高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程4.2直線圓的位置關(guān)系第2課時(shí)圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的方程的應(yīng)用講義含解析新人教A版必修2

第2課時(shí)圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的方程的應(yīng)用[核心必知]1．預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P129～P132，回答下列問(wèn)題．(1)如何利用幾何性質(zhì)判斷圓與圓的位置關(guān)系？判斷步驟如何？提示：設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為l，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：①當(dāng)l>r1＋r2時(shí)，圓C1與圓C2外離；②當(dāng)l＝r1＋r2時(shí)，圓C1與圓C2外切；③當(dāng)|r1－r2|<l<r1＋r2時(shí)，圓C1與圓C2相交；④當(dāng)l＝|r1－r2|時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)切；⑤當(dāng)l<|r1－r2|時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含．判斷步驟為：①將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；②求兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑R、r；③求兩圓的圓心距d；④比較d與|R－r|，R＋r的大小關(guān)系得出結(jié)論．(2)已知兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通過(guò)代數(shù)的方法判斷兩圓的位置關(guān)系？提示：聯(lián)立兩圓的方程，消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)判別式Δ>0時(shí)，兩圓相交，當(dāng)Δ＝0時(shí)，兩圓外切或內(nèi)切，當(dāng)Δ<0時(shí)，兩圓外離或內(nèi)含．2．歸納總結(jié)，核心必記(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．(2)圓與圓位置關(guān)系的判定①幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓連心線的長(zhǎng)為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1、r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|②代數(shù)法：通過(guò)兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))消元，一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0?相交,Δ＝0?內(nèi)切或外切,Δ<0?外離或內(nèi)含))[問(wèn)題思考]將兩個(gè)相交的非同心圓的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相減，可得一直線方程，這條直線方程具有什么樣的特殊性呢？提示：兩圓相減得一直線方程，它經(jīng)過(guò)兩圓的公共點(diǎn)．經(jīng)過(guò)相交兩圓的公共交點(diǎn)的直線是兩圓的公共弦所在的直線．[課前反思]通過(guò)以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)．(1)圓與圓有哪些位置關(guān)系？；(2)怎樣判斷圓與圓的位置關(guān)系？.下圖為在某地12月24日拍到的日環(huán)食全過(guò)程．可以用兩個(gè)圓來(lái)表示變化過(guò)程．[思考1]根據(jù)上圖，結(jié)合平面幾何，圓與圓的位置關(guān)系有幾種？提示：5種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．[思考2]能否通過(guò)一些數(shù)量關(guān)系表示這些圓的位置關(guān)系？提示：可以，利用圓心距與半徑的關(guān)系可判斷．[思考3]直線與圓的位置關(guān)系可利用幾何法與代數(shù)法判斷，那么圓與圓的位置關(guān)系能否利用代數(shù)法判斷？提示：可以．講一講1．當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相離？(鏈接教材P129－例3)[嘗試解答]將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑長(zhǎng)r1＝1；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑長(zhǎng)r2＝eq\r(50－k)(k＜50)，從而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.當(dāng)1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34時(shí)，兩圓外切．當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＝5，即eq\r(50－k)＝6，即k＝14時(shí)，兩圓內(nèi)切．當(dāng)|eq\r(50－k)－1|＜5＜1＋eq\r(50－k)，即k∈(14,34)時(shí)，兩圓相交．當(dāng)1＋eq\r(50－k)＜5或|eq\r(50－k)－1|＞5，即k∈(34,50)∪(－∞，14)時(shí)，兩圓相離．(1)判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟：①化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出圓心和半徑；②計(jì)算兩圓圓心的距離d；③通過(guò)d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．(2)應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求字母參數(shù)的范圍是非常簡(jiǎn)單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系．練一練1．兩圓C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置關(guān)系是()A．相離B．相切C．相交D．內(nèi)含解析：選C法一：(幾何法)把兩圓的方程分別配方，化為標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以兩圓圓心為C1(1,0)，C2(2，－1)，半徑為r1＝2，r2＝eq\r(2)，則連心線的長(zhǎng)|C1C2|＝eq\r(1－22＋0＋12)＝eq\r(2)，r1＋r2＝2＋eq\r(2)，r1－r2＝2－eq\r(2)，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，兩圓相交．法二：(代數(shù)法)聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－3＝0，,x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝－2，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝0，))即方程組有2組解，也就是說(shuō)兩圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故可判斷兩圓相交．講一講2．已知圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng)．[嘗試解答]設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，①,x2＋y2－4x＋2y－11＝0②))的解，①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程，∴3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程．易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑r1＝3.又C1到直線AB的距離為d＝eq\f(|－1×3－4×3＋6|,\r(32＋－42))＝eq\f(9,5).∴|AB|＝2eq\r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))2)＝eq\f(24,5).即兩圓的公共弦長(zhǎng)為eq\f(24,5).(1)若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長(zhǎng)的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．練一練2．求兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程及公共弦長(zhǎng)．解：聯(lián)立兩圓的方程得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減得x－2y＋4＝0，此即為兩圓公共弦所在直線的方程．法一：設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以|AB|＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5)，即公共弦長(zhǎng)為2eq\r(5).法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑長(zhǎng)r＝5eq\r(2)，圓心到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq\r(5).設(shè)公共弦長(zhǎng)為2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3eq\r(5))2＋l2，解得l＝eq\r(5)，故公共弦長(zhǎng)2l＝2eq\r(5).講一講3．有一種大型商品，A，B兩地均有出售且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品運(yùn)回來(lái)，每公里的運(yùn)費(fèi)A地是B地的兩倍，若A，B兩地相距10公里，顧客選擇A地或B地購(gòu)買這種商品的運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低，那么不同地點(diǎn)的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)買此商品的地點(diǎn)？[思路點(diǎn)撥]建系后利用居民選擇在A地購(gòu)買商品建立不等關(guān)系后化簡(jiǎn)作出判斷．[嘗試解答]以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)A(－5,0)，則B(5,0)．在坐標(biāo)平面內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)從A運(yùn)貨到P地的運(yùn)費(fèi)為2aB運(yùn)貨到P地運(yùn)費(fèi)為a元/km.若P地居民選擇在A地購(gòu)買此商品，則2aeq\r(x＋52＋y2)<aeq\r(x－52＋y2)，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3)))2＋y2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)))2，即點(diǎn)P在圓C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)))2的內(nèi)部．也就是說(shuō)，圓C內(nèi)的居民應(yīng)在A地購(gòu)物．同理可推得圓C外的居民應(yīng)在B地購(gòu)物．圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購(gòu)物．解決關(guān)于直線與圓方程實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟練一練3．臺(tái)風(fēng)中心從A地以20千米/時(shí)的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A．0.5小時(shí)B．1小時(shí)C．1.5小時(shí)D．2小時(shí)解析：選B以臺(tái)風(fēng)中心A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則臺(tái)風(fēng)中心在直線y＝x上移動(dòng)，又B(40,0)到y(tǒng)＝x的距離為d＝20eq\r(2)，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即臺(tái)風(fēng)中心從E到F時(shí)，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)，時(shí)間為t＝eq\f(20千米,20千米/時(shí))＝1小時(shí)．故選B.———————————[課堂歸納·感悟提升]————————————1．本節(jié)課的重點(diǎn)是理解并掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系，會(huì)利用方程判斷圓與圓的位置關(guān)系，以及解決有關(guān)問(wèn)題，能利用直線與圓的方程解決平面幾何問(wèn)題，能利用直線與圓的方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活問(wèn)題．難點(diǎn)是利用方程判斷圓與圓的位置關(guān)系及利用直線與圓的方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活問(wèn)題．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)判斷兩圓位置關(guān)系的方法及應(yīng)用，見(jiàn)講1.(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法，見(jiàn)講2.(3)解決直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟，見(jiàn)講3.3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)易忽略相切的兩種情況而丟解，如講1.課下能力提升(二十五)[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]題組1圓與圓的位置關(guān)系1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系為()A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切解析：選B圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長(zhǎng)r1＝1；圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑長(zhǎng)r2＝2;1＝r2－r1<|O1O2|＝eq\r(5)<r1＋r2＝3，即兩圓相交．2．若兩圓x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，1)B．(121，＋∞)C．[1,121]D．(1,121)解析：選Cx2＋y2＋6x－8y－11＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y－4)2d＝eq\r(0＋32＋0－42)＝5，若兩圓有公共點(diǎn)，則|6－eq\r(m)|≤5≤6＋eq\r(m)，∴1≤m≤121.3．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的位置關(guān)系是________．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此兩圓外切．答案：外切4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是________．解析：圓的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化為x2＋y2－2x－6yx2＋y2＝10，兩式相減得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．求與圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于點(diǎn)A(4，－1)且半徑為1的圓的方程．解：設(shè)所求圓的圓心為P(a，b)，則eq\r(a－42＋b＋12)＝1.①(1)若兩圓外切，則有eq\r(a－22＋b＋12)＝1＋2＝3,②聯(lián)立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若兩圓內(nèi)切，則有eq\r(a－22＋b＋12)＝|2－1|＝1,③聯(lián)立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝1.綜上所述，所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.題組2直線與圓的方程的應(yīng)用6．一輛卡車寬1.6米，要經(jīng)過(guò)一個(gè)半徑為3.6米的半圓形隧道，則這輛卡車的平頂車蓬蓬頂距地面的高度不得超過(guò)()D．2米解析：選B建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．如圖設(shè)蓬頂距地面高度為h，則A(0.8，h－3.6)所在圓的方程為：x2＋(y＋3.6)22，把A(0.8，h2＋h22.∴h＝4eq\r(0.77)≈3.5(米)．7．某公園有A、B兩個(gè)景點(diǎn)，位于一條小路(直道)的同側(cè)，分別距小路eq\r(2)km和2eq\r(2)km，且A、B景點(diǎn)間相距2km，今欲在該小路上設(shè)一觀景點(diǎn)，使兩景點(diǎn)在同時(shí)進(jìn)入視線時(shí)有最佳觀賞和拍攝效果，則觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在何處？解：所選觀景點(diǎn)應(yīng)使對(duì)兩景點(diǎn)的視角最大．由平面幾何知識(shí)知，該點(diǎn)應(yīng)是過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓與小路所在的直線相切時(shí)的切點(diǎn)．以小路所在直線為x軸，B點(diǎn)在y軸正半軸上建立平面直角坐標(biāo)系．由題意，得A(eq\r(2)，eq\r(2))，B(0,2eq\r(2))，設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A、B兩點(diǎn)在圓上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2)，,b＝5\r(2)，))由實(shí)際意義知a＝0，b＝eq\r(2)，∴圓的方程為x2＋(y－eq\r(2))2＝2，切點(diǎn)為(0,0)，∴觀景點(diǎn)應(yīng)設(shè)在B景點(diǎn)在小路的投影處．8．(2016·日照高一檢測(cè))為了適應(yīng)市場(chǎng)需要，某地準(zhǔn)備建一個(gè)圓形生豬儲(chǔ)備基地(如圖)，它的附近有一條公路，從基地中心O處向東走1km是儲(chǔ)備基地的邊界上的點(diǎn)A，接著向東再走7km到達(dá)公路上的點(diǎn)B；從基地中心O向正北走8km到達(dá)公路的另一點(diǎn)C.現(xiàn)準(zhǔn)備在儲(chǔ)備基地的邊界上選一點(diǎn)D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，求DE的最短距離．解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)OB，OC的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則圓O的方程為x2＋y2B(8,0)，C(0,8)，所以直線BC的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,8)＝1，即x＋yD選在與直線BC平行的直線(距BC較近的一條)與圓的切點(diǎn)處時(shí)，DE為最短距離．所以DE長(zhǎng)的最小值為eq\f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq\r(2)－1)km.[能力提升綜合練]1．半徑長(zhǎng)為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36解析：選D∵半徑長(zhǎng)為6的圓與x軸相切，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，則b＝6(b＝－6舍去)．再由eq\r(a2＋32)＝5，可以解得a＝±4，故所求圓的方程為(x±4)2＋(y－6)2＝36.2．兩圓C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切線的條數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：選C∵圓C1的圓心C1(－2,2)，半徑為r1＝1，圓C2的圓心C2(2,5)，半徑r2＝4，∴C1C2＝eq\r(2＋22＋5－22)＝5＝r1＋r2，∴兩圓相外切，∴兩圓共有3條公切線．3．(2016·衡水高一檢測(cè))已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：選D設(shè)動(dòng)圓圓心為(x，y)，若動(dòng)圓與已知圓外切，則eq\r(x－52＋y＋72)＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，則eq\r(x－52＋y＋72)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.4．設(shè)兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過(guò)點(diǎn)(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|＝()A．4B．4eq\r(2)C．8D．8eq\r(