高中數(shù)學(xué)-基本初等函數(shù)講義

指數(shù)與指數(shù)幕的運算講義

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解有理指數(shù)福的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)累

的意義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的互化，掌握有理數(shù)指數(shù)得的運算.

知識要點：

1.若x"=a,則X叫做<3的〃次方根，記為折，其中〃>1,且"eN*.

〃次方根具有如下性質(zhì)：

（1）在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方

根是一個負(fù)數(shù)；正數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等、符號相反的數(shù)，

負(fù)數(shù)的偶次方根沒有意義；零的任何次方根都是零.

（2）〃次方根（〃>1,且〃eN*）有如下恒等式：

麗）一；技七|〃鬻加獷=療，（公°）?

2.規(guī)定正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)得：/=痂（a>o,,，且〃>i）；

a-"=-——1=.——1?

例題精講：

［例1］求下列各式的值：

（1）也3-萬）"（〃>1,且〃eN*）；（2）J（x-y）2.

解：（1）當(dāng)〃為奇數(shù)時，也3-%）"=3-乃;

當(dāng)〃為偶數(shù)時，也3-方"=|3-%|=乃-3.

（2）=|x_y|.

當(dāng)xNy時，\l（x-y）2=x-y；當(dāng)x<y時，\l（x-y）2=y-x.

【例2】已知血+i,求吐叱的值.

a"+a"

解：，產(chǎn)+戶）._?-&+「］+4=2夜.1.

an+a"an+a"血+1

【例3】化簡：（1）（2滔嬴-6工）+（-3需）；（2）（a>0,b

>0)；(3)181X府.

解：(1)原式=[2x(-6)+(-3)"=-正々飛=4加=4a.

31J.311io4

(2)原式二出b[(。/y戶_a^b.m伊二a6b3_a

ab2-(h/a)3疝小涼廬

(3)原式二辦x[(32)帚=^3"3匆'；=也*3：=(3鼠3與；=(34)：x(3與；=3x3：=3%.

點評：根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉時，切記不能混淆，注意將根指數(shù)化為分

母，嘉指數(shù)化為分子，根號的嵌套，化為氟的寨.正確轉(zhuǎn)化和運用

易的運算性質(zhì)，是復(fù)雜根式化簡的關(guān)鍵.

【例4】化簡與求值：

(1)(2)-L=-=-L=^-=...^_L_.,

1+V3+V3+V5+V5+V7++J2〃-1+V2n+1

解：(1)原式=j2?+2x2x血+(揚2+萬-2x2x&+(揚2

二J(2+夜.+J(2-向2=2+72+2-72=4.

(2)原式=回1+逐一3近一逐+「CT

3-15-37-5(2〃+1)-(2〃-1)

二1(右-1+石-6+⑺-石+…+j2〃+l-j2"-l)=)(>/2〃+l-l).

22

點評：形如Q府的雙重根式，當(dāng)儲一8是一個平方數(shù)時，則能通過

配方法去掉雙重根號，這也是雙重根號能否開方的判別技巧.而分

母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小題也體現(xiàn)了一種消

去法的思想.第(1)小題還可用平方法，即先算得原式的平方，

再開方而得.

指數(shù)與指數(shù)嘉的運算

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.化簡(含;的結(jié)果是()?

A.3B.工C.3D.5

53

2.下列根式中，分?jǐn)?shù)指數(shù)篇的互化，正確的是（）.

1

3(p(x>0)

A.-\fx=(-X)2(X>0)B.=}'(y<0)C._3=力D.

1

x'=-&(xwO)

3.下列各式正確的是).

B.\[x^=x^D.

4.計算24+++上一gF,結(jié)果是().

V2V2-1

A.1B.2應(yīng)C.x/2

D.2T

5.化簡(1+2力(1+21)(1+21)(1+2；)(1+2彳)，結(jié)果是().

A.1(1-24尸B.(i-2^r1C.]一24D.-(i-2-^)

22

6.化簡(痂)4(廂)4的結(jié)果是.

7.計算令+(-5.6)。-喘尸+0.125^=.

※能力提高

8.化簡求值：(1)里曾當(dāng)近;(2)盅兩.

3

3_3

爐+X2+2

9.已知j+H=3,求下列各式的值：（1）X+X1；(2)

x2+x-2+3

※探究創(chuàng)新

10.已知函數(shù),f(x)=3：-/),g(x)=E(x；+J).

(1)判斷了(X)、g(x)的奇偶性；

(2)分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5/(3)g(3),并概括出涉及函數(shù)f(x)和

g(x)對所有不為0的實數(shù)X都成立的一個等式，并加以證明.

指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(一)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機(jī)畫

出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點,

掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

知識要點：

1.定義：一般地，函數(shù)丫=優(yōu)(。＞0,且力1)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential

function),其中x是自變量，函數(shù)的定義域為兄?.

2.以函數(shù)y=2'與尸(＞的圖象為例，觀察這一對函數(shù)

的圖象，可總結(jié)出如下性質(zhì)：

定義域為凡值域為(。，用)；當(dāng)x=0時，y=l,即圖象過

定點（0,1）；當(dāng)0<”1時，在A上是減函數(shù)，當(dāng)時，在分上是增函

數(shù).

例題精講：

［例1］求下列函數(shù)的定義域:

（1）y=2三；（2）y=d嚴(yán)；（3）產(chǎn)吐吧.

310A-100

解：（1）要使尸2a有意義，其中自變量X需滿足3--0,即“3.

其定義域為{x|x*3}.

（2）要使y=（；）E有意義，其中自變量X需滿足5-摩0,即X45.

其定義域為{x|x45}.

（3）要使尸粵如有意義，其中自變量X需滿足lOIOORO,即.2.

10-100

/.其定義域為{x|x*2}.

【例2】求下列函數(shù)的值域：

（1）y=（：M；（2）y=4*+2*+l

解：（1）觀察易知高*0,則有尸針:f（；）。=1.，原函數(shù)的值

域為3y>0,且"1}.

（2）y=4'+2'+1=（2V）2+2A+1.令f=2",易知f>0.貝（］y=*+/+1=Q+權(quán)+（.

結(jié)合二次函數(shù)的圖象，由其對稱軸觀察得到"c+孑+:在「>。上為

增函數(shù)，

所以y=（f+：）2+:>（0+：）2+==l.原函數(shù)的值域為3y>1}.

2424

【例3】（福建卷.理5文6）函數(shù)的圖象如

圖，其中a、6為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）.\"

\2

A.a>\,b<0B.a>},b>0\、1

________—.

C.0<a<l,/>>0D.0<a<l,b<0TO-i1

解：從曲線的變化趨勢，可以得到函數(shù)/（X）為減函Y

數(shù)，從而0<a<l；從曲線位置看，是由函數(shù)尸優(yōu)的圖象向左

平移|-引個單位而得，所以-6>0,即伙0.所以選D.

點評：觀察圖象變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性，得到參數(shù)a的范圍.根據(jù)所給函數(shù)式的平移變換規(guī)律，得到

參數(shù)b的范圍.也可以取產(chǎn)1時的特殊點，得到L<i=〃。，從而b<0.

【例4】已知函數(shù)（0>0,且.

（1）求該函數(shù)的圖象恒過的定點坐標(biāo)；（2）指出該函數(shù)的單調(diào)性.

解：（1）當(dāng)2-3x=（）,即x=2時，=°=\.

3a

所以，該函數(shù)的圖象恒過定點（|,1）.

（2）〃=2一3x是減函數(shù),

***當(dāng)0<a<1時，/（x）在7?上是增函數(shù)；當(dāng)a>l時，f（x）在7?上是減函

數(shù).

點評：底數(shù)兩種情況的辨析，實質(zhì)就是分類討論思想的運用.而含

參指數(shù)型函數(shù)的研究，要求正確處理與參數(shù)相關(guān)的變與不變.

第12練§2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（一）

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.下列各式錯誤的是（）.

A.30-8>3°-7B.O.504>O.506C.O.75-01<0.75°'D.

（國6>（回4

2.已知c<o,在下列不等式中成立的是（）.

A.2,>1B.c>（；）°C.2。<（；）。D,2。>（；）。

3.函數(shù)尸H+1（a>0且HTM）的圖象必經(jīng)過點（）.

A.（0,1）B.（1,0）C.（2,1）D,（0,2）

4.設(shè)”,〃滿足,下列不等式中正確的是（）.

A.au<ahB.ba<bhC.d'<baD,bh<ah

5.世界人口已超過56億，若千分之一的年增長率，則兩年增長的

人口可相當(dāng)于一個（).

A.新加坡（270萬）B.香港（560萬）C.瑞士（700

萬）D.上海（1200萬）

6.某地現(xiàn)有綠地100平方公里，計劃每年按10%的速度擴(kuò)大綠

地，則三年后該地的綠地為平方公里.

7.函數(shù)y=2上的定義域為；函數(shù)y=（；產(chǎn)物的值域

為.

※能力提高

8.已知a力為不相等的正數(shù)，試比較相〃與“%”的大小.

9.若已知函數(shù)/（x）=4-3*（a>0,且”1）,g（x）=a'.

（1）求函數(shù)/（x）的圖象恒過的定點坐標(biāo)；（2）求證：g（中）4蚣等9.

※探究創(chuàng)新

10.討論函數(shù)y=/M（〃>0,且"1）的值域.

指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（二）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函

數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)

用._____

知識要點：

以函數(shù)y=2*與>=（；）,的圖象為例，得出這以下結(jié)論：

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象與y=/(r)的圖象關(guān)于V軸對稱.

(2)指數(shù)函數(shù)k優(yōu)伍>°,且它1)的圖象在第一象限內(nèi)，圖象由下至上,

底數(shù)由下到大.

例題精講：

【例1】按從小到大的順序排列下列各數(shù)：3巴0.3巴

2&,0.2應(yīng).

解：構(gòu)造四個指數(shù)函數(shù)，分別為y=3*,>'=0.3',y=2",y=02',

它們在第一象限內(nèi)，圖象由下至上，依次是廣。2',

y=0.3A,y=2',y=y.如右圖所不.

由于x=0>O,所以從小到大依次排列是：

0.2&,0.30,2a3垃.

點評：利用指數(shù)函數(shù)圖象的分步規(guī)律，巧妙地解決了同指數(shù)的福的

大小比較問題.當(dāng)然，我們在后面的學(xué)習(xí)中，可以直接利用嘉函數(shù)

的單調(diào)性來比較此類大小.

【例2】已知〃小=1.(1)討論〃幻的奇偶性；(2)討論小)

2+1

的單調(diào)性.

解：⑴/(X)的定義域為R.

??勺、2-1-l(2-v-l)E2x1-2V2'-1〃、

*f~2-'+1-(Tx+1)E2V~\+2x~~2X+\~~fX'

，/(x)為奇函數(shù).

(2)設(shè)任意西，W，且不<%2，則

一、，/、2X'-12J2(2』_2力

/%~%―2-+1-2々+1—(2>+1)(24+1).

由于不<馬，從而2』<2七，即2"-2&<0.

/(x,)-/(x2)<0,即/&)-/.f(x)為增函數(shù).

點評：在這里，奇偶性與單調(diào)性的判別，都是直接利用知識的定義

來解決.需要我們理解兩個定義，掌握其運用的基本模式，并能熟

練的進(jìn)行代數(shù)變形，得到理想中的結(jié)果.

【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）y=/u；（2）廣

0.2—1

解：（1）設(shè)y=a",u=x2+2x-3.

由“+2x-3=（x+l）2-4知，"在上為減函數(shù)，在［-1,+co）上為增函數(shù).

根據(jù)W的單調(diào)性，當(dāng)〃>1時，y關(guān)于u為增函數(shù);當(dāng)0<”1時，y關(guān)

于u為減函數(shù).

當(dāng)"1時，原函數(shù)的增區(qū)間為Tw）,減區(qū)間為（《,T］；

當(dāng)（）<"1時，原函數(shù)的增區(qū)間為y,一1］,減區(qū)間為［—1,內(nèi)）.

（2）函數(shù)的定義域為{x|xw0}.設(shè)y=」-,"=0.2".易知”=02、為減函數(shù).

w-1

而根據(jù)y=1的圖象可以得到，在區(qū)間（一』）與（1,轉(zhuǎn)）上，y關(guān)于〃均為

u—1

減函數(shù).

...在（-,0）上，原函數(shù)為增函數(shù)；在（。，/）上，原函數(shù)也為增函數(shù).

點評：研究形如y=a"?（a>0,且”1）的函數(shù)的單調(diào)性,可以有如下結(jié)論：

當(dāng)”>1時，函數(shù)），=〃,、>的單調(diào)性與/（x）的單調(diào)性相同；當(dāng)（）<”1時，函

數(shù)廣的單調(diào)性與/（x）的單調(diào)性相反.而對于形如

…⑷）（20,且"1）的函數(shù)單調(diào)性的研究，也需結(jié)合的單調(diào)性及伊⑺

的單調(diào)性進(jìn)行研究.

復(fù)合函數(shù)戶/陽0的單調(diào)性研究，遵循一般步驟和結(jié)論，即：分別求

出廣八"）與人奴x）兩個函數(shù)的單調(diào)性，再按口訣“同增異減”得出復(fù)

合后的單調(diào)性，即兩個函數(shù)同為增函數(shù)或者同為減函數(shù)，則復(fù)合后

結(jié)果為增函數(shù)；若兩個函數(shù)一增一減，則復(fù)合后結(jié)果為減函數(shù).為

何有“同增異減”？我們可以抓住“X的變化一“?⑴的變化一），=/（"）

的變化”這樣一條思路進(jìn)行分析.

指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（二）

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.如果指數(shù)函數(shù)片5-2），在x￡R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

).

A.<a>2B.a<3C.2<a<3D.a>3

2.使不等式2山一2>0成立的x的取值范圍是().

A.(―,+<x>)B.(―,+oo)C.(—,-Kx))D?(_g,+oo)

3.某工廠去年12月份的產(chǎn)值是去年元月份產(chǎn)值的7倍，則該廠去

年產(chǎn)值的月平均增長率為().

A.mB.%C.監(jiān)11D.標(biāo)-1

12

4.函數(shù)/(幻=(3"5的單調(diào)遞減區(qū)間為().

A.(—00,+oo)B.[—3,3]C.(―co,3]

D.[3收)

5.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積

(加)與時間,(月)

的關(guān)系：八人有以下敘述：

①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2；

②第5個月時，浮萍的面積就會超過30病；

③浮萍從4川蔓延到12病需要經(jīng)過1.5個月;

④浮萍每個月增加的面積都相等.

其中正確的是().

A.①②③B.①②③④C.②③④D.①②

6.我國的人口約13億，如果今后能將人口數(shù)年平均增長率控制

在1%,那么經(jīng)過x年后我國人口數(shù)為y億，則y與x的關(guān)系式

為.

7.定義運算=?梁則函數(shù)小)句*2,的值域為.

[h>b).-----------------------------

※能力提高

8.已知/(x)=(f-D'—.(1)討論/(x)的奇偶性；(2)討論f(x)

(V2-1),+1

的單調(diào)性.

9.求函數(shù)y=3*+2x+3的定義域、值域并指出單調(diào)區(qū)間.

※探究創(chuàng)新

10.函數(shù)/(x)=2/"3是偶函數(shù).(1)試確定a的值及此時的函數(shù)解析

式；

(2)證明函數(shù)/(x)在區(qū)間(75,0)上是減函數(shù)；(3)當(dāng)xe[-2,0]時，求函

數(shù)/(x)=2，-"T的值域.

對數(shù)與對數(shù)運算(一)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解對數(shù)的概念；能夠說明對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對

數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，并能運用指對互化關(guān)系研究一些問題.

知識要點：

1.定義：一般地，如果a,=N(a>O,axl),那么數(shù)X叫做以&為底十的

對數(shù)(logarithm).記作X=I0A,N,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，以叫做

真數(shù).

2.我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)(commonlogarithm),

并把常用對數(shù)嘀。N簡記為1g兒在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)

e=2.71828……為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，并把自

然對數(shù)log4簡記作In"

3.根據(jù)對數(shù)的定義，得到對數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系：當(dāng)時，

b

\ogaN=b^>a=N.

4.負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)；log,』=0,log?a=l

例題精講：

【例11將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)2-7=—；(2)3"=27；(3)l()T=0.1；

128

(4)log,32=-5；(5)igo.ooi=-3；(6)lnl00=4.606.

2

解：(1)10g—=-7；(2)log,27=a；(3)lg0.1=-l；

2128

(4)(g『=32；(5)10-3=0.001；(6)e4606=100.

【例2】計算下列各式的值：(1)lgo.001；(2)log48；(3)ln0.

解：(1)設(shè)lg0.001=x,則10*=0.001,即10,=103,解得x=-3.所以,lg0.001=-3.

(2)設(shè)嘀8=工，則4'=8,即22*=23,解得x=(.所以，38=1.

(3)設(shè)ln>=x,則e*=&,即e*=/,解得x=L所以，ln〃=L

22

【例3】求證：(1)log"a"=n；(2)logaM-logN=log-.

aN

證明：(1)設(shè)log“a"=x,則a"-ax,解得x=n.

所以log?a"=n.

9

(2)設(shè)log“M=p,logHN-q,則”=M,a=N.

因為之=\=a"T，則log2=P-4=bgaM-logaN.

NaqN

所以,logM-log?N=log,,N?

aN

點評：對數(shù)運算性質(zhì)是對數(shù)運算的靈魂，其推導(dǎo)以對數(shù)定義得到的

指對互化關(guān)系為橋梁，結(jié)合指數(shù)運算的性質(zhì)而得到.我們需熟知各

種運算性質(zhì)的推導(dǎo).

【例4】試推導(dǎo)出換底公式：log“6=1Ogtb(a>0,且awl；c>(),且

log,a

cwl；b>0).

證明：設(shè)1。&〃=加，log.a=n，log”b=p9

np

則d"=。，c=a9a=b.

pm

從而(c")=b=c9即np—m.

由于〃=logawlog1=0,則〃=生.

crn

所以，1嗎*=瞥.

log,a

點評：換底公式是解決對數(shù)運算中底數(shù)不相同時的核心工具.其推

導(dǎo)也密切聯(lián)系指數(shù)運算性質(zhì)，牢牢扣住指對互化關(guān)系.

對數(shù)與對數(shù)運算(一)

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.log”=aS>0小wl,N>0)對應(yīng)的指數(shù)式是().

A.ah=NB.ba=NC.aN=bD.bN=a

2.下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是().

A.6°=1與1口1=0B.8')=,與logs工=一，

2823

C.log、9=2與始=3D.log]7=1與71=7

3.設(shè)5旭,=25,則X的值等于（）.

A.10B.0.01C.100D.1000

4.設(shè)唾*=|,則底數(shù)x的值等于（）.

11

兒2BC4

2-D.4-

5.已知陶昵3（晦切=0,那么戶等于（）

A.-*B.1C—LD.義

32733V3

2?

6.若log2%=g，則不_______,若log,3=-2,貝I」尸_______.

7.計算：log681二______,?1g0.1仁_______.

※能力提高

8.求下列各式的值：（l）log&8；（2）log,yfi.

9.求下列各式中x的取值范圍：（1）iog^,u+3）；（2）

k）g|_2x（3x+2）.

※探究創(chuàng)新

2m+

10.(1)設(shè)log(,2-m,log,,3=〃，求a"的值.

(2)設(shè)A={0,l,2},B={k>g“l(fā),log“2,a},且A=3,求4的值.

對數(shù)與對數(shù)運算(二)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的

作用；理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對

數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；理解推導(dǎo)這些運算性質(zhì)的依據(jù)和過

程；能較熟練地運用運算性質(zhì)解決問題.

知識要點：

1.對數(shù)的運算法則：log(AfrW)=logM+logN,log?—=log?M-log,,

afl(IN,

n

\ogaM=n\ogaM,其中a>0,且"1,M>0,N>0,n&R,三條法則是有力的解

題工具，能化簡與求值復(fù)雜的對數(shù)式.

2.對數(shù)的換底公式唳*=警±如果令會"則得到了對數(shù)的倒數(shù)

log/

公式同樣，也可以推導(dǎo)出一些對數(shù)恒等式，如

log,,a

logN"=log。N,logN"=—log?N,log“fflog,,cQoga=1等?

“mc

例題精講：

【例1】化簡與求值：(1)(lgV2)2+11g2Llg5+J(lgV2)2-lg2+l；(2)

log,(J4++J4_)?

：(1)■^一(]lg2)2+^IgZLlgS+—^Ig-2+]lg2Llg5_(lg0—1)

=llg22+llg2Ug5-^lg2+l=llg2(lg2+21g5-2)+l

=-lg2(lgl00-2)+l=0+l=l.

4

(2)—log2(，4+Vy+^4—\/7)~~——log2(J4++^4—V7)~

2

^^log2(4+A/7+4-^+2>/4-7)=1log214.

【例2】若2"=5』。，則.(教材及B組2題)

ab

解：由2"=5"=10,得a=log210,ft=log510.貝！]

-+-=-1-+—1—=lg2+g5=lgl0=l.

ablog210log510

【例3】(1)方程lgx+lg(x+3)=l的解尸；

(2)設(shè)占,x2是萬程lg2x+algx+8=0的兩個根，則為叱的值是.

解：(1)由lgx+lg(x+3)=l,得lg[x(x+3)]=lgl0,

即x(x+3)=10,整理為f+3x-I0=0.

解得年一5或A=2.二x>0,X=2.

(2)設(shè)lgx=f,則原方程化為r+af+b=0,其兩根為％=lg菁,G=lg%.

由乙+芍=lgxt4-lgXj=lg(%%)=人=lgl0〃，得至Ux,Dr2=10*.

點評：同底法是解簡單對數(shù)方程的法寶，化同底的過程中需要結(jié)合

對數(shù)的運算性質(zhì).第2小題巧妙利用了換元思想和一元二次方程

根與系數(shù)的關(guān)系.

【例4】(1)化簡：-L-+-L-+-L-；

logs7log37log,7

(2)設(shè)log23nog,4Hog45Q??□og^2006nog2006m=4,求實數(shù)%的值.

解：(1)原式二Iog75+log73+log72=log7(5x3x2)=log730.

(2)原式左邊二bg,3控」—□.?舞姿出4^=k)gm,

log,3log,4log22(X)5log22006

??log,m=4=log,24,解得加=16.

點評：換底時，一般情況下可以換為任意的底數(shù)，但習(xí)慣于化為常

用對數(shù).換底之后，注意結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)完成后階段的運算.

第15練§2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算(二)

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.kg而i+赤（4n+i-^）等于（）?

A.1B.-1C.2D.-2

2.（回…（&W0）化簡得結(jié)果是（）.

A.-aB.aC.laiD.a

3.化簡lg\/2+lg>/5+log,1的結(jié)果是（）.

A.-B.1C.2D.Vio

2

4.已知）=log2x,則/（8）的值等于（）.

A.1B.2C.8D.12

5.化簡Iog34.iog45.iog58.bg89的結(jié)果是（）.

A.1B.3C.2D.3

2

6.計算（Ig5）2+lg2-lg50—.

7.若3a=2,則Iog38—21og36=

※能力提高

8.（1）已知log|89=a,18〃=5,試用4、6表示k）g|x45的值;

（2）已知log”7=a,log|45=b,用a、6表不Iog3s28.

9.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度V（初s）和燃料的質(zhì)

量M伏g）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量利（依）的關(guān)系是u=20001n（l+與.當(dāng)

m

燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的多少倍時，火箭的最大速度可達(dá)到10癡/s?

※探究創(chuàng)新

10.（1）設(shè)x,y,z均為實數(shù)，且3*=4>,試比較3x與4y的大小.

（2）若13、5、C都是正數(shù)，且至少有一個不為1,axbyc:=ayb2cx=azbxcy=1，

討論x、y、z所滿足的關(guān)系式.

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(一)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)

系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模

型；能借助計算器或計算機(jī)畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

知識要點：

1.定義：一般地，當(dāng)a>0且aWl時，函數(shù)y=k)g,x叫做對數(shù)函數(shù)

(logarithmicfunction).自變量是x；函數(shù)的定義域是(0,+

8).

2.由y=log,x與y=bg產(chǎn)的圖象，可以歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域

2

為(0,+oo),值域為7?；當(dāng)X=1時，y=0,即圖象過定點(1,0)；當(dāng)0<”1時，

在(0,+00)上遞減，當(dāng)4>1時，在(0,+00)上遞增.

例題精講：

［例1］比較大小:(1)log0.90.8,log()90.7,log080.9；(2)log,2,log23,

,1

log4-.

解：(1)y=log09x在(0,+oo)上是減函數(shù)，且0.9>0,8>0.7,

1<log090.8<log090.7.

又log()80.9<log080.8=1,所以log()80.9<log090.8<log090.7.

(2)由log31<log32<log33,得0<log32<1.

X1Og23>log22=l,log4l<log41.0,

所以log41<log,2<log,3.

【例2】求下列函數(shù)的定義域：(1)y=Jlog2(3x-5)；(2)y=Jlog(”(4x)-3.

解：(1)由log2(3x-5)20=logj,得3x-5Nl,解得xN2.

所以原函數(shù)的定義域為［2,例).

3

(2)由log05(4x)-3>0,即log05(4x)>3=log050.5,

所以0<4x405，，解得0<xV工.所以，原函數(shù)的定義域為(0,g］.

3232

［例3］已知函數(shù)/(x)=log〃(x+3)的區(qū)間［一2,-1］上總有"(x)|<2,求實數(shù)4

的取值范圍.

解：:xe［-2,-11,I.l<x+3<2

當(dāng)a>l時，log?1<log,,(x+3)<loga2,即0M/(x)Mk>g“2.

V|/(x)|<2,?二留2<2,解得a>夜.

當(dāng)0<a<l時，logo2<log(,(x+3)<logol,即。g“2M/(x)V0.

Vl/(x)l<2,，臃：2?_2，解得。〈”當(dāng)

綜上可得，實數(shù)3的取值范圍是(。當(dāng)U(&M).

點評：先對底數(shù)a分兩種情況討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性及已知條

件，列出關(guān)于參數(shù)日的不等式組，解不等式(組)而得到參數(shù)的范

圍.解決此類問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化與分類討論，不等式法求參數(shù)

范圍.

【例4］求不等式1og“(2x+7)>log“(4x-l)(a>0,且awl)中X的取值范圍.

解：當(dāng)時，原不等式化為，解得LX<4.

2x+7>4x-l4

當(dāng)0<a<l時，原不等式化為工,解得x>4.

2x+7<4x-l

所以，當(dāng)a>l時，X的取值范圍為(，,4)；當(dāng)0<a<I時，X的取值范圍為

4

(4,-KO).

點評：結(jié)合單調(diào)性，將對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式組，注意對

數(shù)式有意義時真數(shù)大于0的要求.當(dāng)?shù)讛?shù)a不確定時，需要對底數(shù)

a分兩種情況進(jìn)行討論.

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（一）

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.下列各式錯誤的是（）.

2.當(dāng)0<"1時，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=「與y=log.x的圖象是（）.

ABC

D

3.下列函數(shù)中哪個與函數(shù)片X是同一個函數(shù)()

2

A.y=>0,a工1)B.C.y=logax{a>Q,a^\)D.y^~

xtt

4.函數(shù)戶Jiog；d)的定義域是().

A.(1,+<?)B.(-00,2)C.(2,+00)D.(1⑵

5.若log“,9<log“9<0,那么〃?,”滿足的條件是().

A.m>n>\B.n>m>\C.0<n<??/<1D.0<m<n<\

6.函數(shù)看如下的定義域為.(用區(qū)間表示)

7.比較兩個對數(shù)值的大小：In7In12；logi)$0,7

log050.8.

※能力提高

8.求下列函數(shù)的定義域：(1){)=里+1叫《+1);(2)

X—1

y=Jl-logz(4x-5).

9.已知函數(shù)/。)=3+晦兌xe[l,4],g(x)=f(x2)-[f(x)]2,求：

(1)f(x)的值域；(2)g(x)的最大值及相應(yīng)X的值.

※探究創(chuàng)新

10.若a,A為不等于1的正數(shù)，且a<6,試比較log,,匕、log，、log，.

bb

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(二)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并能應(yīng)用對數(shù)函數(shù)解決實際中的

問題.知道指數(shù)函數(shù)片H與對數(shù)函數(shù)片lOgaX互為反函數(shù).《>

0,B1)

知識要點：

1.當(dāng)一個函數(shù)是映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個

新函數(shù)的自變量，而把這個函數(shù)的自變量新的函數(shù)的因變量.我

們稱這兩個函數(shù)為反函數(shù)(inversefunction).互為反函數(shù)的兩

個函數(shù)的圖象關(guān)于直線尸》對稱.

2.函數(shù)y=a,(4>0,4X1)與對數(shù)函數(shù)y=k)g“x(a>0,awl)互為反函數(shù).

3.復(fù)合函數(shù)y=/3x))的單調(diào)性研究，口訣是“同增異減”，即兩個函

數(shù)同增或同減，復(fù)合后結(jié)果為增函數(shù)；若兩個函數(shù)一增一減，則復(fù)

合后結(jié)果為減函數(shù).研究復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：(/)求定

義域；(7/)拆分函數(shù)；Qiii)分別求)，=/("),"=e(x)的單調(diào)性；(iv)

按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

例題精講：

【例1］討論函數(shù)y=log03(3-2x)的單調(diào)性.

解：先求定義域，由3-2x>0,解得x<|.設(shè)/=3-2X,XC(F|),易知為減

函數(shù).

又函數(shù)y=log(),3f是減函數(shù)，故函數(shù)y=logo,3(3-2x)在(Y>,|)上單調(diào)遞增.

【例2】(山東卷.文2)下列大小關(guān)系正確的是、?/

34304

A.0.4<3°<log40.3B.0.4<log40.3<3—°T?

34043

C.log40.3<0.4<3°D.log40.3<3<0.4|/

解：在同一坐標(biāo)系中分別畫出),=0.4',y=3',y=log4X的圖象，分別作出當(dāng)

自變量X取3,0.4,0.3時的函數(shù)值.

觀察圖象容易得到：.0.3<0.43<3。".故選C.

［例3］指數(shù)函數(shù)丫=優(yōu)(°>0,"1)的圖象與對數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0,axl)的

圖象有何關(guān)系？

解：在指數(shù)函數(shù))，=“'的圖象上任取一點M(x0,)，o),則%=〃.

由指對互化關(guān)系，有l(wèi)og4%=xo.

所以，點在對數(shù)函數(shù)),=log"x的圖象上.

因為點M(x0,y0)與點M,(%,x<l)關(guān)于直線y=x對稱，

所以指數(shù)函數(shù)y=罐(〃>0,4H1)的圖象與對數(shù)函數(shù)"logaX(4>0,"1)的圖象

關(guān)于直線y=x對稱.

點評：兩個函數(shù)的對稱性，由任意點的對稱而推證出來.這種對稱

性實質(zhì)是反函數(shù)的圖象特征，即函數(shù))，=〃,與y=log“x3>0,"l)互為反函

數(shù)，而互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線產(chǎn)x對稱.

［例4］2010月12日，我國成功發(fā)射了“神州”六號載人飛船，

這標(biāo)志著中國人民又邁出了具有歷史意義的一步.已知火箭的起飛

重量〃是箭體(包括搭載的飛行器)的重量力和燃料重量X之和.

在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度V關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式為：丫=碓1(利+制-111(、/%)］+41112(其中&*0).當(dāng)燃料重量為("-1)”?噸

(e為自然對數(shù)的底數(shù)，入2.72)時，該火箭的最大速度為4(km/s).

(1)求火箭的最大速度y(加心)與燃料重量x噸之間的函數(shù)關(guān)系式

y=fM;

(2)已知該火箭的起飛重量是544噸，是應(yīng)裝載多少噸燃料，才

能使該火箭的最大飛行速度達(dá)到8km/s,順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定

的軌道？

解：(1)依題意把x=(4e-l)?i,y=4代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=卬n(/n+x)-ln("n)]+41n2,

解得k=8.

所以所求的函數(shù)關(guān)系式為y=8[ln(w+x)-ln(—6w)]+41n2,整理得y=In(絲二三p.

m

(2)設(shè)應(yīng)裝載X噸燃料方能滿足題意，此時，m=544.x,)，=8

代入函數(shù)關(guān)系式丫=ln(-)8,得ln3—=1,解得x=344(噸).

m544-x

所以，應(yīng)裝載344噸燃料方能順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定的軌道.

點評：直接給定參數(shù)待定的函數(shù)模型時，由待定系數(shù)法的思想，代

入已知的數(shù)據(jù)得到相關(guān)的方程而求得待定系數(shù).一般求出函數(shù)模

型后，還利用模型來研究一些其它問題.代入法、方程思想、對數(shù)

運算，是解答此類問題的方法精髓.

對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(二)

※基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.函數(shù)y=1g9的圖象關(guān)于().

1-X

A.y軸對稱B.x軸對稱C.原點對稱D.

直線y=x對稱

2.函數(shù)y=log]，-6x+17)的值域是().

2

A.RB.[8,+oo)C.(-oo,—3jD.

[3,+oo)

3.(07年全國卷.文理8)設(shè)">1,函數(shù)/(x)=log“x在區(qū)間[a,2a]上的最

大值與最小值之差為L則八().

2

A.母B,2C.2s[2D.4

4.圖中的曲線是），=log.x的圖象，已知〃的值為

&，j9則相應(yīng)曲線GCCC的4依次為

（）.

5.下列函數(shù)中，在（。,2）上為增函數(shù)的是（）.

A.y=log,（x+1）B.y=log,>jx2-1C.y=log,—D.

i'—

2

y=log02（4-x）

6.函數(shù)〃x）=lg（Gr）是函數(shù).（填“奇”、“偶”或

“非奇非偶”）

7.函數(shù)y“'的反函數(shù)的圖象過點（9,2）,則<3的值為.

※能力提高

8.已知/（x）=log〃-，（4>0,”1）,討論/（X）的單調(diào)性.

x-b

9.我們知道，人們對聲音有不同的感覺，這與它的強(qiáng)度有關(guān)系.聲

音的強(qiáng)度/用瓦/平方米（w//）表示.但在實際測量中，常用聲

音的強(qiáng)度水平0表示，它們滿足以下公式：Z,=101gl（單位為分貝），

70

￡.20,其中/。=1、1產(chǎn),這是人們平均能聽到的最小強(qiáng)度，是聽覺的開

端.回答以下問題：

(1)樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是IxlO-Kw/W,耳語的強(qiáng)度是lxlOTOW/1,恬靜

的無限電廣播的強(qiáng)度為1X10-W//.試分別求出它們的強(qiáng)度水平.

(2)在某一新建的安靜小區(qū)規(guī)定：小區(qū)內(nèi)的公共場所聲音的強(qiáng)度

水平必須保持在50分貝以下，試求聲音強(qiáng)度/的范圍為多少？

※探究創(chuàng)新

10.已知函數(shù)f(x)=log.(x+l),g(x)=log〃(l-x)其中(4>0且4X1).(1)求函數(shù)

/(x)-g(x)的定義域；

(2)判斷〃x).g(x)的奇偶性，并說明理由；(3)求使/(x)-g(x)>0成立

的x的集合.

累函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過實例，了解嘉函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)

7二式尸］/乂尸法”2的圖像，了解它們的變化情況.

知識要點：

1.易函數(shù)的基本形式是好丁，其中x是自變量，a是

常數(shù).要求掌握》=*，y=x2,y=x3,y=xV2,y=『這五

個常用得函數(shù)的圖象.

2.觀察出福函數(shù)的共性，總結(jié)如下：(1)當(dāng)空0時,

圖象過定點（0,0）,（1,1）；在（0收）上是增函數(shù).（2）當(dāng)a<0時,圖象過定

點（1,1）；在（0收）上是減函數(shù)；在第一象限內(nèi)，圖象向上及向右都與坐

標(biāo)軸無限趨近.

3.易函數(shù)戶X。的圖象，在第一象限內(nèi)，直線x=l的右側(cè)，圖象由下

至上，指數(shù)a由小到大.y軸和直線.1之間，圖象由上至下，指數(shù)

a由小到大.

例題精講：

【例1】已知易函數(shù)k/⑶的圖象過點（27,3）,試討論其單調(diào)性.

解：設(shè)）,=》。，代入點（27,3）,得3=27",解得a=；,

所以好），在7?上單調(diào)遞增.

[例2]已知黑函數(shù),=產(chǎn)6（抑eZ）與y—l/neZ）的圖象都與x、y軸都沒

有公共點，且

>=L2（meZ）的圖象關(guān)于了軸對稱,求〃?的值.

解：:嘉函數(shù)圖象與x、y軸都沒有公共點，，促-6：：,解得2<加<6.

又y=xi（meZ）的圖象關(guān)于y軸對稱，...吁2為偶數(shù)，即得

【例3】黑函數(shù)k/與，=『在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則（）.

A.—1<H<0<A?I<1B.n<-],0<m<]y

C.—\<n<Q,m>\D.n<—\m>\

解：由寨函數(shù)圖象在第一象y限內(nèi)的分布規(guī)律，觀:原二f

察第一象限內(nèi)直線X=1的右側(cè)，圖象由下至上，依"11―"X

次是丫=爐，y=x~',y=x",y=x"'->y=x',所以有7cl.選B.

點評：觀察第一象限內(nèi)直線X=1的右側(cè)，結(jié)合所記憶的分布規(guī)律.注

意比較兩個隱含的圖象），=y與產(chǎn)a

【例4】本市某區(qū)大力開展民心工程，近幾年來對全區(qū)a小的老房子

進(jìn)行平改坡（“平改坡”是指在建筑結(jié)構(gòu)許可條件下，將多層住宅

平屋面改建成坡屋頂，并對外墻面進(jìn)行整修粉飾，達(dá)到改善住宅性

能和建筑物外觀視覺效果的房屋修繕行為），且每年平改坡面積的

百分比相等.若改造到面積的一半時，所用時間需10年.已知到

今年為止，平改坡剩余面積為原來的變.

2

（1）求每年平改坡的百分比；（2）問到今年為止，該平改坡工程已

進(jìn)行了多少年？

（3）若通過技術(shù)創(chuàng)新，至少保留四療的老房子開辟新的改造途徑.

4

今后最多還需平改坡多少年？

解：（1）設(shè)每年平改坡的百分比為則

“（17尸=9，即17=§）而，解得x=1-（；”=0.0670=6.70%.

（2）設(shè)到今年為止，該工程已經(jīng)進(jìn)行了〃年，則"一封=孝"，即

（孑=（1,解得灰5.

所以，到今年為止，該工程已經(jīng)進(jìn)行了5年.

（3）設(shè)今后最多還需平改坡加年，則a（一產(chǎn)f,即弓芾二夕，解

得片15.

所以，今后最多還需平改坡15年.

點評：以房屋改造為背景，從中抽象出函數(shù)模