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文檔簡(jiǎn)介
8.6空間直線、平面的垂直(精練)
【題組一線面垂直】
1.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)汝口圖,在正方體中,點(diǎn)E是棱8c的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱CC上
【解析】連接4B,則48是。E在面ABBiA內(nèi)的射影,
于是OiEJ_平面A8/,又AFu平面AB\F,所以D\ELAF.
連接/)£則DE是DtE在底面ABCD內(nèi)的射影.
:.DtELAF,DD}±AF,因?yàn)锳Ec£>A=。,所以AF_L平面。
又。Eu平面ORE,所以。ELAR
???ABC。是正方形,E是BC的中點(diǎn)....當(dāng)且僅當(dāng)F是C。的中點(diǎn)時(shí),DE±AF,
即當(dāng)點(diǎn)F是CO的中點(diǎn)時(shí),平面A3/.,g=1時(shí),2E_L平面481.故答案為:1.
2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,四棱錐P-A8C。中,1ft4,平面A3C。,底面ABC。是正方形,PA^AD,
尸為尸。的中點(diǎn).求證:AFJ_平面PDC.
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】證明::PA_L平面ABCD,CDu平面ABCD,:.PA1CD.
,四邊形ABCD是正方形,C£>J_4),
又上4cAD=4,B4、ADu平面R4D,二8_L平面R4O,
;AFu平面PAD,ACD±AF.
?:PA=AD,FP=FD,:.AFYPD,
又CDPD=D,CD、P£>u平面PDC,AF_L平面尸£>0
3.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)如圖,直三棱柱ABC-4SG中,底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)D,E分
別是BC,AS的中點(diǎn).
(1)證明:DE〃平面ACGA;
(2)若88|=1,證明:GDJ?平面ADE.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
[解析]⑴連接A?AiC,
在直三棱柱ABC-4SG中,側(cè)面ABB\A\是矩形,
因?yàn)辄c(diǎn)E是A8的中點(diǎn),所以點(diǎn)E是A山的中點(diǎn),
又因?yàn)辄c(diǎn)。是3。的中點(diǎn),所以DE〃AC,
因?yàn)镺EC平面ACCA,4Cu平面4CCA,
所以。E〃平面ACG4.
(2)連接在直三棱柱ABC-AIBIG中,
因?yàn)槠矫?8C,AOu平面A8C,所以BB]±AD,
又因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三角形,。為BC的中點(diǎn),
所以3cLW,又BCCBB尸B,
所以AD_L平面S8CG,又CQu平面BiBCC”
所以AOJ_G。,
由BC=2,得BD=l,又BBi=CG=L
所以=CQ=0,
所以峭+CW=BC;,所以C|£>_LO81,DBtAD=D,所以CQL平面408”
即CQ,平面AOE.
4.(2021?全國(guó).高一課時(shí)練習(xí))如圖1,在直角梯形ABCO中,AD//BC,ZBAD=90°,AB=BC=-AD=a,E
2
是的中點(diǎn),。是AC與BE的交點(diǎn).將△回£沿BE折起到圖2中\(zhòng)BE的位置,得到四棱錐A-BCDE.求
證:?!?_1_平面4。U
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明:在題圖1中,
因?yàn)锳B=BC=gAO=a,E是AO的中點(diǎn),440=90°,所以8EJ_AC.
所以在題圖2中,BEYAfl,BE±OC,
又AO?OCo,所以BEI平面HOC,
又CD/iBE,所以C£>,平面AOC.
5.(2021.廣西?桂平市麻朗中學(xué)高一月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABC。是菱形,ZABC=60°,
出,平面ABC。,點(diǎn)"、N分別為BC、朋中點(diǎn),且網(wǎng)=AB=2.
(1)證明:BC_L平面AMN;
(2)求三棱錐N-AMC的體積;
(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E,使得MN〃平面ACE;若存在,求出尸E的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)詳解見(jiàn)解析;(2)也;(3)存在點(diǎn)E為尸。的中點(diǎn),PE=42
6
【解析】⑴證明:因?yàn)锳8C。為菱形,所以A8=8C,
又NABC=60。,所以AB=BC=AC,
又M為BC中點(diǎn),所以8CJ_4W,
又附_L平面ABC,BCcTffiABCD,故附_L8c
XPAQAM=A,所以8cL平面AWN.
⑵由(1)知ABC為等邊三角形,AB=BC=AC=2
又加為BC中點(diǎn),則8M=CM=1,iiLAM=ylAB2-BM-=^3
因此S.Mr=-AMCM=-xy/3x\=—,
H/WL222
又平面A3CD,PA=2,N為公的中點(diǎn),故AN=1
所以匕v-wc=:S即"'=34*1=4.
352.o
(3)存在點(diǎn)E,
取尸。中點(diǎn)E,連接NE,EC,AE,如圖所示:
因?yàn)镹,E分別為曲,PZ>中點(diǎn),所以NE/AAD,且NE=!AD,
22
又在菱形ABC。中,CM//;AD,且CM=1A。,
所以NE//MC,且NE=MC,即MCEN是平行四邊形,故NM〃EC,
又ECu平面ACE,NMQ平面ACE,故MN〃平面ACE,
即在PC上存在一點(diǎn)E,使得MN//平面ACE,此時(shí)PE=gPD=&
【題組二面面垂直】
1.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,平面PCD_L平面
ABCD,PC=a,=為小的中點(diǎn).
求證:平面£08_L平面ABC。.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】如圖所示,設(shè)AC\BD=O,連接E。,則EO〃PC.
PC=CD=a,PD=-Jia,
:.PC2+CD2=PD2PCVCD.
':平面PCD平面ABCD,平面PC。-平面ABCD=CD,
PC±平面ABCD,EO_L平面ABCD.
又EOu平面EO8,
故平面£DB_L平面ABCD.
2.(2021?山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一月考)如圖,在三棱錐P-A8C中,ZACB=90°,必,平面ABC.
AB
C
(1)求證:平面PAC_L平面P8C
(2)若AC=8C=R4,求二面角A-PB-C的正切值
【答案】⑴證明見(jiàn)解析;⑵G.
【解析】(1).%1,平面ABC,R4_LBC
QAC1BC,PAAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC
.?.8CJ_平面PAC又BCu平面P8C,
平面PAC_L平面PBC.
(2)設(shè)M是A8的中點(diǎn),過(guò)CNJ.PB于N,連接CM、MN
在,A3C中AC=BC,:.CM1AB,
又;尸A_L平面ABC,平面平面ABC,
:,CM1平面PAB,CM±PB
又1PBLCN,CMCN=C,.^.PB,平面CM/V
PB±MN,:.AMNC是:面角A—PB-C的平面角.
設(shè)AC=3C=R4=1,則在吊CMN中,
CM=—,CN=—,MN=—,
236
所以S"NMNC=g.
3.(2021?內(nèi)蒙古包頭?高一期末)如圖,在四棱錐P-ABC£>中,已知底面A8CD是菱形,且對(duì)角線AC與BO
相交于點(diǎn)。.
⑴若PB=PD,求證:平面PBOL平面PAC;
(2)設(shè)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),在棱PC上是否存在點(diǎn)F,使得P8〃平面向?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在,理由見(jiàn)解析.
證明:(1)連接尸O,一底面A6c。為菱形,8。=DO.
又?PB=PD,:.BD^PO
又-POcAC=O,.\8。,平面PAC.
Q8。u平[illPBD,,平面PAC平面PBD.
⑵棱PC上存在點(diǎn)尸,且尸為PC的中點(diǎn),使得PB〃平面AEF,
證明如下:
連接AF,EF.
E是8c的中點(diǎn),EF//PB
P8Z平面AE尸,EFu平面AE尸..?.P8〃平面A£F
4.(2021?廣東白云?高一期末)如圖,出垂直于0。所在的平面,AC為,。的直徑,AB=3,BC=4,PA=30,
AE_LP8,點(diǎn)尸為線段BC上一動(dòng)點(diǎn).
(1)證明:平面平面PBC;
(2)當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),求尸8與平面AEF所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)上叵.
19
【解析】(1)證明:因?yàn)镽4垂直于.O所在的平面,即F4L平面ABC,BCu平面ABC,
所以R4L8C,又AC為Q的直徑,所以AB_LBC,
因?yàn)镻AAB=A,所以BC_L平面%B,
又4Eu平面以B,所以BC_LAE,
因?yàn)锳E_LP8,BCPB=B,
所以AE_L平面PBC,又4Eu平面AEF,
所以平面AEF±平面PBC.
(2)解:因?yàn)??=3,PA=372.所以PB=JAB2+PA2=36,
又AELPB,所以AE==R,
由A32=3EPB,可得BE=G,
FGRF
如圖,過(guò)點(diǎn)E作EG〃Q4交AB于點(diǎn)G,貝《失=有,可得EG=y/i,
PAPB
又8c=4,所以EC=dBC、BE2=曬,
所以SAA8c=;AB-BC=6,S-:AE-EC=半,
乙乙乙
設(shè)點(diǎn)B到平面AEC的距離為〃,
由%-入叱=匕--可得;53時(shí)/6=;5力4/,解得〃=嚕,
所以當(dāng)點(diǎn)尸移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),依與平面AEF所成角的正弦值為=巫.
BE19
5.(2021?江蘇?吳江汾湖高級(jí)中學(xué)高一月考)如圖,在四棱錐P-ABC7)中,四邊形ABC£>為矩形,AB1BP,
M,N分別為AC,的中點(diǎn).
⑴求證:MN//平面ABP;
(2)若5PLPC,求證:平面平面APC.
【答案】(I)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)連結(jié)BO,
由已知,M為AC和8。的中點(diǎn),
又QN為PD的中點(diǎn)、,:.MN//BP.
出<2平面鉆尸,BPu平面ABP,〃平面ABP.
(2)AB±BP,AB1BC,BPcBC=B,二ABJL平面3PC.
PCu平面8PC,.-.AB1PC.
BPA.PC,AB=.?.PC,平面ABP.
PCu平面APC,...平面平面APC.
6(2021?山西太原市第五十六中學(xué)校高一月考)在四棱錐尸-"8中,底面ABCO是矩形,2_L平面A8C。,
PA=AD=4,AB=2,以8。的中點(diǎn)。為球心,80為直徑的球面交尸。于點(diǎn)
P
(1)求直線BD與平面PAD所成的角的正切值;
⑵求證:平面平面PCD
【答案】(l)g;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】⑴;R4_L平面ABCD,BAu平面ABCD,
:.PALBA,
又底面ABCO是矩形,.?.8ALA。,
又B4,AOu平面以。,PAAD=A,
BAJ_平面以O(shè),二直線8£>與平面必力內(nèi)的投影為A£>,
,ZAD3即為直線BD與平面PAD所成的角,
又AB=2,AD=4,
tanZADB=—;
2
二直線雙)與平面心。所成的角的正切值為
(2)證明:依題設(shè),M在以8。為直徑的球面上,則3例,叨,
由(1)得A3_L平面B4O,又P£)u平面PA力
:.ABYPD
,:ABBM=B,AB,8Mu平面A8M,
/>£)_!_平面ABM,
又PDu平面PC£>
平面AW_L平面PCD.
7.(2021?江蘇如皋?高一月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,經(jīng)過(guò)AB的平面與PD、PC分別交于點(diǎn)E與點(diǎn)F,
且平面平面尸CD,AELCD,8〃平面A8FE.
⑴求證:ABUEF:
⑵求證:平面R4£>_L平面尸CD.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)C£>//平面ABFE,COu平面PCD,平面PCD1平面ABFE=EF
:.CD//EF
同理C0//AB:.AB//EF.
(2)由(1)知CD//E尸,AELCD,:.AELEF
平面ABFE_L平面PCD,AE±EF,
平面PC£>I平面AB莊'=?,AEu平面A8FE
.?.他_1_平面「。,又4Eu平面物。中,
二平面皿>_L平面PCD
8.(2021?江蘇?濱??h八灘中學(xué)高一期中)如圖,在三棱錐P-ABC中,2瓦尸分別為棱尸C,ACA8的中點(diǎn),
已知P4_LAGAB工BC,且尸A=6,A8=BC=8,。產(chǎn)=5.
P
F
B
(1)求證:平面平面ABC;
(2)求直線尸8與平面PAC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)逑.
5
【解析】⑴證明:分別為PC,AC中點(diǎn),.1DE為△玄C的中位線
.-.DE//PA,h.DE=-PA=3,
2
PALAC,s.DELAC
又尸為A3中點(diǎn),/為,ABC的中位線,.?.?=gBC=4
又DF=5,..DE?+EF'MDF";.DELEF
又EFcAC=E,平面ABC
又DEu平面BDE,所以平面DEF_L平面ABC
(2)由(1)知OE_L平面ABC,又DEu平面尸AC,二平面PACL平面ABC
因?yàn)?5=8C,E為AC中點(diǎn),:.BE1AC
又平面PAC'平面ABC=AC,所以BE1平面PAC
NBPE為直線尸8與平面PAC所成角,
在直角△BEP中,PB=y/PA2+AB2=10-BE=AB-sin450=4y/2
所以sin/BPE=^=述
9(2021?江蘇如皋?高一月考)在直三棱柱ABC-ABg中,F(xiàn)是Bg的中點(diǎn),E是3c上一點(diǎn),線段與3F
相交于點(diǎn)M,且4E〃平面ABF.
E
⑴證明:點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn);
(2)若AB=AC,證明:平面AE81平面BCCM.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)設(shè)AB1CAB=N,連接MN,
因?yàn)锳E〃平面48尸,AEu平面ABE,平面AqEc平面A/尸=MN
所以AE7/MN,
在直三棱柱ABC-A4G中,四邊形為平行四邊形
所以AN=NB1
因?yàn)锳E//MN,所以EM=MB1,即點(diǎn)M為線段與E的中點(diǎn).
⑵在直三棱柱A8C-A4G中,BCHBG
因?yàn)镸為線段8E的中點(diǎn),所以BE=B/
又因?yàn)?G=BC,F是4G的中點(diǎn),所以BE=EC,
因?yàn)锳B=4C,所以AE_L3C
在直三棱柱ABC-ABC中,8隹,平面ABC,AEu平面ABC
所以因?yàn)锳EJ_8C,BB,BC=B,
8B|U平面B4GC,BCu平面8BCC,
所以平面8CGA,
因?yàn)锳Eu平面AEBt,所以平面AEBJ平面BCC.B,.
【題組三線線垂直】
1.(2021.安徽.六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末)如圖,在長(zhǎng)方體ABC£)-4BiG。的棱中,與棱AB垂直的
A.2條B.4條
C.6條D.8條
【答案】D
【解析】在長(zhǎng)方體ABCD—AiBGd的棱中,與棱AB垂直的棱有BC,B\C\,AS,AD,A4),BBi,CG,
DDi,共8條.故選:D.
2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,在空間四邊形ABC。中,AD=BC=2,E,尸分別是48,CD的中點(diǎn),
EF=正.求證:AD1BC.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明:如圖所示,取8。的中點(diǎn)”,連接FH.
因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),且AC=2,
所以EH〃A£>,EH=\.同理廠"〃8C,FH=i.
所以/EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線AO,8c所成的角.
因?yàn)镋F=0,所以由+尸心石尸,
所以“EF”是等腰宜角三角形,£尸是斜動(dòng),
所以/E4F=90。,即AD與BC所成的角是90°,
所以A£>_LBC.
3.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)如圖,已知矩形C£>EF和直角梯形ABC。,AB//CD,ZADC=90°,DE=DA,
M為AE的中點(diǎn).
(1)求證:AC〃平面。MF;
(2)求證:BE1DM.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)如圖,連結(jié)EC交£>產(chǎn)于點(diǎn)M連結(jié)
因?yàn)镃DE尸為矩形,所以EC,OF相互平分,所以N為EC的中點(diǎn).
又因?yàn)镸為EA的中點(diǎn),所以MN//AC.
又因?yàn)锳CC平面DMF,且MNu平面DMF.
所以AC〃平面DMF.
(2)因?yàn)榫匦蜸EE所以C£>J_O£
又因?yàn)镹4/)C=90。,所以COJ_AD
因?yàn)椤!?4。=。,DE,AOu平面AOE,所以C£>_L平面AOE.
又因?yàn)镺Mu平面ADE,所以CDA.DM.
又因?yàn)锳B〃C7),所以ABJLDW.
因?yàn)?Z)=OE,M為AE的中點(diǎn),所以AE_L0M.
又因?yàn)锳BfUE=A,AB,AEu平面ABE,所以M£?_L平面ABE
因?yàn)?Eu平面ABE,所以BE_LMD
4.(2021?天津紅橋?高一學(xué)業(yè)考試)如圖,在三棱錐P-ABC中,物,底面ABC,BC1AC,M、N分別是BC、
PC的中點(diǎn).
(1)求證:MN//平面抄1B;
(2)求證:BCA.PC.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)因?yàn)镸、N分別是8C、PC的中點(diǎn),
所以MN//PB,
又MNU平面R48,
PBu平面P48,
則MNH平面PAB
(2)因?yàn)樾坦さ酌鍭8C,
且8Cu平面ABC,
所以B4J.8C,
又3C_LAC,
且P4AC=A,PAACu平面PAC
所以8C_L平面PAC,
又PCu平面PAC,
所以BC1PC.
5.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,在三棱錐P-A3C中,尸^底面⑷^那臺(tái),笈刀式分別是筋/臺(tái)的
⑴求證:DE//PA;
⑵求證:£)初/平面尸47;
⑶求證:ABVPB.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)在三棱錐尸-ABC中,因?yàn)镽E分別是的中點(diǎn),
根據(jù)三角形的中位線定理,可得DE〃必.
⑵山(1)知。E//B4,因?yàn)樾騯平面產(chǎn)AC,OE〃PA,且。后山平面PAC,
根據(jù)線面垂直的判定定理,可得〃平面PAC.
(3)因?yàn)镻C,平面ABC,且ABi平面4BC,所以AB_LPC,
又因?yàn)锳BL3C,且PCcBC=C,所以AB_L平面PBC,
又由P8u平面PBC,所以/W_LPB.
6.(2021?廣西?桂平市麻炯中學(xué)高一月考)如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-A8C。中,ABLAC,PAA.
平面ABC。,且咫=A8,點(diǎn)E是PO的中點(diǎn).求證:
⑴AC_LPB;
(2)PB〃平面AEC.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】⑴四棱錐尸-A8CD中,因力_L平面ABC。,4Cu平面ABC。,于是得AC_L%,
而PAAB=A,平面以8,從而得ACJ_平面以8,又P8u平面租8,
所以ACUB;
⑵連接2。交AC于點(diǎn)O,連接E。,如圖,
因底面ABC。為平行四邊形,則有。是8〃中點(diǎn),又E是PZ)中點(diǎn),丁是得EO//P8,而EOu平面4EC,
P8a平面AEC,所以尸8〃平面AEC.
【題組四線線角】
1.(2021?黑龍江?嫩江市第一中學(xué)校高一期末)如圖,空間四邊形A8C。的對(duì)角線4c=8,BD=6,M,N分
別為AB,C£>的中點(diǎn),并且異面直線AC與2。所成的角為90。,則MN=()
4
c
A.3B.4
C.5D.6
【答案】C
【解析】取A。的中點(diǎn)P,連接PM,PN,則8D〃PM,AC//PN,
.../MPN或其補(bǔ)角即異面直線4c與8。所成的角,
AZMPN=90°,PN=^AC=4,PM=^BD=3,:.MN=5.
故選:C.
2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知正四棱錐P-ABCC,以=2,4B=0,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn),且BM=O,
則異面直線出與8例所成角為.
【答案】45°
【解析】如圖,連接AC,8。交于點(diǎn)O,連接OM,則N0M8為異面直線必與8M所成角.由O,M分別
為AC,PC中點(diǎn),得OM=g%=1.在用二40B中,易得OB=4Btan45o=l.又BM=母,BPOB'+OM1
=BM,所以..OMB為直角三角形,且NOMB=45。.
3.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,在三棱柱ABC—4BG中,AAi±AB,AAt±AC.若AB=AC=A4i=1,
BC=立,則異面直線4c與aG所成的角為一.
4
【答案】60°
【解析】依題意,得BC〃BC,故異面直線AC與8G所成的角即BC與4c所成的角.連接AB,在-
4BC中,BC=AIC=AIB=y/2,故NAC8=60。,即異面直線AC與BiG所成的角為60。.
故答案為:60°.
4.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))在正三棱柱ABC—4BC中,。是AB的中點(diǎn),則在所有的棱中與直線8和
441都垂直的直線有.
【答案】AB,AiBi
【解析】由正三棱柱的性質(zhì)可知與直線8和AA都垂直的直線有AB,4S.
故答案為:AB,
5.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))若NAO8=135。,直線”〃OA,a與08為異面直線,則“和08所成的角的
大小為.
【答案】45。
【解析】因?yàn)橹本€。〃04,〃與。B為異面直線,
所以ZAOB的補(bǔ)角為a與OB所成角,
又NAOB=135°,
所以a與08所成角的大小為180°-135°=45°.
故答案為:45°
6.(2021.全國(guó).高一課時(shí)練習(xí))如圖,在四面體A—58中,AC=BD=a,AC與3。所成的角為60,M、
N分別為A3、8的中點(diǎn),則線段的長(zhǎng)為.
【解析】取BC的中點(diǎn)E,連接EM、EN,
M.E分別為AB、8c的中點(diǎn),且ME=;AC=],
同理可得EN//BD且EN=^BD=%,
22
.?.NME7V為異面直線AC與BO所成的角或其補(bǔ)角,則/MEN=60或120.
在,.MEN中,EM=EN=~.
2
若N"EN=60,則MEN為等邊三角形,此時(shí),MN=3;
若NMEN=120,由余弦定理可得MN=,EM2+EN2-2EM.ENCOS120=—a.
2
綜上所述,MN=;或Ba.
22
故答案為:;或——a.
22
7.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,空間四邊形A8C3中,兩條對(duì)邊鉆=8=3,瓦尸分別是另外兩
APRF1r-
條對(duì)邊A。,BC上的點(diǎn),且蕓=蕓=:,EF=逐,則異面直線A8和CZ)所成角的大小為_(kāi)__________.
EDFC2
【答案】900
【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)E作EO〃AB,交BO于點(diǎn)。,連接。尸
異面直線AB和8所成角即為NEOF或其補(bǔ)角
21
在AEOk中,OE=1AB=2,OF=-CD=\,又EF=也
:.EF2=OE2+OF2ZEOF=90°..?異面直線AB和8所成角的大小為90
故答案為:90
8.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,A3是圓。的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),D、E分別是MB、VC的
中點(diǎn),求異面直線OE與A8所成的角.
【解析】因?yàn)椤?、E分別是丫2、VC的中點(diǎn),
所以8C〃OE,因此/A8c是異面直線。E與A8所成的角,
又因?yàn)锳B是圓。的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),
所以△ABC是以NACB為宜角的等腰宜角三角形,
于是NABC=45。,
故異面直線DE與AB所成的角為45。.
【題組五線面角】
1(2021.黑龍江?雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCZ)是平行四邊形,A4_L底面
ABCD,NPCD=90°,PA=AB=AC=2
(1)證明:ACLCD.
(2)若E是棱PC的中點(diǎn),求直線AZ)與平面PC。所成的角
【答案】⑴證明見(jiàn)解析(2)3
【解析】(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BC。,COu底面A8CO,所以P4LC。,
因?yàn)镹P8=90。,所以尸C_LC£),PAQPC=P,PAPCu平面PAC,
所以C。工平面PAC,因?yàn)锳Cu平面P4C,所以QD_LAC.
(2)由(1)8J?平面PAC,AC,AEu平面PAC,所以CD_LAE,CDLAC,
因?yàn)镋4=AC=2,E為PC的中點(diǎn),所以4E_LPC,因?yàn)镻CDC£)=C,尸心。。匚平面;>8,所以4E,平
面PC。,所以ZEZM即為直線AD與平面PCO所成的角,因?yàn)镻A=A8=AC=2,所以
AD=\lAC2+CD2=2V2>=所以AE=;PC=0,所以sinNE£>A=^=金=;,
因?yàn)椤懊髥?,所以雙人小即直線犯與平面口所成的角為全
66
2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,在棱長(zhǎng)均為1的直三棱柱ABC-A山Ci中,。是8c的中點(diǎn).
(1)求證:4O_L平面BCCiB」,
(2)求直線AG與平面BCCB所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)包.
4
【解析】⑴直三棱柱A3C-48Q中,88」平面A8C,,跖」/!。,。是8c的中點(diǎn),
/.AD1BC.XBCCBBi=B,.,*。_1_平面BCC\B\.
⑵連接GD由(1)4〃平面BCCiBi,則/4GO即為直線AG與平面BCGB、所成角.
在RfAG。中,AD-—,AC[=y/2?sinZAC\D=-^-=^~,
2AG4
即直線AG與平面BCCiBi所成角的正弦值為好.
4
3.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖在四棱錐尸-ABC。中,底面ABC。是邊長(zhǎng)為々的正方形,側(cè)面皿>_1_底
面A8CD,且尸A=P£>=也叫設(shè)E,尸分別為PC,3£>的中點(diǎn).
2
(1)求證:EF//平面PAD;
(2)求證:平面R4B_L平面PDC;
(3)求直線EF與平面ABCZ)所成角的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;⑵證明見(jiàn)解析;(3)45。.
【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛6c。為正方形,連接AC,則ACc8O=尸,尸為AC中點(diǎn),E為PC中點(diǎn),所以在
CPA中EF//PA,且PAu平面PAO,
EF<Z平面以£),所以EF//平面R4O.
(2)因?yàn)槠矫鍾4D_L平面ABC£>,
平面PAD平面4?C£)=4),且四邊形ABC。為正方形,
所以以>,A。,。u平面ABCD,
所以CD_L平面PA。,所以C£)_LPA,
又PA=PD=叵AD,
2
所以△24。是等腰直角三角形,且4PD=90。,
即且CRPOu平面PDC,
所以24J■平面POC,
又PAu平面以8,所以平面尸AB_L平面PQC.
(3)因?yàn)镸//P4,
所以直線E尸與平面A8CO所成角的大小等于直線PA與平面A8CD所成角的大小,
因?yàn)閭?cè)面PA。!■底面ABC。,所以NPAD就是直線如與平面4BC。所成角,在△”£)中,
PA=PD=—AD,所以NB4O=45。,所以直線£尸與平面ABC。所成角的大小為45。.
2
4.(2021?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高一期中)如圖,在直三棱柱A8C-4耳£中,ABlBgA,B1AC,.
(1)求證:4£=與£;
(2)若BtC與AG的所成角的余弦值為:,求BBt與平面ABC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)叵或走
72
【解析】⑴將棱M,明,CG分別向下延長(zhǎng),使得AA=A4,網(wǎng)=卻弘。&=。。2,
連接用G,A片,如圖:
.BCJ/BC,AB2與Aq的交點(diǎn)-為L(zhǎng)用的中點(diǎn),
BG/IB'C,
2G,
又A8_LAG,AC|C32cl=G,
.?.48,平面A&G,
取的中點(diǎn)尸,連接口,
:.AtB//EF,
.?.£/,平面44G,
£F±C.£,
又?.C,£±M,
.?.G£:_L平面,
.?.C,E±AB2,
又E為的中點(diǎn),
JA=C]B2,
GA=C,B2,CC,=qc^zqcA=ZC)C2B2=90°,
CCAnGG4,AC=C2B2,
AC=C2B2,AC=AG,C2B2=C、B[,
AG=MG
(2)由(1)知8c與AC;的所成角即紇J與AG的所成角,cosNB2GA=±g,
取AB的中點(diǎn)G,連接8G,
BB、與平面ABC所成的角即為EG與平面A4C所成的角,
"jcosNB2clA=—;時(shí),
設(shè)£A=Gg=x,則AB^=x2+x2-2x2x(-;)=|x2,
AB,==^-x,
3
由(1)知EFLAB?,E為AB2的中點(diǎn),故必=尸4,
AB2+BF2=(38尸J,
:.AB=2叵BF=OBB],
令BB]=y,則=
22
AB+BBj=AB2,
;.(即+(2獷=(孚/,
乂V=AC2+y),則(播y『+(2,y)2=x(AC2+y2),
AC=—y,
2
又11ABe為等腰三角形,所以GE,44,
又CE,A4,GE,A4,易得/GEC為EG與平面ABC所成的角,
B,C2=BC2+BB,2=乎y[+)?=*/,用爐=2=(;回=住力=獷,
2222
CE=y/BlC-S,E=^y-^y=^y
CG=ylCB--BG2=舟2-;y2=*>
73
.…「_CG_5,_回
sinZGEC==~—=----:
CE出7
~Ty
2222X2
當(dāng)cosNgGAn;時(shí),設(shè)GA=C1B2=X,則AB2=X+X-2XX^=~,
“一26
..AS=----x,
一3
AB=y/2BBt,
??.(.丫+⑵)'(苧,
則+(2?=(¥)x(AC?+),2),
.?.AC=半),,CE=2y,CG=8
sinNGEC=—:
2
故BB、與平面AB,C所成角的正弦值為應(yīng)或B
72
5.(2021.河北邢臺(tái).高一月考)如圖,在直三棱柱ABC-481G中,底面ABC是BC=4夜的等腰直角三角形,
(2)求直線BB、與平面4。0所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)3.
3
【解析】(1)證明:因?yàn)锳B=AC,。為BC的中點(diǎn),所以4DJ_BC.
又3B|JL平面ABC,ADu平面ABC,則陷,40.
因?yàn)?cBB、=B,BC,8qu平面BBCC,所以AD,平面880。;
(2)解:由(1)知,4),平面88。。,81。(=平面88《。,
所以
可求出4。=2也,A8=4,4。=2旗,
所以5.=:BD">=gx2j5x26=46,
S4??=-B£)AD=-X2V2X2V2=4.
22
設(shè)點(diǎn)B到平面ADB,的距離為d,
4
由%得AD&d=]S
-Ag=%,-9,ABDB}8,
Bplx4V3xJ=lx4x4,解得]=生8,即點(diǎn)B到平面ADB1的距離為生叵.
3333
設(shè)BB|與平面A。片所成角為。,則5訪6=島=坐,即8瓦與平面4。用所成角的正弦值為史.
忸團(tuán)33
【題組六二面角】
1.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,在4ABC中,46_13。,&4,平面43。,。后垂直平分5。,且分別
交AC,SC于點(diǎn)£),E,SA=AB,SB=BC,求二面角E-5O—C的大小.
【答案】60°.
【解析】為SC的中點(diǎn),且S8=BC,
/.BEVSC.又£>E_LSC,BE£)E=E,
SC_L面8力E,又BDu面BDE,
:.BD1SC,
:SAL面ABC,3£>u面ABC,
ASA1BD,又SCSA=S,
,BO_L面SAC,AC,£>Eu面S4C,即B£)_L4c,J_£)E,
二ZEDC即為二面角E-8D—C的平面角.
設(shè)以:m口.由SAJ.AB,得SB=日
在△ABC中,ABLBC,SB=BC=4i,即4c=G,SC=2.
在用ASAC中,NACS=30°,故Z£DC=60。,即二面角E-BO-C的大小為60°.
2.(2021?廣東揭東?高一期末)如圖,48是圓。的直徑,點(diǎn)C是圓。上異于A,B的點(diǎn),直線PC_L平面ABC.
(1)證明:平面P8CJ?平面PAC;
(2)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),在AC上找一點(diǎn)尸使得直線£F〃平面R3,并說(shuō)明理由.
(3)設(shè)AB=PC=2,AC=\,求二面角8-24—C的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn),證明見(jiàn)解析;(3)必9.
19
【解析】(1)證明:QAB是圓。的直徑,,BC_LAC,
又?PCJL平面ABC,BCu平面ABC,:.PC1BC,
PC\AC=C,且PC,ACu平面PAC,.?.BC,平面PAC,
又BCu平面PBC,
二平面PBCL平面PAC;
(2)尸為AC的中點(diǎn),證明如下:
證明:取AC的中點(diǎn)F,由于點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),
所以EF//AP,
因?yàn)镋FU平面R4B,"u平面EU5,
所以防〃平面RW;
p
(3>.8C_L平面PAC,P4u平面PAC,:.PALBC,
過(guò)C作CM_LB4于V,連結(jié)BM,
ncCM=C,KBC,CMu平面8CW,
PA±平山iBCM,從而得PAYBM,
.?./BMC為二面角8-P4-C的平面角,
2
在Rtz\BMC中,CM=飛,BC=5
二二面角8-PA-C的余弦值為2叵.
19
3.(2021?河北?衡水市第十四中學(xué)高一期末)在四棱錐尸-ABCD中,ZABC=ZACD=90°,
/BC4=/S4=30°,以,平面ABC。,E,F分別為尸£>,PC的中點(diǎn),PA^2AB.
(1)求證:平面PAC_L平面AEF;
(2)求二面角E-AC-8的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)-^.
【解析】(1)由題意,設(shè)AB=a,則上4=AC=2a,AD=4a,CD=2瓜,
PD=yJP/^+AD2=2舊a>又PAJ_平面ABC。.ACu面ABC。,
APAIAC,則在用△PAC中,PC=2五a,
在△PC。中,CD-+PC2=PD21則CQ_LAC,又CDu面ABC。,有如JLC£),
又ACcPA=A,故有CD_L面PAC,又E,F分別為PD,PC的中點(diǎn),即斯〃CD,
二EF±面PAC,又EFu面AEF,則平面PAC±平面AEF;
(2)過(guò)£作硝,AD,易知”為AO中點(diǎn),若G是AC中點(diǎn),連接EH,HG,EG,
:.GHLAC,EHA.AC,GHcEH=H,故AC,面E〃G,即/EG"是二面角E-AC-O的平面角,
...由圖知:二面角E-AC-B為萬(wàn)一/EG”,
易知EH"PA,則E〃_L面ABC£>,GHu面ABCD,所以
在EWG中,EH=a,GH=^a,則G£=2n,
二cosZEGH=—,則二面角E-AC-B的余弦值為cos(乃-ZEGH)=--.
22
4.(2021?湖南?武岡市第二中學(xué)高一月考)如圖,在四棱錐P-ABC。中,AD=2,AB=BC=CD=l,BC//AD,
ZPAD=90\N尸BA為銳角,平面P8A,平面PBZ).
P
⑴證明:期_L平面ABC7);
(2)若AO與平面P8A所成角的正弦值為變,求二面角?-9-C的余弦值.
4
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)-也.
2
【解析】
(1)證明:在平面尸84內(nèi)過(guò)A作于E,
因?yàn)槠矫鍼BA±平面PBD,又平面PBAC\平面PBD=PB,
所以4EL平面P8。,BOu平面尸B。,所以AE_L8Q,
過(guò)B,C分別作BM、N,
取AD中點(diǎn)為2,則8C=QO,且BC//Q"
所以四邊形8CQQ是平行四邊形,BQ=CD,
所以QD=8Q=QA=1,
所以NAB£)=90。,BDLAB,
QA8IAE=A,且A3、AEu平面尸BA,所以BO_L平面尸PA
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