組合第五章 彎曲應(yīng)力教材

第五章彎曲應(yīng)力材料力學(xué)1§5–1引言§5–2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力§5–3慣性矩與平行軸定理§5–4梁橫截面上的剪應(yīng)力§5–5梁的強(qiáng)度條件§5–6

梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)§5–7斜彎曲與彎拉(壓)組合第五章彎曲應(yīng)力2§5－１引言1、彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力內(nèi)力剪力Q

剪應(yīng)力t彎矩M

正應(yīng)力s3研究?jī)?nèi)容：正應(yīng)力、切應(yīng)力、強(qiáng)度計(jì)算以及梁的組合強(qiáng)度設(shè)計(jì)，同時(shí)還有雙對(duì)稱彎曲以及非對(duì)稱彎曲，彎拉組合變形。4平面彎曲時(shí)橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無(wú)Q的情況)平面彎曲時(shí)橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)2、研究方法縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：5

某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒(méi)有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaaABQMxx純彎曲(PureBending):PPPa6§5－2平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、

純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸bdacabcdMM7橫截面上只有正應(yīng)力。

平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，距中性軸等高處，變形相等。

（可由對(duì)稱性及無(wú)限分割法證明）3.推論2.兩個(gè)概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線?？v向?qū)ΨQ面中性層中性軸89A1B1O1O4.幾何方程：

abcdABdqrxy)))OO1)10

（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。sxsx（三）靜力學(xué)關(guān)系：11（對(duì)稱面）……(3)EIz桿的抗彎剛度。Iz截面對(duì)Z軸的慣性矩12（四）最大正應(yīng)力：……(5)DdDd=abBhH13例1受均布載荷作用的簡(jiǎn)支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半徑。Q=60kN/mAB1m2m11x+M1Mmax12120180zy解：畫(huà)M圖求截面彎矩3014Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120zy求應(yīng)力1803015求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax121201803016例2外伸梁T形梁截面，用鑄鐵制成，試校核梁的強(qiáng)度。Cy2y12mq=10kN/mADBEP＝20kN2m2m17解：（1）梁的內(nèi)力分析，找出危險(xiǎn)截面q=10kN/mADBEP＝20kN5kN35kN包含反力的全部外載荷畫(huà)彎矩圖：可省去制表危險(xiǎn)截面：

B,D？18（2）找出危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn)：a,b,dCy2y1ADBE10kN*m20kN*m(-)(+)B截面D截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力abed拉應(yīng)力壓應(yīng)力19（3）計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力校核強(qiáng)度最大壓應(yīng)力：最大拉應(yīng)力：梁的強(qiáng)度符合要求B截面D截面壓應(yīng)力拉應(yīng)力abed拉應(yīng)力壓應(yīng)力20§5－3慣性矩與平行軸定理上一節(jié)的分析表明，要計(jì)算梁彎曲的正應(yīng)力與變形，必須知道截面的慣性矩。定義：是面積與它到軸的距離的平方之積。dAxyyx21一、簡(jiǎn)單截面的慣性矩1、矩形截面C形心軸22中性軸中性層矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力分布232、圓形形截面CzzyddA由圖中知圓形截面同理，對(duì)于空心截面24二、組合公式三、平行軸定理zz0yO對(duì)于組合形體，要計(jì)算對(duì)Z軸的慣性矩，需要計(jì)算各組成部分對(duì)自身形心軸Z0的慣性矩，兩個(gè)軸往往不重合。25積分因此有平行軸定理：截面對(duì)任一坐標(biāo)軸z的慣性矩，等于對(duì)其平行形心軸z0的慣性矩，加上截面面積與兩軸間距離的平方的積。26例：寬度b=6mm，厚度

的鋼帶，環(huán)繞在直徑的皮帶輪上，已知鋼帶的彈性模量，試求鋼帶內(nèi)最大彎曲正應(yīng)力和彎矩。解：1.應(yīng)力分析與皮帶輪相貼部分鋼帶的曲率半徑截面上矩中型軸最遠(yuǎn)的距離最大彎曲正應(yīng)力2.內(nèi)力分析27例：圖示懸臂梁,自由端承受15kN作用，試計(jì)算截面B-B的最大彎曲拉應(yīng)力與壓應(yīng)力，已知：解：首先確定截面形心位置由組合形心計(jì)算公式：計(jì)算截面的慣性矩分別計(jì)算A1,A2對(duì)形心軸z的慣性矩(1)(2)28例：圖示懸臂梁,自由端承受15kN作用，試計(jì)算截面B-B的最大彎曲拉應(yīng)力與壓應(yīng)力，已知：(1)(2)截面B的彎矩在截面的上下緣，存在最大拉應(yīng)力與壓應(yīng)力29四.彎曲正應(yīng)力公式的適用范圍

公式適用于橫截面具有對(duì)稱軸的任何截面形狀的梁（載荷作用于該對(duì)稱面內(nèi)）?？v向?qū)ΨQ面305.，即公式僅適用于彈性范圍。2.在橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力作用。此時(shí)梁的平面假設(shè)和單向拉壓假設(shè)均不再成立，但當(dāng)梁跨長(zhǎng)與截面高度之比l／h＞5時(shí)（工程實(shí)際中的梁遠(yuǎn)大于5），切應(yīng)力的存在對(duì)梁的正應(yīng)力的分布影響極微，可忽略，因此可以足夠精確地推廣應(yīng)用到橫力彎曲（剪切彎曲）情況。3.公式適合于直梁，但可近似地用于小曲率（）梁。4.非對(duì)稱截面梁彎曲中心開(kāi)口薄壁桿件。31§5－4對(duì)稱彎曲梁橫截面上的剪應(yīng)力一、

矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè)：

①剪應(yīng)力與剪力平行；

②距中性軸等距離處，剪應(yīng)力

相等。2、研究方法：分離體平衡。

①在梁上取微段如圖b；

②在微段上取一塊如圖c，平衡dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c32dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應(yīng)力互等33稱為截面對(duì)z軸的靜矩剪應(yīng)力分布靜矩及剪應(yīng)力分布34Qt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植迹馗叨萮分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力沿截面高度分布是不均勻的由剪切胡克定律，截面上切應(yīng)變沿高度分布也不均勻，切應(yīng)變?cè)诮孛嫔戏植疾痪鶆虻暮蠊褪墙孛娈a(chǎn)生翹曲。二、截面翹曲35中性層分析表明，如果梁的長(zhǎng)度l遠(yuǎn)大于其截面高度h，例如，，則公式仍然相當(dāng)精確三、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計(jì)算公式亦為：其中Q為截面剪力；Sz為y點(diǎn)以下的面積對(duì)中性軸之靜矩；Iz為整個(gè)截面對(duì)z軸之慣性矩；b

為y點(diǎn)處截面寬度。362、幾種常見(jiàn)截面的最大彎曲剪應(yīng)力①工字鋼截面：假設(shè)：腹板上各點(diǎn)的彎矩平行于腹板的側(cè)邊，并沿腹板厚度均勻分布翼緣上的切應(yīng)力，基本沿翼緣側(cè)邊分布，其值遠(yuǎn)小于腹板的切應(yīng)力37

①工字鋼截面：;?maxAQtf結(jié)論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計(jì)算腹板上的tmax。

鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應(yīng)力Af—腹板的面積。;?maxAQtf38

②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：exyzPQeQeh3940【解】由平衡條件求得

kN，kN

梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖b、c所示【例6-1】外伸梁受力如圖a所示。梁由鋼板焊接而成，截面尺寸如圖d所示。已知，，試校核梁的強(qiáng)度，并求焊縫ab處的剪應(yīng)力。(1)求支座反力并畫(huà)內(nèi)力圖41kN·m，發(fā)生在B截面處kN，發(fā)生在B左截面處(2)計(jì)算截面的幾何性質(zhì)mm42(3)強(qiáng)度校核<=120正應(yīng)力滿足強(qiáng)度要求mm3<=60

剪應(yīng)力亦滿足強(qiáng)度要求43(4)焊縫ab處的剪應(yīng)力在焊縫ab處將截面截為兩部分，求出其中任一部分（例如左部分）對(duì)中性軸Z的靜矩：mm3通過(guò)本例可以看出，梁的強(qiáng)度計(jì)算主要是滿足正應(yīng)力的強(qiáng)度條件，一般不用校核剪應(yīng)力44例：如圖示的矩形截面懸臂梁，承受集度為q的均布載荷作用。四、彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力的比較梁的最大剪力與最大彎矩分別為:45梁最大彎曲正應(yīng)力為梁的最大彎曲切應(yīng)力為二者的比值為當(dāng)梁的跨度l遠(yuǎn)大于截面高度h時(shí)，正應(yīng)力遠(yuǎn)大于切應(yīng)力46§5-4

梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件?梁的合理截面1、危險(xiǎn)面與危險(xiǎn)點(diǎn)分析：①一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對(duì)值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對(duì)值最大的截面的中性軸處。QtsssMt一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件472、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：②帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個(gè)可能危險(xiǎn)的點(diǎn)，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。（以后講）3、強(qiáng)度條件應(yīng)用：依此強(qiáng)度準(zhǔn)則可進(jìn)行三種強(qiáng)度計(jì)算：sMQtts484、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：②鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核剪應(yīng)力。①梁的跨度較短，M

較小，而Q較大時(shí)，要校核剪應(yīng)力。③各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。、校核強(qiáng)度：①校核強(qiáng)度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③設(shè)計(jì)載荷：49解：畫(huà)內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例2矩形(b

h=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[

]=7MPa，[

]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x50求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度

應(yīng)力之比q=3.6kN/mxM+Q–+x51y1y2GA1A2解：畫(huà)彎矩圖并求危面內(nèi)力例3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[

L]=30MPa，[

y]=60MPa，其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，試校核此梁的強(qiáng)度。并說(shuō)明T字梁怎樣放置更合理？畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，找危險(xiǎn)點(diǎn)P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD52校核強(qiáng)度

T字頭在上面合理。y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A4A3⊕○53【例6-1】吊車梁如圖6-10a所示，若起吊重量P=30kN,吊車梁跨度l=8m，梁材料的

，。若梁由工字鋼制成，試選擇工字鋼的型號(hào)。54§5-5梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)551916年9月11日加拿大魁北克大橋二度坍塌.坍塌原因：由于設(shè)計(jì)上的缺陷，導(dǎo)致橋體實(shí)際承載量遠(yuǎn)低于設(shè)計(jì)承載量，并導(dǎo)致該橋兩度坍塌。首次坍塌時(shí)間為1907年。死亡人數(shù)：95人

561967年12月15日,美國(guó)連接西佛羅里達(dá)州波因特普萊森特與俄亥俄州Kanauga的吊橋坍塌。坍塌原因：歷時(shí)39年的高負(fù)荷運(yùn)作，使得該橋靠近俄亥俄州一面的一個(gè)鏈環(huán)不堪重負(fù)而斷裂。死亡人數(shù)：46人571981年7月17日,美國(guó)堪薩斯州海厄特-里根西飯店的高架人行橋突然斷裂。坍塌原因：當(dāng)時(shí)橋上擠滿了人群，部分人們正在跳舞。建筑學(xué)家認(rèn)為一個(gè)原因是跳舞的人們有節(jié)奏的振動(dòng)引發(fā)人行橋結(jié)構(gòu)斷裂，另一個(gè)原因就是橋面人員過(guò)多，負(fù)荷過(guò)重。死亡人數(shù)：114人58TacomaNarrowsBridgeandengineersusingsolidmechanicstheorydiscoveredhowthemovementofafluidoverastructurecancauseseriousvibrations.Knowledgegainedthroughthisresearchhasledtodesignprinciplesformodernbridgestoavoidsuchwind-inducedfailure.OnNovember7,1940theTacomaNarrowsBridgeintheStateofWashingtonvibratedviolentlyina42-mile-per-hourwind.Theoscillationsbecamesoseverethatthebridgeliterallyshookitselfapart.Thisincidentsparkedasurgeofresearchintothecause,

59廣東九江大橋60湘西鳳凰在建鐵路橋倒塌61木梁的彎曲破壞試驗(yàn)62強(qiáng)度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：剛度：穩(wěn)定性：都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。由前述分析知，梁的設(shè)計(jì)主要依據(jù)是彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，從該條件可以看出，梁的彎曲強(qiáng)度與其所用材料，橫截面形狀、尺寸以及外力引起的彎矩相關(guān)，因此，為了合理地設(shè)計(jì)梁，主要考慮以下幾個(gè)方面63一、選擇梁的合理截面矩形木梁的合理高寬比北宋李誡于1100年著?營(yíng)造法式

?一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b)為1.5英(T.Young)于1807年著?自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義

?一書(shū)中指出:矩形木梁的合理高寬比為Rbh64一般的合理截面1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面zD1zaa65zD0.8Da12a1z66工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22a2z672、根據(jù)材料特性選擇截面形狀sGz如鑄鐵類材料，常用T字形類的截面，如下圖：二、采用變截面梁最好是等強(qiáng)度梁，即若為等強(qiáng)度矩形截面，則高為同時(shí)Px68三、合理布置外力（包括支座），使M

max

盡可能小。PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5對(duì)稱PL/43L/4Mx3PL/16+MxqL2/10+69qLL/5qL/5qL/2L/2Mx+402qL502qL-Mx-+-322qL-Mx++-70四、選用高強(qiáng)度材料，提高許用應(yīng)力值同類材料，“E”值相差不多，“

jx”相差較大，故換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度和穩(wěn)定性。

不同類材料，E和G都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度和穩(wěn)定性的目的。但是，改換材料，其原料費(fèi)用也會(huì)隨之發(fā)生很大的改變！71§5-6

雙對(duì)稱截面梁的非對(duì)稱彎曲72一、斜彎曲：桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與外力（橫向力）不共面。二、斜彎曲的研究方法：1.分解：將外載沿橫截面的兩個(gè)形心主軸分解，于是得到兩個(gè)正交的平面彎曲。PyPzPzPyyzPj14xyzPPyPz13732.疊加：對(duì)兩個(gè)平面彎曲進(jìn)行研究；然后將計(jì)算結(jié)果疊加起來(lái)。xyzPyPzPPzPyyzPj74解：1.將外載沿橫截面的形心主軸分解2.研究?jī)蓚€(gè)平面彎曲①內(nèi)力18PzPyyzPj75②應(yīng)力My引起的應(yīng)力：Mz引起的應(yīng)力：合應(yīng)力：20LPzPyyzPjxyzPyPzPLmmx76④最大正應(yīng)力⑤變形計(jì)算③中性軸方程可見(jiàn)：只有當(dāng)Iy=Iz時(shí)，中性軸與外力才垂直。在中性軸兩側(cè)，距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)為拉壓最大正應(yīng)力點(diǎn)。當(dāng)

=

時(shí)，即為平面彎曲。D1D2a中性軸22PzPyyzPjD1D2affzfyb77[例1]結(jié)構(gòu)如圖，P過(guò)形心且與z軸成

角，求此梁的最大應(yīng)力與撓度。當(dāng)Iy=Iz時(shí)，即發(fā)生平面彎曲。解：危險(xiǎn)點(diǎn)分析如圖24最大正應(yīng)力變形計(jì)算中性軸ffzfybyzLxPyPzPhbPzPyyzPjD2D1a78

[例2]矩形截面木檁條如圖，跨長(zhǎng)L=3m,受集度為q=800N/m的均布力作用，[

]=12MPa，許可撓度為：L/200，E=9GPa，試選擇截面尺寸并校核剛度。解：①外力分析—分解qa=26°34′hbyzqqLAB2679§5–7

拉(壓)彎組合偏心拉（壓）截面核心一、拉(壓)彎組合變形：桿件同時(shí)受橫向力和軸向力的作用而產(chǎn)生的變形。PRPxyzPMyxyzPMyMz80Phg881水壩qPhg1082二、應(yīng)力分析：PMyMzPMZMyxyzz

y83四、危險(xiǎn)點(diǎn)（距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)）三、中性軸方程對(duì)于偏心拉壓?jiǎn)栴}中性軸P（zP，

yP）yzyz84yz五、（偏心拉、壓?jiǎn)栴}的）截面核心：ayaz已知ay，az

后，壓力作用區(qū)域。當(dāng)壓力作用在此區(qū)域內(nèi)時(shí)，橫截面上無(wú)拉應(yīng)力。可求P力的一個(gè)作用點(diǎn)中性軸截面核心5085解：兩柱橫截面上的最大正應(yīng)力均為壓應(yīng)力[例4]圖示不等截面與等截面柱，受力P=350kN，試分別求出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。圖（1）圖（2）MPPd52..P300200200P20020086例5

圖示鋼板受力P=100kN，試求最大正應(yīng)力；若將缺口移至板寬的中央，且使最大正應(yīng)力保持不變，則挖空寬度為多少？解：內(nèi)力分析如圖坐標(biāo)如圖，挖孔處的形心PP54PPMN2010020yzyC1087PPMN應(yīng)力分析如圖孔移至板中間時(shí)2010020yzyC56＋88解：拉扭組合,危險(xiǎn)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖[例6]

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,

[

]=100MPa,試按第三強(qiáng)度理論校核此桿的強(qiáng)度。故，安全。AAPPTT5889