2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-空間直線、平面的垂直【含解析】

PAGE2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-空間直線、平面的垂直【原卷版】(時(shí)間:45分鐘分值:75分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(多選題)若m,n,l為空間三條不同的直線,α,β,γ為空間三個(gè)不同的平面,則下列為真命題的是()A.若m⊥l,n∥l,則m⊥nB.若m⊥β,m∥α,則α⊥βC.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βD.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥β2.(5分)已知α,β是兩個(gè)不同的平面,l,m,n是三條不同的直線,下列條件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m?α,n?αB.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥βD.l∥m,m⊥α3.(5分)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部4.(5分)如圖,AC=2R為圓O的直徑,∠PCA=45°,PA垂直于圓O所在的平面,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),AS⊥PC,垂足為S,AN⊥PB,垂足為N,則下列結(jié)論不正確的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC5.(5分)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD,則在三棱錐ABCD中,下列結(jié)論正確的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC6.(5分)(多選題)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折,則下列結(jié)論可能正確的有()A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面BDF⊥平面BCFD.平面DCF⊥平面BCF【加練備選】(多選題)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A,B的任意一點(diǎn),AE⊥PC,垂足為E,點(diǎn)F是PB上一點(diǎn),則下列判斷中正確的是()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC7.(5分)如圖所示是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖,則在該正方體中,棱所在的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.(注:填上你認(rèn)為正確的一條棱即可,不必考慮所有可能的情況)

8.(5分)在正方體ABCDA1B1C1D1中,N為底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),P為棱A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),M為線段AP的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))

(1)CM與PN是異面直線;(2)若P為棱A1D1的中點(diǎn),則|CM|>|PN|;(3)過(guò)P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面一定不是等腰梯形;(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.9.(5分)在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分別是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中點(diǎn),請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)與A1O垂直的正方體的截面:.

10.(10分)如圖所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分別是BF,CE上的點(diǎn),AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如圖1),將四邊形ADEF沿AD折起,連接BE,BF,CE(如圖2).(1)判斷四邊形BCEF是否是平面四邊形,并寫(xiě)出判斷理由;(2)當(dāng)EF⊥CF時(shí),求證:平面ADEF⊥平面ABCD.【能力提升練】11.(5分)《九章算術(shù)》中將底面是矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,點(diǎn)E,F分別為線段PB,PC的中點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是()A.四面體E-BCD和四面體F-BCD都是鱉臑B.四面體E-BCD和四面體F-BCD都不是鱉臑C.四面體E-BCD是鱉臑,四面體F-BCD不是鱉臑D.四面體E-BCD不是鱉臑,四面體F-BCD是鱉臑12.(5分)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E,F分別是AB和CD的中點(diǎn),將正方形沿EF折成直二面角如圖所示,M為矩形AEFD內(nèi)的一點(diǎn),MO⊥EF于點(diǎn)O,如果∠MBE=∠MBC,tan∠MBO=12,那么線段MO的長(zhǎng)為13.(10分)如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且邊長(zhǎng)為a的菱形,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G為AD的中點(diǎn).(1)求證:BG⊥平面PAD;(2)求證:AD⊥PB;(3)若E為BC邊的中點(diǎn),能否在棱PC上找到一點(diǎn)F,使平面DEF⊥平面ABCD?并證明你的結(jié)論.2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-空間直線、平面的垂直【解析版】(時(shí)間:45分鐘分值:75分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(多選題)若m,n,l為空間三條不同的直線,α,β,γ為空間三個(gè)不同的平面,則下列為真命題的是()A.若m⊥l,n∥l,則m⊥nB.若m⊥β,m∥α,則α⊥βC.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥βD.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥β【解析】選AB.C中,α與β可能平行或相交;D中,α與β可能平行或相交.2.(5分)已知α,β是兩個(gè)不同的平面,l,m,n是三條不同的直線,下列條件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m?α,n?αB.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥βD.l∥m,m⊥α【解析】選D.對(duì)于A,l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,則l與α相交、平行或l?α,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,l⊥m,m∥α,則l與α相交、平行或l?α,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,α⊥β,l∥β,則l與α相交、平行或l?α,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,l∥m,m⊥α,則l⊥α,故D正確.3.(5分)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部【解析】選A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.4.(5分)如圖,AC=2R為圓O的直徑,∠PCA=45°,PA垂直于圓O所在的平面,B為圓周上不與點(diǎn)A,C重合的點(diǎn),AS⊥PC,垂足為S,AN⊥PB,垂足為N,則下列結(jié)論不正確的是()A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC【解析】選B.因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.又AN?平面PAB,所以BC⊥AN.又因?yàn)锳N⊥PB,BC∩PB=B,PB,BC?平面PBC,所以AN⊥平面PBC.又AN?平面ANS,AN?平面PAB,所以平面ANS⊥平面PBC,平面PAB⊥平面PBC,所以A,C正確,D顯然正確.5.(5分)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD,則在三棱錐ABCD中,下列結(jié)論正確的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC【解析】選D.因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD,又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又因?yàn)锳D⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,即平面ABC⊥平面ADC.6.(5分)(多選題)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折,則下列結(jié)論可能正確的有()A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面BDF⊥平面BCFD.平面DCF⊥平面BCF【解析】選BC.對(duì)于A,因?yàn)锽C∥AD,AD與DF相交但不垂直,所以BC與DF不垂直,則A錯(cuò)誤;對(duì)于B,設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P,當(dāng)BP⊥CF時(shí)就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使條件滿足,所以B正確;對(duì)于C,當(dāng)點(diǎn)D在平面BCF上的射影P落在BF上時(shí),DP?平面BDF,從而平面BDF⊥平面BCF,所以C正確;對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)D在平面BCF上的射影不可能在FC上,所以D錯(cuò)誤.【加練備選】(多選題)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A,B的任意一點(diǎn),AE⊥PC,垂足為E,點(diǎn)F是PB上一點(diǎn),則下列判斷中正確的是()A.BC⊥平面PACB.AE⊥EFC.AC⊥PBD.平面AEF⊥平面PBC【解析】選ABD.對(duì)于A,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,而B(niǎo)C?底面圓面,則PA⊥BC,又由圓的性質(zhì)可知AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,則BC⊥平面PAC,所以A正確;對(duì)于B,由A項(xiàng)可知BC⊥AE,由題意可知AE⊥PC,且BC∩PC=C,BC,PC?平面PCB,所以AE⊥平面PCB.而EF?平面PCB,所以AE⊥EF,所以B正確;對(duì)于C,由B項(xiàng)可知AE⊥平面PCB,因而AC與平面PCB不垂直,所以AC⊥PB不成立,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由B項(xiàng)可知,AE⊥平面PCB,AE?平面AEF,由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC,所以D正確.7.(5分)如圖所示是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖,則在該正方體中,棱所在的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.(注:填上你認(rèn)為正確的一條棱即可,不必考慮所有可能的情況)

【解析】如圖,結(jié)合平面圖形還原出正方體,結(jié)合正方體性質(zhì)易知,棱CG,DH,EH,FG所在的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.答案:CG,DH,EH,FG(任選一個(gè)作答)8.(5分)在正方體ABCDA1B1C1D1中,N為底面ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),P為棱A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不包括兩個(gè)端點(diǎn)),M為線段AP的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))

(1)CM與PN是異面直線;(2)若P為棱A1D1的中點(diǎn),則|CM|>|PN|;(3)過(guò)P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面一定不是等腰梯形;(4)平面PAN⊥平面BDD1B1.【解析】由A,N,C三點(diǎn)共線,M為AP的中點(diǎn),可得直線CA,PM為相交直線,所以CM,PN為相交直線,故(1)錯(cuò)誤;設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則AC=22,AP=5,AM=52,AN=2CM2=AM2+AC2-2AM·AC·cos∠PAC=54+8-210cos∠PAC=374-210cos∠PN2=AN2+AP2-2AN·AP·cos∠PAC=2+5-210cos∠PAC=7-210cos∠PAC,CM2-PN2=374-7=94>0,即|CM|>|在C1D1上取一點(diǎn)K,連接KP,KC,A1C1,使得PK∥A1C1,由A1C1∥AC,可得PK∥AC,則截面PKCA為過(guò)P,A,C的正方體的截面,由正方體的性質(zhì)可得AP=CK,則過(guò)P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形,故(3)錯(cuò)誤;由正方形的性質(zhì)可得AC⊥BD,B1B⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,可得B1B⊥AC,BD∩B1B=B,所以AC⊥平面BDD1B1,又AC?平面PAN,所以平面PAN⊥平面BDD1B1,故(4)正確.答案:(2)(4)9.(5分)在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分別是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中點(diǎn),請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)與A1O垂直的正方體的截面:.

【解析】如圖,連接AC,BD,BG,DG,A1G,OG,A1C1,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,又AC∩AA1=A,故BD⊥平面ACC1A1,因?yàn)锳1O?平面ACC1A1,故BD⊥A1O,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.答案:平面GBD(答案不唯一)10.(10分)如圖所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分別是BF,CE上的點(diǎn),AD∥BC,且DE=2AD=2AF(如圖1),將四邊形ADEF沿AD折起,連接BE,BF,CE(如圖2).(1)判斷四邊形BCEF是否是平面四邊形,并寫(xiě)出判斷理由;【解析】(1)結(jié)論:四邊形BCEF不可能是平面四邊形.理由如下:若B,C,E,F共面,則由BC∥AD,BC∥平面ADEF,可推出BC∥EF,又BC∥AD,則AD∥EF,矛盾.所以四邊形BCEF不可能是平面四邊形.(2)當(dāng)EF⊥CF時(shí),求證:平面ADEF⊥平面ABCD.【解析】(2)在平面ADEF中,易得EF⊥FD,又因?yàn)镋F⊥CF,FD∩CF=F,所以EF⊥平面CDF,又CD?平面DCF,所以EF⊥CD,又因?yàn)镃D⊥AD,而AD,EF延長(zhǎng)后相交,所以CD⊥平面ADEF,又因?yàn)镃D?平面ABCD,所以平面ADEF⊥平面ABCD.【能力提升練】11.(5分)《九章算術(shù)》中將底面是矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,點(diǎn)E,F分別為線段PB,PC的中點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是()A.四面體E-BCD和四面體F-BCD都是鱉臑B.四面體E-BCD和四面體F-BCD都不是鱉臑C.四面體E-BCD是鱉臑,四面體F-BCD不是鱉臑D.四面體E-BCD不是鱉臑,四面體F-BCD是鱉臑【解析】選D.不妨設(shè)PD=CD=BC=2,則DE=BE=3,BD=22,所以cos∠BED=DE2+BE2-BD22DE·PD⊥底面ABCD,則PD⊥BC,又因?yàn)锳BCD為正方形,則CD⊥BC,PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,PC,DF?平面PCD,則BC⊥DF,BC⊥PC,又因?yàn)镻D=DC,且點(diǎn)F為線段PC的中點(diǎn),則PC⊥DF,PC∩BC=C,所以DF⊥平面PBC,BF?平面PBC,則DF⊥BF,即可得CD⊥BC,BC⊥PC,PC⊥DF,DF⊥BF,所以△BCD,△FBC,△CDF,△BDF均為直角三角形,則四面體F-BCD是鱉臑.12.(5分)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E,F分別是AB和CD的中點(diǎn),將正方形沿EF折成直二面角如圖所示,M為矩形AEFD內(nèi)的一點(diǎn),MO⊥EF于點(diǎn)O,如果∠MBE=∠MBC,tan∠MBO=12,那么線段MO的長(zhǎng)為【解析】設(shè)MO=x,x>0,由于平面AEFD⊥平面BEFC,且交線為EF,MO⊥EF,所以MO⊥平面BEFC,則MO⊥OB,所以tan∠MBO=MOOB=xOB=12,則OB則OE=4x2-1,O