中考數(shù)學思想方法 【分類討論】方程（組）和函數(shù)中的分類討論（學生版+解析版）

方程（組）和函數(shù)中的分類討論

知識方法精講

1.含絕對值符號的一元一次方程

解含絕對值符號的一元一次方程要根據(jù)絕對值的性質和絕對值符號內代數(shù)式的值分情況討

論，即去掉絕對值符號得到一般形式的一元一次方程，再求解.

例如：解方程兇=2

解：去掉絕對值符號x=2或-x=2

方程的解為XI=2或X2=-2.

2.一元一次方程的應用

（-）一元一次方程解應用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=粵型?X100%）；（4）工程問題（①工作

進價

量=人均效率X人數(shù)X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=

工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時間）：

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題;

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量,

直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關的量，找出

之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、歹U、解、答.

列一元一次方程解應用題的五個步驟

1.審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系.

2.設：設未知數(shù)（x）,根據(jù)實際情況，可設直接未知數(shù)（問什么設什么），也可設間接未

知數(shù).

3.歹IJ：根據(jù)等量關系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

3.一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；

“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

4.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程;④解這兩個--元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

5.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=廿-4"）判斷方程的根的情況.

一元二次方程4）+法+C=0（4W0）的根與△=4ac有如下關系：

①當△>?時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=（）時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當a<0時，方程無實數(shù)根.

上面的結論反過來也成立.

6.函數(shù)關系式

用來表示函數(shù)關系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關系式.

注意：

①函數(shù)解析式是等式.

②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變

量的函數(shù).

③函數(shù)的解析式在書寫時有順序性，例如，y=x+9時表示y是x的函數(shù)，若寫成x=-y+9

就表示x是y的函數(shù).

7.動點問題的函數(shù)圖象

函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中

的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.

用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

8.一次函數(shù)的定義

（1）一次函數(shù)的定義：

一般地，形如）=依+匕（AWO,k、〃是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).

（2）注意：

①又一次函數(shù)的定義可知：函數(shù)為一次函數(shù)o其解析式為了=履+〃（4#0,鼠6是常數(shù)）的

形式.

②一次函數(shù)解析式的結構特征：ZWO;自變量的次數(shù)為1;常數(shù)項匕可以為任意實數(shù).

③一般情況下自變量的取值范圍是任意實數(shù).

④若k=0,則y=b（6為常數(shù)），此時它不是一次函數(shù).

9.一次函數(shù)的性質

一次函數(shù)的性質：

k>0,y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k<0,y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到

右下降.

由于與y軸交于（0,b）,當6>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與），軸

交于正半軸；當方<0時，（0,b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

10.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

一次函數(shù)>=依+6,且人為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（-

—?0）；與y軸的交點坐標是（0,b）.

k

直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx+b.

11.一次函數(shù)圖象與幾何變換

直線(ZWO,且上。為常數(shù))

①關于x軸對稱，就是x不變，y變成-y：-y—kx+b,即y=-依-6；

(關于X軸對稱，橫坐標不變，縱坐標是原來的相反數(shù))

②關于y軸對稱，就是y不變，x變成-x：y=k(-x)+b,即y=-近+方；

(關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標是原來的相反數(shù))

③關于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：-尸%(-%)+b,BPy^kx-b.

(關于原點軸對稱，橫、縱坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù))

12.二次函數(shù)的性質

2

二次函數(shù)y=ox2+bx+c(〃*0)的頂點坐標是(-—,4ac-b),對稱軸直線工=

2a4a2a

二次函數(shù)y=a/+fcr+c(aWO)的圖象具有如下性質：

①當。>0時，拋物線y=ax2+bx+c(〃W0)的開口向上，x<-士-時，y隨x的增大而減??；

2a

2

X>一旦時，y隨X的增大而增大；X=--L時，y取得最小值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當a<0時;拋物線y=o?+法+c(“W0)的開口向下，x<-巴時，y隨x的增大而增大；

2a

2

X>一旦時，y隨X的增大而減?。籜=一應時，y取得最大值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線_y=a/+fev+c(a#0)的圖象可由拋物線)，="/的圖象向右或向左平移|一旦|個單

2a

位，再向上或向下平移I1尤I個單位得到的.

13.二次函數(shù)的最值

(1)當。>0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，)，隨x的增

2

大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當工=上時，)'=8*_.

2a4a

(2)當〃<0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增

2

大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當》=上時，y=4ac」

2a4a

（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最

值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函

數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值.

14.拋物線與x軸的交點

求二次函數(shù)（a,b,c是常數(shù)，a#0）與x軸的交點坐標，令y=0,BPaj^+bx+c

=0,解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.

（1）二次函數(shù)），=/+法+。（a,b,c是常數(shù)，n￥0）的交點與一元二次方程/+樂+。=0

根之間的關系.

△=川-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

△=廬-4加>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=y-4"=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=/-4“c<0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：y—a（x-xi）（%-X2）（a,b,c是常數(shù)，“#0）,可直接得到

拋物線與x軸的交點坐標（xi,0）(必0).

15.坐標與圖形變化-平移

（1）平移變換與坐標變化

①向右平移。個單位，坐標尸（X,>1)0P(x+a,y)

①向左平移a個單位，坐標尸（%,y）nP（x-a,y）

①向上平移〃個單位，坐標P（x,y）=>P（x,y+b）

①向下平移6個單位，坐標P（x,y）今P（x,y-b）

（2）在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a,相

應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移。個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加

（或減去）一個整數(shù)a,相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移。個單位長度.（即：

橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減.）

16.分類討論思想

每個數(shù)學結論都有其成立的條件，每一種數(shù)學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們

所遇到的數(shù)學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統(tǒng)

一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不

同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的,

即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學思想，稱之為分類討論思想。

一.選擇題（共5小題）

1.（2021秋?黔西南州期末）如圖，數(shù)軸上的點。和點A表示的數(shù)分別是。和10,P是線

段。4上一動點.點P沿OfAfO以每秒2個單位長度的速度往返運動1次，5是線段OA

的中點，設點P運動的時間為“少&,10）.在點尸運動的過程中，當P3=2時，則點P運動

的時間f的值為（）

A.3或2B.3或7

22

C.3或［或U或1ZD.3或上或7或U

222222

2.（2020秋?撫順期末）關于x的方程-I*+2（機—1?+1=0有實數(shù)根，則加的取值范

圍是（）

A.m<\B.相，1C.m>\D.m..1

3.（2021秋?金安區(qū)期中）如圖，在矩形ABC。中，45=4,A￡>=8,點M從點3出發(fā)，

以每秒1個單位的速度沿著區(qū)fA—。運動，同時點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速

度沿著CfA—B運動，其中一點到達終點，另一點也停止運動，設Sgw=S，時間

為t（s）,則S與z之間的函數(shù)圖象大致為（）

1616

88

C.2468rD.2468/

4.（2021春?江門期末）如圖，等腰直角三角形AOAB的邊和矩形OCDE的邊OC在x

軸上，OA=4,OC=\,QE=2.將矩形OC3E沿x軸正方向平移舊＞0）個單位，所得矩

形與AO43公共部分的面積記為S（f）,將S（f）看作/的函數(shù)，當自變量/在下列哪個范圍取

值時，5。）是/的一次函數(shù)（）

C.3<r<4D.Iv/v2或

4<r<5

-2x+4(x..in)

5.（2021秋?市中區(qū)期末）定義，圖象與x軸有兩個交點的函數(shù)y=叫做關

2x+4(x<tn)

于直線x=〃?的對稱函數(shù)，它與x軸負半軸交點記為A,與x軸正半軸交點記為8.例如,

如圖：直線/:x=l,關于直線/的對稱函數(shù)y=與該直線,交于點。當直線

的對稱函數(shù)有兩個交點時，則m的取值范圍是（）

4

B.-2<見，一C.—2<〃小2D.-4</n<0

33

二.填空題（共4小題）

6.（2021秋?昌江區(qū)校級期中）若關于x的方程|x-3|-|x-5|=。有唯一解，則。的取值范

圍是-.

7.（2021秋?利津縣期中）已知函數(shù)y=（"?+l）x2-4x+2（機是常數(shù)）的圖象與x軸只有一

個交點，則，〃=.

8.（2020秋?江門期末）若函數(shù)y=（a+l）x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，貝ij“

的值為一.

9.（2021?德州模擬）若函數(shù)y=AH—+（加+2）x+g〃?+1的圖象與x軸只有一個交點，那么，“

的值為―.

三.解答題（共16小題）

10.（2021秋?梅里斯區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上，點A表示數(shù)°,點3表示數(shù)6,。、6滿

足|a+9|+|6-l|=0.

（1）點A表示的數(shù)為—.點8表示的數(shù)為—.

（2）數(shù)軸上有一個點C,且AC=3BC,則點C表示的點為.

（3）M,N都是數(shù)軸上的點，點〃從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向右運動，點N

從點8出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向左運動，設點V、N同時出發(fā)，運動時間為x秒.

①點M、N出發(fā)幾秒后相遇？

②點做、N出發(fā)幾秒后相距4個單位長度？

------1----------------------------------------1------1----------------?

AOB

11.（2021秋?重慶期末）已知：如圖1,點A、O、5依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞

點O沿順時針方向以每秒3。的速度旋轉，同時射線OB繞點O沿逆時針方向以每秒6°的速

度旋轉，如圖2,設旋轉時間為/（0秒數(shù)130秒）.

（1）則NMQ4=度，dOB=度（用含f的代數(shù)式表示）；

（2）在運動過程中，當NAQ5達到81。時，求/的值：

（3）在旋轉過程中是否存在這樣的/,使得ZNOB=2ZAOB,如果存在，直接寫出/的值；

如果不存在，請說明理由.

12.(2021秋?重慶期末)已知數(shù)軸上有A,B,C三點，分別表示數(shù)a,b,c,并且滿

足3+12)2+|6-2|=0,b與c互為相反數(shù)，兩只小蝸牛甲、乙分別從A,5兩點同時沿數(shù)

軸相向而行，甲的速度為2個單位長度/秒，乙的速度為3個單位長度/秒.

(1)求a,b,c的值；

(2)運動多少秒時，甲、乙在數(shù)軸上相遇？設相遇點為點。，請求出點。所表示的數(shù)；

(3)設點尸在數(shù)軸上表示的數(shù)為m，且點P滿足|m+12|+|m+5|+|%-5|=20.若甲運動

到點P時(此時甲、乙還沒有相遇)立即掉頭返回，問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，

求出相遇點所表示的數(shù)；若不能，請說明理由.

13.(2020秋?巴中期末)如圖，點4、3在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是。、b,其中a、人滿

足|a+2|+S-3)2=0,點A與點3之間的距離表示為43.

(1)AB=；

(2)若點C從點A出發(fā)向右運動，在運動過程中，當A、3、C三點中有一點是以另兩點

為端點的線段的中點時，點C表示的數(shù)是一；

(3)點M、N是數(shù)軸上兩動點，點M以每秒3個單位長度的速度從點A出發(fā)，點N以每

秒2個單位長度的速度從點3出發(fā)，若點M、N同時出發(fā)，運動時間為，秒，當運動多少

秒時，點M、N兩點間的距離為12個單位長度.

—L.

0B

14.（2021秋?濟寧月考）為節(jié)約用水，某市居民生活用水實行按級收費，居民用水價格（含

污水處理費）按用水量分為三級，如表是某市目前實行的水費收費標準：

級別用水量（單位：立方米）水價（含污水處理費）

第一級不超過17立方米部分3.4元/立方米

第二級超過17立方米至30立方米部5.32元/立方米

分

第三極超過30立方米部分7元/立方米

（1）若某用戶用水量為16立方米，則該用戶需交水費元；若用水量為27立方米，則

該用戶需交水費一元.

（2）若用水量為x（x>30）立方米，則請用含x的代數(shù)式表示需交的水費.

（3）十月份，小王、小胡兩家用水情況如下：

①小王家用水量比小胡家少；

②兩家用水量達到的級別不同，小王家的用水量在第二級；

③兩家用水量總共60立方米；

④水費共270.72元.請根據(jù)以上信息，算一算：小王、小胡兩家用水量分別是多少立方米？

15.（2021秋?瑞安市月考）甲乙兩家店，在雙十一期間的優(yōu)惠活動方案如下表:

甲乙

一次性購買不足200元打標價的9折無優(yōu)惠

一次性購買滿200元不滿500元打標價的8折共減30元

一次性購買滿500元不滿1000元打標價的7折共減。元

（1）當天在甲乙兩店分別購買標價300元的商品，問：共支付多少元？

（2）已知兩次在乙店購買標價均為400元的商品，發(fā)現(xiàn)比在該店一次性購買這兩件商品要

多支付30元.

①求。的值.

②若小明當天在甲乙兩店各購買一件商品，兩件商品總標價合計700元，且在甲店購買的商

品標價小于乙店，實際共支付605元，問小明在甲乙兩店購買的商品標價分別是多少？

16.（2021秋?黔西南州月考）甲、乙兩地相距360k〃，一輛小轎車和一輛貨車分別沿同一

條路線從甲地出發(fā)駛往乙地.已知貨車的速度為60切?///,小轎車的速度為90Am//z,貨車

先出發(fā)仍后小轎車再出發(fā).

（1）小轎車出發(fā)多長時間后追上貨車？

（2）在兩車的行駛過程中，小轎車行駛多長時間后與貨車相距50初;？

17.（2021秋?平陽縣期中）2021年十一國慶期間，鰲江銀泰商場打出促銷廣告，如下表所

不：

優(yōu)惠一次性購物一次性購物超過200一次性購物

條件不超過200元元，但不超過600元超過600元

優(yōu)惠沒有全部按九折其中600元扔按九折優(yōu)惠，

辦法優(yōu)惠優(yōu)惠超過600元部分按八折優(yōu)惠

用代數(shù)式表示（所填結果需化簡）：

（1）設一次性購買的物品原價為x元，當原價x超過200元，但不超過600元時，實際付

款為一元；當原價x超過600元時，實際付款為一元.

（2）若甲購物時一次性付款580元，則所需物品的原價是多少元？

（3）若乙分兩次購物，兩次所購物品的原價之和為1200元（第二次所購物品的原價高于第

一次），兩次實際付款共1068元，則乙兩次購物時，所需物品的原價分別是多少元？

18.（2021秋?新洲區(qū)期中）已知數(shù)軸上兩點對應的數(shù)分別為。、分且|。+1|+|6-3|=0.

（1）求點A、B兩點對應的有理數(shù)是、；4、B兩點之間的距離是—.

（2）若點C到點A的距離剛好是6,求點C所表示的數(shù)應該是多少？

（3）若點P所表示的數(shù)為8,現(xiàn)有一只電子螞蚊從點P出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左

運動，經過多少秒時，P到A的距離剛好等于P到8的距離的2倍？

（4）若點P所表示的數(shù)為8,現(xiàn)有一只電子螞蟻從點尸出發(fā)，以2個單位每秒的速度向右

運動，若運動的時間為f秒，2P4-加尸8的值不隨時間/的變化而改變，求，”的值.

B

19.（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）已知常數(shù)a為實數(shù)，討論關于x的方程

（a-2）x2+（-2a+l）x+a=0的實數(shù)根的個數(shù)情況.

20.（2021秋?秦都區(qū)月考）作為世界蘋果最佳優(yōu)生區(qū)，洛川蘋果備受市場青睞！蘋果產業(yè)

己成為縣城經濟的發(fā)展和農民增收致富奔小康的主導產業(yè).小李想在洛川縣某果園購買一些

蘋果，經了解，該果園蘋果的定價為5元/斤，如果一次性購買10斤以上，超過10斤部分

的蘋果的價格打8折.

（/）設小李在該果園購買蘋果x斤，付款金額為y元，求出y與x之間的函數(shù)關系式；

（2）若小李想在該果園購買130元的蘋果送給朋友，請你算一算，小李一共能購買多少斤

蘋果？

21.（2021秋?鐵西區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，直線y=-3X+6

4

與x軸交于點A,與y軸交于點3,與直線y交于點C.

（1）求點C的坐標；

（2）點P是線段Q4上的一個動點（點P不與點O,A重合），過點P作平行于y軸的直

線/,分別交直線鉆，OC于點。，點￡,設點P的橫坐標為

①求線段即的長（用含加的代數(shù)式表示）；

②當點P，D,E三點中有一個點是另兩個點構成線段的中點時，請直接寫出m的值；

（3）過點C作CFLy軸于點尸，點M在線段CF上且不與點C重合，點N在線段0C上，

CM=ON,連接8W,BN,3M+3N是否存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值;

如果不存在，請說明理由.

22.（2021秋?洪洞縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線4：y=-弓x-石和直線

4：y=百尤+6交于y軸上的點C,且分別交x軸于點A,B.

（1）求A4BC的面積；

（2）判斷A4BC的形狀，并說明理由；

（3）已知點P為射線AO上一動點，過點P作尸"_LAC于點H,連結PC,如圖.是否存

在點P,使得APCH為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

23.（2021?定遠縣二模）已知y關于x的函數(shù)y=x2-2,nr+2機+4,點P為拋物線頂點.

（1）當尸點最高時，求，〃的值；

（2）在（1）的條件下，當。-3領ka時，函數(shù)有最小值為9,求a的值.

24.（2021?欽州模擬）如圖，拋物線產-/+版+c過點4（-1，0）和點8（3,0）,與y軸交于

點C在X軸上有一動點E(〃?,0)(其中加為實數(shù)，0<相<3),過動點E作直線/_Lx軸，交

拋物線于點M.

圖1圖2

(1)求拋物線解析式及點C的坐標；

(2)當機=1時，在直線/上是否存在第一象限內的點O,使得AACD是以NDC4為底角的

等腰三角形，若存在，求點。的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)連接R0并延長交y軸于點N,連接AM,OM若AAEW的面積等于AMON面積的2

倍，求加的值.

25.(2021秋?大連期末)如圖，在平面直角坐標系中，A4OB的邊。4在x軸上，OA=AB,

且線段OA的長是方程d-4x-5=0的根，過點5作3E_Lx軸，垂足為E,tanNBA￡=±,

3

動點M以每秒1個單位長度的速度，從點A出發(fā)，沿線段相向點3運動，到達點3停止.過

點M作x軸的垂線，垂足為￡>,以為邊作正方形五，點C在線段。4上，設正方

形MDCF與MOB重疊部分的面積為S,點用的運動時間為t(t>0)秒.

(1)求點3的坐標；

(2)求S關于/的函數(shù)關系式，并寫出自變量，的取值范圍；

方程（組）和函數(shù)中的分類討論

知識方法精講

1.含絕對值符號的一元一次方程

解含絕對值符號的一元一次方程要根據(jù)絕對值的性質和絕對值符號內代數(shù)式的值分情況討

論，即去掉絕對值符號得到一般形式的一元一次方程，再求解.

例如：解方程兇=2

解：去掉絕對值符號x=2或-x=2

方程的解為XI=2或X2=-2.

2.一元一次方程的應用

（-）一元一次方程解應用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=粵型?X100%）；（4）工程問題（①工作

進價

量=人均效率X人數(shù)X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=

工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時間）：

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題;

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量,

直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關的量，找出

之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、歹U、解、答.

列一元一次方程解應用題的五個步驟

1.審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系.

2.設：設未知數(shù)（x）,根據(jù)實際情況，可設直接未知數(shù)（問什么設什么），也可設間接未

知數(shù).

3.歹IJ：根據(jù)等量關系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

3.一元二次方程的定義

（1）一元二次方程的定義：

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；

“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

4.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程;④解這兩個--元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

5.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=廿-4"）判斷方程的根的情況.

一元二次方程4）+法+C=0（4W0）的根與△=4ac有如下關系：

①當△>?時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=（）時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當a<0時，方程無實數(shù)根.

上面的結論反過來也成立.

6.函數(shù)關系式

用來表示函數(shù)關系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關系式.

注意：

①函數(shù)解析式是等式.

②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變

量的函數(shù).

③函數(shù)的解析式在書寫時有順序性，例如，y=x+9時表示y是x的函數(shù)，若寫成x=-y+9

就表示x是y的函數(shù).

7.動點問題的函數(shù)圖象

函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中

的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.

用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖.

8.一次函數(shù)的定義

（1）一次函數(shù)的定義：

一般地，形如）=依+匕（AWO,k、〃是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).

（2）注意：

①又一次函數(shù)的定義可知：函數(shù)為一次函數(shù)o其解析式為了=履+〃（4#0,鼠6是常數(shù)）的

形式.

②一次函數(shù)解析式的結構特征：ZWO;自變量的次數(shù)為1;常數(shù)項匕可以為任意實數(shù).

③一般情況下自變量的取值范圍是任意實數(shù).

④若k=0,則y=b（6為常數(shù)），此時它不是一次函數(shù).

9.一次函數(shù)的性質

一次函數(shù)的性質：

k>0,y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k<0,y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到

右下降.

由于與y軸交于（0,b）,當6>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與），軸

交于正半軸；當方<0時，（0,b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

10.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

一次函數(shù)>=依+6,且人為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（-

—?0）；與y軸的交點坐標是（0,b）.

k

直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx+b.

11.一次函數(shù)圖象與幾何變換

直線(ZWO,且上。為常數(shù))

①關于x軸對稱，就是x不變，y變成-y：-y—kx+b,即y=-依-6；

(關于X軸對稱，橫坐標不變，縱坐標是原來的相反數(shù))

②關于y軸對稱，就是y不變，x變成-x：y=k(-x)+b,即y=-近+方；

(關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標是原來的相反數(shù))

③關于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：-尸%(-%)+b,BPy^kx-b.

(關于原點軸對稱，橫、縱坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù))

12.二次函數(shù)的性質

2

二次函數(shù)y=ox2+bx+c(〃*0)的頂點坐標是(-—,4ac-b),對稱軸直線工=

2a4a2a

二次函數(shù)y=a/+fcr+c(aWO)的圖象具有如下性質：

①當。>0時，拋物線y=ax2+bx+c(〃W0)的開口向上，x<-士-時，y隨x的增大而減??；

2a

2

X>一旦時，y隨X的增大而增大；X=--L時，y取得最小值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當a<0時;拋物線y=o?+法+c(“W0)的開口向下，x<-巴時，y隨x的增大而增大；

2a

2

X>一旦時，y隨X的增大而減??；X=一應時，y取得最大值4ac-b,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線_y=a/+fev+c(a#0)的圖象可由拋物線)，="/的圖象向右或向左平移|一旦|個單

2a

位，再向上或向下平移I1尤I個單位得到的.

13.二次函數(shù)的最值

(1)當。>0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，)，隨x的增

2

大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當工=上時，)'=8*_.

2a4a

(2)當〃<0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增

2

大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當》=上時，y=4ac」

2a4a

（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最

值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函

數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值.

14.拋物線與x軸的交點

求二次函數(shù)（a,b,c是常數(shù)，a#0）與x軸的交點坐標，令y=0,BPaj^+bx+c

=0,解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.

（1）二次函數(shù)），=/+法+。（a,b,c是常數(shù)，n￥0）的交點與一元二次方程/+樂+。=0

根之間的關系.

△=川-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

△=廬-4加>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=y-4"=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=/-4“c<0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：y—a（x-xi）（%-X2）（a,b,c是常數(shù)，“#0）,可直接得到

拋物線與x軸的交點坐標（xi,0）(必0).

15.坐標與圖形變化-平移

（1）平移變換與坐標變化

①向右平移。個單位，坐標尸（X,>1)0P(x+a,y)

①向左平移a個單位，坐標尸（%,y）nP（x-a,y）

①向上平移〃個單位，坐標P（x,y）=>P（x,y+b）

①向下平移6個單位，坐標P（x,y）今P（x,y-b）

（2）在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數(shù)a,相

應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移。個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加

（或減去）一個整數(shù)a,相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移。個單位長度.（即：

橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減.）

16.分類討論思想

每個數(shù)學結論都有其成立的條件，每一種數(shù)學方法的使用也往往有其適用范圍，在我們

所遇到的數(shù)學問題中，有些問題的結論不是唯一確定的，有些問題的結論在解題中不能以統(tǒng)

一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不

同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉化手段而言都是一致的,

即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學思想，稱之為分類討論思想。

一.選擇題（共5小題）

1.（2021秋?黔西南州期末）如圖，數(shù)軸上的點。和點A表示的數(shù)分別是0和10,P是線

段。4上一動點.點P沿OfAfO以每秒2個單位長度的速度往返運動1次，5是線段OA

的中點，設點P運動的時間為“少&,10）.在點P運動的過程中，當P3=2時，則點P運動

的時間f的值為（）

OBPA

III1A

010

A.3或2B.3或7

22

C.3或［或U或1ZD.3或U或7或“

222222

【考點】一元一次方程的應用；數(shù)軸

【分析】分噴出5與5馴10兩種情況進行討論，根據(jù)尸3=2列方程，求解即可.

【解答】解：①當砥15時，動點P所表示的數(shù)是2/,

?;PB=2,

2f-5|=2,

:.2t-5=-2,或2/-5=2,

解得r=3或r；

22

②當5別10時，動點P所表示的數(shù)是20-27,

?;PB=2,

120-2-5|=2,

.-.20-2/-5=2,或20-2/-5=-2,

解得f=U或/=□.

22

綜上所述，運動時間/的值為3或工或上或口.

2222

故選：C.

【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用以及數(shù)軸上點的位置關系，根據(jù)P點位置的

不同正確進行分類討論，進而列出方程是解題的關鍵.

2.（2020秋?撫順期末）關于x的方程（/_1*+2（m-1口+1=0有實數(shù)根，則加的取值范

圍是（）

A.m<\B.因,1C.>1D.m.A

【考點】一元二次方程的定義；根的判別式

【分析】由于方程有實數(shù)根，當方程為一元二次方程時.，☆△>（）,即可求出機的取值范圍，

要注意，病-1x0.再令方程為一元一次方程，進行解答.

【解答】解：當方程（疝-1?2+2（機-1?+1=0為一元二次方程時，

加2-1H0,即〃？片土1.

關于x的方程（病-I）%2+2（/n-l）x+1=0有實數(shù)根,

△=[-2（機-I）]2-4（>-1）

=-8加+8..0,

解得m,,1；

m<l,

當方程（蘇-1優(yōu)+2（"z-l）x+l=0為一元一次方程時，

毋-1=0且2（加-1）父0,

貝IJ,?!=—1,

綜上，加<1時方程有實數(shù)根.

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，注意要分類討論，對一元一次方

程和一元二次方程分別解答.

3.（2021秋?金安區(qū)期中）如圖，在矩形"CD中，AB=4,">=8,點M從點B出發(fā)，

以每秒1個單位的速度沿著5fA-。運動，同時點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速

度沿著C->￡>fAfB運動，其中一點到達終點，另一點也停止運動，設SS”N=S，時間

為f（s）,則S與f之間的函數(shù)圖象大致為（）

【考點】動點問題的函數(shù)圖象

【分析】利用分類討論的思想方法分四種情況討論解答：①疑12,②2<f<4,③4馴6,

④6<f,,8；依據(jù)f的取值范圍畫出對應的圖形，求出對應的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式的大致

圖象即可得出結論.

【解答】解：①當旗才2時，此時，點M在河上，點N在C￡>上，

由題意得：CN=2/,

:.DN=CD-CN=4-2t.

.?.5=-DA^MD=lx(4-2/)x8=16-8r.

22

?.?嫩2,

此時函數(shù)的圖象是以(0,16)和(2,0)為端點的線段;

②當2<f<4時，此時點M在他上，點N在")上，如圖,

由題意得：DN=2t-4,MB=t.

:.AM=AB-BM^4-t,

.-.S=-￡>A^AM=-(2/-4)(4-r)=-r2+6r-8=-(r-3)2+l.

22

?.?2vrv4,

.?.此時函數(shù)的圖象為開口向下，對稱軸為直線f=3的拋物線的一段;

③當4期6時，此時點M,N均在線段45上，

此時s=0,函數(shù)圖象為X軸上以(4,0)和(6,0)為端點的線段；

④當6<f,,8時，此時點〃在線段上，點N在線段回上，如圖,

:.DM^AD-AM=\2-t.

.-.S=-DMA7V=-(12-0(2r-12)=-r2+18r-72.

22

*/6<8,

.?.當，=8時，S=8.

此時的函數(shù)的圖象是拋物線S=-/+18，-72上以(6,0)和(8,8)為端點的一段.

綜上，符合上述特征的函數(shù)圖象為8,

故選：B.

【點評】本題主要考查了動點問題函數(shù)的圖形，利用分類討論的方法求出相應的函數(shù)的解析

式是解題的關鍵.

4.(2021春?江門期末)如圖，等腰直角三角形AQAB的邊OA和矩形OCDE的邊OC在x

軸上，0/1=4,OC=\,OE=2.將矩形OCDE沿x軸正方向平移”f>0)個單位，所得矩

形與AOAB公共部分的面積記為5(f).將SQ)看作，的函數(shù)，當自變量，在下列哪個范圍取

值時，S")是，的一次函數(shù)()

C.3<t<4D.l<f<2或

4<V

【考點】一次函數(shù)的定義；等腰直角三角形；坐標與圖形變化-平移

【分析】分l<r<2,2W3,3</,,4,4<r<5,5討論即可得出結果.

【解答】解：?.?04=4,OC=1,OE=2,

：.當矩形OCDE在0<&1范圍內移動時，S(f)=-t2,

2

當矩形OCDE在