人教版高中數(shù)學(xué)選修11教材用書(shū)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用34生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例[提出問(wèn)題]某廠家計(jì)劃用一種材料生產(chǎn)一種盛500mL溶液的圓柱形易拉罐．問(wèn)題1：生產(chǎn)這種易拉罐，如何計(jì)算材料用的多少呢？提示：計(jì)算出圓柱的表面積即可．問(wèn)題2：如何制作使用材料才能最??？提示：要使用料最省，只需圓柱的表面積最?。稍O(shè)圓柱的底面半徑為x，列出圓柱表面積S＝2πx2＋eq\f(1000,x)(x＞0)，求S最小時(shí)，圓柱的半徑、高即可．[導(dǎo)入新知]1．優(yōu)化問(wèn)題生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題．2．用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路[化解疑難]1．在求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，一定要考慮實(shí)際問(wèn)題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去．2．在解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，不僅要注意將問(wèn)題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還應(yīng)確定出函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍．面積、容積最值問(wèn)題[例1]某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng)．如圖，圓形廣場(chǎng)的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線(xiàn)l相切于點(diǎn)M.點(diǎn)A為上半圓弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)B.市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化．設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2)，∠AON＝θ(單位：弧度)．(1)將S表示為θ的函數(shù)；(2)當(dāng)綠化面積S最大時(shí)，試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積．[解](1)BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．則S＝eq\f(1,2)MB·AB＝eq\f(1,2)×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍去)，此時(shí)θ＝eq\f(π,3).當(dāng)θ變化時(shí)，S′，S的變化情況如下表：θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))S′＋0－S極大值所以，當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，S取得最大值Smax＝3750eq\r(3)m2，此時(shí)AB＝150m，即點(diǎn)A到北京路一邊l的距離為150m[類(lèi)題通法]解決面積、容積的最值問(wèn)題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．[活學(xué)活用]用長(zhǎng)為90cm、寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四個(gè)角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如圖所示)．問(wèn)：該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器的高為xcm，容器的容積為V(x)cm3，則V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．當(dāng)0<x<10時(shí)，V′(x)>0，V(x)是增函數(shù)；當(dāng)10<x<24時(shí)，V′(x)<0，V(x)是減函數(shù)．因此，在定義域(0,24)內(nèi)，函數(shù)V(x)只有當(dāng)x＝10時(shí)取得最大值，其最大值為V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600(cm3)．故當(dāng)容器的高為10cm時(shí)，容器的容積最大，最大容積是19600cm3.用料最省(成本最低)問(wèn)題[例2]某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個(gè)橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋eq\r(x))x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最?。縖解](1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1，所以，y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256,x)m＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx＝eq\f(m,2x2)(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.當(dāng)0<x<64時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)．所以f(x)在x＝64處取得最小值，此時(shí)n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9個(gè)橋墩才能使y最?。甗類(lèi)題通法]解決實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)省時(shí)間等問(wèn)題，需要求相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時(shí)根據(jù)f′(x)＝0求出極值點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn))后，判斷函數(shù)在該點(diǎn)附近滿(mǎn)足左減右增，則此時(shí)的極小值就是所求函數(shù)的最小值．[活學(xué)活用]甲、乙兩地相距400千米，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)100千米/時(shí)，已知該汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本P(單位：元)關(guān)于速度v(單位：千米/時(shí))的函數(shù)關(guān)系是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v，(1)求全程運(yùn)輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式．(2)為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？并求此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值．解：(1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0＜v≤100)．(2)Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80.當(dāng)0＜v＜80時(shí)，Q′＜0；當(dāng)80＜v≤100時(shí)，Q′＞0，∴v＝80千米/時(shí)時(shí)，全程運(yùn)輸成本取得極小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元).利潤(rùn)最大問(wèn)題[例3]某公司為了獲得更大的利益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷(xiāo)．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(單位：百萬(wàn)元)，可增加銷(xiāo)售額約為－t2＋5t(單位：百萬(wàn)元，且0≤t≤5)．(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在3百萬(wàn)元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬(wàn)元，分別用于廣告促銷(xiāo)和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(單位：百萬(wàn)元)，可增加的銷(xiāo)售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(單位：百萬(wàn)元)．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大(注：收益＝銷(xiāo)售額－投入)．[解](1)設(shè)投入t百萬(wàn)元的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)百萬(wàn)元，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當(dāng)t＝2時(shí)，f(t)取得最大值4，即投入2百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大．(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x百萬(wàn)元，則用于廣告促銷(xiāo)的資金為(3－x)百萬(wàn)元，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)，則g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.當(dāng)0≤x＜2時(shí)，g′(x)＞0；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，g′(x)＜0，故g(x)在[0,2)上是增函數(shù)，在(2,3]上是減函數(shù)．∴當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)取最大值，即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造，1百萬(wàn)元用于廣告促銷(xiāo)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大．[類(lèi)題通法](1)經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問(wèn)題的解法經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤(rùn)及利潤(rùn)增減的快慢，以產(chǎn)量或單價(jià)為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(dòng)．(2)關(guān)于利潤(rùn)問(wèn)題常用的兩個(gè)等量關(guān)系①利潤(rùn)＝收入－成本．②利潤(rùn)＝每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷(xiāo)售件數(shù)．[活學(xué)活用]某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過(guò)程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p＝eq\f(3x,4x＋32)(x∈N*)．(1)將該廠的日盈利額T(元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)；(2)為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解：(1)因?yàn)榇纹仿蕄＝eq\f(3x,4x＋32)，所以當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有x·eq\f(3x,4x＋32)件次品，有xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．所以T＝200x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq\f(3x,4x＋32)＝25·eq\f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．(2)T′＝－25·eq\f(x＋32x－16,x＋82)，由T′＝0，得x＝16或x＝－32(舍去)．當(dāng)0<x<16時(shí)，T′>0；當(dāng)x>16時(shí)，T′<0;所以當(dāng)x＝16時(shí)，T最大，即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大盈利.eq\a\vs4\al(,,)[典例](12分)如圖所示，有一塊半橢圓形鋼板，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r.計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD＝2x，梯形面積為S.(1)求S以x為自變量的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域；(2)求S的最大值．[解題流程][活學(xué)活用]有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線(xiàn)河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)：供水站解：如圖所示，依題意，點(diǎn)C在線(xiàn)段AD上，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm，則BD＝40，AC＝50－x，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(402＋x2).設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，則y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)，y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402))，令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．當(dāng)x＜30時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞30時(shí)，y′＞0，所以當(dāng)x＝30時(shí)，y取得最小值，此時(shí)AC＝50－30＝20(km)，即供水站建在A，D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最?。甗隨堂即時(shí)演練]1．做一個(gè)容積為256m3A．6m B．8mC．4m D．2m解析：選C設(shè)底面邊長(zhǎng)為xm，高為hm，則有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).設(shè)所用材料的面積為Sm2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．2．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬(wàn)件 B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件解析：選Cy′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．當(dāng)0＜x＜9時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞9時(shí)，y′＜0.所以當(dāng)x＝9時(shí)，y取得最大值．3．做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_(kāi)_______．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)，則V＝πR2L所以L(fǎng)＝eq\f(27,R2).要使用料最省，只需使圓柱表面積最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·eq\f(27,R)，令S表′＝2πR－eq\f(54π,R2)＝0，得R＝3，即當(dāng)R＝3時(shí)，S表最小．答案：34．某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y1＝17x2(x＞0)；生產(chǎn)成本y2(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y2＝2x3－x2(x＞0)．為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)________千臺(tái)．解析：設(shè)利潤(rùn)為y，則y＝y(tǒng)1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)知x＝6既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)．答案：65．某商品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣(mài)出432件，如果降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣(mài)出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？解：(1)若商品降價(jià)x元，則多賣(mài)的商品數(shù)為kx2件，由題意知24＝k·22，得k＝6.若記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x)，則依題意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋6x2)＝(21－x)(432＋6x2)，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根據(jù)(1)有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：0(0,2)2(2,12)12(12,30)f′(x)－0＋0－f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故x＝12時(shí)，f(x)取得極大值，因?yàn)閒(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定價(jià)為30－12＝18元時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]一、選擇題1．某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0＜x＜60)，則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為()A．30B．40C．50D．60解析：選BV′(x)＝2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40)．令V′(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍)．故不難確定x＝40時(shí)，V(x)有最大值．選B.2．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．若該商品零售價(jià)定為P元，銷(xiāo)售量為Q件，且銷(xiāo)量Q與零售價(jià)P有如下關(guān)系：Q＝8300－170P－P2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元解析：選D毛利潤(rùn)為(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)極大值，故當(dāng)P＝30時(shí)，毛利潤(rùn)最大，∴f(P)max＝f(30)＝23000(元)．3．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的寬和長(zhǎng)分別為()A.eq\f(R,2)和eq\f(3,2)RB.eq\f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)RC.eq\f(4,5)R和eq\f(7,5)RD．以上都不對(duì)解析：選B設(shè)矩形一邊的長(zhǎng)為x，則另一邊的長(zhǎng)為2eq\r(R2－x2)，則l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0＜x＜R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．當(dāng)0＜x＜eq\f(\r(5),5)R時(shí)，l′＞0；當(dāng)eq\f(\r(5),5)R＜x＜R時(shí)，l′＜0.所以當(dāng)x＝eq\f(\r(5),5)R時(shí)，l取最大值，即周長(zhǎng)最大的矩形的寬和長(zhǎng)分別為eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.4．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x,0≤x≤390，則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A．150B．200C．250D．300解析：選D由題意可得總利潤(rùn)P(x)＝R(x)－100x－20000＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，P′(x)＝－eq\f(1,300)x2P′(x)＝0，得x≤x<300時(shí)，P′(x)>0；當(dāng)300<x≤390時(shí)，P′(xx＝300時(shí)，P(x)最大．5．某工廠要圍建一個(gè)面積為512m2A．32m,16mB．30m,15mC．40m,20mD．36m,18m解析：選A設(shè)矩形堆料場(chǎng)中與原有的墻壁平行的一邊的邊長(zhǎng)為xm，其他兩邊的邊長(zhǎng)均為ym，則xy＝512.則所用材料l＝x＋2y＝2y＋eq\f(512,y)(y＞0)，求導(dǎo)數(shù)，得l′＝2－eq\f(512,y2).令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．當(dāng)0＜y＜16時(shí)，l′＜0；當(dāng)y＞16時(shí)，l′＞0.所以y＝16是函數(shù)l＝2y＋eq\f(512,y)(y＞0)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，此時(shí)，x＝eq\f(512,16)＝32.所以當(dāng)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為32m，寬為16m時(shí)，砌新墻壁所用的材料最?。⑻羁疹}6．已知某矩形廣場(chǎng)面積為40000m2解析：設(shè)廣場(chǎng)的長(zhǎng)為xm，則寬為eq\f(40000,x)m，于是其周長(zhǎng)為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(40000,x)))(x＞0)，所以y′＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40000,x2)))，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，這時(shí)y＝800.當(dāng)0＜x＜200時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞200時(shí)，y′＞0.所以當(dāng)x＝200時(shí)，y取得最小值，故其周長(zhǎng)至少為800m.答案：8007．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線(xiàn)長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為_(kāi)_______cm.解析：設(shè)該漏斗的高為xcm，體積為Vcm3，則底面半徑為eq\r(202－x2)cm，V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)＝eq\f(1,3)π(400x－x3)(0<x<20)，則V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′>0；當(dāng)eq\f(20\r(3),3)<x<20時(shí)，V′x＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V取得最大值．答案：eq\f(20\r(3),3)8．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為0.048，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0,0.048))，為使銀行獲得最大收益，則存款利率應(yīng)定為_(kāi)_______．解析：存款利率為x，依題意：存款量是kx2，銀行應(yīng)支付的利息是kx3kx2，x∈(0,0.048)．所以銀行的收益是ykx2－kx3(0<x<0.048)，由于y′kx－3kx2，令y′＝0得xx＝0(舍去)，又當(dāng)0<x<0.032時(shí)，y′>0；當(dāng)0.032<x<0.048時(shí)，y′<0，所以當(dāng)x＝0.032時(shí)，y取得最大值．答案：三、解答題9．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，那么高為多