的延長線于點(diǎn)．求證：．8．如圖，在中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B． C． D．9．如圖，已知于，于，，，且為上一點(diǎn)，，，則A．13 B．8 C．6 D．510．如圖，，，，，，，則等于A． B． C． D．11．如圖，小明的數(shù)學(xué)作業(yè)本上都是等距的橫線，相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，他把一個(gè)等腰直角三角板放在本子上，點(diǎn)、、恰好都在橫線上，則斜邊的長度為A．10 B． C． D．12．如圖，已知中，，，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線，，上，且，之間的距離為2，，之間的距離為3，則的長是A． B． C． D．7

題型二一線三等角模型13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．14．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接，．已知，．（1）求證：；（2）若，，求的長．15．如圖，等邊三角形中，放置等邊三角形，且點(diǎn)，分別落在，上，，連結(jié)，若平分，則的長度為．

16．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變（填“大”或“小”；（2）當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，．并說明理由；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在是等腰三角形？若存在，請直接寫出此時(shí)的度數(shù)；若不存在，請說明理由．17．如圖（1），已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)、．證明：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有．請直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），、是、、三點(diǎn)所在直線上的兩動(dòng)點(diǎn)、、三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn)，且和均為等邊三角形，連接、，若，試證明．

18．如圖，在中，，，，分別是，，上的點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)是度．（用含的代數(shù)式表示）19．已知：在中，，直線過點(diǎn)．（1）如圖1，，分別過點(diǎn)，作直線的垂線段，，垂足分別為，．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)，作，點(diǎn)，在直線上，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．題型三對角互補(bǔ)模型20．如圖，已知四邊形，，，，則四邊形的面積為．21．如圖，在四邊形中，，，連接．若，則四邊形的面積為．22．如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)，以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③和互補(bǔ)；④是等腰直角三角形；⑤四邊形的面積是面積的，其中正確的結(jié)論是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④23．如圖，四邊形中，已知，，，若四邊形的面積為，則．

24．綜合與實(shí)踐如圖1，正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．知識初探．求證：；探究計(jì)算如圖1，若，求四邊形的面積；拓展探究如圖2，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積是（直接寫出答案，不寫過程）．25．如圖，，將一塊足夠大的三角尺的直角頂點(diǎn)落在的平分線上的任意一點(diǎn)上，使三角形的兩條直角邊與的兩邊分別相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在的反向延長線上，其他條件不變，問還成立嗎？請說明理由．

26．已知：如圖13.5.4，是的平分線，是上任意一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等便可證得．【問題解決】請根據(jù)教材分析，結(jié)合圖①寫出證明的過程．【類比探究】（1）如圖②，是的平分線，是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別在和上，連接和，若，求證：；（2）如圖③，的周長是12，、分別平分和，于點(diǎn)，若，則的面積為．專題14全等三角形模型（一）題型一三垂直模型1．如圖，，，，，垂足分別為，，，，求的長．【解答】解：，，，，，，，在和中，，，，，．2．如圖1，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，，，，（1）求證：．（2）如果是如圖2這個(gè)圖形，、、有什么數(shù)量關(guān)系？并證明．【解答】證明：（1），，，，，，，且，，，，，；（2），理由如下：，，，，，，，且，，，，，．3．如圖所示，在中，，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)．（1）如圖1，連接，若，且，求的長；（2）如圖2，連接，交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰為中點(diǎn)，求證，．【解答】解：（1），，，，在和中，，，；（2）如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，，，．4．如圖所示，直線一側(cè)有一個(gè)等腰，其中，．直線過頂點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)，，的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，恰好滿足．延長，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，又，．．在和中，，，；（2），，．在和中，，，．．平分，，．．綜上，．5．一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見了，于是有了下面這道題．（1）求證：；（2）如果每塊磚的厚度，請你幫小明求出三角板的面積．【解答】（1）證明：由題意得：，，，，，，，在和中，，；（2）解：由題意得：，，，，，的面積；答：的面積為．6．如圖，在中，點(diǎn)在的延長線上，且．過點(diǎn)作，與的垂線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）請找出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：，，，，，在和中，，；（2）解：，理由：由（1）證得，，，，，．7．已知：中，，，過點(diǎn)作，且．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于，連接．求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，連接交的延長線于點(diǎn)．求證：．【解答】解：（1）證明：，，，，，，在和中，，，；（2）如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，．8．如圖，在中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B． C． D．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，且，，，，，點(diǎn)，故選：．9．如圖，已知于，于，，，且為上一點(diǎn)，，，則A．13 B．8 C．6 D．5【解答】解：，，，，在和中．．．故選：．10．如圖，，，，，，，則等于A． B． C． D．【解答】解：，，，，又，且，故選：．11．如圖，小明的數(shù)學(xué)作業(yè)本上都是等距的橫線，相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，他把一個(gè)等腰直角三角板放在本子上，點(diǎn)、、恰好都在橫線上，則斜邊的長度為A．10 B． C． D．【解答】解：過點(diǎn)作點(diǎn)所在橫線于點(diǎn)，過點(diǎn)作點(diǎn)所在橫線于點(diǎn)，如圖所示．為等腰直角三角形，，．，，．在和中，，，，．在中，，，，，．故選：．12．如圖，已知中，，，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線，，上，且，之間的距離為2，，之間的距離為3，則的長是A． B． C． D．7【解答】解：作于，作于，，又，，在中，根據(jù)勾股定理，得，在中，根據(jù)勾股定理，得；故選：．題型二一線三等角模型13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．答案:7【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA＋∠CAE＝180°－α，∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠BDA＝∠AEC,∠BAD＝∠ACE,AB＝AC))，∴△BAD≌△ACE(AAS)，∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD＋AE＝10，∴AD＝DE－AE＝DE－BD＝10－3＝7．∴CE＝7．14．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接，．已知，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【解答】（1）證明：，，在與中，，；（2）解：，，，，，．15．如圖，等邊三角形中，放置等邊三角形，且點(diǎn)，分別落在，上，，連結(jié)，若平分，則的長度為2.5．【解答】解：如圖，在上截取，連接，和是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，平分，，，，，，，，，．故答案為：2.5．16．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，25，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變（填“大”或“小”；（2）當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，．并說明理由；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在是等腰三角形？若存在，請直接寫出此時(shí)的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，，，，，，由圖形可知，逐漸變小，故答案為：；；??；（2）當(dāng)時(shí)，，理由：，，，，，在和中，，；（3）當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時(shí)，的形狀是等腰三角形，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時(shí)，的形狀是等腰三角形．17．如圖（1），已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)、．證明：．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有．請直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），、是、、三點(diǎn)所在直線上的兩動(dòng)點(diǎn)、、三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)為平分線上的一點(diǎn)，且和均為等邊三角形，連接、，若，試證明．【解答】證明：（1），，，，，，在和中，，，，，；（2）結(jié)論：成立．理由：，，．在和中，，，；（3）和均為等邊三角形，，，，．在和中，，，，．，，．在和中，．18．如圖，在中，，，，分別是，，上的點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)是度．（用含的代數(shù)式表示）【解答】解：，，在和中，，，，，，，故答案為：．19．已知：在中，，直線過點(diǎn)．（1）如圖1，，分別過點(diǎn)，作直線的垂線段，，垂足分別為，．①依題意補(bǔ)全圖1；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)，作，點(diǎn)，在直線上，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．【解答】解：（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖1所示．②用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系為．證明：，，．．，直線過點(diǎn)，．．又，，，．．（2）用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：是的一個(gè)外角，，，，在和中，，，，，．故答案為：．題型三對角互補(bǔ)模型20．如圖，已知四邊形，，，，則四邊形的面積為8．【解答】解：如圖，作、，交的延長線于點(diǎn)，，四邊形為矩形，，，，在與中，，，，與的面積相等，四邊形的面積正方形的面積，正方形的面積，四邊形的面積，故答案為：8．21．如圖，在四邊形中，，，連接．若，則四邊形的面積為32．【解答】解：過作，交的延長線于，如圖所示：，，，，，，，，，在和中，，，，的面積的面積，四邊形的面積的面積，故答案為：32．22．如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)、，連接交于點(diǎn)，以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③和互補(bǔ)；④是等腰直角三角形；⑤四邊形的面積是面積的，其中正確的結(jié)論是A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④【解答】解：，，，故①正確；點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，四邊形的面積為，故④正確，⑤不正確；，和互補(bǔ)，故③正確；不是定長，故②不正確．正確的有：①③④，故選：．23．如圖，四邊形中，已知，，，若四邊形的面積為，則4．【解答】將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．四邊形內(nèi)角和，．，、、三點(diǎn)共線．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知度，，是等邊三角形．四邊形面積等于面積，等邊面積，解得．故答案為4．24．綜合與實(shí)踐如圖1，正方形的對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．知識初探．求證：；探究計(jì)算如圖1，若，求四邊形的面積；拓展探究如圖2，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積是8（直接寫出答案，不寫過程）．【解答】解：知識初探證明：在正方形和正方形中，，，，，，，在和中，，，；探究計(jì)算解：在正方形中，，在中，，，由上題可知，，．拓展探究解：四邊形中，，，，四邊形的面積是：．故答案為：8．25．如圖，，將一塊足夠大的三角尺的直角頂點(diǎn)落在的平分線上的任意一點(diǎn)上，使三角形的兩條直角邊與的兩邊分別相交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在的反向延長線上，其他條件不變，問還成立嗎？請說明理由．【解答】證明：（1）過作，交于，則，，平分，，是等腰直角三角形，，，，，，，，（2）成立，理由是：如圖2，作，交于，則，同理得：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，．26．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材