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文檔簡(jiǎn)介

8.6空間直線、平面的垂直(精練)

【題組一線面垂直】

1.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)汝口圖,在正方體中,點(diǎn)E是棱8c的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱CC上

【解析】連接4B,則48是。E在面ABBiA內(nèi)的射影,

于是OiEJ_平面A8/,又AFu平面AB\F,所以D\ELAF.

連接/)£則DE是DtE在底面ABCD內(nèi)的射影.

:.DtELAF,DD}±AF,因?yàn)锳Ec£>A=。,所以AF_L平面。

又。Eu平面ORE,所以。ELAR

???ABC。是正方形,E是BC的中點(diǎn)....當(dāng)且僅當(dāng)F是C。的中點(diǎn)時(shí),DE±AF,

即當(dāng)點(diǎn)F是CO的中點(diǎn)時(shí),平面A3/.,g=1時(shí),2E_L平面481.故答案為:1.

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,四棱錐P-A8C。中,1ft4,平面A3C。,底面ABC。是正方形,PA^AD,

尸為尸。的中點(diǎn).求證:AFJ_平面PDC.

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】證明::PA_L平面ABCD,CDu平面ABCD,:.PA1CD.

,四邊形ABCD是正方形,C£>J_4),

又上4cAD=4,B4、ADu平面R4D,二8_L平面R4O,

;AFu平面PAD,ACD±AF.

?:PA=AD,FP=FD,:.AFYPD,

又CDPD=D,CD、P£>u平面PDC,AF_L平面尸£>0

3.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)如圖,直三棱柱ABC-4SG中,底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)D,E分

別是BC,AS的中點(diǎn).

(1)證明:DE〃平面ACGA;

(2)若88|=1,證明:GDJ?平面ADE.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

[解析]⑴連接A?AiC,

在直三棱柱ABC-4SG中,側(cè)面ABB\A\是矩形,

因?yàn)辄c(diǎn)E是A8的中點(diǎn),所以點(diǎn)E是A山的中點(diǎn),

又因?yàn)辄c(diǎn)。是3。的中點(diǎn),所以DE〃AC,

因?yàn)镺EC平面ACCA,4Cu平面4CCA,

所以。E〃平面ACG4.

(2)連接在直三棱柱ABC-AIBIG中,

因?yàn)槠矫?8C,AOu平面A8C,所以BB]±AD,

又因?yàn)榈酌鍭BC是等邊三角形,。為BC的中點(diǎn),

所以3cLW,又BCCBB尸B,

所以AD_L平面S8CG,又CQu平面BiBCC”

所以AOJ_G。,

由BC=2,得BD=l,又BBi=CG=L

所以=CQ=0,

所以峭+CW=BC;,所以C|£>_LO81,DBtAD=D,所以CQL平面408”

即CQ,平面AOE.

4.(2021?全國(guó).高一課時(shí)練習(xí))如圖1,在直角梯形ABCO中,AD//BC,ZBAD=90°,AB=BC=-AD=a,E

2

是的中點(diǎn),。是AC與BE的交點(diǎn).將△回£沿BE折起到圖2中\(zhòng)BE的位置,得到四棱錐A-BCDE.求

證:?!?_1_平面4。U

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】證明:在題圖1中,

因?yàn)锳B=BC=gAO=a,E是AO的中點(diǎn),440=90°,所以8EJ_AC.

所以在題圖2中,BEYAfl,BE±OC,

又AO?OCo,所以BEI平面HOC,

又CD/iBE,所以C£>,平面AOC.

5.(2021.廣西?桂平市麻朗中學(xué)高一月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABC。是菱形,ZABC=60°,

出,平面ABC。,點(diǎn)"、N分別為BC、朋中點(diǎn),且網(wǎng)=AB=2.

(1)證明:BC_L平面AMN;

(2)求三棱錐N-AMC的體積;

(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)E,使得MN〃平面ACE;若存在,求出尸E的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)詳解見(jiàn)解析;(2)也;(3)存在點(diǎn)E為尸。的中點(diǎn),PE=42

6

【解析】⑴證明:因?yàn)锳8C。為菱形,所以A8=8C,

又NABC=60。,所以AB=BC=AC,

又M為BC中點(diǎn),所以8CJ_4W,

又附_L平面ABC,BCcTffiABCD,故附_L8c

XPAQAM=A,所以8cL平面AWN.

⑵由(1)知ABC為等邊三角形,AB=BC=AC=2

又加為BC中點(diǎn),則8M=CM=1,iiLAM=ylAB2-BM-=^3

因此S.Mr=-AMCM=-xy/3x\=—,

H/WL222

又平面A3CD,PA=2,N為公的中點(diǎn),故AN=1

所以匕v-wc=:S即"'=34*1=4.

352.o

(3)存在點(diǎn)E,

取尸。中點(diǎn)E,連接NE,EC,AE,如圖所示:

因?yàn)镹,E分別為曲,PZ>中點(diǎn),所以NE/AAD,且NE=!AD,

22

又在菱形ABC。中,CM//;AD,且CM=1A。,

所以NE//MC,且NE=MC,即MCEN是平行四邊形,故NM〃EC,

又ECu平面ACE,NMQ平面ACE,故MN〃平面ACE,

即在PC上存在一點(diǎn)E,使得MN//平面ACE,此時(shí)PE=gPD=&

【題組二面面垂直】

1.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,平面PCD_L平面

ABCD,PC=a,=為小的中點(diǎn).

求證:平面£08_L平面ABC。.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】如圖所示,設(shè)AC\BD=O,連接E。,則EO〃PC.

PC=CD=a,PD=-Jia,

:.PC2+CD2=PD2PCVCD.

':平面PCD平面ABCD,平面PC。-平面ABCD=CD,

PC±平面ABCD,EO_L平面ABCD.

又EOu平面EO8,

故平面£DB_L平面ABCD.

2.(2021?山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高一月考)如圖,在三棱錐P-A8C中,ZACB=90°,必,平面ABC.

AB

C

(1)求證:平面PAC_L平面P8C

(2)若AC=8C=R4,求二面角A-PB-C的正切值

【答案】⑴證明見(jiàn)解析;⑵G.

【解析】(1).%1,平面ABC,R4_LBC

QAC1BC,PAAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC

.?.8CJ_平面PAC又BCu平面P8C,

平面PAC_L平面PBC.

(2)設(shè)M是A8的中點(diǎn),過(guò)CNJ.PB于N,連接CM、MN

在,A3C中AC=BC,:.CM1AB,

又;尸A_L平面ABC,平面平面ABC,

:,CM1平面PAB,CM±PB

又1PBLCN,CMCN=C,.^.PB,平面CM/V

PB±MN,:.AMNC是:面角A—PB-C的平面角.

設(shè)AC=3C=R4=1,則在吊CMN中,

CM=—,CN=—,MN=—,

236

所以S"NMNC=g.

3.(2021?內(nèi)蒙古包頭?高一期末)如圖,在四棱錐P-ABC£>中,已知底面A8CD是菱形,且對(duì)角線AC與BO

相交于點(diǎn)。.

⑴若PB=PD,求證:平面PBOL平面PAC;

(2)設(shè)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),在棱PC上是否存在點(diǎn)F,使得P8〃平面向?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在,理由見(jiàn)解析.

證明:(1)連接尸O,一底面A6c。為菱形,8。=DO.

又?PB=PD,:.BD^PO

又-POcAC=O,.\8。,平面PAC.

Q8。u平[illPBD,,平面PAC平面PBD.

⑵棱PC上存在點(diǎn)尸,且尸為PC的中點(diǎn),使得PB〃平面AEF,

證明如下:

連接AF,EF.

E是8c的中點(diǎn),EF//PB

P8Z平面AE尸,EFu平面AE尸..?.P8〃平面A£F

4.(2021?廣東白云?高一期末)如圖,出垂直于0。所在的平面,AC為,。的直徑,AB=3,BC=4,PA=30,

AE_LP8,點(diǎn)尸為線段BC上一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明:平面平面PBC;

(2)當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),求尸8與平面AEF所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)上叵.

19

【解析】(1)證明:因?yàn)镽4垂直于.O所在的平面,即F4L平面ABC,BCu平面ABC,

所以R4L8C,又AC為Q的直徑,所以AB_LBC,

因?yàn)镻AAB=A,所以BC_L平面%B,

又4Eu平面以B,所以BC_LAE,

因?yàn)锳E_LP8,BCPB=B,

所以AE_L平面PBC,又4Eu平面AEF,

所以平面AEF±平面PBC.

(2)解:因?yàn)??=3,PA=372.所以PB=JAB2+PA2=36,

又AELPB,所以AE==R,

由A32=3EPB,可得BE=G,

FGRF

如圖,過(guò)點(diǎn)E作EG〃Q4交AB于點(diǎn)G,貝《失=有,可得EG=y/i,

PAPB

又8c=4,所以EC=dBC、BE2=曬,

所以SAA8c=;AB-BC=6,S-:AE-EC=半,

乙乙乙

設(shè)點(diǎn)B到平面AEC的距離為〃,

由%-入叱=匕--可得;53時(shí)/6=;5力4/,解得〃=嚕,

所以當(dāng)點(diǎn)尸移動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),依與平面AEF所成角的正弦值為=巫.

BE19

5.(2021?江蘇?吳江汾湖高級(jí)中學(xué)高一月考)如圖,在四棱錐P-ABC7)中,四邊形ABC£>為矩形,AB1BP,

M,N分別為AC,的中點(diǎn).

⑴求證:MN//平面ABP;

(2)若5PLPC,求證:平面平面APC.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)連結(jié)BO,

由已知,M為AC和8。的中點(diǎn),

又QN為PD的中點(diǎn)、,:.MN//BP.

出<2平面鉆尸,BPu平面ABP,〃平面ABP.

(2)AB±BP,AB1BC,BPcBC=B,二ABJL平面3PC.

PCu平面8PC,.-.AB1PC.

BPA.PC,AB=.?.PC,平面ABP.

PCu平面APC,...平面平面APC.

6(2021?山西太原市第五十六中學(xué)校高一月考)在四棱錐尸-"8中,底面ABCO是矩形,2_L平面A8C。,

PA=AD=4,AB=2,以8。的中點(diǎn)。為球心,80為直徑的球面交尸。于點(diǎn)

P

(1)求直線BD與平面PAD所成的角的正切值;

⑵求證:平面平面PCD

【答案】(l)g;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】⑴;R4_L平面ABCD,BAu平面ABCD,

:.PALBA,

又底面ABCO是矩形,.?.8ALA。,

又B4,AOu平面以。,PAAD=A,

BAJ_平面以O(shè),二直線8£>與平面必力內(nèi)的投影為A£>,

,ZAD3即為直線BD與平面PAD所成的角,

又AB=2,AD=4,

tanZADB=—;

2

二直線雙)與平面心。所成的角的正切值為

(2)證明:依題設(shè),M在以8。為直徑的球面上,則3例,叨,

由(1)得A3_L平面B4O,又P£)u平面PA力

:.ABYPD

,:ABBM=B,AB,8Mu平面A8M,

/>£)_!_平面ABM,

又PDu平面PC£>

平面AW_L平面PCD.

7.(2021?江蘇如皋?高一月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,經(jīng)過(guò)AB的平面與PD、PC分別交于點(diǎn)E與點(diǎn)F,

且平面平面尸CD,AELCD,8〃平面A8FE.

⑴求證:ABUEF:

⑵求證:平面R4£>_L平面尸CD.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)C£>//平面ABFE,COu平面PCD,平面PCD1平面ABFE=EF

:.CD//EF

同理C0//AB:.AB//EF.

(2)由(1)知CD//E尸,AELCD,:.AELEF

平面ABFE_L平面PCD,AE±EF,

平面PC£>I平面AB莊'=?,AEu平面A8FE

.?.他_1_平面「。,又4Eu平面物。中,

二平面皿>_L平面PCD

8.(2021?江蘇?濱??h八灘中學(xué)高一期中)如圖,在三棱錐P-ABC中,2瓦尸分別為棱尸C,ACA8的中點(diǎn),

已知P4_LAGAB工BC,且尸A=6,A8=BC=8,。產(chǎn)=5.

P

F

B

(1)求證:平面平面ABC;

(2)求直線尸8與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)逑.

5

【解析】⑴證明:分別為PC,AC中點(diǎn),.1DE為△玄C的中位線

.-.DE//PA,h.DE=-PA=3,

2

PALAC,s.DELAC

又尸為A3中點(diǎn),/為,ABC的中位線,.?.?=gBC=4

又DF=5,..DE?+EF'MDF";.DELEF

又EFcAC=E,平面ABC

又DEu平面BDE,所以平面DEF_L平面ABC

(2)由(1)知OE_L平面ABC,又DEu平面尸AC,二平面PACL平面ABC

因?yàn)?5=8C,E為AC中點(diǎn),:.BE1AC

又平面PAC'平面ABC=AC,所以BE1平面PAC

NBPE為直線尸8與平面PAC所成角,

在直角△BEP中,PB=y/PA2+AB2=10-BE=AB-sin450=4y/2

所以sin/BPE=^=述

9(2021?江蘇如皋?高一月考)在直三棱柱ABC-ABg中,F(xiàn)是Bg的中點(diǎn),E是3c上一點(diǎn),線段與3F

相交于點(diǎn)M,且4E〃平面ABF.

E

⑴證明:點(diǎn)M為線段BE的中點(diǎn);

(2)若AB=AC,證明:平面AE81平面BCCM.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)設(shè)AB1CAB=N,連接MN,

因?yàn)锳E〃平面48尸,AEu平面ABE,平面AqEc平面A/尸=MN

所以AE7/MN,

在直三棱柱ABC-A4G中,四邊形為平行四邊形

所以AN=NB1

因?yàn)锳E//MN,所以EM=MB1,即點(diǎn)M為線段與E的中點(diǎn).

⑵在直三棱柱A8C-A4G中,BCHBG

因?yàn)镸為線段8E的中點(diǎn),所以BE=B/

又因?yàn)?G=BC,F是4G的中點(diǎn),所以BE=EC,

因?yàn)锳B=4C,所以AE_L3C

在直三棱柱ABC-ABC中,8隹,平面ABC,AEu平面ABC

所以因?yàn)锳EJ_8C,BB,BC=B,

8B|U平面B4GC,BCu平面8BCC,

所以平面8CGA,

因?yàn)锳Eu平面AEBt,所以平面AEBJ平面BCC.B,.

【題組三線線垂直】

1.(2021.安徽.六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末)如圖,在長(zhǎng)方體ABC£)-4BiG。的棱中,與棱AB垂直的

A.2條B.4條

C.6條D.8條

【答案】D

【解析】在長(zhǎng)方體ABCD—AiBGd的棱中,與棱AB垂直的棱有BC,B\C\,AS,AD,A4),BBi,CG,

DDi,共8條.故選:D.

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,在空間四邊形ABC。中,AD=BC=2,E,尸分別是48,CD的中點(diǎn),

EF=正.求證:AD1BC.

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】證明:如圖所示,取8。的中點(diǎn)”,連接FH.

因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),且AC=2,

所以EH〃A£>,EH=\.同理廠"〃8C,FH=i.

所以/EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線AO,8c所成的角.

因?yàn)镋F=0,所以由+尸心石尸,

所以“EF”是等腰宜角三角形,£尸是斜動(dòng),

所以/E4F=90。,即AD與BC所成的角是90°,

所以A£>_LBC.

3.(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)如圖,已知矩形C£>EF和直角梯形ABC。,AB//CD,ZADC=90°,DE=DA,

M為AE的中點(diǎn).

(1)求證:AC〃平面。MF;

(2)求證:BE1DM.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)如圖,連結(jié)EC交£>產(chǎn)于點(diǎn)M連結(jié)

因?yàn)镃DE尸為矩形,所以EC,OF相互平分,所以N為EC的中點(diǎn).

又因?yàn)镸為EA的中點(diǎn),所以MN//AC.

又因?yàn)锳CC平面DMF,且MNu平面DMF.

所以AC〃平面DMF.

(2)因?yàn)榫匦蜸EE所以C£>J_O£

又因?yàn)镹4/)C=90。,所以COJ_AD

因?yàn)椤!?4。=。,DE,AOu平面AOE,所以C£>_L平面AOE.

又因?yàn)镺Mu平面ADE,所以CDA.DM.

又因?yàn)锳B〃C7),所以ABJLDW.

因?yàn)?Z)=OE,M為AE的中點(diǎn),所以AE_L0M.

又因?yàn)锳BfUE=A,AB,AEu平面ABE,所以M£?_L平面ABE

因?yàn)?Eu平面ABE,所以BE_LMD

4.(2021?天津紅橋?高一學(xué)業(yè)考試)如圖,在三棱錐P-ABC中,物,底面ABC,BC1AC,M、N分別是BC、

PC的中點(diǎn).

(1)求證:MN//平面抄1B;

(2)求證:BCA.PC.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)因?yàn)镸、N分別是8C、PC的中點(diǎn),

所以MN//PB,

又MNU平面R48,

PBu平面P48,

則MNH平面PAB

(2)因?yàn)樾坦さ酌鍭8C,

且8Cu平面ABC,

所以B4J.8C,

又3C_LAC,

且P4AC=A,PAACu平面PAC

所以8C_L平面PAC,

又PCu平面PAC,

所以BC1PC.

5.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,在三棱錐P-A3C中,尸^底面⑷^那臺(tái),笈刀式分別是筋/臺(tái)的

⑴求證:DE//PA;

⑵求證:£)初/平面尸47;

⑶求證:ABVPB.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)在三棱錐尸-ABC中,因?yàn)镽E分別是的中點(diǎn),

根據(jù)三角形的中位線定理,可得DE〃必.

⑵山(1)知。E//B4,因?yàn)樾騯平面產(chǎn)AC,OE〃PA,且。后山平面PAC,

根據(jù)線面垂直的判定定理,可得〃平面PAC.

(3)因?yàn)镻C,平面ABC,且ABi平面4BC,所以AB_LPC,

又因?yàn)锳BL3C,且PCcBC=C,所以AB_L平面PBC,

又由P8u平面PBC,所以/W_LPB.

6.(2021?廣西?桂平市麻炯中學(xué)高一月考)如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐P-A8C。中,ABLAC,PAA.

平面ABC。,且咫=A8,點(diǎn)E是PO的中點(diǎn).求證:

⑴AC_LPB;

(2)PB〃平面AEC.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】⑴四棱錐尸-A8CD中,因力_L平面ABC。,4Cu平面ABC。,于是得AC_L%,

而PAAB=A,平面以8,從而得ACJ_平面以8,又P8u平面租8,

所以ACUB;

⑵連接2。交AC于點(diǎn)O,連接E。,如圖,

因底面ABC。為平行四邊形,則有。是8〃中點(diǎn),又E是PZ)中點(diǎn),丁是得EO//P8,而EOu平面4EC,

P8a平面AEC,所以尸8〃平面AEC.

【題組四線線角】

1.(2021?黑龍江?嫩江市第一中學(xué)校高一期末)如圖,空間四邊形A8C。的對(duì)角線4c=8,BD=6,M,N分

別為AB,C£>的中點(diǎn),并且異面直線AC與2。所成的角為90。,則MN=()

4

c

A.3B.4

C.5D.6

【答案】C

【解析】取A。的中點(diǎn)P,連接PM,PN,則8D〃PM,AC//PN,

.../MPN或其補(bǔ)角即異面直線4c與8。所成的角,

AZMPN=90°,PN=^AC=4,PM=^BD=3,:.MN=5.

故選:C.

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知正四棱錐P-ABCC,以=2,4B=0,M是側(cè)棱PC的中點(diǎn),且BM=O,

則異面直線出與8例所成角為.

【答案】45°

【解析】如圖,連接AC,8。交于點(diǎn)O,連接OM,則N0M8為異面直線必與8M所成角.由O,M分別

為AC,PC中點(diǎn),得OM=g%=1.在用二40B中,易得OB=4Btan45o=l.又BM=母,BPOB'+OM1

=BM,所以..OMB為直角三角形,且NOMB=45。.

3.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,在三棱柱ABC—4BG中,AAi±AB,AAt±AC.若AB=AC=A4i=1,

BC=立,則異面直線4c與aG所成的角為一.

4

【答案】60°

【解析】依題意,得BC〃BC,故異面直線AC與8G所成的角即BC與4c所成的角.連接AB,在-

4BC中,BC=AIC=AIB=y/2,故NAC8=60。,即異面直線AC與BiG所成的角為60。.

故答案為:60°.

4.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))在正三棱柱ABC—4BC中,。是AB的中點(diǎn),則在所有的棱中與直線8和

441都垂直的直線有.

【答案】AB,AiBi

【解析】由正三棱柱的性質(zhì)可知與直線8和AA都垂直的直線有AB,4S.

故答案為:AB,

5.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))若NAO8=135。,直線”〃OA,a與08為異面直線,則“和08所成的角的

大小為.

【答案】45。

【解析】因?yàn)橹本€。〃04,〃與。B為異面直線,

所以ZAOB的補(bǔ)角為a與OB所成角,

又NAOB=135°,

所以a與08所成角的大小為180°-135°=45°.

故答案為:45°

6.(2021.全國(guó).高一課時(shí)練習(xí))如圖,在四面體A—58中,AC=BD=a,AC與3。所成的角為60,M、

N分別為A3、8的中點(diǎn),則線段的長(zhǎng)為.

【解析】取BC的中點(diǎn)E,連接EM、EN,

M.E分別為AB、8c的中點(diǎn),且ME=;AC=],

同理可得EN//BD且EN=^BD=%,

22

.?.NME7V為異面直線AC與BO所成的角或其補(bǔ)角,則/MEN=60或120.

在,.MEN中,EM=EN=~.

2

若N"EN=60,則MEN為等邊三角形,此時(shí),MN=3;

若NMEN=120,由余弦定理可得MN=,EM2+EN2-2EM.ENCOS120=—a.

2

綜上所述,MN=;或Ba.

22

故答案為:;或——a.

22

7.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,空間四邊形A8C3中,兩條對(duì)邊鉆=8=3,瓦尸分別是另外兩

APRF1r-

條對(duì)邊A。,BC上的點(diǎn),且蕓=蕓=:,EF=逐,則異面直線A8和CZ)所成角的大小為_(kāi)__________.

EDFC2

【答案】900

【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)E作EO〃AB,交BO于點(diǎn)。,連接。尸

異面直線AB和8所成角即為NEOF或其補(bǔ)角

21

在AEOk中,OE=1AB=2,OF=-CD=\,又EF=也

:.EF2=OE2+OF2ZEOF=90°..?異面直線AB和8所成角的大小為90

故答案為:90

8.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,A3是圓。的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),D、E分別是MB、VC的

中點(diǎn),求異面直線OE與A8所成的角.

【解析】因?yàn)椤?、E分別是丫2、VC的中點(diǎn),

所以8C〃OE,因此/A8c是異面直線。E與A8所成的角,

又因?yàn)锳B是圓。的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),

所以△ABC是以NACB為宜角的等腰宜角三角形,

于是NABC=45。,

故異面直線DE與AB所成的角為45。.

【題組五線面角】

1(2021.黑龍江?雞西實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCZ)是平行四邊形,A4_L底面

ABCD,NPCD=90°,PA=AB=AC=2

(1)證明:ACLCD.

(2)若E是棱PC的中點(diǎn),求直線AZ)與平面PC。所成的角

【答案】⑴證明見(jiàn)解析(2)3

【解析】(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BC。,COu底面A8CO,所以P4LC。,

因?yàn)镹P8=90。,所以尸C_LC£),PAQPC=P,PAPCu平面PAC,

所以C。工平面PAC,因?yàn)锳Cu平面P4C,所以QD_LAC.

(2)由(1)8J?平面PAC,AC,AEu平面PAC,所以CD_LAE,CDLAC,

因?yàn)镋4=AC=2,E為PC的中點(diǎn),所以4E_LPC,因?yàn)镻CDC£)=C,尸心。。匚平面;>8,所以4E,平

面PC。,所以ZEZM即為直線AD與平面PCO所成的角,因?yàn)镻A=A8=AC=2,所以

AD=\lAC2+CD2=2V2>=所以AE=;PC=0,所以sinNE£>A=^=金=;,

因?yàn)椤懊髥?,所以雙人小即直線犯與平面口所成的角為全

66

2.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖,在棱長(zhǎng)均為1的直三棱柱ABC-A山Ci中,。是8c的中點(diǎn).

(1)求證:4O_L平面BCCiB」,

(2)求直線AG與平面BCCB所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)包.

4

【解析】⑴直三棱柱A3C-48Q中,88」平面A8C,,跖」/!。,。是8c的中點(diǎn),

/.AD1BC.XBCCBBi=B,.,*。_1_平面BCC\B\.

⑵連接GD由(1)4〃平面BCCiBi,則/4GO即為直線AG與平面BCGB、所成角.

在RfAG。中,AD-—,AC[=y/2?sinZAC\D=-^-=^~,

2AG4

即直線AG與平面BCCiBi所成角的正弦值為好.

4

3.(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖在四棱錐尸-ABC。中,底面ABC。是邊長(zhǎng)為々的正方形,側(cè)面皿>_1_底

面A8CD,且尸A=P£>=也叫設(shè)E,尸分別為PC,3£>的中點(diǎn).

2

(1)求證:EF//平面PAD;

(2)求證:平面R4B_L平面PDC;

(3)求直線EF與平面ABCZ)所成角的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;⑵證明見(jiàn)解析;(3)45。.

【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛6c。為正方形,連接AC,則ACc8O=尸,尸為AC中點(diǎn),E為PC中點(diǎn),所以在

CPA中EF//PA,且PAu平面PAO,

EF<Z平面以£),所以EF//平面R4O.

(2)因?yàn)槠矫鍾4D_L平面ABC£>,

平面PAD平面4?C£)=4),且四邊形ABC。為正方形,

所以以>,A。,。u平面ABCD,

所以CD_L平面PA。,所以C£)_LPA,

又PA=PD=叵AD,

2

所以△24。是等腰直角三角形,且4PD=90。,

即且CRPOu平面PDC,

所以24J■平面POC,

又PAu平面以8,所以平面尸AB_L平面PQC.

(3)因?yàn)镸//P4,

所以直線E尸與平面A8CO所成角的大小等于直線PA與平面A8CD所成角的大小,

因?yàn)閭?cè)面PA。!■底面ABC。,所以NPAD就是直線如與平面4BC。所成角,在△”£)中,

PA=PD=—AD,所以NB4O=45。,所以直線£尸與平面ABC。所成角的大小為45。.

2

4.(2021?浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)高一期中)如圖,在直三棱柱A8C-4耳£中,ABlBgA,B1AC,.

(1)求證:4£=與£;

(2)若BtC與AG的所成角的余弦值為:,求BBt與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)叵或走

72

【解析】⑴將棱M,明,CG分別向下延長(zhǎng),使得AA=A4,網(wǎng)=卻弘。&=。。2,

連接用G,A片,如圖:

.BCJ/BC,AB2與Aq的交點(diǎn)-為L(zhǎng)用的中點(diǎn),

BG/IB'C,

2G,

又A8_LAG,AC|C32cl=G,

.?.48,平面A&G,

取的中點(diǎn)尸,連接口,

:.AtB//EF,

.?.£/,平面44G,

£F±C.£,

又?.C,£±M,

.?.G£:_L平面,

.?.C,E±AB2,

又E為的中點(diǎn),

JA=C]B2,

GA=C,B2,CC,=qc^zqcA=ZC)C2B2=90°,

CCAnGG4,AC=C2B2,

AC=C2B2,AC=AG,C2B2=C、B[,

AG=MG

(2)由(1)知8c與AC;的所成角即紇J與AG的所成角,cosNB2GA=±g,

取AB的中點(diǎn)G,連接8G,

BB、與平面ABC所成的角即為EG與平面A4C所成的角,

"jcosNB2clA=—;時(shí),

設(shè)£A=Gg=x,則AB^=x2+x2-2x2x(-;)=|x2,

AB,==^-x,

3

由(1)知EFLAB?,E為AB2的中點(diǎn),故必=尸4,

AB2+BF2=(38尸J,

:.AB=2叵BF=OBB],

令BB]=y,則=

22

AB+BBj=AB2,

;.(即+(2獷=(孚/,

乂V=AC2+y),則(播y『+(2,y)2=x(AC2+y2),

AC=—y,

2

又11ABe為等腰三角形,所以GE,44,

又CE,A4,GE,A4,易得/GEC為EG與平面ABC所成的角,

B,C2=BC2+BB,2=乎y[+)?=*/,用爐=2=(;回=住力=獷,

2222

CE=y/BlC-S,E=^y-^y=^y

CG=ylCB--BG2=舟2-;y2=*>

73

.…「_CG_5,_回

sinZGEC==~—=----:

CE出7

~Ty

2222X2

當(dāng)cosNgGAn;時(shí),設(shè)GA=C1B2=X,則AB2=X+X-2XX^=~,

“一26

..AS=----x,

一3

AB=y/2BBt,

??.(.丫+⑵)'(苧,

則+(2?=(¥)x(AC?+),2),

.?.AC=半),,CE=2y,CG=8

sinNGEC=—:

2

故BB、與平面AB,C所成角的正弦值為應(yīng)或B

72

5.(2021.河北邢臺(tái).高一月考)如圖,在直三棱柱ABC-481G中,底面ABC是BC=4夜的等腰直角三角形,

(2)求直線BB、與平面4。0所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)3.

3

【解析】(1)證明:因?yàn)锳B=AC,。為BC的中點(diǎn),所以4DJ_BC.

又3B|JL平面ABC,ADu平面ABC,則陷,40.

因?yàn)?cBB、=B,BC,8qu平面BBCC,所以AD,平面880。;

(2)解:由(1)知,4),平面88。。,81。(=平面88《。,

所以

可求出4。=2也,A8=4,4。=2旗,

所以5.=:BD">=gx2j5x26=46,

S4??=-B£)AD=-X2V2X2V2=4.

22

設(shè)點(diǎn)B到平面ADB,的距離為d,

4

由%得AD&d=]S

-Ag=%,-9,ABDB}8,

Bplx4V3xJ=lx4x4,解得]=生8,即點(diǎn)B到平面ADB1的距離為生叵.

3333

設(shè)BB|與平面A。片所成角為。,則5訪6=島=坐,即8瓦與平面4。用所成角的正弦值為史.

忸團(tuán)33

【題組六二面角】

1.(2021?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,在4ABC中,46_13。,&4,平面43。,。后垂直平分5。,且分別

交AC,SC于點(diǎn)£),E,SA=AB,SB=BC,求二面角E-5O—C的大小.

【答案】60°.

【解析】為SC的中點(diǎn),且S8=BC,

/.BEVSC.又£>E_LSC,BE£)E=E,

SC_L面8力E,又BDu面BDE,

:.BD1SC,

:SAL面ABC,3£>u面ABC,

ASA1BD,又SCSA=S,

,BO_L面SAC,AC,£>Eu面S4C,即B£)_L4c,J_£)E,

二ZEDC即為二面角E-8D—C的平面角.

設(shè)以:m口.由SAJ.AB,得SB=日

在△ABC中,ABLBC,SB=BC=4i,即4c=G,SC=2.

在用ASAC中,NACS=30°,故Z£DC=60。,即二面角E-BO-C的大小為60°.

2.(2021?廣東揭東?高一期末)如圖,48是圓。的直徑,點(diǎn)C是圓。上異于A,B的點(diǎn),直線PC_L平面ABC.

(1)證明:平面P8CJ?平面PAC;

(2)若點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),在AC上找一點(diǎn)尸使得直線£F〃平面R3,并說(shuō)明理由.

(3)設(shè)AB=PC=2,AC=\,求二面角8-24—C的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn),證明見(jiàn)解析;(3)必9.

19

【解析】(1)證明:QAB是圓。的直徑,,BC_LAC,

又?PCJL平面ABC,BCu平面ABC,:.PC1BC,

PC\AC=C,且PC,ACu平面PAC,.?.BC,平面PAC,

又BCu平面PBC,

二平面PBCL平面PAC;

(2)尸為AC的中點(diǎn),證明如下:

證明:取AC的中點(diǎn)F,由于點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),

所以EF//AP,

因?yàn)镋FU平面R4B,"u平面EU5,

所以防〃平面RW;

p

(3>.8C_L平面PAC,P4u平面PAC,:.PALBC,

過(guò)C作CM_LB4于V,連結(jié)BM,

ncCM=C,KBC,CMu平面8CW,

PA±平山iBCM,從而得PAYBM,

.?./BMC為二面角8-P4-C的平面角,

2

在Rtz\BMC中,CM=飛,BC=5

二二面角8-PA-C的余弦值為2叵.

19

3.(2021?河北?衡水市第十四中學(xué)高一期末)在四棱錐尸-ABCD中,ZABC=ZACD=90°,

/BC4=/S4=30°,以,平面ABC。,E,F分別為尸£>,PC的中點(diǎn),PA^2AB.

(1)求證:平面PAC_L平面AEF;

(2)求二面角E-AC-8的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)-^.

【解析】(1)由題意,設(shè)AB=a,則上4=AC=2a,AD=4a,CD=2瓜,

PD=yJP/^+AD2=2舊a>又PAJ_平面ABC。.ACu面ABC。,

APAIAC,則在用△PAC中,PC=2五a,

在△PC。中,CD-+PC2=PD21則CQ_LAC,又CDu面ABC。,有如JLC£),

又ACcPA=A,故有CD_L面PAC,又E,F分別為PD,PC的中點(diǎn),即斯〃CD,

二EF±面PAC,又EFu面AEF,則平面PAC±平面AEF;

(2)過(guò)£作硝,AD,易知”為AO中點(diǎn),若G是AC中點(diǎn),連接EH,HG,EG,

:.GHLAC,EHA.AC,GHcEH=H,故AC,面E〃G,即/EG"是二面角E-AC-O的平面角,

...由圖知:二面角E-AC-B為萬(wàn)一/EG”,

易知EH"PA,則E〃_L面ABC£>,GHu面ABCD,所以

在EWG中,EH=a,GH=^a,則G£=2n,

二cosZEGH=—,則二面角E-AC-B的余弦值為cos(乃-ZEGH)=--.

22

4.(2021?湖南?武岡市第二中學(xué)高一月考)如圖,在四棱錐P-ABC。中,AD=2,AB=BC=CD=l,BC//AD,

ZPAD=90\N尸BA為銳角,平面P8A,平面PBZ).

P

⑴證明:期_L平面ABC7);

(2)若AO與平面P8A所成角的正弦值為變,求二面角?-9-C的余弦值.

4

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)-也.

2

【解析】

(1)證明:在平面尸84內(nèi)過(guò)A作于E,

因?yàn)槠矫鍼BA±平面PBD,又平面PBAC\平面PBD=PB,

所以4EL平面P8。,BOu平面尸B。,所以AE_L8Q,

過(guò)B,C分別作BM、N,

取AD中點(diǎn)為2,則8C=QO,且BC//Q"

所以四邊形8CQQ是平行四邊形,BQ=CD,

所以QD=8Q=QA=1,

所以NAB£)=90。,BDLAB,

QA8IAE=A,且A3、AEu平面尸BA,所以BO_L平面尸PA

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